1、第第8章章 多元函數(shù)微積分多元函數(shù)微積分一元復(fù)合函數(shù))(),(xuufy求導(dǎo)法則xuuyxydddddd本節(jié)內(nèi)容本節(jié)內(nèi)容:一、多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的鏈?zhǔn)椒▌t一、多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的鏈?zhǔn)椒▌txxufuufyd)()(d)(d微分法則 第八章 8.5 8.5 多元復(fù)合函數(shù)與隱含數(shù)的微分法多元復(fù)合函數(shù)與隱含數(shù)的微分法三、三、隱含數(shù)的微分法隱含數(shù)的微分法二、函數(shù)全微分的形式不變性二、函數(shù)全微分的形式不變性一一. 多元復(fù)合函數(shù)的微分法多元復(fù)合函數(shù)的微分法比如：設(shè)比如：設(shè)z=f(u,v)是變量是變量u，v的函數(shù)，的函數(shù)，( , ),( , )ux y vx y ( , ),( , ),zfx yx y 問(wèn)題：如

2、何求出函數(shù)問(wèn)題：如何求出函數(shù) z 對(duì)自變量對(duì)自變量 x，y 的偏導(dǎo)數(shù)呢？的偏導(dǎo)數(shù)呢？1. 多元函數(shù)的復(fù)合過(guò)程多元函數(shù)的復(fù)合過(guò)程而而u u，v v又是又是x x，y y的函數(shù)，即：的函數(shù)，即：于是能構(gòu)成于是能構(gòu)成 z z 是是x x , ,y y 的復(fù)合函數(shù)：的復(fù)合函數(shù)：又比如：又比如： 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)z z = =f f( (u u, ,v v) )是變量是變量u u，v v的函數(shù)的函數(shù)，( )vt ( ),( )zftt ( ),ut 問(wèn)題：如何求問(wèn)題：如何求z z 對(duì)對(duì)t t 的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù) . .tzdd 只是自變量只是自變量t t 的函數(shù)。的函數(shù)。2. 多元復(fù)合函數(shù)的微分法多元復(fù)合函數(shù)的微

3、分法而而 是自變量是自變量t t的函數(shù)，則復(fù)合函數(shù)的函數(shù)，則復(fù)合函數(shù)定理定理 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) 在點(diǎn)在點(diǎn)(x,y)處有偏處有偏導(dǎo)數(shù)，而函數(shù)導(dǎo)數(shù)，而函數(shù)z=f(u,v)在對(duì)應(yīng)點(diǎn)在對(duì)應(yīng)點(diǎn)(u,v)有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則復(fù)合函數(shù)復(fù)合函數(shù) 在點(diǎn)在點(diǎn)(x,y)處的偏導(dǎo)數(shù)處的偏導(dǎo)數(shù) 存在，且存在，且,zzxy),(),(yxvyxu),(),(yxyxfz, .zzuzvxuxvxzzuzvyuyvy復(fù)合函數(shù)的變量結(jié)構(gòu)圖是：復(fù)合函數(shù)的變量結(jié)構(gòu)圖是：zuvxy公式公式(1)給出給出z對(duì)對(duì)x的偏導(dǎo)數(shù)是的偏導(dǎo)數(shù)是(*) xvvzxuuzxz 在公式在公式( (* *) )中中 ：偏導(dǎo)數(shù)：偏導(dǎo)數(shù) 是由兩項(xiàng)組

4、成的，每項(xiàng)又是兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)的乘積，公式是由兩項(xiàng)組成的，每項(xiàng)又是兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)的乘積，公式( (* *) )的這復(fù)雜的規(guī)律，可以通過(guò)函數(shù)變量的結(jié)構(gòu)關(guān)系圖的這復(fù)雜的規(guī)律，可以通過(guò)函數(shù)變量的結(jié)構(gòu)關(guān)系圖得到。得到。與結(jié)構(gòu)圖兩者之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系是與結(jié)構(gòu)圖兩者之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系是：xzzuvx (1) 在公式在公式(*)的項(xiàng)數(shù)，等于結(jié)構(gòu)圖中自變量的項(xiàng)數(shù)，等于結(jié)構(gòu)圖中自變量x到達(dá)到達(dá)z路徑的個(gè)數(shù)路徑的個(gè)數(shù).函數(shù)結(jié)構(gòu)中自變量函數(shù)結(jié)構(gòu)中自變量x到達(dá)到達(dá)z的路徑有兩條的路徑有兩條.第一條是第一條是 ，第二條是，第二條是 ，所以公，所以公式式(*)由兩項(xiàng)組成由兩項(xiàng)組成.zvxzux (2) 公式公式(*)每項(xiàng)乘積的寫法，等同于

5、一元函數(shù)情況每項(xiàng)乘積的寫法，等同于一元函數(shù)情況下的復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)公式，如第一條路徑下的復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)公式，如第一條路徑 ,有一個(gè)函數(shù)有一個(gè)函數(shù) z 和一個(gè)中間變量和一個(gè)中間變量 u，因此，對(duì)應(yīng)與，因此，對(duì)應(yīng)與第一第一條路徑的條路徑的第一項(xiàng)就是兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)第一項(xiàng)就是兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù) 與與 的乘積的乘積.xuzxuuz 復(fù)合函數(shù)結(jié)構(gòu)雖然是多種多樣，求復(fù)合函數(shù)的偏復(fù)合函數(shù)結(jié)構(gòu)雖然是多種多樣，求復(fù)合函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)公式也不完全相同，但借助函數(shù)的結(jié)構(gòu)圖，運(yùn)用導(dǎo)數(shù)公式也不完全相同，但借助函數(shù)的結(jié)構(gòu)圖，運(yùn)用上面的法則，可以直接寫出給定的復(fù)合函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)上面的法則，可以直接寫出給定的復(fù)合函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)的公式。這一法則通常形象地

6、稱為鏈?zhǔn)椒▌t。的公式。這一法則通常形象地稱為鏈?zhǔn)椒▌t。zuvyyu 同樣可以得到y(tǒng)vvzyuuzyz 又比如：設(shè)函數(shù)又比如：設(shè)函數(shù)w =f (u,v)有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，而有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，而( ),ut ( )vt ( ), ( )zftt tzdd 有有ddddtddzzuzvutvt 下面借助于函數(shù)的結(jié)構(gòu)圖，利用鏈?zhǔn)椒▌t導(dǎo)出全下面借助于函數(shù)的結(jié)構(gòu)圖，利用鏈?zhǔn)椒▌t導(dǎo)出全導(dǎo)數(shù)公式導(dǎo)數(shù)公式.zuvt 可導(dǎo)，則復(fù)合函數(shù)可導(dǎo)，則復(fù)合函數(shù)只是自變量只是自變量x x的函數(shù)，的函數(shù)，則則 z z 對(duì)對(duì)x x的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù) 在這里，函數(shù)z是通過(guò)二元函數(shù)z=f(u,v)而成為t的一元復(fù)合函數(shù).因此，z對(duì)t的導(dǎo)數(shù) 又稱為

7、z對(duì)t的全導(dǎo)數(shù).對(duì)公式(2)應(yīng)注意，由于 z，u，v 這三個(gè)函數(shù)都是t的一元函數(shù)，故對(duì)t的導(dǎo)數(shù)應(yīng)寫成 ，而不能寫成 .tvtutz, tvtutzdd,dd,dd tzdd ( ),( ),( )ux vx wx( , ,)zf u v w ( ), ( ),( )zfxxxdzzduz dvzdwdxudxv dxwdx（2）如果而則對(duì)復(fù)合函數(shù)則 zuvxww?dd tz., yzxz例例1 設(shè)設(shè) 求求,sineyxvxyuvzu解法解法1 xvvzxuuzxz yvvzyuuzyz 1cosesinevyvuu，)cos()sin(eyxyxyxy).cos()sin(eyxyxxxy1c

8、osesine vxvuu根據(jù)復(fù)合函數(shù)的鏈?zhǔn)椒▌t，得根據(jù)復(fù)合函數(shù)的鏈?zhǔn)椒▌t，得解法解法2 對(duì)于具體的二元復(fù)合函數(shù)，可將中間變量對(duì)于具體的二元復(fù)合函數(shù)，可將中間變量u，v，用用x，y代入，則得到代入，則得到 ，z 是是x，y二元函數(shù)，二元函數(shù)，直接計(jì)算得直接計(jì)算得)sin(eyxzxy)cos(e)sin(e yxyxyxzxyxy)cos(e)sin(e yxyxxyzxyxy，)cos()sin(eyxyxyxy).cos()sin(eyxyxxxy例例2 設(shè)設(shè) ,求求z 的偏導(dǎo)數(shù)。的偏導(dǎo)數(shù)。yxy2422)(3xz xvvzxuuzxz解：解： yxvy24)(3xu 22，設(shè)vuz 則z

9、uvxy 4ln61uuxuvvvxyyxyx6)(3x)24( 124224)(3xln)(3x222422yyyxyvvzyuuzyz 2ln21uuyuvvv例例3 ,),(uxyuyxfz設(shè).,xyxxzzxz ，求解解 xuufxfxz xy1,),(有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)yxuxxz xxz )(xxy)1(22xxyz yxz )(yxy)1(yx21例例4 設(shè)設(shè) 求求.dd ,ln,e,2tztyxxztytyyztxxztzdddddd解解 得得txxyxyty1lne221) 1(222yxxyxyyy).1(ln22ttt例例5 設(shè)設(shè) ,其中其中f(u,v)為可微函數(shù)，求為可微函

10、數(shù)，求),(22xyyxfz ,.zzxy解解 令令 ，可得，可得22,uxy vxyxvvzxuuzxz yvvzyuuzyz 其中其中 不能再具體計(jì)算了，這是因?yàn)橥鈱雍瘮?shù)不能再具體計(jì)算了，這是因?yàn)橥鈱雍瘮?shù)f 僅是抽象的函數(shù)記號(hào)，沒(méi)有具體給出函數(shù)表達(dá)式僅是抽象的函數(shù)記號(hào)，沒(méi)有具體給出函數(shù)表達(dá)式.vzuz,，vzyuzx 2，vzxuzy 2二、函數(shù)全微分的形式不變性：二、函數(shù)全微分的形式不變性：1、一元函數(shù)的微分形式不變性：、一元函數(shù)的微分形式不變性：一元復(fù)合函數(shù))(),(xuufy求導(dǎo)法則xuuyxyddddddxxufuufyd)()(d)(d微分法則xxyd)( 2、二元函數(shù)的全微分形

11、式不變性：、二元函數(shù)的全微分形式不變性：yyzxxzzddddvvzduuzdz 二元函數(shù)二元函數(shù) z=f(u,vz=f(u,v) )的全微分：的全微分：),(),(yxvyxu若(,),(,),zfx yx y 于是能構(gòu)成于是能構(gòu)成 z z 是是x x , ,y y 的復(fù)合函數(shù)：的復(fù)合函數(shù)：1 .由方程由方程 F F( (x,y)=0 )=0 確定的隱函數(shù)確定的隱函數(shù) y=y(x) 的求導(dǎo)公式的求導(dǎo)公式 若函數(shù)若函數(shù)F(x, y)在點(diǎn)在點(diǎn)P0(x0,y0)處的偏導(dǎo)數(shù)處的偏導(dǎo)數(shù) ，則方程則方程F(x,y)=0在點(diǎn)在點(diǎn)P0的一個(gè)鄰域內(nèi)，確定了一個(gè)隱的一個(gè)鄰域內(nèi)，確定了一個(gè)隱函數(shù)函數(shù)y=y(x)，

12、并假定，并假定y(x)可導(dǎo)，可導(dǎo)，F(xiàn)(x,y)可微，那么如何可微，那么如何求求 呢？利用二元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則導(dǎo)出隱函數(shù)呢？利用二元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則導(dǎo)出隱函數(shù)求導(dǎo)的一般公式求導(dǎo)的一般公式.00PyFxydd三三 隱含數(shù)的微分法隱含數(shù)的微分法首先將首先將y = y(x)代入方程代入方程F(x,y)=0，得恒等式，得恒等式 , ( )0,F x y x 將左端看成將左端看成x的復(fù)合函數(shù)，兩端對(duì)的復(fù)合函數(shù)，兩端對(duì)x求導(dǎo)，得求導(dǎo)，得d0dxyyFFx由于假定由于假定 ，故有，故有ddxyFyxF 0yF 公式公式(3)就是由方程就是由方程F(x,y)=0確定的隱函數(shù)確定的隱函數(shù)y = y(x)的的導(dǎo)

13、數(shù)公式導(dǎo)數(shù)公式.dd0esinxyyyxx，求解解 令令 ，則有，則有xyyxyxFesin),( ,esinxxyyF代入公式代入公式(3)，得，得.ecosesinddxxyxyxyyFFxy.ecos xyyxF例例6 設(shè)設(shè)2、由方程、由方程 F(x,y,z)=0 所確定的隱函數(shù)所確定的隱函數(shù) z=z(x,y)的偏導(dǎo)數(shù)公式的偏導(dǎo)數(shù)公式, yxzzFFzzxFyF 將將z=z(x,y)代入方程代入方程F(x,y,z)=0，得恒等式，得恒等式 , , ( , )0F x y z x y 前面已假定前面已假定 ，由上式解出，由上式解出 ，得，得yzxzFz, 0將上式左端看成將上式左端看成x，

14、y的復(fù)合函數(shù)，兩端對(duì)的復(fù)合函數(shù)，兩端對(duì)x和和y求導(dǎo)，得求導(dǎo)，得, 010 , 001yzFFFxzFFFzyxzyx, yxzzFFzzxFyF 例例7 設(shè)設(shè)).(,2222為常數(shù)，求RyzxzRxzyx解解 將方程定成將方程定成 ，令，令02222Rxzyx.2 ,2 ,22 zFyFRxFzyx得若若 ，方程，方程F(x,y,z)=0確定了函數(shù)確定了函數(shù)z=z(x,y)，由公式由公式(4)，得，得02 zFz,zxRFFxzzx.zyFFyzzyRxzyxzyxF2),(222一一. . 一元函數(shù)的極值、計(jì)算、判定一元函數(shù)的極值、計(jì)算、判定8.6 8.6 多元函數(shù)的極值與最值多元函數(shù)的極值

15、與最值 極大 值（點(diǎn)）：. )U( )(0內(nèi)有定義在設(shè)xxf, )( )( )U( 00 xfxfx內(nèi)恒有在. )( )( 0值的一個(gè)極大是則稱xfxf. )( 0的一個(gè)極大值點(diǎn)稱為而xfx . )( 0)( 0的駐點(diǎn)的點(diǎn)稱為函數(shù)使xfxf . 疑點(diǎn)駐點(diǎn)只是函數(shù)的極值可 .極值函數(shù)在駐點(diǎn)處不一定取, , )(U()( . 300有二階導(dǎo)數(shù)在判定方法：設(shè)xxCxf則即的駐點(diǎn)為且 , ) 0)( ( )( 00 xfxfx; )( , 0)( )1(00的極大點(diǎn)為時(shí)xfxxf ; )( , 0)( )2(00的極小點(diǎn)為時(shí)xfxxf . )( , 0)( )3(00的極值點(diǎn)是否為不能判定時(shí)xfxxf

16、 . . 2駐點(diǎn)與極值點(diǎn)關(guān)系1.定義：定義： 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) z = f (x,y) 在點(diǎn)在點(diǎn) (x0,y0) 的某一鄰域的某一鄰域 內(nèi)有定義，如果在該鄰域內(nèi)任何點(diǎn)內(nèi)有定義，如果在該鄰域內(nèi)任何點(diǎn) (x,y) 的函數(shù)值的函數(shù)值二二. . 多元函數(shù)的極值多元函數(shù)的極值恒有：恒有： f (x,y)f (x0,y0) ( (或或f (x,y)f (x0,y0)，則稱點(diǎn)則稱點(diǎn)( (x x0,0,y y0)0)為函數(shù)的極大值點(diǎn)為函數(shù)的極大值點(diǎn)( (或極小值點(diǎn)或極小值點(diǎn)). ). f f ( (x x0,0,y y0)0)為極大值為極大值( (或極小值或極小值) )，極大值和極小值統(tǒng)稱為極值極大值和極小值統(tǒng)稱

17、為極值. . 極大值點(diǎn)和極小值點(diǎn)統(tǒng)稱為極值點(diǎn)極大值點(diǎn)和極小值點(diǎn)統(tǒng)稱為極值點(diǎn). . 注注（1）極值點(diǎn)一定是區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)）極值點(diǎn)一定是區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)（2）不等式）不等式f(x,y)f(x0,y0 )(或或f(x,y)f(x0,y0) 也只在某個(gè)也只在某個(gè)鄰域的局部范圍內(nèi)成立，不要求在函數(shù)整個(gè)定義域上成鄰域的局部范圍內(nèi)成立，不要求在函數(shù)整個(gè)定義域上成立立定理定理1 (極值存在的必要條件極值存在的必要條件) 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)在點(diǎn)(x0,y0)取得極值，且在該點(diǎn)的偏導(dǎo)數(shù)存在，則必有取得極值，且在該點(diǎn)的偏導(dǎo)數(shù)存在，則必有0000(,)0, (,)0 xyfxyfxy 注注（1）駐點(diǎn)不一定是函數(shù)的

18、極值點(diǎn)駐點(diǎn)不一定是函數(shù)的極值點(diǎn). .例如，函數(shù)例如，函數(shù)z=x2y2，在點(diǎn)，在點(diǎn)(0,0)處的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)同時(shí)為零，即處的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)同時(shí)為零，即容易看出駐點(diǎn)容易看出駐點(diǎn)(0,0)不是函數(shù)的極值點(diǎn)不是函數(shù)的極值點(diǎn). (0,0)0, (0,0)0.xyzz （2）極值點(diǎn)也可能不是駐點(diǎn)，因?yàn)槠珜?dǎo)數(shù)）極值點(diǎn)也可能不是駐點(diǎn)，因?yàn)槠珜?dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)也可能是極值點(diǎn)，如錐面不存在的點(diǎn)也可能是極值點(diǎn)，如錐面 的的頂點(diǎn)頂點(diǎn)(0,0,1)，偏導(dǎo)數(shù)不存在，但頂點(diǎn)是極值點(diǎn)，偏導(dǎo)數(shù)不存在，但頂點(diǎn)是極值點(diǎn).221yxz定理定理2(極值的充分條件極值的充分條件) 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)在點(diǎn)(x0,y0)的的某一鄰域內(nèi)有

19、連續(xù)的一階與二階偏導(dǎo)數(shù)，且某一鄰域內(nèi)有連續(xù)的一階與二階偏導(dǎo)數(shù)，且(x0,y0)是函是函數(shù)的一個(gè)駐點(diǎn)，即數(shù)的一個(gè)駐點(diǎn)，即 ,記記 ，則，則0000(,)0,(,)0 xyfxyfxy000000(,),(,),(,)xxxyyyAfxyBfxyCfxy(1) 當(dāng)當(dāng)B2AC0時(shí)時(shí), 是函數(shù)的極值點(diǎn)是函數(shù)的極值點(diǎn), A0時(shí)，時(shí)， 為極小值點(diǎn)，為極小值點(diǎn)，f(x0,y0)為極小值為極小值.(2) 當(dāng)當(dāng)B2AC0時(shí)，時(shí)，f(x0,y0)不是極值不是極值.(3) 當(dāng)當(dāng)B2AC=0時(shí)，時(shí)，f(x0,y0)可能為極值，也可能不是極值可能為極值，也可能不是極值.00(,)xy00(,)xy00(,)xy0),(

20、, 0),(yxfyxfyx 綜合定理綜合定理1，定理，定理2，對(duì)于具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的，對(duì)于具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù)函數(shù) 求其極值的步驟如下：求其極值的步驟如下：2.求出二階偏導(dǎo)數(shù)求出二階偏導(dǎo)數(shù) ，并對(duì)每，并對(duì)每一駐點(diǎn)，求出二階偏導(dǎo)數(shù)的值一駐點(diǎn)，求出二階偏導(dǎo)數(shù)的值A(chǔ)，B，C.),(),(),(yxfyxfyxfyyxyxx1.求方程組求方程組的一切實(shí)數(shù)解，得到所有駐點(diǎn)的一切實(shí)數(shù)解，得到所有駐點(diǎn).3.對(duì)每一駐點(diǎn)對(duì)每一駐點(diǎn)(x0,y0)，定出，定出B2AC的符號(hào)，按照定理的符號(hào)，按照定理2的的結(jié)論判定結(jié)論判定f(x0,y0)是否為極值，是極大值還是極小值是否為極值，是極大值還是極小值.( , )

21、zf x y 例例3 求函數(shù)求函數(shù) 的極值的極值.的一切實(shí)數(shù)解，得駐點(diǎn)的一切實(shí)數(shù)解，得駐點(diǎn)(1,0).在在(1,0)點(diǎn)處，有點(diǎn)處，有A=2，B= 1，C=2.B2AC= 30，由極值的充分條件，得由極值的充分條件，得f(1,0)= 1為極小值為極小值.yxyxyxz222解解 求方程組求方程組012, 022yxzyxzyx求函數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù). 2 , 1 , 2yyxyxxzzz如何求函數(shù)如何求函數(shù)z=f(x,y)在區(qū)域在區(qū)域D上的最大值、最小值上的最大值、最小值呢？如果呢？如果f(x,y)在在D上可微，可先求出函數(shù)在該區(qū)域內(nèi)上可微，可先求出函數(shù)在該區(qū)域內(nèi)的一切駐點(diǎn)處的函數(shù)

22、值及函數(shù)在區(qū)域邊界上的最大值的一切駐點(diǎn)處的函數(shù)值及函數(shù)在區(qū)域邊界上的最大值與最小值與最小值.在這些函數(shù)值中的最大的就是函數(shù)在在這些函數(shù)值中的最大的就是函數(shù)在D上的上的最大值，最小的就是函數(shù)在最大值，最小的就是函數(shù)在D上的最小值上的最小值.三三 多元函數(shù)的最值應(yīng)用多元函數(shù)的最值應(yīng)用在實(shí)際問(wèn)題中，函數(shù)在實(shí)際問(wèn)題中，函數(shù)( , )zf x y一定在一定在D D的內(nèi)部取得，若函數(shù)在的內(nèi)部取得，若函數(shù)在D D內(nèi)只有一個(gè)駐點(diǎn)，內(nèi)只有一個(gè)駐點(diǎn)，則此駐點(diǎn)一定是最值點(diǎn)。則此駐點(diǎn)一定是最值點(diǎn)。 的最大值（最小值）的最大值（最小值）例例4 要用鐵板做一個(gè)體積為常數(shù)要用鐵板做一個(gè)體積為常數(shù)a的有蓋的長(zhǎng)方體水的有蓋的長(zhǎng)

23、方體水箱，問(wèn)水箱各邊的尺寸多大時(shí)，用材料最省箱，問(wèn)水箱各邊的尺寸多大時(shí)，用材料最省. 解解 設(shè)水箱的長(zhǎng)、寬、高分別為設(shè)水箱的長(zhǎng)、寬、高分別為x，y，z，于是體積，于是體積a=xyz，表面積，表面積S為為 S=2(xy+xz+yz).將將 代入代入A的表達(dá)式中，得的表達(dá)式中，得xyaz .2),(yaxaxyyxS由第一個(gè)方程，得由第一個(gè)方程，得 ，將其代入第二個(gè)方程，將其代入第二個(gè)方程，得得2xay 04 xax 0 x 3ax 3 ya 于于是是，).,(33aa求函數(shù)求函數(shù)S(x,y)的駐點(diǎn)的駐點(diǎn).02, 0222yaxySxayxS得函數(shù)得函數(shù)的唯一駐點(diǎn)的唯一駐點(diǎn)),(yxS根據(jù)實(shí)際問(wèn)題

24、可以斷定，根據(jù)實(shí)際問(wèn)題可以斷定，S(x,y)在在D內(nèi)一定有最內(nèi)一定有最小值，而在小值，而在D內(nèi)只有唯一駐點(diǎn)內(nèi)只有唯一駐點(diǎn) ，則該駐點(diǎn)，則該駐點(diǎn)就是就是S(x,y)的最小值點(diǎn)，即當(dāng)?shù)淖钚≈迭c(diǎn)，即當(dāng) 時(shí)，面時(shí)，面積積A取得最小值取得最小值.此時(shí)高此時(shí)高 ，即水箱為正立，即水箱為正立方體，每邊長(zhǎng)為方體，每邊長(zhǎng)為 時(shí)時(shí),所用材料最省所用材料最省.),(33aa33 , ayax3a3axyaz1 “1 “邊際邊際”經(jīng)濟(jì)量經(jīng)濟(jì)量 實(shí)際中的一個(gè)經(jīng)濟(jì)問(wèn)題，往往與多種因素有關(guān)。如實(shí)際中的一個(gè)經(jīng)濟(jì)問(wèn)題，往往與多種因素有關(guān)。如需求函數(shù)，需求量不僅受商品價(jià)格的影響，也受到和需求函數(shù)，需求量不僅受商品價(jià)格的影響，也受

25、到和與該商品相關(guān)的許多商品的價(jià)格影響。又如生產(chǎn)函數(shù)，與該商品相關(guān)的許多商品的價(jià)格影響。又如生產(chǎn)函數(shù)，總產(chǎn)量和勞動(dòng)力的投入相關(guān)，也與資本的投入直接相總產(chǎn)量和勞動(dòng)力的投入相關(guān)，也與資本的投入直接相聯(lián)系。討論這些因素之間的關(guān)系，可用多元函數(shù)的偏聯(lián)系。討論這些因素之間的關(guān)系，可用多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)“邊際邊際”經(jīng)濟(jì)量。經(jīng)濟(jì)量。定義定義1 如設(shè)兩個(gè)有關(guān)的商品，其價(jià)格分別用如設(shè)兩個(gè)有關(guān)的商品，其價(jià)格分別用 1P2P和和1 1Q Q2 2Q Q和和表示。表示。 需求函數(shù)分別是兩個(gè)二元函數(shù)，需求函數(shù)分別是兩個(gè)二元函數(shù)， 12(,),f P P 1 1Q Q12(,)P P 2 2Q Q 偏導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)中的應(yīng)用偏

26、導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)中的應(yīng)用一般情況下，一般情況下， （減少）將引起本身需求量的下降（增加（減少）將引起本身需求量的下降（增加）。）。110QP 210QP 且且表明商品價(jià)格的增加表明商品價(jià)格的增加120QP 210QP 且且當(dāng)當(dāng)?shù)诙N商品的價(jià)格上升將引起第一種商品需求量的增加，第二種商品的價(jià)格上升將引起第一種商品需求量的增加，或第二種商品的價(jià)格下降將引起第一種商品需求量的減少或第二種商品的價(jià)格下降將引起第一種商品需求量的減少當(dāng)?shù)诙N商品的價(jià)格不動(dòng)時(shí)就有，第一種商品的價(jià)格的升當(dāng)?shù)诙N商品的價(jià)格不動(dòng)時(shí)就有，第一種商品的價(jià)格的升或降將引起第二種商品需求量的增或減?；蚪祵⒁鸬诙N商品需求量的增或減。 時(shí)，時(shí)

27、，表明第一種商品的價(jià)格不動(dòng)表明第一種商品的價(jià)格不動(dòng)11221212,QQQQPPPP 稱為邊際需求稱為邊際需求 由此可得四個(gè)一階偏導(dǎo)數(shù)分別為由此可得四個(gè)一階偏導(dǎo)數(shù)分別為 120QP 210QP 且且當(dāng)當(dāng)時(shí)，時(shí)，表明第一種商品的價(jià)格不動(dòng)表明第一種商品的價(jià)格不動(dòng)第二種商品的價(jià)格上升將引起第一種商品需求量的下降，第二種商品的價(jià)格上升將引起第一種商品需求量的下降，或第二種商品的價(jià)格下降將引起第一種商品需求量的增或第二種商品的價(jià)格下降將引起第一種商品需求量的增加；當(dāng)?shù)诙N商品的價(jià)格不動(dòng)時(shí)就有，第一種商品的價(jià)加；當(dāng)?shù)诙N商品的價(jià)格不動(dòng)時(shí)就有，第一種商品的價(jià)格的升或降將引起第二種商品需求量的減或增。以上這格

28、的升或降將引起第二種商品需求量的減或增。以上這樣的兩種商品稱之為相互補(bǔ)充的商品，如錄音機(jī)與磁帶，樣的兩種商品稱之為相互補(bǔ)充的商品，如錄音機(jī)與磁帶，照相機(jī)與膠卷等。照相機(jī)與膠卷等。 以上這樣的兩種商品稱之為相競(jìng)爭(zhēng)的商品。例如牛肉以上這樣的兩種商品稱之為相競(jìng)爭(zhēng)的商品。例如牛肉和羊肉，營(yíng)養(yǎng)價(jià)值相近的兩種不同的蔬菜或食品，以及商和羊肉，營(yíng)養(yǎng)價(jià)值相近的兩種不同的蔬菜或食品，以及商品與其代用品之間即為如此關(guān)系。品與其代用品之間即為如此關(guān)系。 例例1 有兩種商品其需求函數(shù)分別為有兩種商品其需求函數(shù)分別為 221211200.32,QPP221225033PP2 2Q Q討論兩種商品間是怎樣的關(guān)系？討論兩種商

29、品間是怎樣的關(guān)系？ 解解因?yàn)檫呺H需求函數(shù)為因?yàn)檫呺H需求函數(shù)為 1220,60QPP 2110.40QPP 且且所以這兩種商品是相互補(bǔ)充的。所以這兩種商品是相互補(bǔ)充的。 2 2 偏彈性偏彈性定義定義2 我們以需求函數(shù)為例加以說(shuō)明。設(shè)甲和乙是兩個(gè)有我們以需求函數(shù)為例加以說(shuō)明。設(shè)甲和乙是兩個(gè)有關(guān)聯(lián)的商品，其價(jià)格分別為關(guān)聯(lián)的商品，其價(jià)格分別為 1p2p和和需求函數(shù)為需求函數(shù)為 ，若已知甲商品的，若已知甲商品的12(,)f p p 1 1Q Q是一個(gè)關(guān)于是一個(gè)關(guān)于 1p2p和和的二元函數(shù)的二元函數(shù) 1111112(,)QpEpf pp 稱稱為需求的自身價(jià)格彈性為需求的自身價(jià)格彈性衡量的是，貨物乙的價(jià)格保

30、持不變時(shí)，商品甲的需求量衡量的是，貨物乙的價(jià)格保持不變時(shí)，商品甲的需求量的相對(duì)改變量與該商品價(jià)格相對(duì)改變量之比。描寫的是，的相對(duì)改變量與該商品價(jià)格相對(duì)改變量之比。描寫的是，商品甲的需求量對(duì)于自身價(jià)格變化進(jìn)行反映的靈敏程度。商品甲的需求量對(duì)于自身價(jià)格變化進(jìn)行反映的靈敏程度。212212(,)QpEpf pp 定義定義3稱稱為需求的交叉價(jià)格彈性為需求的交叉價(jià)格彈性 衡量的是，貨物甲的價(jià)格保持不變時(shí)，商品甲的需求衡量的是，貨物甲的價(jià)格保持不變時(shí)，商品甲的需求量的相對(duì)改變量與商品乙價(jià)格相對(duì)改變量之比。描寫的量的相對(duì)改變量與商品乙價(jià)格相對(duì)改變量之比。描寫的是，商品甲的需求量對(duì)于商品乙的價(jià)格變化時(shí)反映的靈是，商品甲的需求量對(duì)于商品乙的價(jià)格變化時(shí)反映的靈敏程度。敏程度。 以上所定義的自身價(jià)格彈性和交叉價(jià)格彈