1、2引入引入,312213332112322311322113312312332211aaaaaaaaaaaaaaaaaa 333231232221131211aaaaaaaaa 3223332211aaaaa 3321312312aaaaa 3122322113aaaaa 2223113233aaaaa 可見，三級(jí)行列式可通過二級(jí)行列式來表示可見，三級(jí)行列式可通過二級(jí)行列式來表示2123123133aaaaa 2123133133aaaaa 3nnjnjnnnijijiinijijiinjjaaaaaaaaaaaaaaaa1,1,1, 11, 11, 11 , 1, 11, 11, 11 ,

2、111, 11, 111 jnjijijaaaa,1,1,1 nijiijjiiaaaaa,1,1,1 , nnjnnijiaaaa1, 11, 1 nijinjaaaa, 11, 1, 11, 1 1,11, 111 jnnjiiaaaa1, 11 , 11, 111 jiijaaaaijM稱為稱為aij的的余子式余子式定義定義次序構(gòu)成的一個(gè)次序構(gòu)成的一個(gè) 級(jí)行列式，級(jí)行列式，1n 在在 n n 級(jí)行列式級(jí)行列式 中將元素中將元素 所在的所在的ijadet()ija第第 i 行與第行與第 j 列劃去，剩下列劃去，剩下 個(gè)元素按原位置個(gè)元素按原位置2(1)n 一、余子式、代數(shù)余子式一、余子式、

3、代數(shù)余子式4( 1)ijijijAM 令令稱稱 為元素為元素 的代數(shù)余子式的代數(shù)余子式ijaijA注：注： 行列式中每一個(gè)元素分別對(duì)應(yīng)著一個(gè)余子式行列式中每一個(gè)元素分別對(duì)應(yīng)著一個(gè)余子式和代數(shù)余子式和代數(shù)余子式無關(guān)，只與該元素的在行列式中的位置有關(guān)無關(guān)，只與該元素的在行列式中的位置有關(guān) 元素元素 的余子式和代數(shù)余子式與的余子式和代數(shù)余子式與 的大小的大小ijaija567元素除元素除 外都為外都為 0 0，那么，那么ija.ijijDa A 1.1.引理引理二二 、行列式按行、行列式按行(列列)展開法則展開法則若若n 級(jí)行列式級(jí)行列式 D = 的的 中第中第 i 行所有行所有det()ija8證

4、：證： 先證的情形，即先證的情形，即ijnnaa 111,111,11,11,00nnnnnnnnnaaaDaaaa 由行列式的定義，有由行列式的定義，有11211 2()121,( 1)nnnnjjjjnjnjj jjDaaaa 1112111()121,( 1)nnnjjnjjnjnnjjnaaaa 111111()11,( 1)nnnjjnnjnjjjaaa 9111,11,11,1nnnnnnaaaaa .nnnnaA nnnna M 結(jié)論成立。結(jié)論成立。一般情形：一般情形：111,111,111,11,11,1,11,1,11,11,1,11,1,1,10000jjjniijijij

5、inijiijijijinnn jnjn jnnaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa10111,11,1111,11,11,11,1,1,11,11,11,1,1,1,1( 1)( 1)0000jjnjiijijinijn injiijijinijnn jn jnnnjijaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa ( 1)ijijija M 2()( 1)nijijija M ( 1).ijijijijijaMa A 結(jié)論成立。結(jié)論成立。111,111,111,11,11,1,11,1,11,11,1,11,1,1,1( 1)0000jjjniijijijinn iiijijijinn

6、n jnjn jnnijaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa 112.2.定理定理行列式行列式 D D 等于它的任一行列的各元素與其等于它的任一行列的各元素與其對(duì)應(yīng)的代數(shù)余子式乘積之和，即對(duì)應(yīng)的代數(shù)余子式乘積之和，即1122jjjjnjnjDa Aa Aa A 1122iiiiininDa Aa Aa A 1nikikka A 1,2,in 1nkjkjka A 1,2,jn 或或行列式按一行列展開法則行列式按一行列展開法則12證：證： 11121121200 0000niiinnnnnaaaaaaDaaa 1122iiiiinina Aa Aa A 111211112111121121

7、21212000000nnniiinnnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa ni, 2 , 1 13例例1.1.計(jì)算行列式計(jì)算行列式 311 2513420111533D 解：解： 1343211130153ccccD 511 0005 11 51111 1155 0 51162055 0 1 362( 1)55 40 141 5 3 3210 1 1 3 1 1 24 1 3 1D 例例計(jì)計(jì) 算算13431232r5r32r5rr2r22r4r153316 027162720112 011 ( 1)21131123 11214341311 04320 0520 5

8、 ( 1)2 11( 1)( 1)557 17 01D 解解例例2.2.計(jì)算行列式計(jì)算行列式 13431232r5 r32r5 rr2 r22r4 r15331 60271 62720112011 (1 )21131123112143413110432 0052 05 (1 )211(1 ) (1 )5 571701D 解解3 216 2 7( 1)2 1 11 4 3 15例例3.3.設(shè)設(shè) 求求 35 211105,1 3132413D 解：解：11121314AAAA 111111051 3132413 4. 和和11213141.MMMM 11121314AAAA 1611213141M

9、MMM11213141AAAA 15211 10513131413 0. 17例例4.4.證明證明(1)1212 3123 41(1)34 512( 1) 21 1321 221n nnnnnnnnnnnnnn 循環(huán)行列式循環(huán)行列式 18證明證明:12 3123 4134 512 1 1321 221nnnDnnnnnnn 各列都加到各列都加到第一列第一列12 3113 4114 512(1)2 1 13211 221nnnn nnnnnn 第第i行乘以行乘以-1加到第加到第i+1行行,i依次取依次取n-1,n-2, ,2,1.19按第一列展開按第一列展開12 3101 11101 111(1

10、)2 01 11101 111nnnnn nnn 20各列都加到各列都加到第一列第一列最后一行乘以最后一行乘以-1加到其他各行加到其他各行n-1級(jí)級(jí)行列式行列式11111111(1)211111111nnn nnn 11111111(1)211111111nnn nn 21000000(1)20001111nnn nn (1)(2)122(1)( 1)( 1)()2nnnnn nn (1)12(1)( 1)2n nnnn 2212211 0 . 0001 . 000 0. 00 . . . .0 00 .13.nnnnxxxDxa aaa x a算例 計(jì)例例5.5.計(jì)算行列式計(jì)算行列式 231

11、23211110. 0001 . 0000. 00. .000.1. ( 1)( 1 )nnnnnnnxxxDxxaaaaxaa 按按第第一一列列展展開開解解解解: : 1nD24121232.nnnnnnDxDaDxDa1nnnDxDa 21221111xDxDaaxaDxa 12121.nnnnnnDxa xa xaxa 25練習(xí)：練習(xí)： 1. 計(jì)算行列式計(jì)算行列式001000.000100naaDaa 123123123123,aaafbbbfDcccfdddf 11213141.AAAA 2. 設(shè)設(shè) 求求答案：答案： 21.2. 0nnaa 263.3.推論推論行列式任一行列的元素與另

12、一行列的行列式任一行列的元素與另一行列的對(duì)應(yīng)元素的代數(shù)余子式乘積之和等于零，即對(duì)應(yīng)元素的代數(shù)余子式乘積之和等于零，即11220,ijijninja Aa Aa Aij 11220,ijijinjna Aa Aa Aij 27證證行行展展開開，有有按按第第把把行行列列式式j(luò)aDij)det( 11111111,niinjjjnjnjjnnnnaaaaa Aa Aaaaa可可得得換換成成把把), 1(nkaaikjk 2811111111,niinijinjniinnnnaaaaa Aa Aaaaa行行第第 j行行第第 i一樣一樣11220,ijijninja Aa Aa Aij 11220.ij

13、ijinjna Aa Aa A 當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí), ,ij 同理可證同理可證, ,29 10nikjkkDija Aij 10nkikjkDija Aij 綜合定理及推論，有關(guān)于代數(shù)余子式的重要性質(zhì)：綜合定理及推論，有關(guān)于代數(shù)余子式的重要性質(zhì)：30例例6.6.證明范德蒙行列式證明范德蒙行列式 1232222123111111231111()nnnijj i nnnnnnaaaaaaaaDaaaaaa 31證：用數(shù)學(xué)歸納法證：用數(shù)學(xué)歸納法. . 時(shí)，時(shí)， 211211.aaaa 2n 01 假設(shè)對(duì)于假設(shè)對(duì)于 級(jí)范德蒙行列式結(jié)論成立即級(jí)范德蒙行列式結(jié)論成立即1n 02結(jié)論成立結(jié)論成立1212221211

14、11222121111()nnnijj i nnnnnaaaaaaDaaaaa 32把把 從第從第 n n 行開始，后面一行減去前面一行的行開始，后面一行減去前面一行的nD倍，得倍，得na1212221122111212121122111111000nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnaaaaaaaa aaa aaaaDaaaaaaaaa 下證對(duì)于下證對(duì)于 n n 級(jí)范德蒙行列式級(jí)范德蒙行列式 結(jié)論也成立結(jié)論也成立. .nD1232222123111111231111()nnnijj i nnnnnnaaaaaaaaDa aaaaa 331212221112211121212112211

15、( 1)nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnaaaaaaaa aaa aaaaaaaaaaaaa 1212221121121222121111( 1)()()()nnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaaa 341212221211212221211 11()()()nnnnnnnnnna aaaaaaaaaaaaaa 1()ijj i naa 范德蒙行列式范德蒙行列式 中至少兩個(gè)相等中至少兩個(gè)相等120,nnDa aa 注：注：12111()()()()nnnnijj i naaaaaaaa 1nD 35222111222333nnnnDnnn 練習(xí)練習(xí)111133122111

16、1! nnnnnn! 1 ! 2)!2()!1( !)1()2()24)(23( )1()13)(12( ! nnnnnnnn36例例7 11)1(10000000010001000nnnn直接按第一列直接按第一列(最后一列最后一列)展開得到遞推式展開得到遞推式三斜行列式三斜行列式b) 消去主對(duì)角線下上方元素，化為三角形行列式消去主對(duì)角線下上方元素，化為三角形行列式37 1000000100)(1nnDD解解:21)( nnDD )()(122322DDDDnnn )(211 nnnnDDDD 3822221()DD1nnnDD 112nnnDD 221DD 11nnnnnD 11(1)nnn

17、n 2121()nnnDDDD 39練習(xí)練習(xí)2222212121212aaaaaaaaa40例例8.8.證明：證明： 111111111111111111110000kkrkkkkrkkkrrrrrkrrraaaabbaaccbbaabbccbb 21DDD 41證明證明:n方法一方法一:n 對(duì)對(duì)k用數(shù)學(xué)歸納法用數(shù)學(xué)歸納法n k=1, 按第一行展開即可按第一行展開即可.n 設(shè)設(shè)k=m-1時(shí)等式成立時(shí)等式成立n k=m時(shí)時(shí),按第一行展開按第一行展開, 根據(jù)行列式展開公式根據(jù)行列式展開公式即得等式成立即得等式成立.4211111111,.0 . . .ijkkkkkDrcrDpDpppp 對(duì)對(duì)作作運(yùn)運(yùn)算算把把化化為為下下三三角角行行列列式式，設(shè)設(shè)為為方法二方法二:11111kkkkaaDaa 證證 明明 ： 設(shè)設(shè)1111rrrrbbbb1 111 111211111 111 11. . .,. . .,. 0 . . .knkk knn nijk kkk kaabbDDaabbDr k r DpDp ppp 設(shè)設(shè)對(duì)對(duì)作作 運(yùn)運(yùn) 算算把把化化 為為 下下 三三 角角 行行 列列證證式式 ， 設(shè)設(shè) 為為明明 ：432211211.1,0 ijrrrrrDclcDq