1、v211=+kt.vv0可得：(2)公式可化為v=所以：積分因此_d(1+vkt).k(1+vkt)0001x=ln(vkt+1).k0第一章質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)1-1已知質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程為：X=10t+30t2,y=15t20t2。式中x、y的單位為m,t的單位為s。試求：(1)初速度的大小和方向；(2)加速度的大小和方向分析由運(yùn)動(dòng)方程的分量式可分別求出速度、加速度的分量,再由運(yùn)動(dòng)合成算出速度和加速度的大小和方向dx解速度的分量式為V=10+60txdtv=dy=1540tydt當(dāng)t=0時(shí)，v=-10ms-1,v=15ms-1,則初oxoy速度大小為v='：v2+v2=18.0m-s100X0y

2、v3設(shè)v與X軸的夾角為a,則tana=-=-ov20Xq=123°41'dv(2)加速度的分量式為a”=60m-s-2,dva=斗=40m-s2ydt則加速度的大小為a=-a2+a2=72.1m-s-2xy設(shè)a與x軸的夾角為，則tanB=fa3x=-33。4(或326。19')1-2一石子從空中由靜止下落,由于空氣阻力,石子并非作自由落體運(yùn)動(dòng)?，F(xiàn)測得其加速度a=A-Bv,式中A、B為正恒量,求石子下落的速度和運(yùn)動(dòng)方程。分析本題亦屬于運(yùn)動(dòng)學(xué)第二類問題,與上題不同之處在于加速度是速度v的函數(shù)，因此，需將式dv=a(v)dt分dv離變量為=dt后再兩邊積分.a(v)解選取石

3、子下落方向?yàn)閥軸正向，下落起點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn).dv(1)由題a=ABv(1)dtdv用分離變量法把式(1)改寫為=dt(2)ABv將式(2)兩邊積分并考慮初始條件，有Jv_dv=Jtdtv0ABv0A得石子速度v=(1e-Bt)BA由此可知當(dāng),i時(shí),vT為一常量，通常稱為極限速度B或收尾速度(2)再由v=竽=A(1e-Bt)并考慮初始條件有dtBJydy=Jt(1e-Bt)dt00BAA得石子運(yùn)動(dòng)方程y=t+(e-Bt1)BB21-3一個(gè)正在沿直線行駛的汽船,關(guān)閉發(fā)動(dòng)機(jī)后,由于阻力得到一個(gè)與速度反向、大小與船速平方成正比例的加速度,即a=-kv2,k為常數(shù)。在關(guān)閉發(fā)動(dòng)機(jī)后,試證：v(1) 船在t時(shí)

4、刻的速度大小為V=；kvt+10(2)在時(shí)間t內(nèi),船行駛的距離為1x=ln(vkt+1)；k0(3)船在行駛距離x時(shí)的速率為v=v0ekx。證明(1)分離變數(shù)得竺=kdt,故J也=kJdt,v2v00v01 +vkt0由于v=dx/dt,v1dx=0dt=d(1+vkt)1+vktk(1+vkt)000Jdx=J1(3)要求v(x),可由kv2vndx積分得卜竺-kJxdxv°v0dvdvdxdv亠av，有dtdxdtdx竺kdxv14行人身高為h，若人以勻速v0用繩拉一小車行走，而小車放在距地面高為H的光滑平臺(tái)上，求小車移動(dòng)的速度和加速度。Inkx,v圖1-18習(xí)題1-4圖v=ve

5、-kx證畢.0解：人前進(jìn)的速度v0,則繩子前進(jìn)的速度大小等于車移動(dòng)的速度大小，12v2t2+(Hh)20.dl_v2tdtd2I(Hh)2v20-dt2(Hh)2+v2t23/2所以小車移動(dòng)的速度v-J(Hh)小車移動(dòng)的加速度a=v21”02v2120(H-h)2v2丁Hh)01-5質(zhì)點(diǎn)沿x軸運(yùn)動(dòng)，其加速度和位置的關(guān)系為a=2+6x2，a的單位為m/s2,x的單位為m。質(zhì)點(diǎn)在x=0處，速度為10m/s，試求質(zhì)點(diǎn)在任何坐標(biāo)處的速度值。dvdvdxdvavdtdxdtdx解:udu=adx=(2+6x2)dx1 宀cv2=2x+2x3+c2分離變量:兩邊積分得由題知，x_0時(shí)，v0_10，:c_5

6、0v二2x3+x+25m-s-1面發(fā)生完全彈性碰撞后作拋射體運(yùn)動(dòng)，問它第二次碰到斜面的位置距原來的下落點(diǎn)多遠(yuǎn)。解：小球落地時(shí)速度為v0-建立直角坐標(biāo)系，以小球第一次落地點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)如圖vvcos60ox00xvcos6001+gcos6001202vvsin6Ooy00yvsin6Oot-gsin6Oo1202(1)(2)2vt二0g第二次落地時(shí)y01 2v2所以xvcos6001+gcos60012亠0.8m02g17人扔石頭的最大出手速率為v=25m/s，他能擊中一個(gè)與他的手水平距離L=50m，高h(yuǎn)=13m的目標(biāo)嗎？在此距離上他能擊中的最大咼度是多少？解：由運(yùn)動(dòng)方程xvtcos9,yvts

7、in92gt2,消去t得軌跡方程yxtg9-(tg20+1)x22v2以x=05.0m，v=25ms-1代入后得y50tg9g(1+tg20)x5022x25250tg920(1+tg20)_-20(tg9-5)2+11.254取g=10.0，貝y當(dāng)tg91.25時(shí)，y11.2513max所以他不能射中，能射中得最大高度為y_11.25max一質(zhì)點(diǎn)沿半徑為R的圓周按規(guī)律svt1bt2運(yùn)021-8動(dòng)，t為何值時(shí)總加速度在數(shù)值上等于b?(3)當(dāng)加速度達(dá)到b時(shí)，質(zhì)點(diǎn)已沿圓周運(yùn)行了多少圈？分析在自然坐標(biāo)中,s表示圓周上從某一點(diǎn)開始的曲線坐標(biāo).由給定的運(yùn)動(dòng)方程s=s(t),對(duì)時(shí)間t求一階、二階導(dǎo)數(shù)，即是

8、沿曲線運(yùn)動(dòng)的速度V和加速度的切向分量at,而加速度的法向分量為an=v2/R.這樣，總加速度為av0、b都是常量。(1)求t時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)的總加速度；=atet+anen.至于質(zhì)點(diǎn)在t時(shí)間內(nèi)通過的路程，即為曲線坐標(biāo)的改變量Wst-s0.因圓周長為2;R,質(zhì)點(diǎn)所轉(zhuǎn)過的圈數(shù)自然可求得ds解(1)質(zhì)點(diǎn)作圓周運(yùn)動(dòng)的速率為v二二v-btdt0其加速度的切向分量和法向分量分別為d2sa=tdt2v2(vbt)2ba=onRR故加速度的大小為R2b2+(v-bt)40-R2其方向與切線之間的夾角為0=arctanan=arctanat(v-bt)20Rb(2) 要使丨«|=b,由R2b2+(vbt)4=

9、b可得R0vt=0b(3) 從t=0開始到t=v0/b時(shí)，質(zhì)點(diǎn)經(jīng)過的路程為v2s=ss=0t02bs因此質(zhì)點(diǎn)運(yùn)行的圈數(shù)為n=紜v20-4nbR1-9已知質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程為：hx=Rcos®t,y=Rsin®t,z=®t，式中2兀R、h、®為正的常量。求：(1)質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的軌道方程；2)質(zhì)點(diǎn)的速度大??；(3)質(zhì)點(diǎn)的加速度大小。h解：(1)軌道方程為x2+y2=R2z=®t2兀這是一條空間螺旋線。在Oxy平面上的投影為圓心在原點(diǎn)，半徑為R的圓，螺距為hdx(2)v=-R®sintxdt3)a=R®2cos®ta=R

10、4;2sin®txya=0,a=:a2+a2=R®2Zxy110飛機(jī)以100ms-i的速度沿水平直線飛行，在離地面高為100m時(shí)，駕駛員要把物品投到前方某一地面目標(biāo)處。問：(1)此時(shí)目標(biāo)在飛機(jī)下方前多遠(yuǎn)？(2)投放物品時(shí)，駕駛員看目標(biāo)的視線和水平線成何角度？(3)物品投出2s后，它的法向加速度和切向加速度各為多少？解：-y=2叫%弓(1)if2x=v=452mgy(2)0=arctg=12.5x(3)dva=tdt+V20gt2+v20.a=1.96m/s2,g=10.0(或1.89n/s2,g=9.8)tTa=fa2+a2=gYtn.a=,g2-a2=9.80m/s2,g

11、=10.0(或9.62m/s2,g=9.8)n't111一無風(fēng)的下雨天，一列火車以v1=20m/s的速度勻速前進(jìn)，在車內(nèi)的旅客看見玻璃窗外的雨滴和垂線成75°角下降，求雨滴下落的速度v2。(設(shè)下降的雨滴作勻速運(yùn)動(dòng))解：以地面為參考系，火車相對(duì)地面運(yùn)動(dòng)的速度為V,雨滴相對(duì)地面豎直下落的速度為v2，旅客看到雨滴下落速度V2'為相對(duì)速度，它們之間的關(guān)系為A-Iv=v+v221v=v/tg75°=5.36ms-121112升降機(jī)以加速度a0=1.22m.s-2上升，當(dāng)上升速度為2.44ms-1時(shí)，有一螺帽自升降機(jī)的天花板脫落，天花板與升降機(jī)的底面相距2.74m，試求

12、：(1)螺帽從天花板落到底面所需時(shí)間；(2)螺帽相對(duì)于升降機(jī)外固定柱子的下降距離。解：(1)以升降機(jī)為參考系，此時(shí)，螺絲相對(duì)它的加速度為a'=g+a,螺絲落到底面時(shí)，有0=h-1(g+a)t2212ht=0.705sg+a八1h=vt+at2（2）由于升降機(jī)在t時(shí)間內(nèi)的高度為°2j則dhh0.716m1-13飛機(jī)A相對(duì)地面以vA=1000km/h的速率向南A飛行，另一飛機(jī)B相對(duì)地面以vB=800km/h的速率向東偏南30。方向飛行。求飛機(jī)A相對(duì)飛機(jī)B的速度。解：v1000j,v400j+40073TABvv一vAB=1000j-解：由相對(duì)速度的矢量關(guān)系vv'+u有（1

13、）空氣時(shí)靜止的，即u=0，則往返時(shí)，飛機(jī)相對(duì)地面的飛行速度就等于飛機(jī)相對(duì)空氣的速度v'（圖（1），一、112/故飛機(jī)來回飛行的時(shí)間tt+1+；（2）空氣的速度向東時(shí)，當(dāng)飛機(jī)向東飛行時(shí)，風(fēng)速與飛機(jī)相對(duì)空氣的速度同向；返回時(shí)，兩者剛好相反（圖（2），故飛機(jī)來回飛行的時(shí)間為+400tt+11ABBA11+v'+uv'一ut0(1-tgO23,o=4052',方向西偏南v=£6002+4002x3=916km/h1-14一人能在靜水中以1.10ms-1的速度劃船前進(jìn),今欲橫渡一寬為1000m、水流速度為0.55ms-的大河。（1）,那么應(yīng)如何確定劃行方向？到達(dá)

14、正對(duì)岸需多少時(shí)間？（2）如果希望用最短的時(shí)間過河，應(yīng)如何確定劃行（3）空氣的速度向北時(shí)，飛機(jī)相對(duì)地面的飛行速度的大小由vv'+u可得為vJv'2-u2，故飛機(jī)來回飛行的時(shí)間為21ABBA2u2z,u2、一t0（1巨廠v'2v'2第二章質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)(1)方向？船到達(dá)對(duì)岸的位置在什么地方？解：如圖（1）若要從出發(fā)點(diǎn)橫渡該河而到達(dá)正對(duì)岸的一點(diǎn)，則劃行速度和水流速度u的合速度的方向正對(duì)著岸,2-1如本題圖，A、B兩物體質(zhì)量均為m，用質(zhì)量不計(jì)的滑輪和細(xì)繩連接，并不計(jì)摩擦，則A和B的加速度大小各為多少。解：如圖由受力分析得廣、設(shè)劃行速度V合速度V的夾角為avsina=usin

15、a=V二0.55/1.1=0.5cosa=mgTma(1)AATmgma(2)BB2aaABT2T(4)AB1-5g解得a=A2a=gB5t=-=-=1.05x103sVVvcosa如圖（2）用最短的時(shí)間過河，則劃行速度的方向正對(duì)著岸d了d“ct=,l=ut=u=500mvvvf1-15設(shè)有一架飛機(jī)從A處向東飛到B處，然后又向西飛回到A處，飛機(jī)相對(duì)空氣的速率為vv，而空氣相對(duì)地面的速率為u，A、B間的距離為1。（1）假定空氣是靜止的（即u=0），求飛機(jī)來回飛行的時(shí)間；（2）假定空氣的速度向東，求飛機(jī)來回飛行的時(shí)間；（3）假定空氣的速度向北，求飛機(jī)來回飛行的時(shí)間。2-2如本題圖所示，已知兩物體A

16、、B的質(zhì)量均為m=3.0kg，物體A以加速度a=1.0m/s2運(yùn)動(dòng)，求物體B與桌面間的摩擦力。（滑輪與連接繩的質(zhì)量不計(jì)）解：分別對(duì)物體和滑輪受力分析（如圖），由牛頓定律和動(dòng)力學(xué)方程得，習(xí)題2-2圖FNv2=ma=mnR2Ffdv=-ma=-mtdt(2)Ff=uFN(3)由一上三式可得uli竺(4)R2dtRvv=0R+vpt0mgF=ma(1)ATAF'-F=ma'(2)T1fB2a=a'(3)F'=2FTT1m=m=mABF=F'TTF'=FT1T1解得F=mg-(m+4m)a=7.2nf2-3如圖所示，細(xì)線不可伸長，細(xì)線、定滑輪、動(dòng)滑輪的質(zhì)

17、量均不計(jì)已知m=4mm=2m。求各物體運(yùn)動(dòng)1323的加速度及各段細(xì)線中的張力。解：設(shè)m1下落的加速度為a1，因而動(dòng)滑輪也以a1上升。再設(shè)m2相對(duì)動(dòng)滑輪以加速度a下落，m3相對(duì)動(dòng)滑輪以習(xí)題2-3加速度上升，二者相對(duì)地面的加速度分別為：a'-a（下落）和a'+a（上升），設(shè)作用11在M上的線中張力為T,作用在m2和m3上的線中張力為T2。列出方程組如下：mgT=ma1111mg-T=m（aa）2221T一mg=m（a'+a）2331代入m=4m，m=2m，1323可求出：a=g，a=絲，a=g，a=竺，T=4mg，1 552535151T2T=mg2 5124光滑的水平面上

18、放置一半徑為R的固定圓環(huán)，物體緊貼環(huán)的內(nèi)側(cè)作圓周運(yùn)動(dòng)，其摩擦系數(shù)為卩。物體的初速率為v°,求：（1）t時(shí)刻物體的速率；（2）當(dāng)物體速率從v0減少到v0/2時(shí)，物體所經(jīng)歷的時(shí)間及經(jīng)過的路程。解：（1）設(shè)物體質(zhì)量為m,取圖示的自然坐標(biāo)系，由牛頓定律得，對(duì)式積分得Adt=RJ0Uv0V2Rv.v=0R+vpt0當(dāng)物體速率從v0減少到v0/2時(shí)，由可得物體所經(jīng)歷的時(shí)間t'=vp0RvR經(jīng)過的路程S=Jt'vdt=JT'0dt=In200R+vptp025從實(shí)驗(yàn)知道，當(dāng)物體速度不太大時(shí)，可以認(rèn)為空氣的阻力正比于物體的瞬時(shí)速度，設(shè)其比例常數(shù)為k。將質(zhì)量為m的物體以豎直向上

19、的初速度v0拋出。（1）試證明物體的速度為mg/一八一匕v=（em1）+vemk0（2）證明物體將達(dá)到的最大高度為mvm2gkv、H=oln（1+亠）kkmg（3）證明到達(dá)最大高度的時(shí)間為m、“kvt=ln（1+亠）Hkmg證明：由牛頓定律可得(l)-mg-kv二老,dtmmg+kv.t=In0,kmg+kvdv（2）-mg-kv=mv,dxmg+kvJdx=Jmg(mdu+m)0mmg+kv°uf=kvmg將已知條件一=0.4m-1,v=0.1v代入上式得,m0y=min=5.76mbv27物體自地球表面以速率v0豎直上拋。假定空氣對(duì)物體阻力的值為f=kmv2,其中k為常量，m為物

20、體質(zhì)量。試求：（1）該物體能上升的高度；（2）物體返回地面時(shí)速度的值。解J0dy=-Jvh0gkv2.v=v（1+竺）1/20g質(zhì)量為m的子彈以速度V0水平射入沙土中，設(shè)子彈分離變量，可得：kdvm=而兩邊同時(shí)積分，所Jtdt=fvmdLov0mg+kvmgmmv=(e-kt-1)+ve-ktk0mvdvdx=-令mg+kv=u,du=kdvk2mgdudx=mdu+mumvm2gkvx=0ln（1+0kkmgmmg+kv（3）t=In0kmg+kv.當(dāng)v=0時(shí)，t=mIn叱竺即為到達(dá)最高點(diǎn)的時(shí)間kmg+k26質(zhì)量為m的跳水運(yùn)動(dòng)員，從距水面距離為h的高臺(tái)上由靜止跳下落入水中。把跳水運(yùn)動(dòng)員視為質(zhì)

21、點(diǎn)，并略去空氣阻力。運(yùn)動(dòng)員入水后垂直下沉，水對(duì)其阻力為bv2，其中b為一常量。若以水面上一點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)O,豎直向下為Oy軸，求：（1）運(yùn)動(dòng)員在水中的速率v與y的函數(shù)關(guān)系；（2）跳水運(yùn)動(dòng)員在水中下沉多少距離才能使其速率v減少到落水速率v0的1/10?（假定跳水運(yùn)動(dòng)員在水中的浮力與所受的重力大小恰好相等）解：運(yùn)動(dòng)員入水可視為自由落體運(yùn)動(dòng)，所以入水時(shí)的速度為vo=p'2gh，入水后如圖由牛頓定律的mg-f-F=mamg=Ff=bv2dvdva=vdtdydv/.bv2=mvdyJybdy=J乜0mvovv=veby/m=2gheby/m0b分別對(duì)物體上拋和下落時(shí)作受力分析(如圖)dvmvdv

22、(1)mgkmv2二m=dtdyyvvdvJydy=Jv-0v0g+kv21g+kv2y=ln()2kg+kv20物體達(dá)到最高點(diǎn)時(shí)，v=0,故h=y=-kln(g+"(/)max2kg(2)下落過程中，-mg+kmv2二m=-dtdy2-8所受阻力f=-kv,k為常數(shù)，求：（1）子彈射入沙土后,速度隨時(shí)間變化的函數(shù)式；（2）子彈進(jìn)入沙土的最大深度。解：（1）由題意和牛頓第二定律可得：f=-kv=mdv,dt_k以：v二ve-mt0（2）子彈進(jìn)入沙土的最大深度也就是v=0的時(shí)候子彈的位移，則：kdv由=mvdtm可推出:vdt=dv,而這個(gè)式子兩邊積分就可k以得到位移：x=Jvdt=J

23、0mdv=mv。maxkk0v02-9已知一質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)在x軸上運(yùn)動(dòng)，質(zhì)點(diǎn)只受到指向原點(diǎn)的力f二-k/x2,k是比例常數(shù)。設(shè)質(zhì)點(diǎn)在0x=A時(shí)的速度為零,小。解求質(zhì)點(diǎn)在X=A/4處的速度的大可應(yīng)用于整個(gè)過程但是,這時(shí)必須分清重力和安全帶沖力作用的時(shí)間是不同的；而在過程的初態(tài)和末態(tài),人體的速度均為零這樣,運(yùn)用動(dòng)量定理仍可得到相同的結(jié)果解以人為研究對(duì)象,按分析中的兩個(gè)階段進(jìn)行討論在自由落體運(yùn)動(dòng)過程中,人跌落至2m處時(shí)的速度為由題意和kdv=m=mx2dt牛頓第二定律可得dvdxdv=mvdxdtdxk再采取分離變量法可得：-一dx=mvdv,x2兩邊同時(shí)取積分，貝9：JA/4-dx=JvmvdvA

24、x20v1(1)在緩沖過程中,人受重力和安全帶沖力的作用,根據(jù)動(dòng)量定理,有所以：v=丫生mAF+Pkt=mv2-mv1(2)由式(1)、(2)可得安全帶對(duì)人的平均沖力大小為2-10一顆子彈在槍筒里前進(jìn)時(shí)所受的合力大小為F=400-4x1051/3,子彈從槍口射出時(shí)的速率為300m/s。設(shè)子彈離開槍口處合力剛好為零。求：(1)子彈走完槍筒全長所用的時(shí)間t；(2)子彈在槍筒中所受力的沖量I；(3)子彈的質(zhì)量。解:(1)由F=400-4x1051/3和子彈離開槍口處合力剛好為零，貝可以得到：F=400-4x105t/3=0算出t=0.003s。(2)由沖量定義：I=卜°°3Fdt

25、=J0-003(400-4x1051/3)dt=400t-2xio5t2/3|0-003=0.6Ns0F=mg+£mv)AJ2gh-aT=mg+At=1.14x103N212長為60cm的繩子懸掛在天花板上，下方系一質(zhì)量為1kg的小球，已知繩子能承受的最大張力為20N。試求要多大的水平?jīng)_量作用在原來靜止的小球上才能將繩子打斷？AI=mv-00解：由動(dòng)量定理得.“，.v=0m如圖受力分析并由牛頓定律得，T-mgmv2T=mg+mv2亠>203)由動(dòng)量定理：I=i0.003Fdt=AP=mv=0.6Ns所以°：m=0.6/300=0.002kgmg+AI2/1>20

26、AI>2.47Ns2-11高空作業(yè)時(shí)系安全帶是非常必要的。假如一質(zhì)量為51.0kg的人，在操作時(shí)不慎從高空豎直跌落下來，由于安全帶的保護(hù)，最終使他被懸掛起來。已知此時(shí)人離原處的距離為2.0m，安全帶彈性緩沖作用時(shí)間為0.50s。求安全帶對(duì)人的平均沖力。分析從人受力的情況來看,可分兩個(gè)階段：在開始下落的過程中,只受重力作用,人體可看成是作自由落體運(yùn)動(dòng)；在安全帶保護(hù)的緩沖過程中,貝人體同時(shí)受重力和安全帶沖力的作用,其合力是一變力,且作用時(shí)間很短為求安全帶的沖力,可以從緩沖時(shí)間內(nèi),人體運(yùn)動(dòng)狀態(tài)(動(dòng)量)的改變來分析,即運(yùn)用動(dòng)量定理來討論事實(shí)上,動(dòng)量定理也213一作斜拋運(yùn)動(dòng)的物體，在最高點(diǎn)炸裂為質(zhì)

27、量相等的兩塊，最高點(diǎn)距離地面為19.6m。爆炸1.0s后，第一塊落到爆炸點(diǎn)正下方的地面上，此處距拋出點(diǎn)的水平距離為100m。問第二塊落在距拋出點(diǎn)多遠(yuǎn)的地面上？(設(shè)空氣的阻力不計(jì))解：取如圖示坐標(biāo)系，根據(jù)拋體運(yùn)動(dòng)規(guī)律，爆炸前，物體在最高點(diǎn)得速度得水平分量為v=vcoS0+0mum+Mv=t=x、；g/2h(1)OxT1物體爆炸后，第一塊碎片豎直下落的運(yùn)動(dòng)方程為y二h-vt_丄gt2112當(dāng)碎片落地時(shí)，y=0,t=t,則由上式得爆炸后11第一塊碎片拋出得速度為(m+M丿vcos0=Mv+m(v一u)0式中為人拋物后相對(duì)地面的水平速率,VU為拋出物對(duì)地面得水平速率，得人的水平速率得增量為1h-gt2

28、2v=21t1又根據(jù)動(dòng)量守恒定律，v=v-vcoS9=mu0m+M1mv=一mvOx22x0=1mv211+一mv22y(2)在最高點(diǎn)處有3)(4)而人從最高點(diǎn)到地面得運(yùn)動(dòng)時(shí)間為vsin0t=g所以人跳躍后增加的距離為,mvsin0Ax=Avt=0u(m+M)g=14.7ms-iv0=v1+mu/(M+nm)將上述各等式的兩側(cè)分別相加，整理后得聯(lián)立以上(1)(4)式得爆炸后第二塊碎片拋出時(shí)的速度分量分別為v=2v=2x2x0x1=100ms-i1h_-gt221爆炸后第二塊碎片作斜拋運(yùn)動(dòng)，其運(yùn)動(dòng)方程為x=x+vt(5)212x2y=h+vt-gt2(6)22y222落地時(shí)Y=0,由式(5)和(

29、6)可解得第二塊碎片2落地點(diǎn)得水平位置x=500m2214質(zhì)量為M的人手里拿著一個(gè)質(zhì)量為m的物體,此人用與水平面成e角的速率v0向前跳去。當(dāng)他達(dá)到最高點(diǎn)時(shí)，他將物體以相對(duì)于人為u的水平速率向后拋出。問：由于人拋出物體，他跳躍的距離增加了多少？(假設(shè)人可視為質(zhì)點(diǎn))(自己算一遍)解：取如圖所示坐標(biāo)，把人和物視為一系統(tǒng)，當(dāng)人跳躍到最高點(diǎn)處，在向左拋物得過程中，滿足動(dòng)量守恒，故有215鐵路上有一靜止的平板車，其質(zhì)量為M,設(shè)平板車可無摩擦地在水平軌道上運(yùn)動(dòng)?，F(xiàn)有N個(gè)人從平板車的后端跳下，每個(gè)人的質(zhì)量均為m,相對(duì)平板車的速度均為u。問：在下列兩種情況下，(1)N個(gè)人同時(shí)跳離；(2)一個(gè)人、一個(gè)人地跳離，平

30、板車的末速是多少?所得的結(jié)果為何不同，其物理原因是什么?(典型)解：取平板車及N個(gè)人組成的系統(tǒng)，以地面為參考系，平板車的運(yùn)動(dòng)方向?yàn)檎较?，系統(tǒng)在該方向上滿足動(dòng)量守恒?？紤]N個(gè)人同時(shí)跳車的情況，設(shè)跳車后平板車的速度為v,則由動(dòng)量守恒定律得0=Mv+Nm(vu)v=Nmu/(Nm+M)(1)又考慮N個(gè)人一個(gè)接一個(gè)的跳車的情況。設(shè)當(dāng)平板車上商有n個(gè)人時(shí)的速度為vn，跳下一個(gè)人后的車速為vnt，在該次跳車的過程中，根據(jù)動(dòng)量守恒有n1(M+nm)vn=Mvn1+(n-1)mvn1+m(vn1-u)(2)由式(2)得遞推公式vn1=vn+mu/(M+nm)(3)當(dāng)車上有N個(gè)人得時(shí)(即N=n),vN=0；當(dāng)

31、車上N個(gè)人完全跳完時(shí)，車速為v0，根據(jù)式(3)有，vN-1=0+mu/(Nm+M)vN-2=vN-1+mu/(N-1)m+M)nmuv=乙0M+nmn=1由于M+nm<M+Nm,n=1,2,3.N故有，vvo即N個(gè)人一個(gè)接一個(gè)地跳車時(shí)，平板車的末速度大于N個(gè)人同時(shí)跳下車的末速度。這是因?yàn)镹個(gè)人逐一跳離車時(shí)，車對(duì)地的速度逐次增加，導(dǎo)致跳車者相對(duì)地面的速度也逐次增加，并對(duì)平板車所作的功也相應(yīng)增大，因而平板車得到的能量也大，其車速也大。2-16一物體在介質(zhì)中按規(guī)律x=ct3作直線運(yùn)動(dòng)，c為一常量。設(shè)介質(zhì)對(duì)物體的阻力正比于速度的平方：f=-kv2,試求物體由x0=0運(yùn)動(dòng)到x=l時(shí)，阻力所作的功。

32、分析本題是一維變力作功問題，仍需按功的定義式W=JF-dr來求解.關(guān)鍵在于尋找力函數(shù)F=F(x).根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系，可將已知力與速度的函數(shù)關(guān)系F(v)=kV2變換到F(t),進(jìn)一步按x=Ct3的關(guān)系把F(t)轉(zhuǎn)換為F(x),這樣，就可按功的定義式求解.解由運(yùn)動(dòng)學(xué)方程xdxccv=3ct2dt=Ct3，可得物體的速度按題意及上述關(guān)系，物體所受阻力的大小為F=kv2=9kc2t4=9kc2/3x4/3則阻力的功為W=JF-dxW=J1F-dr=Jcos1800dx=9kc2/3x4/3dx=27kal7/30072-17一人從10m深的井中提水，起始桶中裝有10kg的水，由于水桶漏水，每升高1m要漏

33、去0.2kg的水。求水桶被勻速地從井中提到井口，人所作的功。(典型)解：水桶在勻速上提的過程中，加速度為0,拉力和重力平衡，在圖示坐標(biāo)下，水桶重力隨位置的變化關(guān)系為G=mgagy其中a=0.2kg/m,人對(duì)水桶的拉力的功為W=J10(mgagy)dy=882J0218如本題圖所示，A和B兩塊板用一輕彈簧連接起來，它們的質(zhì)量分別為m1和叫。問在A板上需加多大的壓力，方可在力停止作用后，恰能使在跳起來時(shí)B稍被提起。(設(shè)彈簧的勁度系數(shù)為k)解：選取如圖所示坐標(biāo)系，取原點(diǎn)處為重力勢能和彈性勢能零點(diǎn)，作各種狀態(tài)下物體的受力圖。對(duì)A板而言,當(dāng)施以外力F時(shí)，根據(jù)受力平衡有F=G+F(1)11當(dāng)外力撤除以后，

34、由機(jī)械能守恒定律得，1k17ky2-mgy=ky2+mgy211222y和y為M、N兩點(diǎn)對(duì)原點(diǎn)O的位移。12因?yàn)镕=ky,F=ky,G=mg上式可以寫為,112211F-F=2G(2)121由(1和(2)式可得F=G+G(3)12當(dāng)A板跳到N點(diǎn)時(shí)，B板剛被提起，此時(shí)彈性力F'=G,22且F=F由式(3)可得22F=G+G=(m+m)g1212219如本題圖所示，質(zhì)量為m、速度為v的鋼球,射向質(zhì)量為M的靶，靶中心有一小孔，內(nèi)有勁度系數(shù)為k的彈簧，此靶最初處于靜止?fàn)顟B(tài)，但可在水平面上作無摩擦滑動(dòng)，求子彈射入靶內(nèi)彈簧后，彈簧的最大壓縮距離。解：設(shè)彈簧得最大壓縮量為x0。小球與靶共同運(yùn)動(dòng)得速度

35、為v1。由動(dòng)量守恒定律，有mv=(m+M)v(1)1又由機(jī)械能守恒定律，有mv2=丄(m+M)v2+kx2(2)2 212由(D式和(2)式可得習(xí)題219圖mMx=v0k(m+M)2 20以質(zhì)量為m的彈丸，穿過如本題圖所示的擺錘后，速率由v減少到v/2。已知擺錘的質(zhì)量為M,擺線長度為l,如果擺錘能在垂直平面內(nèi)完成一個(gè)完全的圓周運(yùn)動(dòng)，彈丸的速度的最小值應(yīng)為多少？解：X由水平方向的動(dòng)量守恒有,根據(jù)能量守恒，可得到:vmv=m+Mv'(1)2為了使擺錘能在垂直平面內(nèi)作圓周運(yùn)動(dòng)，在最高點(diǎn)時(shí)，擺線中的張力F=0,則，(m+m)v2=kx2，所2AB20以:I1kv=x;m+m0'ABMg

36、=Mv'2(2)分離之后，A的動(dòng)能又將逐漸的轉(zhuǎn)化為彈性勢能，所以：式中v'為擺線在圓周最高點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速率。h又由機(jī)械能守恒定律得kx22則:丄Mv'2=2Mgl+Mv'2(3)22h解上述三個(gè)方程，可得擔(dān)丸所需速率的最小值為xAmAm+mABm221如本題圖所示，一質(zhì)量為M的物塊放置在斜面的最底端A處，斜面的傾角為a,高度為h,物塊與斜面的滑動(dòng)摩擦因數(shù)為卩，今有一質(zhì)量為m的子彈以速度v0沿水平方向射入物塊并留在其中,且使物塊沿斜面向上滑動(dòng)，求物塊滑出頂端時(shí)的速度大小。解：在子彈與物塊的撞擊過程中，在沿斜面的方向上，根據(jù)動(dòng)量守恒有mvcosa=(M+m)v(1)oi

37、在物塊上滑的過程中，若令物塊剛滑出斜面時(shí)的速度為v，并取A點(diǎn)的重力勢能為0。由系統(tǒng)的功能原理可得2u(m+M)gcosa-=(m+M)v2+(m+M)gh(m+M)v2(2)sina2221由(D、(2)式可得mv=(vcosa)22gh(ucota+1)2m+M02-23如圖2-41所示，光滑斜面與水平面的夾角為a=30°,輕質(zhì)彈簧上端固定。今在彈簧的另一端輕輕地掛上質(zhì)量為M=1.0kg的木塊，木塊沿斜面從靜止開始向下滑動(dòng)。當(dāng)木塊向下滑x=30cm時(shí)，恰好有一質(zhì)量m=0.01kg的子彈，沿水平方向以速度v=200m/s射中木塊并陷在其中。設(shè)彈簧的勁度系數(shù)為k=25N/m。求子彈打入

38、木塊后它們的共同速度。解：由機(jī)械能守恒條件可得到碰撞前木快的速度，碰撞過程中子彈和木快沿斜面方向動(dòng)量守恒，(瞬間)可得：11Mv2+kx2212=Mgxsinaav1=0.83(碰撞前木快的速度)一mvcosaav'=0.89撞，求碰撞后兩球的速度。(1)224二質(zhì)量相同的小球，一個(gè)靜止，另一個(gè)以速度與靜止的小球作對(duì)心碰假設(shè)碰撞是完全非彈性的；習(xí)題221圖(2)假設(shè)碰撞是完全彈性的；(3)假設(shè)碰撞的恢復(fù)系數(shù)e=0.52-22如圖2-40所示，在光滑水平面上，平放一輕彈簧，彈簧一端固定，另一端連著物體A、解：由碰撞過程動(dòng)量守恒以及附加條件，可得(1)假設(shè)碰撞是完全非彈性的，即兩者將以共同

39、的圖2-40習(xí)題2-22圖B，它們質(zhì)量分別為mA和mB彈簧勁度系數(shù)為k，原長為l。用力推B，使彈簧壓縮速度前行：mv=2mv01所以：v=2v0(2)假設(shè)碰撞是完全彈性的,x，然后釋放。0求：(1)當(dāng)A與B開始分離時(shí)，它們的位置和速度；(2)分離之后，A還能往前移動(dòng)多遠(yuǎn)？解：(1)當(dāng)A和B開始分離時(shí)，兩者具有相同的速度，廣mv=mv+mv012111mv2=mv2+mv2021兩球交換速度，v1=0v2=v0（3）假設(shè)碰撞的恢復(fù)系數(shù)e=0.5，也就是：kmv=mv+mv0123所以v4%：3mVV2V101(2)mv22220kx2+（m+m）v222121xx200.5v203v-v2401

40、v40225如本題圖所示，一質(zhì)量為m的鋼球，系在一長為l的繩一端，繩另一端固定，現(xiàn)將球由水平位置靜止下擺，當(dāng)球到達(dá)最低點(diǎn)時(shí)與質(zhì)量為M,靜止于水平面上的鋼塊發(fā)生彈性碰撞，求碰撞后m和M的速率。解：由機(jī)械能守恒得，碰前m的速度為1mv2=mgl,vwOg1由碰撞前后動(dòng)能和動(dòng)量守恒得111mv2=mv'2+Mv2222mmv=mv'+MvM.mMmMf=v2g1m+Mm+Mvv-匹廊mm+M2-26如圖2-43所示，兩個(gè)質(zhì)量分別為m1和m2的木塊A、B,用一勁度系數(shù)為k的輕彈簧連接，放在光滑的水平面上。A緊靠墻。今用力推B塊，使彈簧壓縮x0然后釋放。（已知m3m）求：（1）釋放后A、

41、B兩滑塊速21度相等時(shí)的速度大??；（2）彈簧的最大伸長量。解：分析題意，可知在彈簧由壓縮狀態(tài)回到原長時(shí)，是彈簧的彈性勢能轉(zhuǎn)換為B木塊的動(dòng)能，然后B帶動(dòng)A一起運(yùn)動(dòng)，此時(shí)動(dòng)量守恒，可得到兩者相同的速度v,并且此時(shí)就是彈簧伸長最大的位置，由機(jī)械能守恒可算出其量值。那么計(jì)算可得:所以：V1習(xí)題225圖圖2-43習(xí)題2-26圖1mv2kx2222020mv-(m+m)v22012227如本題圖示，繩上掛有質(zhì)量相等的兩個(gè)小球，兩球碰撞時(shí)的恢復(fù)系數(shù)e=0.5。球A由靜止?fàn)顟B(tài)釋放，撞擊球B，剛好使球B到達(dá)繩成水平的位置，求證球A釋放前的張角。應(yīng)滿足cos。=1/9。證明：設(shè)球A到達(dá)最低點(diǎn)的速率為v,根據(jù)機(jī)械能

42、守恒有1mv2mg2l(1cos0),/"2所以，v：'4gl(1cos0)(1)設(shè)碰撞后A,B兩球的速率分別為v,v，由題意得:ABvveba0.5v即v一v0.5v(2)BAA,B兩球碰撞時(shí)水平方向動(dòng)量守恒:(3)mv+mvmvBA由(2),(3)式得vB4碰撞后B球機(jī)械能守恒，丄mv2mgl2b6將(1，(4)代入(5)cos0-9故有得:2-28如圖2-45所示，一質(zhì)量為m,半徑為R的球殼，靜止在光滑水平面上，在球殼內(nèi)有另一質(zhì)量也為m，半徑為r的小球，初始時(shí)小球靜止在圖示水平位置上。放手后小球沿大球殼內(nèi)往下滾，同時(shí)大球殼也會(huì)在水平面上運(yùn)動(dòng)。當(dāng)它們?cè)俅戊o止在水平面上時(shí)，

43、問大球殼在水平面上相對(duì)初始時(shí)刻的位移大小是多少？解：系統(tǒng)在水平方向上不受外力，因而系統(tǒng)質(zhì)心的水平位置始終不變。如圖所示，初始時(shí)，系統(tǒng)的質(zhì)心到球心O的距離為（從質(zhì)心公式算）RrxC2小球最終將靜止于大球殼的最下方，而系統(tǒng)質(zhì)心的水平位置始終不變，因而大球殼在水平面上相對(duì)初始時(shí)刻的0位移大小(另外從質(zhì)心公式算)Ax=i)圖2-46習(xí)題2-29圖0J®所以，此時(shí)間內(nèi)轉(zhuǎn)過的圈數(shù)為n=云=定。2-29如圖2-46所示，從坐標(biāo)原點(diǎn)以v0的初速度發(fā)射一發(fā)炮彈，發(fā)射傾角0=45°。當(dāng)2v2炮彈到達(dá)X二4處時(shí)，突13g然爆炸分成質(zhì)量相同的兩塊，其中一塊豎直下落，求另一塊落地時(shí)的位置x2是多少？

44、解：炮彈爆炸后其質(zhì)心仍按原拋物線軌道運(yùn)動(dòng)，因而落地32質(zhì)量面密度為的均勻矩形板，試證其對(duì)與板面垂直的，通過幾何中心的軸線的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J=ab(a2+b2)。12其中a，b為矩形板的長，寬。0V2后的質(zhì)心坐標(biāo)為X=7Cgmx+mx由式x=j亠，且m=m=m，有Cm+m121 2證明一：如圖，在板上取一質(zhì)元dm=bdxdy，對(duì)與板面垂直的、通過幾何中心的軸線的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為dJ=Ir2dmlyb11dmfe-F0x丄Hfax=2x-x=*(1-i)=4V02 C1g33g第三章剛體力學(xué)31通風(fēng)機(jī)的轉(zhuǎn)動(dòng)部分以初角速度3°繞其軸轉(zhuǎn)動(dòng)，空氣的阻力矩與角速度成正比，比例系數(shù)C為一常量。若轉(zhuǎn)動(dòng)部分對(duì)其

45、軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J，問：(1)經(jīng)過多少時(shí)間后其轉(zhuǎn)動(dòng)角速度減少為初角速度的一半？(2)在此時(shí)間內(nèi)共轉(zhuǎn)過多少轉(zhuǎn)？解：(1)由題可知：阻力矩M=-Co，d®又因?yàn)檗D(zhuǎn)動(dòng)定理M=JP=Jdtd®C®=Jdt®0®oJn®Cln=tJ0c®=®e-jtoJ、小t=ln2。C(2)角位移t®dt=Jcln2®e-Jdt=0,oo02C(x2+ydxdyo=ab(a2+b2)12證明二：如圖，在板上取一細(xì)棒dm=obdx，對(duì)通過細(xì)棒中心與棒垂直的轉(zhuǎn)動(dòng)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為dm-b2，根12據(jù)平行軸定理，對(duì)與板面垂直的、通

46、過幾何中心的軸線的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為dJ=dm-b2+dm(a-x)2122=ob3dx+ob(a-x)2dx12211oJ=JdJ=ob3a+oba3=ab(a2+b2)(這121212八道題以右邊為坐標(biāo)原點(diǎn)，左為正方向)3-3如圖3-28所示，一輕繩跨過兩個(gè)質(zhì)量為m、半徑為r的均勻圓盤狀定滑輪，繩的兩端分別掛著質(zhì)量為2m和m的重物，繩與滑輪間無相對(duì)滑動(dòng)，滑輪軸光圖3-28習(xí)題3-3圖滑，求重物的加速度和各段繩中的張力。（現(xiàn)在滑輪質(zhì)量要計(jì)，所以繩子拉力會(huì)不等）解：受力分析如圖umglt=-ml2®4122mg一T=2ma2(1)T一mg=ma(2)i(T-T)r二JP(3)2(T一T/r=

47、JP(4)（對(duì)于質(zhì)量非常小的物體，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為零,T=T1）1a=rp，J=mr22才有可能聯(lián)立求出1”11a=g，T=mg，483-4如圖3-29所示，一均勻細(xì)桿長為L,質(zhì)量為m，平放在摩擦系數(shù)為卩的水平桌面上，設(shè)開始時(shí)桿3=mg2以角速度®°繞過細(xì)桿中心的豎直軸轉(zhuǎn)動(dòng)，試求：（1）作用于桿的摩擦力矩；（2）經(jīng)過多長時(shí)間桿才會(huì)停止轉(zhuǎn)動(dòng)。（1）解：設(shè)桿的線35質(zhì)量為m1和叫的兩物體A、B分別懸掛在如本題圖所示的組合輪兩端。設(shè)兩輪的半徑分別為R和r,兩輪的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量分別為J1和J2,輪與軸承間的摩擦力略去不計(jì)，繩的質(zhì)量也略去不計(jì)。試求兩物體的加速度和繩中的張力。解：分別對(duì)兩物體做如

48、圖的受力分析。根據(jù)牛頓定律有mg一T=ma1111(j7圖3-29習(xí)題3-4圖m九=，在桿上取一小質(zhì)兀又因?yàn)榻M合輪的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量是兩輪慣量之和，根據(jù)轉(zhuǎn)動(dòng)定理有（從積分定義式即可算出）TRTr=(J+J)a1212而且，a=Ru，a=a，(列1.牛-2.轉(zhuǎn)動(dòng)定律123約束方程即可求解)mR一mr廠a=12gR1J+J+mR2+mr21212mRmra=12gr2J+J+mR2+mr21212dm二九dxdf=Mmg=pAgdxJ+J+mr2+mRr122smgJ+J+mR2+mr211212dM=說gxdx考慮對(duì)稱M=2J2卩九gxdx=pmgl04(2)根據(jù)轉(zhuǎn)動(dòng)定律M=JP=J"dfMd

49、t=J0JdJ+J+mR2+mRrT=t211mg2J+J+mR2+mr2212123 6如本題圖所示裝置，定滑輪的半徑為r,繞轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J，滑輪兩邊分別懸掛質(zhì)量為m和m2的物體A、BoA置于傾角為e的斜面上，它和斜面間的摩擦因數(shù)為卩。若B向下作加速運(yùn)動(dòng)時(shí)，求：（1）其下落加速度的大??；（2）滑輪兩邊繩子的張力。（設(shè)繩的質(zhì)量及伸長均不計(jì)，繩與滑輪間無滑動(dòng)，滑輪軸光滑）解:A、B物體的受力分析如圖。根據(jù)牛頓定律有T一mgsin0一f=ma1111上細(xì)棒至少應(yīng)具有多大的角速度w，才能轉(zhuǎn)動(dòng)到水平位置?mg-T=ma2222對(duì)滑輪而言，根據(jù)轉(zhuǎn)動(dòng)定律有Tr一Tr=Ja21由于繩子不可伸長、繩與輪之

50、間無滑動(dòng)，則解：機(jī)械能守恒Jw2=kx22（一開始的機(jī)械能=后面的機(jī)械能，水平臨界狀態(tài)速度為零，沒有轉(zhuǎn)動(dòng)能）圖3-33習(xí)題3-8圖據(jù)幾何關(guān)系(x+0.5)2=1.52+12w=3.28rad-s-1a二a二ra12mg一mgsin0-pmgcos0.aa2111T=122m+m+Jr212mmg(1+sin0+pcos0)+(sin0+pcos0)mgJ.T=12+1m+m+Jr212mmg(1+sin0+pcos0)+mgJr23-9如圖3-34所示，一質(zhì)量為m、半徑為R的圓盤，可繞過O點(diǎn)的水平軸在豎直面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)。若盤從圖中實(shí)線/位置開始由靜止下落，略去軸承的摩，-擦，求：（1）盤轉(zhuǎn)到圖中虛線所示的''鉛直位置時(shí)，質(zhì)心C和盤緣A點(diǎn)的速":-"JA率；（2）在虛線位置軸對(duì)圓盤的作用力。圖3-34習(xí)題3-9圖解：在虛線位置的C點(diǎn)設(shè)為重力勢能的零點(diǎn)，下降過程機(jī)械能守恒mgR=2Jw23-7如圖3-32所示，定滑輪轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J,半徑為r；物體的質(zhì)量為m,用一細(xì)繩與勁度系數(shù)為k的彈簧相連，若繩與滑輪間無相對(duì)滑動(dòng)，滑輪軸上的摩擦忽略不計(jì)。