1、第十章第十章 離散小波系統(tǒng)簡(jiǎn)介離散小波系統(tǒng)簡(jiǎn)介 HarrHarr小波的算法變換小波的算法變換 DWTDWT與臨界抽取濾波器組與臨界抽取濾波器組 一維一維DWTDWT分析分析 數(shù)字信號(hào)處理數(shù)字信號(hào)處理 小波變換屬于時(shí)間頻率變換的一種形式。通小波變換屬于時(shí)間頻率變換的一種形式。通過(guò)小波變換能夠非常方便地同時(shí)描述信號(hào)的時(shí)間特過(guò)小波變換能夠非常方便地同時(shí)描述信號(hào)的時(shí)間特性和頻率特性。性和頻率特性。 本課程僅從應(yīng)用的角度出發(fā)，通過(guò)簡(jiǎn)單的變換本課程僅從應(yīng)用的角度出發(fā)，通過(guò)簡(jiǎn)單的變換實(shí)例，介紹實(shí)例，介紹DWTDWT的基本概念和主要應(yīng)用方法。的基本概念和主要應(yīng)用方法。離散小波變換（離散小波變換（DWTDWT）

2、8 8位數(shù)據(jù)的位數(shù)據(jù)的HaarHaar小波變換結(jié)構(gòu)小波變換結(jié)構(gòu) 第一級(jí)系數(shù)由原始數(shù)據(jù)計(jì)算得到；第一級(jí)系數(shù)由原始數(shù)據(jù)計(jì)算得到； 后一級(jí)系數(shù)繼承前一級(jí)后一級(jí)系數(shù)繼承前一級(jí)d d系數(shù)，由前級(jí)系數(shù)，由前級(jí)c c系數(shù)計(jì)系數(shù)計(jì)算新的系數(shù)；算新的系數(shù)； 每個(gè)每個(gè)c c系數(shù)都是由兩個(gè)輸入相加得出；系數(shù)都是由兩個(gè)輸入相加得出； 每個(gè)每個(gè)d d系數(shù)都是由兩個(gè)輸入相減得出。系數(shù)都是由兩個(gè)輸入相減得出。HaarHaar小波變換的運(yùn)算特點(diǎn)小波變換的運(yùn)算特點(diǎn)小波變換后的數(shù)字序列可以采用不同級(jí)別系數(shù)表達(dá)：小波變換后的數(shù)字序列可以采用不同級(jí)別系數(shù)表達(dá)：原始信號(hào)原始信號(hào) x0 x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x0 x

3、1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 第一級(jí)第一級(jí) c10 c11 c12 c13 d10 d11 d12 d13c10 c11 c12 c13 d10 d11 d12 d13 第二級(jí)第二級(jí) c20 c21 d20 d21c20 c21 d20 d21 d10 d11 d12 d13 d10 d11 d12 d13 第三級(jí)第三級(jí) c30 d30c30 d30 d20 d21 d10 d11 d12 d13 d20 d21 d10 d11 d12 d13 每一級(jí)變換都保持?jǐn)?shù)據(jù)量不變。每一級(jí)變換都保持?jǐn)?shù)據(jù)量不變。HaarHaar小波變換的運(yùn)算特點(diǎn)小波變換的運(yùn)算特點(diǎn)例例1 1：對(duì)信號(hào)：對(duì)信號(hào)x=1

4、 0 -3 2 1 0 1 2x=1 0 -3 2 1 0 1 2，采用，采用HaarHaar小波族，小波族，計(jì)算各級(jí)計(jì)算各級(jí)DWTDWT系數(shù)；系數(shù)；變換結(jié)果：變換結(jié)果：第一級(jí)第一級(jí) 1 -1 1 3 -1 5 -1 1 1 -1 1 3 -1 5 -1 1第二級(jí)第二級(jí) 0 4 -2 2 -1 5 -1 1 0 4 -2 2 -1 5 -1 1第三級(jí)第三級(jí) 4 4 -2 2 1 -5 1 -1 4 4 -2 2 1 -5 1 -1HaarHaar小波變換的運(yùn)算特點(diǎn)小波變換的運(yùn)算特點(diǎn) 運(yùn)算結(jié)構(gòu)非常簡(jiǎn)單，只涉及實(shí)數(shù)的加減運(yùn)算，對(duì)運(yùn)算結(jié)構(gòu)非常簡(jiǎn)單，只涉及實(shí)數(shù)的加減運(yùn)算，對(duì)于于N N點(diǎn)數(shù)據(jù)變換，得出全

5、部點(diǎn)數(shù)據(jù)變換，得出全部c c系數(shù)和系數(shù)和d d系數(shù)也只需要系數(shù)也只需要N N數(shù)量級(jí)的實(shí)數(shù)加法，效率很高。數(shù)量級(jí)的實(shí)數(shù)加法，效率很高。 每一級(jí)小波系數(shù)都可以完整表達(dá)信號(hào)，在應(yīng)用中每一級(jí)小波系數(shù)都可以完整表達(dá)信號(hào)，在應(yīng)用中可以根據(jù)需要，控制運(yùn)算的級(jí)別，使系統(tǒng)得到簡(jiǎn)化。可以根據(jù)需要，控制運(yùn)算的級(jí)別，使系統(tǒng)得到簡(jiǎn)化。HaarHaar小波變換的運(yùn)算特點(diǎn)小波變換的運(yùn)算特點(diǎn)c c系數(shù)表達(dá)信號(hào)的低頻分量；系數(shù)表達(dá)信號(hào)的低頻分量；d d系數(shù)表達(dá)信號(hào)的高頻分量。系數(shù)表達(dá)信號(hào)的高頻分量。njnjnjccc2,12, 1njnjnjccd2,12, 1HaarHaar小波變換的頻域特點(diǎn)小波變換的頻域特點(diǎn)2 2點(diǎn)移動(dòng)平

6、均（低通濾波）點(diǎn)移動(dòng)平均（低通濾波）2 2點(diǎn)移動(dòng)差分（高通濾波）點(diǎn)移動(dòng)差分（高通濾波）HaarHaar小波變換的頻域特點(diǎn)小波變換的頻域特點(diǎn)2通道臨界抽取濾波器組的一種實(shí)現(xiàn)形式通道臨界抽取濾波器組的一種實(shí)現(xiàn)形式u每一級(jí)采用完全相同的濾波系統(tǒng)；每一級(jí)采用完全相同的濾波系統(tǒng)；u每一級(jí)濾波對(duì)輸入信號(hào)進(jìn)行高低頻分離；每一級(jí)濾波對(duì)輸入信號(hào)進(jìn)行高低頻分離；u后級(jí)系統(tǒng)保留前級(jí)的高頻分量，對(duì)前級(jí)的后級(jí)系統(tǒng)保留前級(jí)的高頻分量，對(duì)前級(jí)的低頻分量繼續(xù)分離，直到低頻分量只剩下一低頻分量繼續(xù)分離，直到低頻分量只剩下一個(gè)數(shù)據(jù)為止。個(gè)數(shù)據(jù)為止。HaarHaar小波變換的頻域特點(diǎn)小波變換的頻域特點(diǎn)各系數(shù)的頻帶位置如下所示：各系

7、數(shù)的頻帶位置如下所示：HaarHaar小波變換的頻域特點(diǎn)小波變換的頻域特點(diǎn)時(shí)間頻率圖時(shí)間頻率圖HaarHaar小波變換的頻域特點(diǎn)小波變換的頻域特點(diǎn) 高頻信號(hào)的頻率分辨率低，時(shí)間分辨率高，適應(yīng)高頻信號(hào)的頻率分辨率低，時(shí)間分辨率高，適應(yīng)高頻信號(hào)周期短的特征；高頻信號(hào)周期短的特征； 低頻信號(hào)的頻率分辨率高，時(shí)間分辨率低，適應(yīng)低頻信號(hào)的頻率分辨率高，時(shí)間分辨率低，適應(yīng)低頻信號(hào)周期長(zhǎng)的特征；低頻信號(hào)周期長(zhǎng)的特征； 增加分析級(jí)別減少意味著增加低頻頻率分辨率；增加分析級(jí)別減少意味著增加低頻頻率分辨率； 舍棄低級(jí)別系數(shù)意味著舍棄高頻信息。舍棄低級(jí)別系數(shù)意味著舍棄高頻信息。HaarHaar小波變換的特點(diǎn)小波變換

8、的特點(diǎn) 信號(hào)重建意味著用高級(jí)別的系數(shù)計(jì)算低級(jí)別系數(shù)，信號(hào)重建意味著用高級(jí)別的系數(shù)計(jì)算低級(jí)別系數(shù)，直到原始信號(hào)序列；直到原始信號(hào)序列； 信號(hào)重建可以從任何一級(jí)的系數(shù)開(kāi)始進(jìn)行；信號(hào)重建可以從任何一級(jí)的系數(shù)開(kāi)始進(jìn)行；2/, 1, 112,njnjnjdcc2/, 1, 12,njnjnjdccHaarHaar小波變換的反變換：信號(hào)重建小波變換的反變換：信號(hào)重建njnjnjccc2,12, 1njnjnjccd2,12, 1分析系統(tǒng)分析系統(tǒng)重建系統(tǒng)重建系統(tǒng) 進(jìn)行適當(dāng)?shù)南禂?shù)調(diào)整，分析濾波器組和重建濾波器進(jìn)行適當(dāng)?shù)南禂?shù)調(diào)整，分析濾波器組和重建濾波器組可以采用完全相同的結(jié)構(gòu)。將高級(jí)別系數(shù)經(jīng)過(guò)適當(dāng)組可以采用完

9、全相同的結(jié)構(gòu)。將高級(jí)別系數(shù)經(jīng)過(guò)適當(dāng)排布后分別送入相應(yīng)的濾波器，就可以得出較低級(jí)別排布后分別送入相應(yīng)的濾波器，就可以得出較低級(jí)別的系數(shù)，直到恢復(fù)原始信號(hào)。的系數(shù)，直到恢復(fù)原始信號(hào)。HaarHaar小波變換的反變換：信號(hào)重建小波變換的反變換：信號(hào)重建 Haar小波變換的頻域形式可以看作是小波變換的頻域形式可以看作是2通道臨界抽通道臨界抽取濾波器組的一種實(shí)現(xiàn)形式：取濾波器組的一種實(shí)現(xiàn)形式：HaarHaar小波變換與臨界抽取濾波器組小波變換與臨界抽取濾波器組分析濾波器組為抽取濾波器：分析濾波器組為抽取濾波器：HaarHaar小波變換與臨界抽取濾波器組小波變換與臨界抽取濾波器組濾波器卷積方程：濾波器卷積

10、方程： mmmnxmhmnhmxny2通道抽取濾波器卷積方程：通道抽取濾波器卷積方程： 101212NmdmnxmhnynyHaarHaar小波變換與臨界抽取濾波器組小波變換與臨界抽取濾波器組采用采用1階階FIR濾波器時(shí)：濾波器時(shí)： nxhnxhnyd21120 ncncncjjj2121njnjnjccc2,12, 1njnjnjccd2,12, 1 ncncndjjj2121HaarHaar小波變換與臨界抽取濾波器組小波變換與臨界抽取濾波器組 100112mjjmhmncnc 101112mjjmhmncnd 110mh 111mh對(duì)應(yīng)的多相分量為對(duì)應(yīng)的多相分量為HaarHaar小波變換與

11、臨界抽取濾波器組小波變換與臨界抽取濾波器組 1111zE類似可以得到重建系統(tǒng)的多相分量類似可以得到重建系統(tǒng)的多相分量 111121zR容易看出滿足準(zhǔn)確重建關(guān)系。容易看出滿足準(zhǔn)確重建關(guān)系。分解系統(tǒng)的多相實(shí)現(xiàn)：分解系統(tǒng)的多相實(shí)現(xiàn)：HaarHaar小波變換與臨界抽取濾波器組小波變換與臨界抽取濾波器組 Harr Harr小波變換采用的是一階濾波器組小波變換采用的是一階濾波器組; ; 推廣到推廣到N N階濾波器組階濾波器組, ,可以形成其他高階的離散小波變換?？梢孕纬善渌唠A的離散小波變換。N N階系統(tǒng)構(gòu)成的階系統(tǒng)構(gòu)成的2 2通道濾波器組系數(shù)變換關(guān)系如下：通道濾波器組系數(shù)變換關(guān)系如下：DWTDWT與與2

12、 2通道臨界抽取濾波器組通道臨界抽取濾波器組低通濾波器組低通濾波器組高通濾波器組高通濾波器組 Nmjjmhmncnc00112 Nmjjmhmncnd01112利用利用MATLABMATLAB函數(shù)函數(shù)wfilterswfilters，可以得出各種常用小波，可以得出各種常用小波的濾波器組系數(shù)。的濾波器組系數(shù)。%haar%haar，db1db1，,db44 Daubechies,db44 Daubechies小波族；小波族；%coif1%coif1，,coif5 Coiflet,coif5 Coiflet小波族小波族%sym2%sym2，,sym8,sym8， Symmlet Symmlet小波族

13、小波族%bior1.1,bior6.8 Bioethigonal%bior1.1,bior6.8 Bioethigonal小波族小波族常用常用DWT系數(shù)及頻率響應(yīng)系數(shù)及頻率響應(yīng)%選擇小波組，得出各濾波器的系數(shù)；選擇小波組，得出各濾波器的系數(shù)；wname=db2;h0,h1,g0,g1=wfilters(wname);subplot(3,4,1),stem(h0),title(h0);%低通分析濾波器低通分析濾波器subplot(3,4,2),stem(h1),title(h1); %高通分析濾波器高通分析濾波器subplot(3,4,3),stem(g0),title(g0); %低通綜合濾波

14、器低通綜合濾波器subplot(3,4,4),stem(g1),title(g1); %高通綜合濾波器高通綜合濾波器%各濾波器對(duì)應(yīng)的頻率響應(yīng)；各濾波器對(duì)應(yīng)的頻率響應(yīng)；H0,w=freqz(h0,1);H1,w=freqz(h1,1);G0,w=freqz(g0,1);G1,w=freqz(g1,1);subplot(3,4,5),plot(w,abs(H0);subplot(3,4,6),plot(w,abs(H1);subplot(3,4,7),plot(w,abs(G0);subplot(3,4,8),plot(w,abs(G1);常用常用DWT系數(shù)及頻率響應(yīng)系數(shù)及頻率響應(yīng)% %連續(xù)小波的

15、函數(shù)連續(xù)小波的函數(shù)f,p,x=wavefun(wname,10);f,p,x=wavefun(wname,10);% %用密集的采樣以便畫出時(shí)間波形；用密集的采樣以便畫出時(shí)間波形；subplot(3,4,9),plot(x,f);title(subplot(3,4,9),plot(x,f);title(尺度函數(shù)尺度函數(shù)););subplot(3,4,10),plot(x,p);title(subplot(3,4,10),plot(x,p);title(小波函數(shù)小波函數(shù)); ); % %用稀疏的采樣以便得出與用稀疏的采樣以便得出與DWTDWT對(duì)應(yīng)的頻譜對(duì)應(yīng)的頻譜f,p,x=wavefun(wna

16、me,1); f,p,x=wavefun(wname,1); H0,w=freqz(f,1);H1,w=freqz(p,1);H0,w=freqz(f,1);H1,w=freqz(p,1);subplot(3,4,11),plot(w,abs(H0);subplot(3,4,11),plot(w,abs(H0);subplot(3,4,12),plot(w,abs(H1);subplot(3,4,12),plot(w,abs(H1);常用常用DWT系數(shù)及頻率響應(yīng)系數(shù)及頻率響應(yīng)HaarHaar小波的結(jié)果：一階小波的結(jié)果：一階Daubechies2Daubechies2小波的結(jié)果：小波的結(jié)果：3

17、3階階Coiflets1Coiflets1小波的結(jié)果：小波的結(jié)果：5 5階階 在上述程序的最后表達(dá)了在上述程序的最后表達(dá)了DWTDWT與連續(xù)小波與連續(xù)小波族的關(guān)系，可以看到，離散小波的濾波器系數(shù)族的關(guān)系，可以看到，離散小波的濾波器系數(shù)（有限沖激響應(yīng)）可以看作是對(duì)連續(xù)小波的等（有限沖激響應(yīng)）可以看作是對(duì)連續(xù)小波的等間距采樣得到的。間距采樣得到的。DWT系數(shù)與連續(xù)小波族的關(guān)系系數(shù)與連續(xù)小波族的關(guān)系 1 1 選定小波系統(tǒng)，計(jì)算出各相關(guān)濾波器系數(shù)：選定小波系統(tǒng)，計(jì)算出各相關(guān)濾波器系數(shù)： 分析濾波器：分析濾波器： 低通低通h0 h0 高通高通h1h1 重建濾波器：重建濾波器： 低通低通g0 g0 高通高

18、通g1g1 2 2 考慮到考慮到2 2通道臨界抽取特點(diǎn)，可以將待分析數(shù)通道臨界抽取特點(diǎn)，可以將待分析數(shù)據(jù)序列長(zhǎng)度切割為據(jù)序列長(zhǎng)度切割為2 2n n；DWTDWT分析步驟分析步驟 3 3 可以將原始信號(hào)序列看作可以將原始信號(hào)序列看作0 0級(jí)級(jí)c c系數(shù)；系數(shù)；DWTDWT分析步驟分析步驟4 4 利用遞推關(guān)系，由低級(jí)系數(shù)計(jì)算高級(jí)系數(shù)：利用遞推關(guān)系，由低級(jí)系數(shù)計(jì)算高級(jí)系數(shù)： Nmjjmhmncnc00112 Nmjjmhmncnd01112 ncnx0 例：例：3 3階階Daubechies2Daubechies2小波的分析系數(shù)為：小波的分析系數(shù)為：DWT的計(jì)算的計(jì)算 4830. 08365. 02

19、241. 01294. 00mh 1294. 02241. 08365. 04830. 01mh重建系數(shù)為：重建系數(shù)為： 1294. 02241. 08365. 04830. 00mg 4830. 08365. 02241. 01294. 01mgDWT的計(jì)算的計(jì)算 11118365. 01294. 02241. 04830. 04830. 02241. 01294. 08365. 0zzzzzR對(duì)應(yīng)多相分量為：對(duì)應(yīng)多相分量為： 11111294. 08365. 02241. 04830. 04830. 02241. 08365. 01294. 0zzzzzE 11001zzRzE 分析時(shí)，需

20、要設(shè)定信號(hào)的邊分析時(shí)，需要設(shè)定信號(hào)的邊界條件！界條件！DWT的計(jì)算的計(jì)算 ?1001000001hchcc 3000112mmhmncnc 87654321nx周期性邊界周期性邊界對(duì)稱性邊界對(duì)稱性邊界補(bǔ)零邊界補(bǔ)零邊界DWT的計(jì)算的計(jì)算218765432187常用邊界條件設(shè)置常用邊界條件設(shè)置788765432112008765432100DWT的計(jì)算的計(jì)算如何重建原始數(shù)據(jù)？如何重建原始數(shù)據(jù)？ 先對(duì)輸入序列插零，再進(jìn)行濾波器計(jì)算；先對(duì)輸入序列插零，再進(jìn)行濾波器計(jì)算；計(jì)算時(shí)同樣需要設(shè)置邊界條件！計(jì)算時(shí)同樣需要設(shè)置邊界條件！%選擇小波組，得出各濾波器的系數(shù)；選擇小波組，得出各濾波器的系數(shù)；wname=

21、db2; h0,h1,g0,g1=wfilters(wname);%將數(shù)據(jù)序列送入分析濾波器，得出分解系數(shù)；將數(shù)據(jù)序列送入分析濾波器，得出分解系數(shù)；x=1,2,3,4,5,6,7,8;c,d=dwt(x,h0,h1,mode,per);%利用重建濾波器和分解系數(shù)，可以重建原始數(shù)據(jù)利用重建濾波器和分解系數(shù)，可以重建原始數(shù)據(jù)x1=idwt(c,d,g0,g1,mode,per);利用利用MATLAB進(jìn)行一維進(jìn)行一維DWT分析分析邊界條件的設(shè)定：邊界條件的設(shè)定：dwtmode(per); 周期化邊界條件；周期化邊界條件；其他常用邊界條件還有：其他常用邊界條件還有：sym 對(duì)稱性邊界對(duì)稱性邊界zpd

22、補(bǔ)補(bǔ)0邊界邊界spd 一階平滑邊界一階平滑邊界在在MATLAB中，信號(hào)序列編號(hào)從中，信號(hào)序列編號(hào)從1開(kāi)始！開(kāi)始！利用利用MATLAB進(jìn)行一維進(jìn)行一維DWT分析分析信號(hào)分段：信號(hào)分段： 由于由于DWTDWT采用二進(jìn)變換的形式，為了提高分采用二進(jìn)變換的形式，為了提高分析效率，減少分析誤差，通常先將信號(hào)段長(zhǎng)度析效率，減少分析誤差，通常先將信號(hào)段長(zhǎng)度截取為截取為 ，然后根據(jù)不同要求采用不同的級(jí)，然后根據(jù)不同要求采用不同的級(jí)別進(jìn)行分析（最高為別進(jìn)行分析（最高為N N級(jí)）。級(jí)）。利用利用MATLAB進(jìn)行一維進(jìn)行一維DWT分析分析2N一維一維DWTDWT分析：分析：c,n=wavedec(x,m, wnam

23、e);c,n=wavedec(x,m, wname);輸入時(shí)間序列輸入時(shí)間序列x x，分析級(jí)數(shù)，分析級(jí)數(shù)m m，采用的小波族采用的小波族wnamewname；輸出對(duì)應(yīng)輸出對(duì)應(yīng)DWTDWT系數(shù)，各子帶的元素個(gè)數(shù)；系數(shù)，各子帶的元素個(gè)數(shù)；利用利用MATLAB進(jìn)行一維進(jìn)行一維DWT分析分析一維一維DWTDWT的信號(hào)重建的信號(hào)重建x = waverec (c,n,wname)x = waverec (c,n,wname)輸入對(duì)應(yīng)輸入對(duì)應(yīng)DWTDWT系數(shù)，系數(shù)，各子帶的元素個(gè)數(shù)，各子帶的元素個(gè)數(shù)，采用的小波族采用的小波族wnamewname；輸出時(shí)間序列輸出時(shí)間序列x x；利用利用MATLAB進(jìn)行一維進(jìn)行一維DWT分析分析n=0:0.01:8.191;a=cos(n.3);plot(n,a)