1、更多資源更多資源xiti123.taobao 甲甲問(wèn)題問(wèn)題1 從甲地到乙地，可以乘火車(chē)，也可以乘從甲地到乙地，可以乘火車(chē)，也可以乘汽車(chē)。一天中，火車(chē)有汽車(chē)。一天中，火車(chē)有3班，汽車(chē)有班，汽車(chē)有2班。那么班。那么一天中，乘坐這些交通工具從甲地到乙地共有一天中，乘坐這些交通工具從甲地到乙地共有多少種不同的走法？多少種不同的走法？乙乙火火 車(chē)車(chē) 2火火 車(chē)車(chē) 1火火 車(chē)車(chē) 3汽汽 車(chē)車(chē) 1汽汽 車(chē)車(chē) 23+2=5種）種）分類(lèi)計(jì)數(shù)原理分類(lèi)計(jì)數(shù)原理分類(lèi)計(jì)數(shù)原理又稱(chēng)分類(lèi)計(jì)數(shù)原理又稱(chēng)“加法原理加法原理” 完成一件事，有n類(lèi)辦法，在第1類(lèi)辦法中有m1 種不同的方法，在第2類(lèi)方法中有 m2 種不同的方法，在第n

2、類(lèi)辦法中有mn 種不同的方法，那么完成這件事共有 Nm1 m2 mn種不同的方法種不同的方法關(guān)于分類(lèi)計(jì)數(shù)原理的幾點(diǎn)注記：關(guān)于分類(lèi)計(jì)數(shù)原理的幾點(diǎn)注記： 各類(lèi)辦法之間相互獨(dú)立，都能完成這件事，且辦法總數(shù)是各各類(lèi)辦法之間相互獨(dú)立，都能完成這件事，且辦法總數(shù)是各類(lèi)辦法相加，所以這個(gè)原理又叫做加法原理；類(lèi)辦法相加，所以這個(gè)原理又叫做加法原理； 分類(lèi)時(shí)，首先要在問(wèn)題的條件之下確定一個(gè)分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)，然分類(lèi)時(shí)，首先要在問(wèn)題的條件之下確定一個(gè)分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)，然后在確定的分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)下進(jìn)行分類(lèi)；后在確定的分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)下進(jìn)行分類(lèi)； 完成這件事的任何一種方法必屬于某一類(lèi)，且分別屬于不完成這件事的任何一種方法必屬于某一類(lèi)，且分別屬于不同

3、兩類(lèi)的兩種方法都是不同的同兩類(lèi)的兩種方法都是不同的不重不漏不重不漏 火火 車(chē)車(chē) 2火火 車(chē)車(chē) 1火火 車(chē)車(chē) 3問(wèn)題問(wèn)題2 從甲地到乙地，要從甲地先乘火車(chē)到丙地，從甲地到乙地，要從甲地先乘火車(chē)到丙地，再于次日從丙地乘汽車(chē)到乙地。一天中，火車(chē)有再于次日從丙地乘汽車(chē)到乙地。一天中，火車(chē)有3班，汽車(chē)有班，汽車(chē)有2班，那么兩天中，從甲地到乙地共有班，那么兩天中，從甲地到乙地共有多少種不同的走法？多少種不同的走法？ 甲甲乙乙丙丙汽汽 車(chē)車(chē) 2汽汽 車(chē)車(chē) 1種）(623火車(chē)火車(chē)1汽車(chē)汽車(chē)1 火車(chē)火車(chē)1汽車(chē)汽車(chē)2 火車(chē)火車(chē)2汽車(chē)汽車(chē)1火車(chē)火車(chē)2汽車(chē)汽車(chē)2 火車(chē)火車(chē)3汽車(chē)汽車(chē)1 火車(chē)火車(chē)3汽車(chē)汽車(chē)2分步計(jì)數(shù)原理

4、分步計(jì)數(shù)原理 完成一件事，需要分成個(gè)步驟，做第完成一件事，需要分成個(gè)步驟，做第1步有種步有種不同的方法，做第不同的方法，做第2步有種不同的方法步有種不同的方法做第做第步有種不同的方法那么完成這件事共有步有種不同的方法那么完成這件事共有 N種不同的方法種不同的方法1m2mnmnmmm.21分步計(jì)數(shù)原理又叫作分步計(jì)數(shù)原理又叫作“乘法原理乘法原理”關(guān)于分步計(jì)數(shù)原理的幾點(diǎn)注記關(guān)于分步計(jì)數(shù)原理的幾點(diǎn)注記各個(gè)步驟之間相互依存，且方法總數(shù)是各個(gè)步驟的方法數(shù)各個(gè)步驟之間相互依存，且方法總數(shù)是各個(gè)步驟的方法數(shù)相乘，所以這個(gè)原理又叫做乘法原理相乘，所以這個(gè)原理又叫做乘法原理 ；分步時(shí)首先要在問(wèn)題的條件之下確定一個(gè)

5、分步標(biāo)準(zhǔn)，然后分步時(shí)首先要在問(wèn)題的條件之下確定一個(gè)分步標(biāo)準(zhǔn)，然后在確定的分步標(biāo)準(zhǔn)下分步；在確定的分步標(biāo)準(zhǔn)下分步； 完成這件事的任何一種方法必須并且只需連續(xù)完成每一完成這件事的任何一種方法必須并且只需連續(xù)完成每一個(gè)步驟個(gè)步驟 更多資源更多資源xiti123.taobao 分類(lèi)計(jì)數(shù)原理與分步計(jì)數(shù)原理的區(qū)別分類(lèi)計(jì)數(shù)原理與分步計(jì)數(shù)原理的區(qū)別 分類(lèi)計(jì)數(shù)原理與分步計(jì)數(shù)原理，回答的都是有關(guān)分類(lèi)計(jì)數(shù)原理與分步計(jì)數(shù)原理，回答的都是有關(guān)做一件事的不同方法總數(shù)的問(wèn)題區(qū)別在于：分做一件事的不同方法總數(shù)的問(wèn)題區(qū)別在于：分類(lèi)計(jì)數(shù)原理針對(duì)的是類(lèi)計(jì)數(shù)原理針對(duì)的是“分類(lèi)問(wèn)題，其中各種方分類(lèi)問(wèn)題，其中各種方法相互獨(dú)立，用中任何一

6、種方法都可以做完這件法相互獨(dú)立，用中任何一種方法都可以做完這件事；分步計(jì)數(shù)原理針對(duì)的是事；分步計(jì)數(shù)原理針對(duì)的是“分步問(wèn)題，各個(gè)分步問(wèn)題，各個(gè)步驟中的方法相互依存，只有各個(gè)步驟都完成才步驟中的方法相互依存，只有各個(gè)步驟都完成才算做完這件事算做完這件事例題例題例例1 書(shū)架的第書(shū)架的第1層放有層放有4本不同的計(jì)算機(jī)書(shū)，本不同的計(jì)算機(jī)書(shū)，第第2層放有層放有3本不同的文藝書(shū)，第本不同的文藝書(shū)，第3層放有層放有2本本不同的體育書(shū)。不同的體育書(shū)。 （1從書(shū)架上任取一本書(shū)，有多少種從書(shū)架上任取一本書(shū)，有多少種取法？取法？ （2從書(shū)架的第從書(shū)架的第1、2、3層各取層各取1本書(shū)本書(shū),有多少種不同的取法有多少種不同

7、的取法?注意區(qū)別注意區(qū)別“分類(lèi)與分類(lèi)與“分分步步”解解 : (1)從第從第1層任取一本層任取一本,有有4種取法種取法,從第從第2層任取層任取一本一本,有有3種取法種取法,從第從第3層任取一本層任取一本,有有2種取法種取法,共有共有 4+3+2=9種取法。種取法。答：從書(shū)架上任意取一本書(shū)，有答：從書(shū)架上任意取一本書(shū)，有9種不同的取法。種不同的取法。(2) 從書(shū)架的從書(shū)架的1 、 2 、 3層各取一本書(shū)層各取一本書(shū),需要分三步完成需要分三步完成, 第第1步步,從第從第1層取層取1本書(shū)本書(shū),有有4種取法種取法,第第2步步,從第從第2層取層取1本書(shū)本書(shū),有有3種種取法取法,第第3步步, 從第從第3層取

8、層取1本書(shū)本書(shū),有有2種取法種取法.由分步計(jì)數(shù)原理知由分步計(jì)數(shù)原理知,共有共有 432=24種取法。種取法。答：從書(shū)架上的第答：從書(shū)架上的第1、2、3層各取一本書(shū)，有層各取一本書(shū)，有24種不同的取種不同的取法。法。分類(lèi)時(shí)要做到不重不漏分類(lèi)時(shí)要做到不重不漏分步時(shí)做到不缺步分步時(shí)做到不缺步例例2 一種號(hào)碼鎖有一種號(hào)碼鎖有4個(gè)撥號(hào)盤(pán)個(gè)撥號(hào)盤(pán),每個(gè)撥號(hào)盤(pán)上有從每個(gè)撥號(hào)盤(pán)上有從0到到9共共10個(gè)數(shù)字個(gè)數(shù)字,這這4個(gè)撥號(hào)盤(pán)可以組成多少個(gè)四位數(shù)字的號(hào)碼個(gè)撥號(hào)盤(pán)可以組成多少個(gè)四位數(shù)字的號(hào)碼? 本題的特點(diǎn)是數(shù)字可以重復(fù)使用，例如本題的特點(diǎn)是數(shù)字可以重復(fù)使用，例如00000000，11111111，1212121

9、2等等，與分步計(jì)數(shù)原理比較，這里完成每等等，與分步計(jì)數(shù)原理比較，這里完成每一步的方法數(shù)一步的方法數(shù) m=10m=10，有，有n=4n=4個(gè)步驟個(gè)步驟, ,結(jié)果是總個(gè)數(shù)結(jié)果是總個(gè)數(shù)N=10101010=104 解：由于號(hào)碼鎖的每個(gè)撥號(hào)盤(pán)有解：由于號(hào)碼鎖的每個(gè)撥號(hào)盤(pán)有0到到9這這10個(gè)數(shù)字，每個(gè)個(gè)數(shù)字，每個(gè)撥號(hào)盤(pán)的數(shù)字有撥號(hào)盤(pán)的數(shù)字有10種取法。根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，種取法。根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，4個(gè)撥個(gè)撥號(hào)盤(pán)上各取號(hào)盤(pán)上各取1數(shù)字組成的個(gè)數(shù)是數(shù)字組成的個(gè)數(shù)是 答：可以組成答：可以組成10000個(gè)四位數(shù)字號(hào)碼。個(gè)四位數(shù)字號(hào)碼。N=104 。一般的，完成一件事有一般的，完成一件事有n個(gè)步驟，每一步驟的方法個(gè)

10、步驟，每一步驟的方法數(shù)相同，都是數(shù)相同，都是m, 則完成這件事共有則完成這件事共有 種不同方種不同方法。法。 （牢記：步驟數(shù)（牢記：步驟數(shù)n是指數(shù)?。┦侵笖?shù)！）mn3. 四名研究生各從四名研究生各從A、B、 C三位教授中選一位三位教授中選一位作自己的導(dǎo)師，共有作自己的導(dǎo)師，共有_種選法；三名教授種選法；三名教授各從四名研究生中選一位作自己的學(xué)生，共有各從四名研究生中選一位作自己的學(xué)生，共有_種選法。種選法。2. 在在120共共20個(gè)整數(shù)中取兩個(gè)數(shù)相加個(gè)整數(shù)中取兩個(gè)數(shù)相加,使其使其和為偶數(shù)的不同取法共有多少種和為偶數(shù)的不同取法共有多少種?答答.：(109+109)/2=90種）種）.43 1.

11、某中學(xué)的一幢某中學(xué)的一幢5層教學(xué)樓共有層教學(xué)樓共有3處樓梯口處樓梯口,問(wèn)從問(wèn)從1樓到樓到5樓共有多少種不同的走法樓共有多少種不同的走法?答：答： 3333=34=81種）種）練練 習(xí)習(xí) 34 例例3 要從甲、乙、丙要從甲、乙、丙3名工人中選出名工人中選出2名分別上日班和晚班，有多少種不同的名分別上日班和晚班，有多少種不同的選法？選法？解：從解：從3名工人中選出名工人中選出2名分別上日班和晚班，名分別上日班和晚班，可以看成是經(jīng)過(guò)先選可以看成是經(jīng)過(guò)先選1名上日班，再選名上日班，再選1名上名上晚班這兩個(gè)步驟完成。先選晚班這兩個(gè)步驟完成。先選1名上日班，共有名上日班，共有3種選法；上日班的工人選定后再

12、選種選法；上日班的工人選定后再選1名上晚名上晚班，上晚班的工人有班，上晚班的工人有2種選法，根據(jù)分步計(jì)數(shù)種選法，根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理原理,所求的不同的選法數(shù)是所求的不同的選法數(shù)是 . 623N答：有答：有6種不同的選法。種不同的選法。 日班 晚班甲乙丙丙乙甲乙甲丙相應(yīng)的排法相應(yīng)的排法不同排法如下圖所示不同排法如下圖所示甲甲 乙乙 甲甲 丙丙乙乙 甲甲 乙乙 丙丙丙丙 甲甲丙丙 乙乙 日班 晚班練練 習(xí)習(xí)P86 練習(xí)練習(xí) 2、3、4、5例例4 有數(shù)字有數(shù)字 1，2，3，4，5 可以組成多少個(gè)三位數(shù)可以組成多少個(gè)三位數(shù)各位上的數(shù)字許重復(fù)）？各位上的數(shù)字許重復(fù)）？解：要組成一個(gè)三位數(shù)可以分成三個(gè)步驟完成

13、：解：要組成一個(gè)三位數(shù)可以分成三個(gè)步驟完成： 第一步確定百位上的數(shù)字，從第一步確定百位上的數(shù)字，從5個(gè)數(shù)字中任選一個(gè)個(gè)數(shù)字中任選一個(gè)數(shù)字，共有數(shù)字，共有5種選法；種選法； 第二步確定十位上的數(shù)字，由于數(shù)字允許重復(fù)，這第二步確定十位上的數(shù)字，由于數(shù)字允許重復(fù)，這仍有仍有5種選法；種選法； 第三步確定十位上的數(shù)字，同理，它也有第三步確定十位上的數(shù)字，同理，它也有5種選法。種選法。 根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，得到組成的三位數(shù)的個(gè)數(shù)是：根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，得到組成的三位數(shù)的個(gè)數(shù)是： N = 5 5 5 = 53 = 125 答：可以組成答：可以組成125個(gè)三位數(shù)。個(gè)三位數(shù)。例例5 :滿(mǎn)足滿(mǎn)足 AB=1,2的集合

14、的集合A ,B共有多少種共有多少種?解析解析: 法一法一 A, B均是均是1,2的子集的子集:,1,2,1,2,但但不是隨便兩個(gè)子集搭配都行不是隨便兩個(gè)子集搭配都行,本題猶如含本題猶如含A B的的 兩元不定方程兩元不定方程,其全部解分為四類(lèi)其全部解分為四類(lèi):1. 當(dāng)當(dāng)A=時(shí)時(shí),只有只有B=1,2得得1組解組解; 2. 當(dāng)當(dāng)A=1時(shí)時(shí),B=2或或1,2,得得2組解組解; 3. 當(dāng)當(dāng)A=2時(shí)時(shí),B=1或或1,2,得得2組解組解;備選例題備選例題4. 當(dāng)當(dāng)A=1,2時(shí)時(shí),B=或或1或或2或或1,2,得得4組解組解由加法原理由加法原理,共有共有1+2+2+4=9組解組解法法2: 設(shè)設(shè)A,B為兩個(gè)為兩個(gè)

15、“口袋口袋”,需將兩種元素需將兩種元素(1與與2)裝裝入入,任一元素至少裝入一個(gè)袋中分兩步可辦好此事任一元素至少裝入一個(gè)袋中分兩步可辦好此事:第第1步裝步裝“1”,可裝入可裝入A不裝入不裝入B,也可裝入也可裝入B不裝入不裝入A,還可既裝入還可既裝入A又裝入又裝入B,有有3種裝法種裝法;第第2步裝步裝“2”,同樣有同樣有3種裝法種裝法.由乘法原理由乘法原理,共有共有 3 3=9 種裝法種裝法 1 一件工作可以用兩種方法完成。有5人會(huì)用第一種方法完成，另有4人會(huì)用第二種方法完成。選出一個(gè)人來(lái)完成這件工作，共有多少種選法？2乘積( a1+ a 2+ a 3 )( b1 + b 2 + b3 + b4

16、 )(c1 + c2 + c3 + c4 + 5 )展開(kāi)后共有項(xiàng)？ 4 + 5 = 9練習(xí)練習(xí)2：1、把四封不同的信任意投入三個(gè)信箱中、把四封不同的信任意投入三個(gè)信箱中,不同投法種數(shù)不同投法種數(shù)是是( ) A. 12 B.64 C.81 D.72、火車(chē)上有、火車(chē)上有10名乘客，沿途有名乘客，沿途有5個(gè)車(chē)站，乘客下車(chē)的個(gè)車(chē)站，乘客下車(chē)的可能方式有可能方式有 （ ）種）種A. 510 B. 105 C. 50 D. 以上都不對(duì)以上都不對(duì)練習(xí)練習(xí)1：CA總結(jié)：總結(jié)：分類(lèi)計(jì)數(shù)原理：做一件事，完成它可以有分類(lèi)計(jì)數(shù)原理：做一件事，完成它可以有 n 類(lèi)辦法，類(lèi)辦法，在第一類(lèi)辦法中有在第一類(lèi)辦法中有m1種不同的方法，在第一類(lèi)辦法中有種不同的方法，在第一類(lèi)辦法中有m2種不同的方法，種不同的方法， ，在第，在第n類(lèi)辦法中有類(lèi)辦法中有mn種不同種不同的方法。那麼完成這件事共有的方法。那麼完成這件事共有 N= m1+ m2+ + mn 種不同的方法。種不同的方法。分步計(jì)數(shù)原理：做一件事，完成它需要分成分步計(jì)數(shù)原理：做一件事，完成它需要分成n個(gè)步個(gè)步驟，做第一步有驟，做第一步有m1種不同的方法，做第二步有種不同的方法，做第二步有m2種不種不同的方法，同的方法， ，做第，做第n步有