1、第九章 直線、平面、簡單幾何體網(wǎng)絡(luò)體系總覽下血的管.性質(zhì).褻示.型修空間睥 條宜樊Ui"i 筌平行公H空間長抵與干面T-安-T州閶相交卜“&i：i 內(nèi)一堆線定算為曲性為配用 點到面的即制也交一判定性質(zhì)j定期和定，性現(xiàn)定為西平面間距隨斜支-二面角及平而用室阿向航既有工概忠空間向用產(chǎn)間向盤的運算及送算排!（空間向讓的理區(qū)迄策考點目標定位1 .直線與直線、直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系2 .線線、線面、面面的平行與垂直的判定和性質(zhì)，三垂線定理3 .兩條異面直線所成的角，直線與平面所成的角，二面角 4 .點到平面的距離，線面距離，平行平面的距離，異面直線的距離，兩點間的球面距離5

2、.空間向量及其加法、減法，空間向量的坐標表示，空間向量的數(shù)量積6 .直棱柱、平行六面體及正棱錐的性質(zhì)，球的體積及表面積的計算復(fù)習方略指南1 .立體幾何不外乎兩大問題，一類是空間位置關(guān)系的論證，這類問題應(yīng)熟練掌握公理、定 理、定義或用空間向量來論證，位置關(guān)系的論證要注意其間的轉(zhuǎn)化.如線面平行可轉(zhuǎn)化為線線平行等；另一類問題是空間量（空間角、距離、體積、側(cè)面積）的計算，如線面角、二面角的求解2 .立體幾何在高考中，選擇題、填空題一般出中等難度的題，解答題中可能會有難題.3 .歸納總結(jié)，理線串點，從知識上可分為：（1）平面的基本性質(zhì)；（2）兩個特殊的位置關(guān)系，即線線、線面、面面的平行與垂直；（3）三個

3、角、三個距離.根據(jù)每部分內(nèi)容選擇典型的例題, 總結(jié)出解題方法，對于空間位置關(guān)系的論證及空間角與距離的求解，還要注意把空間向量貫徹、滲透其中，通過一題多解，使學生把所學知識真正學活、會用 .4 .抓主線攻重點，可以針對一些重點內(nèi)容進行訓練，平行和垂直是位置關(guān)系的核心，而線面垂直又是核心中的核心，線面角、二面角、距離均與線面垂直密切相關(guān).因此對于這部分內(nèi)容復(fù)習中要強化，并要注意用空間向量去解空間位置關(guān)系及空間量.5 .復(fù)習中要加強數(shù)學思想方法的總結(jié)與提煉，立體幾何中蘊涵著豐富的思想方法， 如割補思想、降維轉(zhuǎn)化思想,即化空間問題到平面圖形中去解決，又如證線面間的位置關(guān)系常需經(jīng)過多次轉(zhuǎn)換才能獲得解決，

4、又如可把空間位置關(guān)系及空間量的求解轉(zhuǎn)化為空間向量的運算，這些無不體現(xiàn)著化歸轉(zhuǎn)化的思想.因此自覺地學習和運用數(shù)學思想方法去解題，常能收到事半功倍的效果 .9.1 平面、空間兩條直線鞏固夯實基礎(chǔ)一、自主梳理1 . 平面的基本性質(zhì)(1)公理1:如果一條直線上的兩點在一個平面內(nèi),則這條直線上所有的點都在這個平面內(nèi)它常用于判定直線在平面內(nèi)、點在平面內(nèi) .(2)公理2:如果兩個平面有一個公共點 ,那么它們還有其他的公共點 ,且所有這些公共點的集合是一條過這個公共點的直線 .它的作用有五個：判定兩個平面相交；證明點在直線上：證明三點共線；證明三線共 點;畫兩個平面的交線.(3)公理3:經(jīng)過不在同一條直線上的

5、三點有且只有一個平面.推論 1:經(jīng)過一條直線和這條直線外的一點,有且只有一個平面.推論2:經(jīng)過兩條相交直線,有且只有一個平面.推論3:經(jīng)過兩條平行直線,有且只有一個平面.公理3及三個推論的作用：確定平面；證明兩平面重合；證明點、線共面；作截面、 輔助面 .2 .空間兩條直線的位置關(guān)系(1) 相交直線有且僅有一個公共點.(2)平行直線在同一平面內(nèi),沒有公共點.(3)異面直線不同在任何一個平面內(nèi),沒有公共點 .3 .異面直線定義 : 不同在任何一個平面內(nèi)的兩條直線叫做異面直線 .4 .異面直線的判定方法方法一 :利用定理“過平面外一點與平面內(nèi)一點的直線,和平面內(nèi)不經(jīng)過該點的直線是異面直線”判定 .

6、方法二 :利用反證法,即假設(shè)這兩條直線不是異面直線,推導(dǎo)出矛盾.5 .異面直線所成的角定義:直線a、b是異面直線，經(jīng)過空間一點。分別引直線a' / a,b' / b,a'、b'所成的 銳角(或直角)叫做異面直線a、 b 所成的角 .(2)兩條異面直線所成的角的范圍為(0° ,90° ).(3)異面直線所成角的求法A. 平移 ,解三角形(平移主要有三種方法,即直接平移、中位線平移、補形平移).8 .供9(B)選用空間向量.由于異面直線所成角的范圍是(0° ,90°,如果平移后在三角形中求出的角是鈍角,則取它的補角.9 .兩條

7、異面直線的公垂線定義:把和兩條異面直線都垂直相交的直線叫做兩條異面直線的公垂線注:與兩條異面直線都垂直的直線有無數(shù)條；與兩條異面直線都垂直、相交的直線有一條.10 兩條異面直線的距離定義:兩條異面直線的公垂線在這兩條異面直線間的線段（公垂線段）的長度，叫做兩條異面直線的距離.11 平行公理公理4:平行于同一直線的兩直線平行.該公理揭示了平行線具有傳遞性.它的主要作用是溝通了 “線線平行”與“線面平行”之間的內(nèi)在聯(lián)系，提供了判斷空間直線平行及點、線共面的方法 .12 等角定理及推論等角定理：如果一個角的兩邊和另一個角的兩邊分別平行并且方向相同，那么這兩個角相等.推論:如果兩條相交直線和另兩條相交

8、直線分別平行，那么這兩組直線所成的銳角（或直角）相等.13 .斜二測畫法斜二測畫法是借助平面表現(xiàn)空間的主要手法，其原則是：（1）平行性保持不變；（2）平行于x軸的線段在直觀圖中長度不變，平行于y軸的線段在直觀圖中長度變?yōu)樵瓉淼囊话?二、點擊雙基1.若a、b是異面直線，則只需具備的條件是（）A.a 平面a ,b 平面a , a與b不平行B.a 平面a , b 平面3, a A 3 =l,a與b無公共點C.a/直線c, bA c=A,b與a不相交D.a,平面a , b是a的一條斜線答案：C2.下列說法正確的是（）A.水平放置的正方形的直觀圖可能是梯形B.兩條相交直線的直觀圖可能平行C.互相垂直的兩

9、條直線的直觀圖仍然互相垂直D. 一個角一定是平面圖形答案：DS-ABC中,D為SC的中點，則BD與SA所成角的余弦值3 .（2004北京朝陽模擬）如圖，正四面體 是（）, 3A.一3. 2B. 一3. 3C.6解析：取 AC的中點E,連結(jié)DE、BE,則DE / SA,/ BDE就是BD與SA所成的角.設(shè)SA=a,BD2 DE2 BE2 _ 32BD ?DE - 6貝U BD=BE= a,DE= a,cos/ BDE=22答案：C4 .如圖，正方體 ABCD AiBiCiDi的棱長為a,那么(1)哪些棱所在直線與直線BA i成異面直線? (2)直線BAi與CCi所成角的大小為 ；(3)直線BAi

10、與BiC所成角的大小為異面直線 BC與AA i的距離為 ；(5)異面直線 BAi與CCi的距離為 .答案：(i)DiCi、DiD、CiC、CiBi、DC、AD(2)45 °(3)60 °(4)a (5)a5 .正六棱柱 ABCDEF AiBiCiDiEiFi的底面邊長為 i,側(cè)棱長為 J2 ,則這個棱柱的側(cè)面對角線EiD與BCi所成的角是.解析：連結(jié)FEi、FD,則由正六棱柱相關(guān)性質(zhì)可得FEi/ BCi,在 EFD 中,EF=ED=i, / FED=i20 ° , FD= EF2 ED2 2EF ?ED?cosi20 = 3.在 EFEi 和 EEiD 中，易得

11、EiF=EiD= J(J2)2 i = J3 ,， EiFD 是等邊三角形，/FEiD=60 ° .而/FEiD即為EiD與BCi所成的角.答案：60 °誘思實例點撥【例i】 如圖，四面體 ABCD中，E、G分別為BC、AB的中點，F(xiàn)在CD上，H在AD上, 且有 DF : FC=2 ： 3, DH ： HA=2 : 3.求證：EF、GH、BD交于一點.證明：連結(jié) GE、HF, E、G 分別為 BC、AB 的中點，GE/AC.又: DF : FC=2 : 3, DH HA=2 ： 3,HF/AC.，GE/ HF.故 G、E、F、H 四點共面.又: EF 與 GH 不能平行，E

12、F與GH相交，設(shè)交點為 O.貝UOC面 ABD , OC面 BCD,而平面 ABD n平面 BCD=BD.EF、GH、BD 交于一點. 講評:證明線共點，常采用證兩直線的交點在第三條直線上的方法，而第三條直線又往往是兩平面的交線.【例2】A是 BCD平面外白一點，E、F分別是BC、AD的中點，(1)求證:直線EF與BD是異面直線；(2)若AC，BD,AC=BD,求EF與BD所成的角.證明：用反證法.設(shè)EF與BD不是異面直線，則EF與BD共面，從而DF與BE共面，即AD與 BC共面，所以A、B、C、D在同一平面內(nèi)，這與A是 BCD平面外的一點相矛盾.故直線EF與 BD是異面直線.(2)解:取CD

13、的中點G,連結(jié)EG、FG,則EG / BD,所以相交直線 EF與EG所成的銳角或直角即 為異面直線EF與BD所成白角.在RtAEGF中,求得/ FEG=45 °，即異面直線EF與BD所成的 角為45° .鏈接提示(1)證明兩條直線是異面直線常用反證法；(2)求兩條異面直線所成的角，首先要判斷兩條異面直線是否垂直，若垂直，則它們所成的角為90。；若不垂直，則利用平移法求角，一般的步驟是“作(找)一證一算”.注意，異面直線所成角的范圍是(0,萬.【例 3】 長方體 ABCD AiBiCiDi 中，已知 AB=a,BC=b,AA i=c，且 a>b,求:(1)下列異面直線之

14、間的距離 :AB與CCi；AB與AiCi;AB與BiC.(2)異面直線DiB與AC所成角的余弦值.(i)解:BC為異面直線 AB與CCi的公垂線段，故AB與CCi的距離為b.%GAA i為異面直線 AB與AiCi的公垂線段，故AB與AiCi的距離為c.過B作BE，BiC,垂足BB？BC bc為E,則BE為異面直線 AB與BiC的公垂線,BE= -i=，即AB與BiC的距離BiC,b2 c2bc2/ a bc2.4b2 c2 AF=(2)解法一：連結(jié)BD交AC于點。，取DDi的中點F,連結(jié)OF、AF,則OF / DiB,/ AOF就是異 面直線DiB與AC所成白角.2,2,a b i. AO= ,OF=- BDi =，在 AOF 中,cos/AOF=AO2 OF2 AF2 _a2 b22AO?OF= (a2 b2)(a2 b2 c2)解法二：如下圖，在原長方體的