1、(C) f(x)g(x)f(b)g(b)(D) f(x)g(x)f(a)g(a)2000年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)二試題、填空題(本題共5小題，每小題3分，滿分15分，把答案填在題中橫線上arctanxx,E為4階單位矩陣，且B(EA)1(EA)則二、選擇題(本題共5小題，每小題3分，共15分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)(A) f(0)是f(x)的極大值.(B) f(0)是f(x)的極小值.(C)點(diǎn)(0,f(0)是曲線yf(x)的拐點(diǎn).(D)f(0)不是f(x)的極值，點(diǎn)(0,f(0)也不是曲線(2)(4)ln(1設(shè)函數(shù)y2(x曲線y2x3)y(x)由方程2xy所確定，則dyXO

2、dx7Kx-21(2x1)ex的斜漸近線方程為(EB)1符合題目要求，把所選項(xiàng)前的字母填在題后的括號(hào)內(nèi).)(1)設(shè)函數(shù)f(x)x人,丁在(bx)內(nèi)連續(xù)，且limxf(x)0,則常數(shù)a,b滿足()(A)a0,b0.(B)a0,b0.(C)a0,b0.(D)a0,b0.(2)設(shè)函數(shù)f(x)滿足關(guān)系式f(x)-2f(x)x(0)f(x)的拐點(diǎn).(3)設(shè)f(x),g(x)是大于零的可導(dǎo)函數(shù),且f(x)g(x)f(x)g(x)0,則當(dāng)axb時(shí),(A) f(x)g(b)f(b)g(x)(B)f(x)g(a)f(a)g(x)三、(本題滿分5分)設(shè)f(lnx)ln(1x)，計(jì)算f(x)dx.x四、(本題滿分5

3、分)xS(t)表示正方形D位于直線l左下方部分的面積，試求0s(t)dt,(x0).五、(本題滿分5分)求函數(shù)f(x)x2ln(1x)在x0處的n階導(dǎo)數(shù)fn(0)(n3).六、(本題滿分6分)x設(shè)函數(shù)S(x)o|costdt,(1)當(dāng)n為正整數(shù)，且nx(n1)時(shí)，證明2nS(x)2(n1)；求lim突.xx(本題滿分7分)水量為V,流出湖泊的水量為V,已知1999年底湖中A的含量為5mo,超過國家規(guī)定指63標(biāo).為了治理污染，從2000年初起，限定排入湖泊中含A污水的濃度不超過m0.問至多需要V經(jīng)過多少年，湖泊中污染物A的含量降至m以內(nèi)(注：設(shè)湖水中A的濃度是均勻的)八、(本題滿分6分)設(shè)函數(shù)f

4、(x)在0,上連續(xù)，且0f(x)dx0,0f(x)cosxdx0,試證明：在(0,)內(nèi)至少存在兩個(gè)不同的點(diǎn)1,2，使f(1)f(2)0.九、(本題滿分7分)(4)若lirnosin6xxf(x)3X0，則lim6一匯為()x0 x2(A)0.(B)6.x具有特解ye,y2(C)36.(D).2xex,y33ex的3階常系數(shù)齊次線性微分方程是(A)yyyy0.(C)y6y11y6y0.(B)yyyy0.(D)y2yy2y0.設(shè)xoy平面上有正方形D(x,y)0 x1,0y1及直線l:xyt(t0).若七、某湖泊的水量為V,每年排入湖泊內(nèi)含污染物A的污水量為V,流入湖泊內(nèi)不含A的6已知f(x)是周

5、期為5的連續(xù)函數(shù)，它在x0的某個(gè)鄰域內(nèi)滿足關(guān)系式f(1sinx)3f(1sinx)8x(x)其中(x)是當(dāng)x0時(shí)比x高階的無窮小，且f(x)在x1處可導(dǎo)，求曲線yf(x)在點(diǎn)(6,f(6)處的切線方程.十、(本題滿分8分)設(shè)曲線yax2(a0,x0)與y1x2交于點(diǎn)A,過坐標(biāo)原點(diǎn)。和點(diǎn)A的直線與曲線yax2圍成一平面圖形.問a為何值時(shí)， 該圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體體積最大？最大體積是多少？十一、(本題滿分8分)函數(shù)f(x)在0,)上可導(dǎo)，f(0)1且滿足等式f(x)f(x)(1)求導(dǎo)數(shù)f(x);(2)證明：當(dāng)x0時(shí)，成立不等式e2000年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)二試題解析一、填空題

6、f(t)dt0,f(x)1成立十二、(本題滿分6分)11設(shè)2,.10求解方程2B2A2xA4x十三、(本題滿7分)0已知向量組11,1具有相同的秩，且3可由100,AT,BT.其中8B4xab2,31與向量組,102,3線性表出，求a,b的值.是的轉(zhuǎn)置,1392,20,36317(1)【答案】1/6(ln21)dx2xyln2(xdyydx)dxdy.2xyln2(xyy)1y.當(dāng)x0時(shí)y1,以此代入，得yln21,所以dyx0【答案】一3【詳解】 由于被積函數(shù)在x2處沒有定義， 則該積分為廣義積分照不定積分計(jì)算，再對(duì)其求極限即可.arctanxx【詳解】【詳解】lim-x0ln12x3_3_

7、3ln12x3:2x3limx0arctanxx2x3洛limx0dz16x26x21(2)設(shè)函數(shù)yy(x)由方程2xyxy所確定，則dyx02,方法1：對(duì)方程2xyxy兩邊求微分，有由所給方程知，當(dāng)xy1代入上式,有l(wèi)n2dxdxdy.所以，dyx0(ln21)dx.方法2：兩邊對(duì)x求導(dǎo)數(shù),視y為該方程確定的函數(shù)，有(ln21)dx.對(duì)于廣義積分，可以先按作積分變量替換，令、x2t,x2t2dx2tdt,(4)【答案】dx2(x7)F2Tdt0(t29)t1arctanty2x1kxyf(x)的斜漸近線的計(jì)算公式:limxxxlimf(x)kxxxx設(shè)limf(x)0矛盾，不選(B)和(C)

8、.故選(D).x(2)【答案】C【定理應(yīng)用】判斷極值的第二充分條件：設(shè)函數(shù)f(x)在x0出具有二階導(dǎo)數(shù)且f(x0)0,Jim(y2x)1人12eu2,lim(2x1)ex2x令一ulim(e)所以，x總之，曲線(5)【答案】lim(空一1u0u方向有斜漸近線u2u)e1:ulim(二u0uy2x1.當(dāng)x1y(2x1)e，的斜漸近線方程為y2x1000120002300034eu)211時(shí)，類似地有斜漸近線y2x1.1.1【詳解】先求出(EB)然后帶入數(shù)值，由于B(E1_一A)(EA),所以，一一、1一，一1，一(EB)E(EA)(EA)，一1_，一、1，一(EA)(EA)(EA)(EA)111

9、2(EA)2(EA)2000124002046000681000二、選擇題【答案】D【詳解】排除法：如果a0,則在()內(nèi)f(x)的分母ebx必有零點(diǎn)x0,從而f(x)在xx0處不連續(xù)，與題設(shè)不符.不選(A),若b0,則無論a0還是a0均有l(wèi)imf(x)x， 與題f(x0)0,那么：(1)當(dāng)f(x0)0時(shí)，函數(shù)f(x)在x0處取得極大值；(2)當(dāng)f(X0)0時(shí)，函數(shù)f(x)在X0處取得極小值；【詳解】令等式f(x)f(x)2X中X0,得f(0)0f(0)20,無法利用判斷極值的第二充分條件，故無法判斷是否為極值或拐點(diǎn)再求導(dǎo)數(shù)(因?yàn)橄率接疫叴嬖?，所以左邊也存?：2f(X)(Xf(x)12f(x)

10、f(x)以x0代入，有f(0)1,所以f(x)f(0).f(x),f(0)limlim1.x0 x0 x0 x從而知，存在x0去心鄰域，在此去心鄰域內(nèi)，f(x)與x同號(hào)，于是推知在此去心鄰域內(nèi)當(dāng)x0時(shí)曲線yf(x)是凸的，在此去心臨域內(nèi)x0時(shí)曲線yf(x)是凹的，點(diǎn)(0,f(0)是曲線yf(x)的拐點(diǎn)，選(C).【答案】A【分析】由選項(xiàng)答案可知需要利用單調(diào)性證明，關(guān)鍵在于尋找待證的函數(shù).題設(shè)中已知f(x)f(x)g(x)f(x)g(x)0,想到設(shè)函數(shù)為相除的形式一.g(x)【詳解】f(x)f(x)g(x)f(x)g(x)c設(shè)F(x),則F(x)，20,g(x)g(x)則F(x)在axb時(shí)單調(diào)遞

11、減，所以對(duì)axb,F(a)F(x)F(b),即f(a)f(x)f(b)g(a)g(x)g(b)得f(x)g(b)f(b)g(x),axb,(A)為正確選項(xiàng).(4)【答案】(C)【分析】本題有多種解法：(1)將含有f(x)的要求極限的表達(dá)式湊成已知極限的表達(dá)式，或反之；(2)利用極限與無窮小的關(guān)系，從已知極限中解出f(x)代入要求極限式中；(3)將具體函數(shù)用佩亞諾余項(xiàng)泰勒公式展開化簡(jiǎn)原極限【詳解】方法1:湊成已知極限所以6f(x)6xxf(x)6xsin6xsin6xxf(x).6xlimx0sin6xx6limx06cos6K3x2(由于limx06(1cos6x)cosx:3x212-x21

12、22口(6x)2lim一 J一36x0 x212cos(6x):-(6x)lim6x0f(x)2xsin6xxsin6xxf(x)36036方法2:由極限與無窮小關(guān)系，sin6xxf(x)由已知極限式解出從而所以方法3:從而lxm0asin6xxf(x)6f(x)2xxim06f(x)2xlim3ax3axf(x)sin6xax36x66cos6x3x2將sin6x在sin6xsin6xlimx0(5)【答案】3.人axsin6xax36xsin6x3xsin6x極限的四則運(yùn)算1222(6x)2lim-2-rx0 x236x0處按佩亞諾余項(xiàng)泰勒公式展開至xf(x)x6f(x)2x【詳解】由特解

13、y1解 的 對(duì) 應(yīng) 關(guān) 系 知道,因此特征方程為2(r1)(r3!,y2limax03THx項(xiàng):,33,3、(x)6x36x(x),-,、一3,3、6xxf(x)36x(x)3xlimx0sin6xxf(x)2xe6f(x)2x6xsin6x3636limx033、等03x36對(duì)照常系數(shù)線性齊次微分方程的特征方程、(x3)3x36.特征根與x1為特征方程的二重根；由y33e可知11為特征方程的單根,)、232)-1)rrr10,由常系數(shù)齊次線性微分方程與特征方程的關(guān)系，得該微分方程為yyyy0.方法1：為了求不定積分，首先需要寫出f(x)的表達(dá)式.為此，令lnxt,有xetln(1x)f(t)

14、f(lnx)ln(1et)tef(x)dxln(1eX)dxln(1_xXe)dexln(1Xe)XXeedx1ex分部積分xln(1Xe)XX1ee,x-dx1ex拆項(xiàng)xln(1Xe)(1xln(1Xe)1dXxln(1Xe)1dXxln(1Xe)1dXXJdxeXe彳X1e1X1e1dXdex方法2:作積分變量替換,xln(1命xXe)lntf(X)dX,1f(lnt)-dtln(1t)tln(1Eeex)C1)t(1t)ln(1t)t2dt1ln(1t)d-分部積分ln(1t)tln(1t)t11()dtt1t11dtd(1t1t部分分式求和t)ln(1t)tlntln(1t)Cexln

15、(1ex)xln(1ex)C.四【詳解】先寫出面積S(t)的(分段)表達(dá)式,當(dāng)0t1時(shí)，圖形為三角形，利用三角形的面積公式：12S(t)-t2；當(dāng)1t2時(shí)，圖形面積可由正方形面積減去小三角形面積，其中由于xyt與y1交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為t1,于是，小三角形的邊長為：1(t1)2t,所以-121212S(t)12(2t)212(t24t4)-t22t1；當(dāng)t2時(shí)，圖形面積就是正方形的面積：S(t)1,則12-t2,0t1,212S(t)1-(2t),1t2,1,2t.11316(x1)6(x2)62xx)S(t)dt2S(t)dt121dtx1.-x30 x161321xxx1x263x1x2五【詳解

16、】xx12當(dāng)0 x1時(shí)，S(t)dt-tdt002x1當(dāng)1x2時(shí)，S(t)dtoS(t)dtx1S(t)dt3x;6112-t2dt02x,1122。2)2dtx當(dāng)x2時(shí)，0S(t)dtx因此oS(t)dt方法1：按萊布尼茨高階導(dǎo)數(shù)公式：(n)(n)1(n1)k(nk)(k)(uv)uvCnUvLCnUVLUV為了求ln(1x)的n階導(dǎo)數(shù)，設(shè)yln(1x),(4)y31般地，可得(n)y(1)n1(n1)!(1nx)ln(1(n)x)(1)n1(n1)!設(shè)uln(1(1x)nx2,利用上述公式對(duì)函數(shù)展開，由于對(duì)x2求導(dǎo)，從三階導(dǎo)數(shù)開始就為零，故展開式中只含有前三項(xiàng)(n),f(x)n1(1)(n

17、1)!(1x)n2nx(1)n2(n2)!(1x)n1/八(1)(n1)!n(n1)-n(1x)代入x0,得:f(n)(0)n(n1)(n3/1)(n3)!3,4L.方法2：yf(x)帶佩亞諾余項(xiàng)的麥克勞林公式:f(x)f(0)f(0)x號(hào)x2A/n!(xn)fn(0)(n3)可以通過先求yf(x)的的麥克勞林展開式，則展開式中xn項(xiàng)的求由麥克勞林公式,f(x)在點(diǎn)x0處的n階導(dǎo)數(shù)值f(0).23.xx.ln(1x)xL231)n2(x),所以4523xxxln(1x)xL23n2n1xn、(1)(x).n2對(duì)照麥克勞林公式f(x)f(0)f(0)x1!f(0)2x2!f20)nxn!(xn)

18、,從而推知f(n)(0)n!(1)n1n2f(n)(0)n1(1)n!,nn23,4L.因?yàn)閏osx0,且nx(n1),所以cosxdxcosxdx(n 1)cosxdx.定積分的性質(zhì)又因?yàn)閺亩运?2)cosx具有周期,所以在長度為的積分區(qū)間上的積分值均相等:(n2ncosxdxcosxdx1)cosxdxcosxdx,cosxdxcosxdxn(sinxcosxdx由（1）有，當(dāng)n取極限,lim上n(n1)由夾逼定理，得.S（x）limxx2(n1).cosxdxLn(2cosxdx0sinx_)n(1(0(n1)cosxdxcosxdx)1)2n2(n1),x(n1)limn(12-

19、)n2nS(x)2(n1).時(shí),2nS(x)2(n1)七【詳解】設(shè)從2000年初（相應(yīng)t(n1)2,limn2(n1)limn0）開始，第t年湖泊中污染物A的總量為m,濃度為mV則在時(shí)間間隔t,tdt內(nèi)，排入湖泊中A的量為：m0V(tV6的水中A的量為mVdtmdt.V33(獨(dú)m)63兩邊求積分：A的含量降至mo以內(nèi).八【證明】x方法i：令F(x)of(t)dt,Ox，有F(O)O,由題設(shè)有F()O.又由題設(shè)f(x)cosxdxO,用分部積分，有Of(x)cosxdxocosxdF(x)F(x)cosxoF(x)sinxdxoF(x)sinxdx由積分中值定理知，存在(O,)使O0F(x)si

20、nxdxF()sin(O)因?yàn)?O,),sinO,所以推知存在(O,),使得F()O.再在區(qū)間上對(duì)F(x)用羅爾定理，推知存在i(O,),2(,)使因而時(shí)間從t到tdt相應(yīng)地湖泊中污染物A的改變量為:dm由分離變量法求解:dmdtdtdt)mdt,流出湖泊6dmdt/mo(不tCiln(mO6Ci初始條件為m)tCi-3mO6m)tCimo2Cit333eemo(CC13e，m(0)5mo，代入初始條件得mO(i足污染物A的含量可降至mo內(nèi)，命mmo,得t6ln3.即至多需經(jīng)過6ln3年，湖泊中O,與F(J0,F(2)0,即f(J0,f(2)0方法2：由f(x)dx0及積分中值定理知，存在1(

21、0,)，使f(1)0,若在區(qū)間(0,)內(nèi)f(x)僅有一個(gè)零點(diǎn)1,則在區(qū)間(0,1)與(1,)內(nèi)f(x)異號(hào),不妨設(shè)在(0,1)內(nèi)f(x)0,在(1,)內(nèi)f(x)0,于是由0f(x)dx0,0f(x)cosxdx0,有0f(x)cosxdxf(x)cos1dxf(x)(cosxcos1)dx1f(x)(cosxcos1)dxf(x)(cosxcos1)dx01當(dāng)0 x1時(shí)，cosxcos1,f(x)(cosxcos1)0；當(dāng)1x時(shí)，cosxcos1,仍有f(x)(cosxcos1)0,得到：00.矛盾，此矛盾證明了f(x)在(0,)僅有1個(gè)零點(diǎn)的假設(shè)不正確，故在(0,)內(nèi)f(x)至少有2個(gè)不同的

22、零點(diǎn).九【詳解】為了求曲線yf(x)在點(diǎn)(6,f(6)處的切線方程，首先需要求出yf(x)在x6處的導(dǎo)數(shù)，即切線斜率,而函數(shù)又是以周期為5的函數(shù)，且在x1處可導(dǎo)，則在x6處可導(dǎo)，且其導(dǎo)數(shù)值等于函數(shù)在x1處的導(dǎo)數(shù)值.將f(1sinx)3f(1sinx)8x(x)兩邊令x0取極限，由f的連續(xù)性得f(1)3f(1)lim(8x(x)0f(1sinx)f(1)f(1sinx)f(1)8x(x)lim-3lim-limlimx0sinxx0sinxx0sinxx0sinx根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義，得8xx(x)xf(1)3f(1)limlim84f(1)8x0 xsinxx0 xsinx2f(1)0故f(1)0,

23、又由原設(shè)f(x)在x1處可導(dǎo)，兩邊同除sinx,所以f(1)2,又因f(6)f(51)f(1),所以f(6)2,由點(diǎn)斜式，切線方程為(yf(6)f(6)(x6),以f(6)f(1)0,f(6)2代入得y2(x6),即2xy120,十【詳解】首先聯(lián)立兩式，求直線與曲線的交點(diǎn)：1x2ax2,得：x2a2兩邊對(duì)x求導(dǎo)，得兩邊求積分:1a則父點(diǎn)坐標(biāo)為：(x,y)(,).由點(diǎn)斜式，故直線OA的萬程為y1ax由旋轉(zhuǎn)體體積公式bf2(x)dx,要求的體積就是用大體積減去小體積:ax2dx1/a10ax22dx24-ax)dx3(1a)15(15a)2為了求V的最大值，對(duì)函數(shù)關(guān)于a求導(dǎo),dVda2a2515(

24、1a)2215(12a5a)22152a(15a)，25a5(1a)2(1a)5215(15a)15(1152a2a252-a2(11512.2aa27(1a)2154aa27-(1a)土命dVda0,得唯一駐點(diǎn)4,所以a4也是V的最大值點(diǎn),最大體積為32.51875(x(1)為了求f1)f(x)(x1)f(x)(x)f(x)1xf(t)dt0兩邊同乘(x1),得x10 x0f(t)dt0,f(x)(x1)f(x)f(x)(x1)f(x)f(x)0(x1)f(x)(x2)f(x)0.上述方程為二階可降階微分方程，令f(x),化為(x1)u(x2)u0,即du腎dx所以dulnue(eC1再以x(xln(xxln(x1)Ci)1(1中1)Cix(eeC1)f(x)uCexx10代入原方程f(0)1f(0)100fdtf(0)由f(0)是C1,f(x)(2)方法1:用積分證.f(x)f(0)dt1-dt.1te一dtt1牛-萊公式