1、會計學(xué)1線性時間線性時間(shjin)序列分析及其應(yīng)用序列分析及其應(yīng)用第一頁，共38頁。 tt1t-1ttt-1t-k+11rexp,expln+Rlnln+Rln+R+R.+R.tttttttA CrnCArnPrppPr kkrrr 連續(xù)復(fù)合：連續(xù)復(fù)合年利率為 ，則資產(chǎn)的現(xiàn)值與其未來價值的關(guān)系為： =。連續(xù)復(fù)合收益率：資產(chǎn)的簡單毛收益率的自然對數(shù)稱為連續(xù)復(fù)合收益率或?qū)?shù)收益率，1。連續(xù)復(fù)合多期收益率是它所包含的連續(xù)復(fù)合單期收益率之和：11111,1tttttttt-1tt-1tt0t0,it-1ttt+Dln+D-lnR =-1.-kNp tiitiitittttwR wRDPPPrPPP

2、R Rzrr資產(chǎn)組合收益率：R為權(quán)重，是 的簡單收益率。分紅支付：設(shè)是一個資產(chǎn)在第天和第 天之間的分紅, 是第 個周期末的價格.這樣分紅并沒有包含在 中,因此 時刻連續(xù)復(fù)合收益率和簡單凈收益率分別變?yōu)?，超額收益率:簡單超額收益率Z,對數(shù)超額收益率第2頁/共38頁第二頁，共38頁。 22t221.2x -3x =3.=exp1,2exp 2exp1tKKRVar r收益率的分布性質(zhì)叫做超額峰度，因為正態(tài)分布的峰度若一個分布有正的超額峰度，則稱此分布具有厚尾性。對數(shù)正態(tài)分布:一個常用的假定是:資產(chǎn)的對數(shù)收益率是獨立同分布的且都服從均值為 、方差為的正態(tài)分布.那么在此假定下,簡單收益率是獨立同分布

3、的對數(shù)正態(tài)分布的隨機變量,均值和方差分別為:E穩(wěn)定tr分布：是正態(tài)分布的自然推廣它們在加法運算下是穩(wěn)定的，這一點符合連續(xù)復(fù)合收益率 的要求。穩(wěn)定分布能刻畫股票的歷史收益率所顯示出來的超額峰度，然而非正態(tài)分布沒有有限方差。這一點與大部分金融理論相矛盾。柯西分布是其一個例子。第3頁/共38頁第三頁，共38頁。22221221222222 1,1,01,01,ttrrX NXNXXP XN 正態(tài)分布的尺度混合：在正態(tài)分布尺度混合的假定下，對數(shù)收益率 服從均值為 、方差為的正態(tài)分布。但是是一個隨機變量，它服從一個正的分布。正態(tài)分布的有限混合的一個例子是：，其中 是服從伯努利分布的隨機變量，即P且，較小

4、而相對較大。的較大值使混合把更多的“質(zhì)量”放在其分布的尾部，來自于的收益率的百分比較低，表明大多數(shù)收益率服從一個簡單的正態(tài)分布。正態(tài)分布有限混合的優(yōu)點包括：保持了正態(tài)分布的易處理性、具有有限高階矩和能刻畫超額峰度。然而，我們很難估計混合參數(shù)。第4頁/共38頁第四頁，共38頁。11t22ttt21122t1221tt|,., ,1,.,;=;exp,;221ln,.,;=ln;ln 2ln2ttTtttTtttttTf r rrrf rrf rf rrrf rrf r收益率的似然函數(shù)：若條件分布是均值為 、方差為的正態(tài)分布，則 由參數(shù)和組成，數(shù)據(jù)的似然函數(shù)為：其中是第一個觀測 的邊際密度函數(shù)，其

5、對數(shù)似然函數(shù)為：22Tt。書中圖標表明簡單收益率和對數(shù)收益率的基本模式相似。第5頁/共38頁第五頁，共38頁。2.12.22.32.42.52.62.72.82.92.102.11TsayARMA第二章線性時間序列分析及其特征平穩(wěn)性相關(guān)系數(shù)和自相關(guān)函數(shù)白噪聲和線性時間序列簡單的自回歸模型簡單滑動平均模型簡單的模型單位根非平穩(wěn)性季節(jié)模型帶時間序列誤差的回歸模型協(xié)方差矩陣的相合估計長記憶模型第6頁/共38頁第六頁，共38頁。 1111+-tkk,.,.,.,.,kkktktttttttttttt ltrttrrrrrrrrrrr2.1平穩(wěn)性平穩(wěn)性是時間序列分析的基礎(chǔ)。時間序列稱為嚴平穩(wěn)的，如果對所

6、有的 任意正整數(shù) 和任意 個正整數(shù)的聯(lián)合分布與的聯(lián)合分布是相同的，換言之，嚴平穩(wěn)性要求的聯(lián)合分布在時間的平移變換下保持不變。時間序列稱為弱平穩(wěn)的，如果 的均值與 和的協(xié)方差不隨時間而改變。更具體的說，是弱平穩(wěn)的，若 -l-l0-a=b cov=|t=1,.,=cova=b=tttlltlttttllErrrlrTrrrlVar r；，只依賴于。在實際中，假定我們有T個數(shù)據(jù)觀測點，弱平穩(wěn)性意味著數(shù)據(jù)的時間圖顯示出T個值在一個常數(shù)水平上下以相同幅度波動。在應(yīng)用中,弱平穩(wěn)性可以對未來觀測進行預(yù)測。協(xié)方差，稱為 的間隔為 的自協(xié)方差，它又兩個重要性質(zhì)：；第7頁/共38頁第七頁，共38頁。 -l-l0-

7、0-2.2covcov=1=-11.0=0. =tt ltlttttllttt llllltlACFrrrlrrrrlVar rVar r Var rlrl相關(guān)系數(shù)和自相關(guān)函數(shù)自相關(guān)函數(shù)：與的相關(guān)系數(shù)稱為 的間隔為 的自相關(guān)系數(shù),記為,在弱平穩(wěn)，性的假定下它只是 的函數(shù):。我們有：，和另外，一個弱平穩(wěn)序列是序列不相關(guān)的當且僅當對所有都有的間隔為 的樣本自相關(guān)系數(shù)定義為： 1212-,-0-101Ttt lt lTttttlr trrr tlTrE rlT ，若是一個獨立同分布序列，滿足，則對任意固定的正整數(shù) ，漸近地服從均值為 、方差為的正態(tài)分布。第8頁/共38頁第八頁，共38頁。 01121

8、202t:=0;:0;12=0t-|t-|ZZ100 1-2llltliijtHHttatiorTjlHrLjungBoxQ m檢驗單個ACF：檢驗統(tǒng)計量通常是 比,，如果是一個平穩(wěn)高斯序列并且滿足當時，則該 比漸近地服從標準正態(tài)分布。決策規(guī)則是：當 比時拒絕，其中是標準正態(tài)分布的分位點?；斐蓹z驗：金融應(yīng)用中常需要檢驗 的幾個自相關(guān)系數(shù)是否同時為零。統(tǒng)計量為： 210122021:.=0;:1,.,0.mllmaitT TTHHimrQ mmQ mH。對某在為滿足一定矩條件的獨立同分布序列的假定下，漸近地服從自由度為 的分布。當時拒絕。第9頁/共38頁第九頁，共38頁。 200= +,tttt

9、tttit ittitrrrrraaaa2.3白噪聲和線性時間序列時間序列稱為一個白噪聲序列，如果是一個具有有限均值和有限方差的獨立同分布隨機變量序列。特別地，若 還服從均值為 、方差為的正態(tài)分布，則稱這個序列為高斯白噪聲。對白噪聲序列，所有自相關(guān)函數(shù)為零。線性時間序列：時間序列稱為線性序列，如果它能寫成：是白噪聲序列， 表示時間序列在 時刻出現(xiàn)了新的信息，因此將 稱為時刻 的 222022-i-,+,0.itttttttaiatitiittrrrarE rVar raVar riar 新息或擾動。據(jù)定了 的動態(tài)結(jié)構(gòu)，稱為 的權(quán)重。若 是弱平穩(wěn)的，利用的獨立性可得 的均值和方差其中是 的方差。

10、因，所有必須是收斂序列,即i相應(yīng)地，隨著的增大，遠處的擾動對 的影響會逐漸消失。第10頁/共38頁第十頁，共38頁。 -101-121=+tttttttarrrrraa2.4簡單的自回歸模型CRSP價值加權(quán)指數(shù)的月收益率 具有統(tǒng)計顯著的間隔為的自相關(guān)系數(shù)，這個事實說明延遲的收益率在預(yù)測 時可能會有用。利用這樣的預(yù)測公用的一個簡單模型是：，是均值為0、方差為的白噪聲序列。第11頁/共38頁第十一頁，共38頁。 00111000221212.4.11=+= =1-1120=01=0=0=11-tttttatARrrrARrrVar r 模型假定序列是弱平穩(wěn)的，則可得或E，這個結(jié)果有兩個含義： 、若

11、則 的均值存在； 、 的均值為 當且僅當，因此，對平穩(wěn)過程，常數(shù)項與 的均值有關(guān)，意味著E。，在時成立，因為方差是非負有限的。第12頁/共38頁第十二頁，共38頁。 21 11-12t1121t1111100,=012,0,011.801Var(111lllalllllllARlARrrARlRlA 由后一當時，模型的自相關(guān)函數(shù)：對式定義，當時，的弱平穩(wěn)模型，有)=且：的自相關(guān)函數(shù)滿足：。這個性質(zhì)表明弱平穩(wěn)序列的自相關(guān)函數(shù)從的指數(shù)速度衰減。對正的方程，因為，故有開，模型始以比率為的自相關(guān) 1211ARACF函數(shù)圖像呈現(xiàn)指數(shù)衰減，對負的 ，模型的有上下兩個都以比率指數(shù)衰減的圖像組成。第13頁/共

12、38頁第十三頁，共38頁。 01122t1122212122-=0=p,p,p0ttttlllllllARrrrrACFARACFBBBBARARAR 模型：的的性質(zhì)：序列的滿足二階差分方程 1， 是向后推移算子，即。2.4.2在實際中怎樣識別模型：在實際應(yīng)用中，一個序列的階 是未知的，必須根據(jù)實際數(shù)據(jù)來決定，求解階 的問題叫做模型的定階。一般有兩種決此定 的方式說明：平穩(wěn)法：1、利2PACF用偏相關(guān)函數(shù)、用某個信息準則函數(shù)第14頁/共38頁第十四頁，共38頁。t0,11,1 t-11t0,21,2 t-12,2 t-22t0,31,3 t-12,3 t-23,3 t-332=+e ,=+e

13、,=+e.tttPACFrrrrrrrrr、用某個信息準則函數(shù)偏相關(guān)函數(shù)：平穩(wěn)時間序列的PACF是它的ACF的一個函數(shù)：，第一個(y )式子中的估計量 稱為 間隔為1的樣本偏自相關(guān)函數(shù)，第二個式子中的估計 稱為 的間隔為2的偏自相關(guān)函數(shù)，以此類推，它表示在AR（1）模型基礎(chǔ)上添加的 對 的貢獻，以此類推。因此，對一個(y )AR（p）模型，間隔為p的樣本偏自相關(guān)函數(shù)不應(yīng)為零，而對所有jp, 應(yīng)接近于零。利用這一性質(zhì)來決定階p。1,1tr2,2trtrt-2r2,2第15頁/共38頁第十五頁，共38頁。AkaikeAICAIC信息準則：常用信息準則選擇規(guī)則：使達到最小值第16頁/共38頁第十六頁

14、，共38頁。參數(shù)估計：普通二乘法(chngf)模型的檢驗：1、殘差序列是白噪聲 2、Ljung-Box統(tǒng)計量（混成檢驗）第17頁/共38頁第十七頁，共38頁。2.4.3 擬合優(yōu)度衡量平穩(wěn)模型擬合優(yōu)度的一個常用的統(tǒng)計量是 統(tǒng)計量，其定義為：對于平穩(wěn)AR（p）模型,假設(shè)(jish)有t個觀測： 越大，表示模型對數(shù)據(jù)擬合得越好。21R 殘差平方和總的平方和212221|1,1()TttptTttpar tTRRrr ,則變?yōu)?R2R第18頁/共38頁第十八頁，共38頁。2.4.4 預(yù)測預(yù)測是時間序列分析中一個重要(zhngyo)應(yīng)用，假定我們在時間指標為h的點上，要預(yù)測 ，則時間指標h為預(yù)測原點，l

15、為預(yù)測步長。,1h lrl 10111121101111, 1|,11hhp hphhhhhhphhhi hiihhhhARrrrar rrrrE rrrra 由模型有在均方損失函數(shù)下,給定F，的點預(yù)測為條件期望:F對應(yīng)的誤差為e可以(ky)證明：對平穩(wěn)AR（p）序列，具有均值回轉(zhuǎn)的性質(zhì)，即當 +htlr lE r 時，收斂于。第19頁/共38頁第十九頁，共38頁。01122t230111213t112.5MA ,=-tttittttiiARrrrarrrra簡單滑動平均模型引進模型有幾種方式:一種是把它當做白噪聲序列的簡單推廣,另一種方式是把它當成參數(shù)受限制的無窮階的自回歸模型.我們考慮無窮

16、階的模型:這樣一個模型是沒有實際意義的,但我們可以假定系數(shù) 滿足某種限制:其中系數(shù)只依賴單個參數(shù) ，i1。要使1i01101|1irr1tttttttrrcacB a上式中的模型是平穩(wěn)的，必須，從而對 的貢獻隨 的增加以指數(shù)速度衰減。由上式變形可得:和式第20頁/共38頁第二十頁，共38頁。2.5.1 MA模型(mxng)的性質(zhì)1MA模型(mxng)總是弱平穩(wěn)的，23. 自相關(guān)函數(shù) 12220t12=,Var(1.tqE rcr期望為：方差為：)01121110120.,.10,10,11MA(1),1ACF01AFC0MA(1)ACF1t lt l tt ltt ltllcrr rrrll

17、假定對兩端乘以有取期望，得到，且時， 于是有，其中 即，對間隔為 的不為 ，但所有間隔大于 的都是 ，即模型的在間隔為以后是截尾的。MA（q）序列只與前q個延遲值線性相關(guān)，是一個有限(yuxin)記憶模型。4可逆性 112111211,| 1ttttttttMAaraarrra將模型改為重復(fù)迭代可得： 說明 是現(xiàn)在和過去收益率的線性組合。要使模型合理 要求|。第21頁/共38頁第二十一頁，共38頁。 tt110220112.5.20=02.5.3,.,lqltMArlqrMA qrcrc識別的階自相關(guān)函數(shù)如果時間序列 具有自相關(guān)函數(shù) ，若，但對有，則 服從一個模型。估計最大似然法 有兩種方法：

18、1、假設(shè)初始的“擾動”都是0，這樣由aaa可遞推得到計算似然函數(shù)所需要的“擾動”，這種方法稱為條件似然法。2、把初始“擾動”a當做模型的附加參數(shù)與其他參數(shù)一起估計出來，這種方法稱為精確似然法。第22頁/共38頁第二十二頁，共38頁。 101110111121102021|122222.5.4hhhhhhhhhhhhhhhhhhhMArcaar lE rFcarr larraaMMAMArcar lclA對于模型, 取條件期望有 e向用預(yù)測由于模型是有限記憶的，它前兩步預(yù)測的誤差為e對于模型, 的點預(yù)測很快會達 =序列 到的均值。第23頁/共38頁第二十三頁，共38頁。 ARMAMAACFMA

19、qACFqARPACFAR pPACFpMAAR對和模型總結(jié)，其具有以下性質(zhì)：對模型，是定階的有力工具，因為對序列，是 步截尾的；對模型，是定階的有力工具，因為過程，是 步截尾的；序列總是平穩(wěn)的，而對序列，當其特征根的模都小于1時，它是平穩(wěn)的；對一個平穩(wěn)序列，向前多不預(yù)測收斂到序列的均值，預(yù)測誤差的方差收斂于序列的方差。第24頁/共38頁第二十四頁，共38頁。 111112211211011021110112.61,1,2.6.11,11-2+1=11-111,ttttattallARMAARMArraaARMAARMAE rrlACFARACF 簡單的模型模型：左邊是模型的部分，右邊是部分。

20、要使該模型有意義，要求。模型的性質(zhì) 與AR一樣，Var 因此,ARMA模型的很像的 不同之 11,ACFAACF處在于它的指數(shù)衰減是從間隔2開始的，且不能在有限間隔后截尾。ARMA模型的P很像M的P不同之處在于它的指數(shù)衰減是從間隔2開始的，也不能在有限間隔后截尾。第25頁/共38頁第二十五頁，共38頁。 111110101,1-.-1-.-1- -.2.6.2,=.-1pqi itit iiipqpqpttttARMAARMA p qrrARMAE rraaBBBBa利用向一般的模型一般的模型的形式為：。如果特征方程所有根的絕對值小于 ，則該模型是弱后推算因子,以上模型可以寫成：平穩(wěn)的。這時，

21、模型的無條件均值為：2.6.3 識別ARMA模型(mxng)可用推廣的自相關(guān)函數(shù)(EACF)來確定ARMA過程的階.思路是:如果能得到ARMA模型(mxng)AR部分的相合估計,則能導(dǎo)出MA部分,對于導(dǎo)出的MA序列,用ACF決定其階.第26頁/共38頁第二十六頁，共38頁。 +0111+102.6.4|,0=;00;0=a2.6.521hh lhhhh l ih l ihhpqlhiihiihhpqi t itit iiitARMAlr lE rFr lililir liraaarlilililielrr lARMaarRAA 用模型進行預(yù)測向前 步預(yù)測：時，當時，當時，。預(yù)測誤差為：。模型的

22、當三種表、示、0112011112131tpttttqtaMAaarrr表示 、表示 第27頁/共38頁第二十七頁，共38頁。 i1112.72.7.1,=1tthhthh lhttttitpplplpMAplaaaaaaip單位根非平穩(wěn)性隨機游動：步預(yù)測：，隨機游動模型的點預(yù)測都是序列在預(yù)測原點的值，從而，該過程不是均值回轉(zhuǎn)的。上式 向的表示為:這時e可知對所有 有，的影響不隨時間衰減前，任何，從而序過去的“列有強擾動”對記憶性。第28頁/共38頁第二十八頁，共38頁。110112.7.2,ttttttttppE ppptaapaa帶漂移的隨機游動從而：，其中考慮AR，MA，ARMA及帶漂移

23、的隨機游動模型中的常數(shù)項，有如下結(jié)論：1、MA（q）中的常數(shù)項，就是序列的均值。2、平穩(wěn)的AR（p）模型或平穩(wěn)的ARMA（p,q）模型,常數(shù)項與均值有關(guān)(yugun)：3、帶漂移的隨機游動模型，常數(shù)項是時間斜率。012=1p第29頁/共38頁第二十九頁，共38頁。01,2.7.3ttptr與帶漂移的隨機游動序列相比,期望依賴于時間，方差不隨時間變化。它可以通過簡單的回歸分析移除掉時間趨勢而轉(zhuǎn)換帶趨為平勢向的時間序列穩(wěn)時間序列。2.7.4 一般的單位根非平穩(wěn)性自回歸求和滑動(hudng)平均（ARIMA）模型因為其AR多項式有單位根1，故ARIMA模型稱為是單位根非平穩(wěn)的。像隨機游動模型一樣,A

24、RIMA模型有強記憶性。處理單位根非平穩(wěn)性的一般方法是差分化的方法，可用一階差分和二階差分。如果一階差分服從一個平穩(wěn)可逆的ARMA（p,q）模型，則稱其符合ARIMA（p,1,q）過程。2.7.5單位根檢驗第30頁/共38頁第三十頁，共38頁。28季節(jié)模型有些金融時間序列，呈現(xiàn)出一定的循環(huán)或周期性，這樣的時間序列叫做季節(jié)性時間序列。絕大部分與環(huán)境有關(guān)(yugun)的時間序列都會顯示出很強的季節(jié)性。有些應(yīng)用中，季節(jié)性是次要的，可以把它從數(shù)據(jù)中消除，這個過程叫做季節(jié)性調(diào)整。11=12.8.1-1ssssttt ststtttyyyByByyyB y，算子叫做季節(jié)性差分化。正規(guī)差分化指季節(jié)性差分化對

25、于一個周期為 的季節(jié)性時間序列，季節(jié)性差分指：第31頁/共38頁第三十一頁，共38頁。2.8.2 多重季節(jié)模型我們引入下面特殊(tsh)的季節(jié)性時間序列模型： ，在文獻中稱為航空模型。其中 s 是序列的周期， 是白噪聲序列， 。它被廣泛地應(yīng)用于季節(jié)性時間序列的建模。1111ssttBB xBBa1,1 ta1112211122(1)(1)(1)(1)-=1+1+,1+1+01,1, ,1=0sstttttt st stsssslMAwBB xBB aaaaawACFllss s 多重季節(jié)性模型：的為：，對，但有。第32頁/共38頁第三十二頁，共38頁。2.9 帶時間序列誤差的回歸模型(mxng)在許多應(yīng)用中，主要的興趣在于研究兩個時間序列的關(guān)系。如在金融市場中，我們研究個股收益率和市場指數(shù)收益率的關(guān)系。第33頁/共38頁第三十三頁，共38頁。1313111,11333,1331:(1),(1),ttttttttttttttrrer