1、行 列 式第第1節(jié)節(jié) 矩陣概念的引入矩陣概念的引入第第2節(jié)節(jié) 排列及其奇偶性排列及其奇偶性第第3節(jié)節(jié) 行列式的定義行列式的定義第第4節(jié)節(jié) 行列式的簡單使用與對角線法則行列式的簡單使用與對角線法則第第5節(jié)節(jié) 行列式的計算與性質(zhì)行列式的計算與性質(zhì)第第6節(jié)節(jié) 行列式的降價處理：按行列展開行列式的降價處理：按行列展開第第6節(jié)節(jié) 行列式的降價處理：按行、列展開行列式的降價處理：按行、列展開 降階、降級處理是數(shù)學(xué)處理的基本思路之一。對降階、降級處理是數(shù)學(xué)處理的基本思路之一。對n階階行列式也可使用這一思路：將行列式也可使用這一思路：將n階行列式變成階行列式變成n-1階行列式階行列式進行處理，從而可層層降階到

2、低階行列式進行處理，這便進行處理，從而可層層降階到低階行列式進行處理，這便是行列式的按行或按列展開。是行列式的按行或按列展開。一一 特殊行列式的降階處理特殊行列式的降階處理一般行列式的按行、按列展開一般行列式的按行、按列展開2特殊行列式的計算特殊行列式的計算例例：證明：證明(降階處理降階處理)左端左端 右端右端一 特殊行列式的降階處理更一般地，如下行列式能否降階處理？更一般地，如下行列式能否降階處理？又因又因綜上，有綜上，有一般行列式的按行展開其中其中 上面分析表明，一般上面分析表明，一般n階行列式可按某行展開成該行階行列式可按某行展開成該行元素與其代數(shù)余子式的積的和的形式：元素與其代數(shù)余子式

3、的積的和的形式：此行列式相當(dāng)于在行列式此行列式相當(dāng)于在行列式又因代數(shù)余子式可降階為如下形式又因代數(shù)余子式可降階為如下形式(相等或符號相反相等或符號相反)綜合前述知識知，綜合前述知識知，Aij 與與 Mij 的有如下關(guān)系的有如下關(guān)系即即Aij 可通過計算一個可通過計算一個n-1階行列式得到。階行列式得到。下式表明了行列式可降階處理。下式表明了行列式可降階處理。稱上式為行列式的按第稱上式為行列式的按第i行展開式。行展開式。(i=1,2,n)按第按第 j 列展開行列式列展開行列式 ？行列式的按行、列展開式表明行列式的按行、列展開式表明行列式行列式 = 某一行的元素分別與各自代數(shù)余子式的乘積之和某一行

4、的元素分別與各自代數(shù)余子式的乘積之和對行列式對行列式d?當(dāng)當(dāng)k=i時，是時，是d按第按第i行的展開，仍為行的展開，仍為d；當(dāng)當(dāng)ki時時, 則表示的是則表示的是d的第的第k行元素與另一行元素的代行元素與另一行元素的代數(shù)余子式相乘。其結(jié)果是否仍為數(shù)余子式相乘。其結(jié)果是否仍為d?例，已知行列式例，已知行列式 例：例：當(dāng)當(dāng)ki時時, 不妨設(shè)不妨設(shè) ik，則，則 0.定理定理：設(shè)例例：計算行列式：計算行列式問題問題：與化三角行列式相比，計算量有否變化？：與化三角行列式相比，計算量有否變化？例例：計算：計算問題問題：與化三角行列式相比，計算量有否變化？：與化三角行列式相比，計算量有否變化？注注 意意 行列

5、式按行、列進行展開的著眼點不在于減少計行列式按行、列進行展開的著眼點不在于減少計算量，而在于其理論意義。當(dāng)然在手算具體確定的行算量，而在于其理論意義。當(dāng)然在手算具體確定的行列式時，當(dāng)行列式的某些行與列有大多數(shù)列式時，當(dāng)行列式的某些行與列有大多數(shù) 0 時，能有時，能有效化簡計算，但這種做法卻沒有通用性。效化簡計算，但這種做法卻沒有通用性。三三 特殊行列式的計算特殊行列式的計算(n-1行乘 -a1 加到第n行； n-2行乘 -a1 加到第n-1行，余類推)1 范德蒙德行列式范德蒙德行列式(上邊最后一式右邊又是一個上邊最后一式右邊又是一個 n-1 級的范德蒙德行列式級的范德蒙德行列式)從而有（歸納證明），從而有（歸納證明）