1、 第十章第十章 第四節(jié)第四節(jié)機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 第一類曲面積分第一類曲面積分二、第一類曲面積分的二、第一類曲面積分的概念與性質(zhì)概念與性質(zhì)一、問題的提出一、問題的提出三、第一類曲面積分的三、第一類曲面積分的計(jì)算計(jì)算oxyz例：例：設(shè)曲面形構(gòu)件具有連續(xù)面密度設(shè)曲面形構(gòu)件具有連續(xù)面密度),(zyx 類似求平面薄板質(zhì)量的思想類似求平面薄板質(zhì)量的思想, , 采用采用kkkkS ),( 可得可得 nk 10lim M),(kkk “ “分割，近似分割，近似, , 求和求和, , 取極限取極限” ” 的方法的方法, ,求質(zhì)量求質(zhì)量 M.其中其中, , 表示表示 n 小

2、塊曲面的直徑的小塊曲面的直徑的最大值最大值 ( (曲面的直徑為其上任意兩點(diǎn)間距離的最大者曲面的直徑為其上任意兩點(diǎn)間距離的最大者). ). 機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 一、問題的提出一、問題的提出二、第一類曲面積分的概念二、第一類曲面積分的概念機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 dSzyxf),(iiiniiSf ),(lim10 ，叫做被積函數(shù)叫做被積函數(shù)其中其中),(zyxf.叫積分曲面叫積分曲面 .叫面積元素叫面積元素dS機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 說明：說明：（1 1）曲曲面面 的的質(zhì)質(zhì)量量：dSzy

3、xm),( （2 2）若）若 1),( zyxf，則，則 dS的面積。的面積。 （3 3）若若 是是封封閉閉曲曲面面，則則積積分分號(hào)號(hào)記記為為 。 則對面積的曲面積分存在則對面積的曲面積分存在. .在光滑曲面在光滑曲面 上連續(xù)上連續(xù), , 對面積的曲面積分與對弧長的曲線積分性質(zhì)類似對面積的曲面積分與對弧長的曲線積分性質(zhì)類似. . 積分的存在性積分的存在性. . ),(zyxf若若 Szyxgkzyxfkd),(),(21 線性性質(zhì)線性性質(zhì). .則則為常數(shù)為常數(shù)設(shè)設(shè),21kk SzyxgkSzyxfkd),(d),(21機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 對積分域的可加性

4、對積分域的可加性. .,21 則有則有 Szyxfd),( 1d),(Szyxf 2d),(Szyxf若若 是分片光滑的是分片光滑的, ,例如分成例如分成兩片光滑曲面兩片光滑曲面機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 中值定理中值定理. . 保號(hào)性保號(hào)性. .關(guān)于曲面的輪換對稱性：關(guān)于曲面的輪換對稱性： 曲面具有輪換對稱性是指：曲面關(guān)于直線曲面具有輪換對稱性是指：曲面關(guān)于直線x = y = z 對稱。對稱。 如果曲面如果曲面 有有輪換對稱性，它的方程輪換對稱性，它的方程 F (x ,y ,z)=0有如下特征：將有如下特征：將 F (x ,y ,z) 中的變量中的變量 x ,

5、y ,z 的位置任的位置任 意互換，不會(huì)改變意互換，不會(huì)改變 F 的表達(dá)式。的表達(dá)式。機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 對稱性對稱性. .機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 1 1、如果如果 曲面曲面 有輪換對稱性，那么被積函數(shù)有輪換對稱性，那么被積函數(shù) f ( x, y, z) 中的變量中的變量 x, y, z 無論怎樣互換，積分值無論怎樣互換，積分值不會(huì)改變。即不會(huì)改變。即2 2、如果曲面如果曲面 關(guān)于平面關(guān)于平面 y= x 對稱，則對稱，則 dSyxzfdSzyxf ),(),(dSyzxfdSxzyf ),(),( dSzxyfdSzy

6、xf ),(),(曲面曲面 關(guān)于平面關(guān)于平面 y= z 或或 z=x 對稱有類似的性質(zhì)對稱有類似的性質(zhì) 。oxyz定理定理: : 設(shè)有光滑曲面設(shè)有光滑曲面yxDyxyxzz ),(),(:f (x, y, z) 在在 上連續(xù)上連續(xù), ,存在存在, , 且有且有 Szyxfd),( yxDyxf),( Szyxfd),(),(yxzyxyxzyxzyxdd),(),(122 三、對面積的曲面積分的計(jì)算法三、對面積的曲面積分的計(jì)算法 則則曲面積分曲面積分證明證明: :yxD),(kkk yxk)( 機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 Szyxfd),(kkkkSf ),(

7、nk 10lim kSyxyxzyxzyxkyxdd),(),(1)(22 yxkkkykkxzz)( ),(),(122 0lim nk 1yxkkkykkxzz)( ),(),(122 yxyxzyxzyxfyxDyxdd),(),(1),(22 ),(yxz ),(,(kkkkzf ( ( 光滑光滑) )機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 Szyxfd),(kkkkSf ),( nk 10lim ;1),(,22dxdyzzyxzyxfxyDyx ( , , )f x y z dS ),(:. 1yxzz 若曲面若曲面則則按照曲面的不同情況分為以下四種情形：按照曲

8、面的不同情況分為以下四種情形：機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 ;1),(,22dxdzyyzzxyxfxzDzx dSzyxf),(則則),(. 2zxyy ：若曲面若曲面.1,),(22dydzxxzyzyxfyzDzy dSzyxf),(),(. 3zyxx ：若曲面若曲面則則機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 4 4 若若曲曲面面 的的方方程程為為：),(vuxx ，),(vuyy ，),(vuzz ，Dvu ),(，則則 ( , , )f x y z dS Dvuzvuyvuxf),(),(),(dudvvuyxvuxzvuzy222

9、),(),(),(),(),(),( |uuuvvvijkxyzdudvxyz Dvuzvuyvuxf),(),(),(解：解： 其中其中 1 ：0 z, , 3 ：122 yx. xyDdxdyx11 321機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 例例1 1： 2xdS, 01 xdS由對稱性，易知由對稱性，易知0 xzoy11 2 xz1 2 3 xyD討討論論3 時(shí)時(shí), , 將將投投影影域域選選在在xoz上上. . （注意：（注意：21xy 分為前后分為前后兩片）兩片） 3xdS 31xdS 32xdS （前后兩片投影相同）（前后兩片投影相同） xzDzxdxdzyy

10、x2212機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 : 11,02xzDxzx 1120212xdzdxxx xzoy11 2 xz1 2 3 xyDxzD221xzDxdxdzx 2121+221xxdxx 奇函數(shù)奇函數(shù)11221112211dxx dxx 112arcsin x 單位圓的面積單位圓的面積例例2 2：解解機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 dxdyzzdSyx221 dxdy3 dSzyx)(222 1)(8222dSzyxdxdyxxyD 2324.324a 0,0,: yxayxDxy 1238dSx xaadyxdx020324

11、 adxxax02)(324由輪換對稱性由輪換對稱性xozy例例3 3： 設(shè)設(shè)2222:azyx ),(zyxf計(jì)算計(jì)算.d),( SzyxfI解解: : 錐面錐面22yxz 222yxaz .2,2222azayx 1 設(shè)設(shè) ,2),(222ayxyxDyx ,22yx ，022yxz 當(dāng)當(dāng)22yxz 當(dāng)當(dāng)與上半球面與上半球面的交線為的交線為為上半球面夾于錐面間的部分，為上半球面夾于錐面間的部分， 則它在則它在 xoy面上的投影域?yàn)槊嫔系耐队坝驗(yàn)?yxD,122222yxaazzyx 又又機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 則則 222yxaa 1d)(22SyxI

12、yxDyx)(22 dd2022220 aaa)258(614 a yxddxozy1yxD機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 思考思考: : 若此例中被積函數(shù)改為若此例中被積函數(shù)改為 ),(zyxf,22yx ，022yxz 當(dāng)當(dāng)22yxz 當(dāng)當(dāng)計(jì)算結(jié)果如何計(jì)算結(jié)果如何 ? ? 2),(222ayxyxDyx 機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 解：解：球面的參數(shù)方程為：球面的參數(shù)方程為： cossinsincossinRRzRyRx 200 222),(),(),(),(),(),( yxxzzy sin2R ddRRID sin)cos1(

13、22248 R 四、四、物理應(yīng)用物理應(yīng)用的面密度的面密度為曲面為曲面設(shè)設(shè) ; dSM 機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 :)2(的質(zhì)心坐標(biāo)的質(zhì)心坐標(biāo) ,x dSy dSz dSxyzdSdSdS是常數(shù)，則是常數(shù)，則若若 111,xxdSyydSzzdSAAA稱為形心稱為形心的面積的面積是是其中其中 A的質(zhì)量：的質(zhì)量： )1(機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量三個(gè)坐標(biāo)軸及坐標(biāo)原點(diǎn)三個(gè)坐標(biāo)軸及坐標(biāo)原點(diǎn)對對 ,)(22 dSzyIx ,)(22 dSxzIy ,)(22 dSyxIz dSzyxI )(2220的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的轉(zhuǎn)動(dòng)慣

14、量或一點(diǎn)或一點(diǎn)空間一條直線空間一條直線對對)()3(00PL dSdIL 20的距離的距離或點(diǎn)或點(diǎn)上任一點(diǎn)到直線上任一點(diǎn)到直線是曲面是曲面其中其中)(00PLd 特別地特別地機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 質(zhì)點(diǎn)的引力質(zhì)點(diǎn)的引力處質(zhì)量為處質(zhì)量為對位于對位于0000),()4(mzyx ,)(300 dSrxxGmFx dSryyGmFy300)( 202020)()()(zzyyxxr ：其中其中,)(300 dSrzzGmFz ,zyxFFFF 為引力常數(shù)。為引力常數(shù)。G例例5 5：計(jì)算計(jì)算,d)(22 SyxI其中其中 是球面是球面由輪換對稱性：由輪換對稱性： S

15、zSySxddd222 SzSySxddd SzyxId)(32222 Szyxd)(34 Sxd4 Sxd4 48)3(4142 解解: : 顯然球心為顯然球心為,)1 , 1 , 1(半徑為半徑為3 x利用質(zhì)心公式利用質(zhì)心公式 Sxd Sd).(2222zyxzyx 機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 解：解：由由對對稱稱性性知知 0 yxFFdSzyxzGFz 23222)(0 機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 柱面的參數(shù)方程為：柱面的參數(shù)方程為：， zzRyRx sincos 200 hz222),(),(),(),(),(),( zy

16、xzxzzzyR dSzyxzGFz 23222)(0 )1(222hRRG 機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 dzdzRRzGDz 2322)( hdzzRRzdG0232220)( )1(2,0,022hRRGF 所求引力所求引力例例7 7： 設(shè)有一顆地球同步軌道通訊衛(wèi)星設(shè)有一顆地球同步軌道通訊衛(wèi)星, , 距地面高度距地面高度 h = 36000 km,機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 運(yùn)行的角速度與地球自轉(zhuǎn)角速度相同運(yùn)行的角速度與地球自轉(zhuǎn)角速度相同, , 試計(jì)算該通訊衛(wèi)星的覆蓋面積與地球表面積的比試計(jì)算該通訊衛(wèi)星的覆蓋面積與地球表面積的

17、比. . ( (地球半徑地球半徑 R = = 6400 km ) km )解：解：yzxohR R建立坐標(biāo)系如圖建立坐標(biāo)系如圖, , 覆蓋曲面覆蓋曲面 的的半頂角為半頂角為 , , 利用球面參數(shù)方程，則利用球面參數(shù)方程，則 ddsind2RS 衛(wèi)星覆蓋面積為衛(wèi)星覆蓋面積為 SAd 0202dsindR)cos1(22 RhRR coshRhR 22 機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 故通訊衛(wèi)星的覆蓋面積與地球表面積的比為故通訊衛(wèi)星的覆蓋面積與地球表面積的比為24 RA )(2hRh )640036000(236000 %5 .40 由以上結(jié)果可知由以上結(jié)果可知, ,

18、衛(wèi)星覆蓋了地球衛(wèi)星覆蓋了地球 31以上的面積以上的面積, , 故使用三顆相隔故使用三顆相隔32 角度的通訊衛(wèi)星就幾乎可以覆蓋地球角度的通訊衛(wèi)星就幾乎可以覆蓋地球全表面全表面. . 說明說明: : 此題也可用二重積分求此題也可用二重積分求 A ( (見下冊見下冊P188 P188 例例1) .1) . yzxohRRhRhRA 22 內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)1. 1. 定義定義: : Szyxfd),(iiiiSf ),( ni 10lim 2. 2. 計(jì)算計(jì)算: : 設(shè)設(shè),),( , ),(:yxDyxyxzz 則則 Szyxfd),( yxDyxf,(),(yxz)221yxzz yxdd( (曲面

19、的其他兩種情況類似曲面的其他兩種情況類似) )注意：注意：要充分利用球面參數(shù)方程、柱面參數(shù)方程、要充分利用球面參數(shù)方程、柱面參數(shù)方程、對稱性、質(zhì)心公式等簡化計(jì)算。對稱性、質(zhì)心公式等簡化計(jì)算。 機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 習(xí)題習(xí)題9-4(P276) 3，5，6， 9，10，11第五節(jié) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 作業(yè)作業(yè)備用題備用題1. 1. 已知曲面殼已知曲面殼)(322yxz ,22zyx 求此曲面殼在平面求此曲面殼在平面 z1以上部分以上部分 的面密度的面密度的質(zhì)量的質(zhì)量 M . . 解解: : 在在 xoy 面上的投影為面上的投影為 ,2:22 yxDy

20、x故故SMd d41d322020 )41d(418162202 yxyxyxDdd)(41322 13 機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 2. 2. 設(shè)設(shè) 是四面體是四面體0,0,0,1 zyxzyx的表面的表面, , 計(jì)算計(jì)算.d)1(12SyxI 解解: : 在四面體的四個(gè)面上在四面體的四個(gè)面上yxz 1yxdd3xyxDyx 10,10:1zyx11o0 zyxdd0 yxzddzxzDxz 10,10:0 xzyddzyzDzy 10,10:同上同上平面方程平面方程Sd投影域投影域機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 yyzzd)1(1

21、d10210 xxzzd)1(1d10210 2ln)13(233 yyxxIxd)1(1d)13(10210機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 3 3、解：解：dxdyzzdSyx221 dxdy2)1(01 ,2dxdy 機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 積分曲面積分曲面 ：yz 5 , 25| ),(22 yxyxDxy投投影影 dszyx)(故故 xyDdxdyx)5(2 dd 5020)5cos(2.2125 解：解：面對稱，面對稱，面和面和關(guān)于關(guān)于拋物面拋物面yozxozyxz22 ( (1 為為第第一一卦卦限限部部分分曲曲面面) ) 機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄

22、上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 14依對稱性知依對稱性知dxdyzzdSyx221 dxdyyx22)2()2(1 原式原式 dSxyz | dSxyz 14dxdyyxyxxyxyD2222)2()2(1)(4 dd 102222041sincos4 dd21050412sin22 duuu251)41(41 .42015125 機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 dxdyyxyxxyxyD2222)2()2(1)(4 241 u令令5 5、 計(jì)算計(jì)算,d222 zyxSI其中其中 是介于平面是介于平面之間的圓柱面之間的圓柱面.222Ryx 分析分析: : 若

23、用直角坐標(biāo)將曲面分為前后若用直角坐標(biāo)將曲面分為前后Hzz ,0oHxyz解解1:1: 利用參數(shù)方程計(jì)算利用參數(shù)方程計(jì)算( (或左右或左右) )兩片兩片, ,則計(jì)算較繁則計(jì)算較繁. . 機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 柱面的參數(shù)方程為：柱面的參數(shù)方程為： zzRyRx sincos 200 Hz,d222 zyxSI機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 zzRyRx sincos 200 Hz222),(),(),(),(),(),( zyxzxzzzyR zDdzdzRRI 22,02220 HdzzRRd RHarctan2 zzd5 5、

24、計(jì)算計(jì)算,d222 zyxSI其中其中 是介于平面是介于平面之間的圓柱面之間的圓柱面.222Ryx zRSd2d 則則 HzRzRI022d2 RHarctan2 Hzz ,0oHxyz解解2:2: 微元法，取曲面面積元素微元法，取曲面面積元素機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 yxD6 6、計(jì)算計(jì)算,d zS其中其中 是球面是球面2222azyx 被平面被平面)0(ahhz 截出的頂部截出的頂部. .解解: :yxDyxyxaz ),( ,:2222222:hayxDyx 221yxzz 222yxaa zSd 20da0)ln(2122222haaa haaln2 yxDyxayxa222dd 2