1、第四章 時(shí)間序列分析第一節(jié)第一節(jié) 隨機(jī)過(guò)程、時(shí)間序列隨機(jī)過(guò)程、時(shí)間序列第二節(jié)第二節(jié) 時(shí)間序列模型的分類時(shí)間序列模型的分類 第三節(jié)第三節(jié) 自相關(guān)函數(shù)自相關(guān)函數(shù) 第四節(jié)第四節(jié) 偏自相關(guān)函數(shù)偏自相關(guān)函數(shù) 第五節(jié)第五節(jié) 時(shí)間序列模型的建立與預(yù)測(cè)時(shí)間序列模型的建立與預(yù)測(cè) 時(shí)間序列分析方法由時(shí)間序列分析方法由Box-Jenkins (1976) Box-Jenkins (1976) 年提出。它適用年提出。它適用于各種領(lǐng)域的時(shí)間序列分析。于各種領(lǐng)域的時(shí)間序列分析。 時(shí)間序列模型不同于經(jīng)濟(jì)計(jì)量模型的兩個(gè)特點(diǎn)是：時(shí)間序列模型不同于經(jīng)濟(jì)計(jì)量模型的兩個(gè)特點(diǎn)是： 這種建模方法這種建模方法不以經(jīng)濟(jì)理論為依據(jù)不以經(jīng)濟(jì)理論

2、為依據(jù)，而是依據(jù)變量自身，而是依據(jù)變量自身的變化規(guī)律，利用外推機(jī)制描述時(shí)間序列的變化。的變化規(guī)律，利用外推機(jī)制描述時(shí)間序列的變化。 明確明確考慮時(shí)間序列的非平穩(wěn)性考慮時(shí)間序列的非平穩(wěn)性。如果時(shí)間序列非平穩(wěn)，。如果時(shí)間序列非平穩(wěn)， 建立模型之前應(yīng)先通過(guò)差分把它變換成平穩(wěn)的時(shí)間序列，再建立模型之前應(yīng)先通過(guò)差分把它變換成平穩(wěn)的時(shí)間序列，再考慮建模問(wèn)題?？紤]建模問(wèn)題。 第一節(jié)第一節(jié) 隨機(jī)過(guò)程、時(shí)間序列隨機(jī)過(guò)程、時(shí)間序列 為什么在研究時(shí)間序列之前先要介紹隨機(jī)過(guò)程？就是要把時(shí)間序列的研為什么在研究時(shí)間序列之前先要介紹隨機(jī)過(guò)程？就是要把時(shí)間序列的研究提高到理論高度來(lái)認(rèn)識(shí)。時(shí)間序列不是無(wú)源之水。它是由相應(yīng)隨機(jī)

3、過(guò)程產(chǎn)究提高到理論高度來(lái)認(rèn)識(shí)。時(shí)間序列不是無(wú)源之水。它是由相應(yīng)隨機(jī)過(guò)程產(chǎn)生的。只有從隨機(jī)過(guò)程的高度認(rèn)識(shí)了它的一般規(guī)律。對(duì)時(shí)間序列的研究才會(huì)生的。只有從隨機(jī)過(guò)程的高度認(rèn)識(shí)了它的一般規(guī)律。對(duì)時(shí)間序列的研究才會(huì)有指導(dǎo)意義。對(duì)時(shí)間序列的認(rèn)識(shí)才會(huì)更深刻。有指導(dǎo)意義。對(duì)時(shí)間序列的認(rèn)識(shí)才會(huì)更深刻。 自然界中事物變化的過(guò)程可以分成兩類。自然界中事物變化的過(guò)程可以分成兩類。一類是確定型過(guò)程，一類是非一類是確定型過(guò)程，一類是非確定型過(guò)程確定型過(guò)程。 確定型過(guò)程即可以用關(guān)于時(shí)間確定型過(guò)程即可以用關(guān)于時(shí)間t t的函數(shù)描述的過(guò)程。例如，真空中的自的函數(shù)描述的過(guò)程。例如，真空中的自由落體運(yùn)動(dòng)過(guò)程，電容器通過(guò)電阻的放電過(guò)程

4、，行星的運(yùn)動(dòng)過(guò)程等。由落體運(yùn)動(dòng)過(guò)程，電容器通過(guò)電阻的放電過(guò)程，行星的運(yùn)動(dòng)過(guò)程等。 非確定型過(guò)程即不能用一個(gè)（或幾個(gè)）關(guān)于時(shí)間非確定型過(guò)程即不能用一個(gè)（或幾個(gè)）關(guān)于時(shí)間t t的確定性函數(shù)描述的過(guò)的確定性函數(shù)描述的過(guò)程。換句話說(shuō)，對(duì)同一事物的變化過(guò)程獨(dú)立、重復(fù)地進(jìn)行多次觀測(cè)而得到的程。換句話說(shuō)，對(duì)同一事物的變化過(guò)程獨(dú)立、重復(fù)地進(jìn)行多次觀測(cè)而得到的結(jié)果是不相同的。例如，對(duì)河流水位的測(cè)量。其中每一時(shí)刻的水位值都是一結(jié)果是不相同的。例如，對(duì)河流水位的測(cè)量。其中每一時(shí)刻的水位值都是一個(gè)隨機(jī)變量。如果以一年的水位紀(jì)錄作為實(shí)驗(yàn)結(jié)果，便得到一個(gè)水位關(guān)于時(shí)個(gè)隨機(jī)變量。如果以一年的水位紀(jì)錄作為實(shí)驗(yàn)結(jié)果，便得到一個(gè)水

5、位關(guān)于時(shí)間的函數(shù)間的函數(shù)x xt t。這個(gè)水位函數(shù)是預(yù)先不可確知的。只有通過(guò)測(cè)量才能得到。而這個(gè)水位函數(shù)是預(yù)先不可確知的。只有通過(guò)測(cè)量才能得到。而在每年中同一時(shí)刻的水位紀(jì)錄是不相同的。在每年中同一時(shí)刻的水位紀(jì)錄是不相同的。 1.隨機(jī)過(guò)程：由隨機(jī)變量組成的一個(gè)有序序列稱為隨機(jī)過(guò)程，記為x (s, t) , sS , tT 。其中 S 表示樣本空間，T 表示序數(shù)集。對(duì)于每一個(gè) t, tT, x (, t ) 是樣本空間 S 中的一個(gè)隨機(jī)變量。 對(duì)于每一個(gè) s, sS , x (s, ) 是隨機(jī)過(guò)程在序數(shù)集 T 中的一次實(shí)現(xiàn)。 x11, x21, , xT-11, xT1 x12, x22, , x

6、T-12, xT2 樣本空間 x1s, x2s, , xT-1s, xTs 隨機(jī)過(guò)程簡(jiǎn)記為 xt 或 xt。隨機(jī)過(guò)程也常簡(jiǎn)稱為過(guò)程。 隨機(jī)過(guò)程一般分為兩類。一類是離散型的，一類是連續(xù)型的。如果一個(gè)隨機(jī)過(guò)程xt對(duì)任意的 tT 都是一個(gè)連續(xù)型隨機(jī)變量，則稱此隨機(jī)過(guò)程為連續(xù)型隨機(jī)過(guò)程。如果一個(gè)隨機(jī)過(guò)程xt對(duì)任意的tT 都是一個(gè)離散型隨機(jī)變量， 則稱此隨機(jī)過(guò)程為離散型隨機(jī)過(guò)程。 離散型連續(xù)型隨機(jī)過(guò)程非平穩(wěn)的平穩(wěn)的寬平穩(wěn)過(guò)程平穩(wěn)過(guò)程強(qiáng)嚴(yán))(嚴(yán)（強(qiáng)）平穩(wěn)過(guò)程：一個(gè)隨機(jī)過(guò)程中若隨機(jī)變量的任意子集的聯(lián)合分布函數(shù)與時(shí)間無(wú)關(guān)，即無(wú)論對(duì) T 的任何時(shí)間子集（t1, t 2, , tn）以及任何實(shí)數(shù) k, (ti +

7、 k) T, i = 1, 2, , n 都有 F( x(t1) , x(t2), , x(tn) ) = F(x(t1 + k), x(t2 + k), , x(tn + k) ) 成立，其中 F() 表示 n 個(gè)隨機(jī)變量的聯(lián)合分布函數(shù)，則稱其為嚴(yán)平穩(wěn)過(guò)程或強(qiáng)平穩(wěn)過(guò)程。 嚴(yán)平穩(wěn)意味著隨機(jī)過(guò)程所有存在的矩都不隨時(shí)間的變化而變化。嚴(yán)平穩(wěn)的條件是非常嚴(yán)格的，而且對(duì)于一個(gè)隨機(jī)過(guò)程，上述聯(lián)合分布函數(shù)不便于分析和使用。因此希望給出不象強(qiáng)平穩(wěn)那樣嚴(yán)格的條件。若放松條件，則可以只要求分布的主要參數(shù)相同。如只要求從一階到某階的矩函數(shù)相同。這就引出了寬平穩(wěn)概念。 如果一個(gè)隨機(jī)過(guò)程 m 階矩以下的矩的取值全部與時(shí)

8、間無(wú)關(guān)，則稱該過(guò)程為 m 階平穩(wěn)過(guò)程。比如 E x(ti) = E x(ti + k) = , Varx(ti) = Varx(ti + k) = 2 , Covx(ti), x(tj) = Covx (ti + k), x (tj + k) = i j2 , 其中 , 2 和 ij2 為常數(shù)， 不隨 t, (tT ); k, ( (tr + k) T, r = i, j ) 變化而變化，則稱該隨機(jī)過(guò)程 xt 為二階平穩(wěn)過(guò)程。該過(guò)程屬于寬平穩(wěn)過(guò)程。 如果嚴(yán)平穩(wěn)過(guò)程的二階矩為有限常數(shù)值，則其一定是寬平穩(wěn)過(guò)程。反之，一個(gè)寬平穩(wěn)過(guò)程不一定是嚴(yán)平穩(wěn)過(guò)程。但對(duì)于正態(tài)隨機(jī)過(guò)程而言，嚴(yán)平穩(wěn)與寬平穩(wěn)是一致的。

9、這是因?yàn)檎龖B(tài)隨機(jī)過(guò)程的聯(lián)合分布函數(shù)完全由均值、方差和協(xié)方差所惟一確定。 2.時(shí)間序列：隨機(jī)過(guò)程的一次實(shí)現(xiàn)稱為時(shí)間序列，也用x t 或 x t表示。 與隨機(jī)過(guò)程相對(duì)應(yīng)，時(shí)間序列分類如下， 連續(xù)型* （心電圖，水位紀(jì)錄儀，溫度紀(jì)錄儀） 時(shí)間序列 從相同的時(shí)間間隔點(diǎn)上取自連續(xù)變化的序列（人口序列） 離散型 一定時(shí)間間隔內(nèi)的累集值 （年糧食產(chǎn)量，進(jìn)出口額序列） 時(shí)間序列中的元素稱為觀測(cè)值。 xt既表示隨機(jī)過(guò)程， 也表示時(shí)間序列。xt既表示隨機(jī)過(guò)程的元素隨機(jī)變量，也表示時(shí)間序列的元素觀測(cè)值。在不致引起混淆的情況下，為方便，xt 也直接表示隨機(jī)過(guò)程和時(shí)間序列。 隨機(jī)過(guò)程與時(shí)間序列的關(guān)系圖示如下 隨機(jī)過(guò)程:

10、 x1, x2, , xT-1, xT, 第 1 次觀測(cè)：x11, x21, , xT-11, xT1 第 2 次觀測(cè)：x12, x22, , xT-12, xT2 第 n 次觀測(cè)：x1n, x2n, , xT-1n, xTn 某河流一年的水位值，x1, x2, , xT-1, xT,，可以看作一個(gè)隨機(jī)過(guò)程。每一年的水位紀(jì)錄則是一個(gè)時(shí)間序列，x11, x21, , xT-11, xT1。而在每年中同一時(shí)刻（如 t = 2 時(shí)）的水位紀(jì)錄是不相同的。 x21, x22, , x2n, 構(gòu)成了 x2取值的樣本空間。 例如，要記錄某市日電力消耗量，則每日的電力消耗量就是一個(gè)隨機(jī)變量，于是得到一個(gè)日電

11、力消耗量關(guān)于天數(shù) t 的函數(shù)。而這些以年為單位的函數(shù)族構(gòu)成了一個(gè)隨機(jī)過(guò)程 xt, t = 1, 2, 365。因?yàn)闀r(shí)間以天為單位，是離散的，所以這個(gè)隨機(jī)過(guò)程是離散型隨機(jī)過(guò)程。 而一年的日電力消耗量的實(shí)際觀測(cè)值序列就是一個(gè)時(shí)間序列。 自然科學(xué)領(lǐng)域中的許多時(shí)間序列常常是平穩(wěn)的。 如工業(yè)生產(chǎn)中對(duì)液面、壓力、溫度的控制過(guò)程，某地的氣溫變化過(guò)程，某地 100 年的水文資料，單位時(shí)間內(nèi)路口通過(guò)的車輛數(shù)過(guò)程等。但經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域中多數(shù)宏觀經(jīng)濟(jì)時(shí)間序列卻都是非平穩(wěn)的。如一個(gè)國(guó)家的年 GDP 序列，年投資序列，年進(jìn)出口序列等。 3.差分：時(shí)間序列變量的本期值與其滯后值相減的運(yùn)算叫差分。首先給出差分符號(hào)。對(duì)于時(shí)間序列x

12、t ，一階差分可表示為 x t - x t -1 = x t = (1- L) x t = x t - L x t (4.1) 其中 稱為一階差分算子。L 稱為滯后算子，其定義是Ln x t = xt- n 。 二次一階差分表示為， xt = xt - xt -1 = (xt - xt -1) (xt-1 - xt -2) = xt - 2 xt -1+ xt 2， 或 xt = (1- L ) 2 xt = (1 2L + L 2 ) xt = xt 2 xt-1+ xt2 (4.2) k 階差分可表示為 xt - xt -k = k xt = (1- Lk ) xt = xt Lk xt

13、k 階差分常用于季節(jié)性數(shù)據(jù)的差分。 4.兩種基本的隨機(jī)過(guò)程 (1)白噪聲（white noise）過(guò)程 白噪聲過(guò)程：對(duì)于隨機(jī)過(guò)程 xt , tT , 如果 E(xt) = 0, Var (xt) = 2 , tT; Cov (xt, xt + k) = 0, (t + k ) T , k 0 , 則稱xt為白噪聲過(guò)程。 白噪聲是平穩(wěn)的隨機(jī)過(guò)程，因其均值為零，方差不變，隨機(jī)變量之間非相關(guān)。 顯然上述白噪聲是二階寬平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程。 如果xt 同時(shí)還服從正態(tài)分布， 則它就是一個(gè)強(qiáng)平穩(wěn)的隨機(jī)過(guò)程。 白噪聲源于物理學(xué)與電學(xué)， 原指音頻和電信號(hào)在一定頻帶中的一種強(qiáng)度不變的干擾聲。 (2)隨機(jī)游走（rando

14、m walk）過(guò)程 對(duì)于下面的表達(dá)式 xt = xt -1 + ut ( 4.3) 如果 ut 為白噪聲過(guò)程，則稱 xt 為隨機(jī)游走過(guò)程。 “隨機(jī)游走” 一詞首次出現(xiàn)于 1905 年自然 （Nature） 雜志第 72 卷 Pearson K. 和 Rayleigh L.的一篇通信中。該信件的題目是“隨機(jī)游走問(wèn)題” 。文中討論尋找一個(gè)被放在野地中央的醉漢的最佳策略是從投放點(diǎn)開(kāi)始搜索。 隨機(jī)游走過(guò)程的均值為零，方差為無(wú)限大。 xt = xt -1 + ut = ut + ut-1 + xt -2 = ut + ut-1 + ut-2 + E(xt) = E(ut + ut-1 + ut-2 +

15、) = 0, Var(xt) = Var(ut + ut-1 + ut-2 + ) = tu2 所以隨機(jī)游走過(guò)程是非平穩(wěn)的隨機(jī)過(guò)程。 -3-2-1012320406080100120140160180200white noise -4-202420406080100120140160180200DJPY 由白噪聲過(guò)程產(chǎn)生的時(shí)間序列 日元對(duì)美元匯率的收益率序列 -25-20-15-10-50520406080100120140160180200random walk 8085909510010511050100150200250300JPY 由隨機(jī)游走過(guò)程產(chǎn)生時(shí)間序列 日元對(duì)美元匯率（300 天

16、，1995 年） 第二節(jié)第二節(jié) 時(shí)間序列模型的分類時(shí)間序列模型的分類 一、自回歸過(guò)程(Auto-regressive model,AR) 如果一個(gè)隨機(jī)過(guò)程可表達(dá)為 xt = 1xt-1 + 2 xt-2 + + p xt-p + ut , (4.4) 其中i, i = 1, p 是自回歸參數(shù)，ut 是白噪聲過(guò)程，則稱 xt為 p 階自回歸過(guò)程，用AR(p)表示。xt是由它的 p 個(gè)滯后變量的加權(quán)和以及 ut相加而成。 若用滯后算子表示 (1- 1L - 2 L2 - - p Lp ) xt = L) xt = ut (4.5) 其中 L) = 1- 1L - 2 L2 - - p Lp稱為特征

17、多項(xiàng)式或自回歸算子。 與自回歸模型常聯(lián)系在一起的是平穩(wěn)性問(wèn)題。對(duì)于自回歸過(guò)程 AR(p)，如果其特征方程 z) = 1- 1 z - 2 z2 - - p z p = (1 G1 z) (1 G2 z) . (1 Gp z) = 0 (4.6) 的所有根的絕對(duì)值都大于 1，則 AR(p)是一個(gè)平穩(wěn)的隨機(jī)過(guò)程。 AR(p) 過(guò)程中最常用的是 AR(1)、AR(2)過(guò)程， xt = 1 xt-1 + ut (4.7) 保持其平穩(wěn)性的條件是特征方程 (1 - 1 L) = 0 根的絕對(duì)值必須大于 1，滿足|1/1| 1，也就是： | 1| 1 解釋如下：一階自回歸過(guò)程，xt = 1 xt-1 + u

18、t，可寫為 (1- 1L) xt = ut xt = (1- 1 L)-1 ut 在 | 1| 1 條件下，有 xt = (1+ 1L + (1 L) 2 + (1 L) 3 +) ut 若保證 AR(1)具有平穩(wěn)性，0i1iiL必須收斂，即 1必須滿足|1| 1。這是容易理解的，如果|1| 1，0i1iiL發(fā)散，于是 xt 變成一個(gè)非平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程。 由（4.7）式有 xt = ut + 1 ut-1 + 12 xt-2 = ut + 1 ut-1 + 12 ut-2 + （短記憶過(guò)程） 因?yàn)?ut 是一個(gè)白噪聲過(guò)程，所以對(duì)于平穩(wěn)的 AR(1)過(guò)程 E(xt) = 0 Var (xt) = u

19、2 + 12 u2 + 14u2 + = 22111u 上式也說(shuō)明若保證 xt平穩(wěn)，必須保證 | 1| 1, L2 1（在單位圓外）或 1 1, 2 1 (2) 下面利用上述平穩(wěn)性條件分析 AR(2) 過(guò)程中參數(shù) 2， 1的值域。由 (1) 式得 1 + 2 = 242211+242211= 1 (3) 1 2 = 4422121 = - 2 (4) 利用 (3)，(4) 式得 2 + 1 = - 1 2 + (1 +2) = 1 (1- 1) (1- 2 ) 2 - 1 = - 1 2 - (1 +2) = 1 (1+ 1) (1+ 2 ) 無(wú)論 1, 2為實(shí)數(shù)或共軛復(fù)數(shù)，由 1 1, 2

20、0， 從而得 2 + 1 1 (5) 2 - 1 1 (6) 由 (2) 和 (4) 式得 -1 2 0 時(shí)， L1, L2 為不等實(shí)數(shù)根。2, 1的值位于過(guò)阻尼區(qū)（自相關(guān)函數(shù)呈指數(shù)衰減） 。 (3)當(dāng) 12 + 4 2 0 時(shí)， z1, z2 為共軛復(fù)根。 2, 1的值位于欠阻尼區(qū) （自相關(guān)函數(shù)呈正弦震蕩衰減） 。 圖 1 平穩(wěn) AR(2) 過(guò)程1, 2取值域（陰影部分） 例2 有AR(2) 模型xt = 0.7 xt -1 - 0.1 xt -2 + ut，試判別xt的平穩(wěn)性。 解：有3種方法。 1+2= 0.6， -1+2= -0.8，2= - 0.1， 滿足條件 （5） （6） （7）

21、 ，所以xt是平穩(wěn)的。 由原式得 (1 - 0.7 L + 0.1 L2 ) xt = ut 。 特征方程為， (1 - 0.7 L + 0.1 L 2 ) = 0 (1 - 0.2 L) (1- 0.5 L) = 0 特征方程的兩個(gè)根是，L1 = 5，L2 = 2。因?yàn)閮蓚€(gè)根都在單位圓之外，所以xt是平穩(wěn)的。 從圖1看，因?yàn)椋?, 2）= (0.7, -0.1)，落在了AR(2) 過(guò)程的平穩(wěn)域，落在了過(guò)阻尼區(qū)，所以xt為平穩(wěn)過(guò)程。 例 3：設(shè) AR(2) 模型 x t = 0.6 x t-1 - 0.1 x t-2 + ut ，試判別 xt的平穩(wěn)性。 解： 1+2= 0.5，-1+2= -0

22、.7，2= - 0.1，滿足條件（5） （6） （7） ，所以 xt是平穩(wěn)的。 由原式得，(1 - 0.6 L + 0.1 L2 ) x t = ut ，特征方程為， (1 - 0.6 L + 0.1 L2 ) = 0 因?yàn)樘卣鞣匠讨懈黜?xiàng)都是實(shí)數(shù)，所以其虛根必然是共軛的。 1- (0.3 - 0.1i ) L 1- (0.3 + 0.1i ) L = 0 特征方程的兩個(gè)根是， 3 + i L1 = i 1 . 03 . 01 = )1 . 03 . 0)(1 . 03 . 0()1 . 03 . 0(iii = 3 + i， 3 L2 = i 1 . 03 . 01 = 3 - i， 3 -

23、i 因?yàn)閮蓚€(gè)根都在單位圓之外，所以 xt是平穩(wěn)的隨機(jī)過(guò)程。 從圖 1 看，因?yàn)椋?, 2）= (0.6, -0.1)，落在了AR(2) 過(guò)程的平穩(wěn)域，落在了欠阻尼區(qū)，所以xt為平穩(wěn)過(guò)程。 例 4：有 AR(2) 模型 x t = 0.7 x t-1 + 0.6 x t-2 + ut ，試判別 xt的平穩(wěn)性。 解： 1+2= 1.3，-1+2= -0.1，2= 0.6，條件（5）不滿足，所以 xt是非平穩(wěn)的。 由原式得，(1 - 0.7 L - 0.6 L2 ) xt = ut ，特征方程為， (1 - 0.7 z - 0.6 z 2 ) = 0 (1 + 0.5 z ) (1- 1.2 z )

24、 = 0 特征方程的兩個(gè)根是，z1 = -2，z2 = 0.83。因?yàn)橐粋€(gè)根 0.83 在單位圓內(nèi)，所以 xt是一個(gè)非平穩(wěn)的隨機(jī)過(guò)程。 從圖 1 看，因?yàn)椋?, 2）= (0.7, 0.6)，落在了 AR(2) 過(guò)程的非平穩(wěn)域，所以 xt為非平穩(wěn)過(guò)程。 對(duì)于一般的自回歸過(guò)程AR (p)，特征多項(xiàng)式 (L) = 1 - 1 L - 2 L2 - - p Lp = (1 G1 L) (1 G2 L) . (1 Gp L) 則xt 可表達(dá)為 xt = -1 (L) ut = (LGk -111+LGk -122+ +) -1LGkpput , (4.8) 其中k1, k 2, , k p 是待定系數(shù)

25、。 xt 具有平穩(wěn)性的條件是 -1 (L) 必須收斂， 即應(yīng)有| Gi | 1。由上式可看出一個(gè)平穩(wěn)的AR(p)過(guò)程可以轉(zhuǎn)換成一個(gè)無(wú)限階的移動(dòng)平均過(guò)程（p 個(gè)無(wú)窮級(jí)數(shù)之和） 。 保證AR(p) 過(guò)程平穩(wěn)的一個(gè)必要但不充分的條件是p個(gè)自回歸系數(shù)之和要小于1，即： pii1 二、移動(dòng)平均過(guò)程移動(dòng)平均過(guò)程(Moving Average model,MA) 如果一個(gè)線性隨機(jī)過(guò)程可用下式表達(dá) xt = ut + 1 ut 1 + 2 ut -2 + + q ut q = (1 + 1L + 2 L2 + + q Lq) ut = L) ut (4.9) 其中 1, 2, , q是回歸參數(shù)，ut為白噪聲過(guò)

26、程，則上式稱為 q 階移動(dòng)平均過(guò)程，記為 MA(q) 。之所以稱“移動(dòng)平均” ，是因?yàn)?xt是由 q +1 個(gè) ut和 ut滯后項(xiàng)的加權(quán)和構(gòu)造而成。 “移動(dòng)”指 t 的變化， “平均”指加權(quán)和。 注意注意： （1）由定義知任何一個(gè) q 階移動(dòng)平均過(guò)程都是由 q + 1 個(gè)白噪聲變量的加權(quán)和組成，所以任何一個(gè)移動(dòng)平均過(guò)程都是平穩(wěn)的。 （2） 與移動(dòng)平均過(guò)程相聯(lián)系的一個(gè)重要概念是可逆性。 移動(dòng)平均過(guò)程具有可逆性的條件是特征方程。 z) = (1 + 1 z + 2 z2 + + q zq)= 0 (4.10) 的全部根的絕對(duì)值必須大于 1。 由 (4.9) 有 L)-1xt = ut。由于 L)

27、可表示為 L) = (1 H1 L) ( 1 H2 L) (1 Hq L) 所以有 L)-1 =（LHm111+LHm221+HqLmq1）, (4.11) mi為待定參數(shù)?？梢?jiàn)保證 MA(q)過(guò)程可以轉(zhuǎn)換成一個(gè)無(wú)限階自回歸過(guò)程，即 MA(q)具有可逆性的條件L)-1收斂。對(duì)于 | L | 1，必須有|Hj| 1，j = 1，2，q 成立。而 Hj -1是特征方程 L) = (1 H1 L) ( 1 H2 L) (1 Hq L) = 0 的根，所以 MA(q)過(guò)程具有可逆性的條件是特征方程 L) = 0 的根必須在單位圓之外。 （因?yàn)?x t = L) ut是平穩(wěn)的，如果變換成 L)-1 xt

28、 = ut 后，變得不平穩(wěn)，顯然失去可逆性。 ） (3)對(duì)于無(wú)限階的移動(dòng)平均過(guò)程 xt = 0i( i u t -i = ut (1+1 L + 2 L 2 + ) (4.12) 其方差為 Var(xt) = 0i( i2 Var (ut i) = u2 0i i2 (4.13) 很明顯雖然有限階移動(dòng)平均過(guò)程都是平穩(wěn)的，但對(duì)于無(wú)限階移動(dòng)平均過(guò)程還須另加約束條件才能保證其平穩(wěn)性。這條件就是x t的方差必須為有限值，即 0i2i MA(q) 過(guò)程中最常見(jiàn)的是一階移動(dòng)平均過(guò)程， xt = (1+ 1 L) ut (4.14) 其具有可逆性的條件是 （1 + 1L） = 0 的根 （絕對(duì)值） 應(yīng)大于

29、1， 即 |1/ 1| 1, 或| 1| 1。當(dāng)|1| 1 時(shí)，MA(1)過(guò)程（4.14）應(yīng)變換為 ut = (1+ 1L) 1 xt = (1 - 1L + 12L2 - 13L3 + ) xt (4.15) 這是一個(gè)無(wú)限階的以幾何衰減特征為權(quán)數(shù)的自回歸過(guò)程。 對(duì)于 MA(1)過(guò)程有 E(x t) = E(ut) + E( 1 ut - 1) = 0 Var(xt) = Var(ut) + Var( 1 ut 1) = (1+ 12 ) u2 自回歸與移動(dòng)平均過(guò)程的關(guān)系 一個(gè)平穩(wěn)的 AR(p)過(guò)程 (1 - 1L - 2L2 - - pLp ) xt = ut 可以轉(zhuǎn)換為一個(gè)無(wú)限階的移動(dòng)平均

30、過(guò)程， xt = (1 - 1L - 2L2 - - pLp )-1 u t = L)-1 ut 一個(gè)可逆的 MA(p)過(guò)程 xt = (1 + 1L + 2 L2 + + q Lq ) ut = L) ut 可轉(zhuǎn)換成一個(gè)無(wú)限階的自回歸過(guò)程， (1 + 1L + 2 L2 + + q Lq)-1 xt = L) -1 xt = ut 對(duì)于 AR(p)過(guò)程只需考慮平穩(wěn)性問(wèn)題，條件是 L) = 0 的根（絕對(duì)值）必須大于 1。不必考慮可逆性問(wèn)題。 對(duì)于 MA(q)過(guò)程，只需考慮可逆性問(wèn)題，條件是 L) = 0 的根（絕對(duì)值）必須大于 1，不必考慮平穩(wěn)性問(wèn)題。 三、自回歸移動(dòng)平均過(guò)程 由自回歸和移動(dòng)

31、平均兩部分共同構(gòu)成的隨機(jī)過(guò)程稱為自回歸移動(dòng)平均過(guò)程， 記為ARMA(p, q), 其中p, q 分別表示自回歸和移動(dòng)平均部分的最大階數(shù)。ARMA(p, q) 的一般表達(dá)式是 xt = 1xt-1 + 2xt-2 + p xt-p + ut + 1ut-1 + 2 ut-2 + .+ q ut-q (4.16) 即 (1 - 1L - 2 L2 - - p Lp ) xt = (1 + 1 L + 2 L2+ + q Lq ) ut 或 (L) xt = (L) ut （4.17） 其中 (L) 和 (L) 分別表示L 的p, q 階特征多項(xiàng)式。 ARMA(p, q) 過(guò)程的平穩(wěn)性只依賴于其自回

32、歸部分， 即 (L) = 0 的全部根取值在單位圓之外（絕對(duì)值大于 1） 。其可逆性則只依賴于移動(dòng)平均部分，即 (L) = 0 的根取值應(yīng)在單位圓之外。 -4-202420406080100120140160180200ARMA -30-20-1001020406080100120140160180200ARIMA ARMA(1,1) 過(guò)程 ARIMA(1,1,1) 過(guò)程 實(shí)際中最長(zhǎng)用的是 ARMA(1, 1)過(guò)程。 xt - 1xt-1 = ut + 1 ut - 1 (4.18) 或 （1 - 1 L）xt =（1 + 1 L）ut 很明顯只有當(dāng) 1 1 1 和 1 1 1 時(shí)，上述模型才

33、是平穩(wěn)的，可逆的。 四、單整自回歸移動(dòng)平均過(guò)程 以上介紹了三種平穩(wěn)的隨機(jī)過(guò)程。 對(duì)于 ARMA 過(guò)程 （包括 AR 過(guò)程） ，如果特征方程 (L) = 0 的全部根取值在單位圓之外，則該過(guò)程是平穩(wěn)的；如果若干個(gè)或全部根取值在單位圓之內(nèi)，則該過(guò)程是強(qiáng)非平穩(wěn)的。例如， xt = 1.3 xt-1 + ut （特征方程的根 = 1/ 1.3 = 0.77）上式兩側(cè)同減 xt-1得 xt = 0.3 xt-1 + ut 仍然非平穩(wěn)。除此之外還有第三種情形，即特征方程的若干根取值恰好在單位圓上。這種根稱為單位根，這種過(guò)程也是非平穩(wěn)的。下面介紹這種重要的非平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程。 假設(shè)一個(gè)隨機(jī)過(guò)程含有 d 個(gè)單位根

34、， 其經(jīng)過(guò) d 次差分之后可以變換為一個(gè)平穩(wěn)的自回歸移動(dòng)平均過(guò)程。則該隨機(jī)過(guò)程稱為單整自回歸移動(dòng)平均過(guò)程。 考慮如下模型 (L)d yt = (L) ut (4.19) 其中(L) 是一個(gè)平穩(wěn)的自回歸算子。即 (z) = 0 的根都大于 1。 (L)表示可逆的移動(dòng)平均算子。若取 xt = d yt (4.20) 則（4.19）可表示為 (L) xt = (L) ut (4.21) 說(shuō)明 yt 經(jīng)過(guò) d 次差分之后，可用一個(gè)平穩(wěn)的、可逆的 ARMA 過(guò)程 xt 表示。 隨機(jī)過(guò)程 yt 經(jīng)過(guò) d 次差分之后可變換為一個(gè)以 (L)為 p 階自回歸算子， (L)為 q 階移動(dòng)平均算子的平穩(wěn)、可逆的隨機(jī)

35、過(guò)程，則稱 yt 為（p, d, q）階單整(單積)自回歸移動(dòng)平均過(guò)程，記為 ARIMA (p, d, q)。這種取名的目的是與以后各章中的稱謂相一致。ARIMA 過(guò)程也稱為綜合自回歸移動(dòng)平均過(guò)程。其中 (L) d稱為廣義自回歸算子。 (4.19) 是隨機(jī)過(guò)程的一般表達(dá)式。當(dāng) p 0, d = 0, q 0 時(shí)， （4.19）變成ARMA (p, q)過(guò)程，d = 0, p = 0, q 0 時(shí)，ARIMA 過(guò)程變成 MA (q)過(guò)程；而當(dāng) p = d = q = 0 時(shí)，ARIMA 過(guò)程變成白噪聲過(guò)程。 做d yt = xt的逆運(yùn)算 yt = S d xt (4.22) 其中 S 是無(wú)限累加

36、（積分）算子。當(dāng) d = 1 時(shí)，S xt 定義如下 S xt = tiix= (1 + L + L2 + )xt = (1 L)-1 xt = -1 xt = yt. (4.23) 則 S = (1 L)-1 = -1 (4.24) 單整與差分互為逆運(yùn)算。 例 5：以 yt = yt-1 + xt, y0 = 0 為例，xt中元素的逐步疊加，得到的是 yt 序列。而 yt的差分運(yùn)算得到的是xt序列。 y1 = x1 y2 = x2 + x1 y3 = x3 +x2 + x1 yt-1 = xt-1 + + x3 +x2 + x1 yt = xt + xt-1 + + x3 +x2 + x1

37、可見(jiàn) S 是的逆運(yùn)算。(4.23)表明隨機(jī)過(guò)程 xt經(jīng)過(guò)逐步疊加之后可以得到 yt。每次疊加類似于連續(xù)函數(shù)的一次積分，這就是為什么稱 ARIMA 過(guò)程為單整自回歸移動(dòng)平均過(guò)程。 “單整”在這里就是積分的意思。 幾個(gè)具體的非平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程如下： （1）ARIMA (0, 1, 1)過(guò)程 yt = u t + 1 u t 1 =（1 + 1L）u t 其中 p = 0 , d = 1, q = 1, (L) = 1, (L) = 1+ 1 L . （2）ARIMA(1, 1, 0)過(guò)程 yt - 1yt 1 = u t 其中 p = 1, d = 1 , q = 0 , (L) = 1 - 1 L

38、, (L) = 1. （3）ARIMA(1,1,1)過(guò)程 yt - 1yt -1 = u t + 1 u t -1 或 （1 - 1 L）yt 1=（1 + 1L）u t 其中 p = 1, d = 1, q = 1, (L) = 1 - 1 L, (L) = 1+ 1 L 問(wèn)題的提出：如何判別其是自回歸過(guò)程還是移動(dòng)平均過(guò)程？如何判別其過(guò)程的階數(shù)呢？如何通過(guò)一個(gè)時(shí)間序列研究其過(guò)程的平穩(wěn)性呢？ Wold 分解定理：任何協(xié)方差平穩(wěn)過(guò)程 xt，都可以被表示為 xt - - dt = ut + 1 ut-1+ 2 ut-2 + + = 0jjtju 其中 表示 xt的期望。dt 表示 xt的線性確定性

39、成分，如周期性成分、時(shí)間 t 的多項(xiàng)式和指數(shù)形式等，可以直接用 xt的滯后值預(yù)測(cè)。0 = 1，02jj 。ut為白噪聲過(guò)程。ut表示用 xt的滯后項(xiàng)預(yù)測(cè) xt時(shí)的誤差。 ut = xt - E(xt xt-1, xt-2 , ) 0jjtju稱為 xt的線性非確定性成分。當(dāng) dt = 0 時(shí)，稱 xt為純線性非確定性過(guò)程。 Wold 分解定理由Wold 在1938 年提出。 Wold 分解定理只要求過(guò)程2 階平穩(wěn)即可。從原理上講，要得到過(guò)程的 Wold 分解，就必須知道無(wú)限個(gè)j參數(shù)，這對(duì)于一個(gè)有限樣本來(lái)說(shuō)是不可能的。實(shí)際中可以對(duì)j做另一種假定，即可以把 (L)看作是 2 個(gè)有限特征多項(xiàng)式的比，

40、 (L) =0jjjL=)()(LL=ppqqLLLLLL.1.1221221 注意， 無(wú)論原序列中含有何種確定性成分， 在前面介紹的模型種類中， 還是后面介紹的自相關(guān)函數(shù)、 偏自相關(guān)函數(shù)中都假設(shè)在原序列中已經(jīng)剔除了所有確定性成分， 是一個(gè)純的隨機(jī)過(guò)程 （過(guò)程中不含有任何確定性成分） 。如果一個(gè)序列如上式， xt = + dt + ut + 1 ut-1+ 2 ut-2 + + 則所有研究都是在 yt = xt - - dt 的基礎(chǔ)上進(jìn)行。例如前面給出的各類模型中都不含有均值項(xiàng)、時(shí)間趨勢(shì)項(xiàng)就是這個(gè)道理。 第三節(jié)第三節(jié) 自相關(guān)函數(shù)自相關(guān)函數(shù)1. 自相關(guān)函數(shù)定義自相關(guān)函數(shù)定義 在給出自相關(guān)函數(shù)定義

41、之前先介紹自協(xié)方差函數(shù)概念。由第一節(jié)知隨機(jī)過(guò)程xt中的每一個(gè)元素 xt，t = 1, 2, 都是隨機(jī)變量。對(duì)于平穩(wěn)的隨機(jī)過(guò)程，其期望為常數(shù)，用 表示，即 E(x t) = , t = 1, 2, (4.25) 隨機(jī)過(guò)程的取值將以 為中心上下變動(dòng)。平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的方差也是一個(gè)常量 Var(x t) = E (xt - E(xt)2 = E (xt - )2 = x2 , t = 1, 2, (4.26) x2用來(lái)度量隨機(jī)過(guò)程取值對(duì)其均值 的離散程度。 相隔 k 期的兩個(gè)隨機(jī)變量 x t 與 xt - k 的協(xié)方差即滯后 k 期的自協(xié)方差， 定義為 k = Cov (xt , x t - k ) =

42、 E(xt - ) (xt - k - ) (4.27) 自協(xié)方差序列 k , k = 0, 1, , K, 稱為隨機(jī)過(guò)程 xt 的自協(xié)方差函數(shù)。當(dāng) k = 0 時(shí), 0 = Var (xt) = x2 自相關(guān)系數(shù)定義:k = )()(),(kttkttxVarxarVxxCov （4.28） 因?yàn)閷?duì)于一個(gè)平穩(wěn)過(guò)程有 Var (xt) = Var (xt - k) = x2 (4.29) 所以（4.28）可以改寫為 k =2),(xkttxxCov =2xk= 0k （4.30） 當(dāng) k = 0 時(shí)，有 0 = 1。 以滯后期 k 為變量的自相關(guān)系數(shù)列 k, k = 0, 1, , K (4.

43、31) 稱為自相關(guān)函數(shù)。因?yàn)閗 = - k 即 Cov (xt - k , xt ) = Cov (xt , x t + k )，自相關(guān)函數(shù)是零對(duì)稱的，所以實(shí)際研究中只給出自相關(guān)函數(shù)的正半部分即可。 2.自回歸過(guò)程的自相關(guān)函數(shù)自回歸過(guò)程的自相關(guān)函數(shù) (1) 平穩(wěn) AR(1)過(guò)程的自相關(guān)函數(shù) AR(1) 過(guò)程如下 xt = xt-1 + ut , 1 用 xt- k 同乘上式兩側(cè) xt xt- k = xt-1 xt- k + ut xt- k 兩側(cè)同取期望， k = 1 k -1 其中 E(xt- k ut) = 0（ut與其 t - k 期及以前各項(xiàng)都不相關(guān)） 。兩側(cè)同除 0 得, k =

44、1 k -1 = 1 1 k -2 = = 1k 0 因?yàn)?o = 1。所以有 k = 1k , （k 0） 對(duì)于平穩(wěn)序列有 。所以當(dāng) 1為正時(shí)，自相關(guān)函數(shù)按指數(shù)衰減至零（過(guò)阻尼情形） ，當(dāng) 1為負(fù)時(shí)，自相關(guān)函數(shù)正負(fù)交錯(cuò)地指數(shù)衰減至零。見(jiàn)下圖。因?yàn)閷?duì)于經(jīng)濟(jì)時(shí)間序列，1一般為正，所以第一種情形常見(jiàn)。指數(shù)衰減至零的表現(xiàn)形式說(shuō)明隨著時(shí)間間隔的加長(zhǎng)，變量之間的關(guān)系變得越來(lái)越弱。 -0.8-0.6-0.4-0.20.00.20.40.60.82468101214-0.8-0.6-0.4-0.20.00.20.40.60.82468101214 0 （經(jīng)濟(jì)問(wèn)題中常見(jiàn)） 0 （經(jīng)濟(jì)問(wèn)題中少見(jiàn)） AR(1)

45、過(guò)程的自相關(guān)函數(shù) （2）AR(p) 過(guò)程的自相關(guān)函數(shù) 用xt - k , (k 同乘平穩(wěn)的 p 階自回歸過(guò)程 xt = 1 xt -1 + 2 xt -2 + p xt - p + ut (4.32) 的兩側(cè)，得 xt - k xt = 1 xt - k xt -1 + 2 xt - k xt -2 + + p xt - k xt - p + xt - k ut (4.33) 對(duì)上式兩側(cè)分別求期望得 k = 1 k -1 + 2 k -2 + + p k - p ， k 0 (4.34) 上式中對(duì)于 k 0， 有E(xt - k ut ) = 0。 因?yàn)楫?dāng) k 0 時(shí)， xt - k 發(fā)生在u

46、t 之前， 所以 xt - k 與 ut不相關(guān)。 用 0分別除（4.34）式的兩側(cè)得 k = 1 k -1 + 2 k -2 + + p k -p ， k 0 (4.35) 令 (L) = (1 - 1 L - 2 L2 - - p Lp）其中 L 為 k 的滯后算子，則上式可表達(dá)為 (L) k = 0 因 (L) 可因式分解為， (L) =piiLG1) -(1, 則（4.35）式的通解（證明見(jiàn)附錄）是 k = A1 G1k + A2 G2k + + Ap Gpk. (4.36)其中Ai, i = 1, p 為待定常數(shù)。這里 Gi-1, i = 1, 2, , p 是特征方程 (L) = (

47、1 - 1 L - 2 L2 - - p Lp ) = 0的根。為保證隨機(jī)過(guò)程的平穩(wěn)性，要求 | Gi | 1, i = 1, 2, , p。這會(huì)遇到如下兩種情形。 當(dāng) Gi為實(shí)數(shù)時(shí)，(4.36) 式中的 Ai Gik 將隨著 k 的增加而幾何衰減至零，稱為指數(shù)衰減（過(guò)阻尼情形） 。 當(dāng)Gi 和Gj 表示一對(duì)共軛復(fù)根時(shí)， 設(shè)Gi = a + bi, Gj = a bi, 22ba = R，則 Gi , Gj的極座標(biāo)形式是 Gi = R (Cos + i Sin )，Gj = R (Cos - i Sin )。 若 AR(p) 過(guò)程平穩(wěn)， 則 Gi 1，所以必有 R 0， 指數(shù)衰減是平滑的， 或

48、正或負(fù)。 若 1 0，相關(guān)函數(shù)為正負(fù)交替式指數(shù)衰減。 對(duì)于 ARMA (p, q) 過(guò)程，p, q 2 時(shí)，自相關(guān)函數(shù)是指數(shù)衰減或正弦衰減的。 5. 相關(guān)圖相關(guān)圖（correlogram） 對(duì)于一個(gè)有限時(shí)間序列（x1, x2, , xT）用樣本平均數(shù)TttxTx11估計(jì)總體均值 ，用樣本方差 s2 = 21)(1TttxxT估計(jì)總體方差x2。 當(dāng)用樣本矩估計(jì)隨機(jī)過(guò)程的自相關(guān)函數(shù)，則稱其為相關(guān)圖或估計(jì)的自相關(guān)函數(shù)，記為 rk = 0CCk, k = 0, 1 , 2, , K, ( K 1 時(shí)，kk = 0，所以AR(1)過(guò)程的偏自相關(guān)函數(shù)特征是在 k = 1 出現(xiàn)峰值（11 = 1）然后截尾。

49、 -0.8-0.6-0.4-0.20.00.20.40.60.82468101214-0.8-0.6-0.4-0.20.00.20.40.60.82468101214 11 0 11 2 時(shí)，kk = 0。偏自相關(guān)函數(shù)在滯后期 2 以后有截尾特性。 對(duì)于 AR(p)過(guò)程，當(dāng) k p 時(shí)，kk 0，當(dāng) k p 時(shí)，kk = 0。偏自相關(guān)函數(shù)在滯后期 p 以后有截尾特性，因此可用此特征識(shí)別 AR(p)過(guò)程的階數(shù)。 MA(1) 過(guò)程的偏自相關(guān)函數(shù)呈指數(shù)衰減特征。若1 0, 偏自相關(guān)函數(shù)呈交替改變符號(hào)式指數(shù)衰減；若1 0，偏自相關(guān)函數(shù)呈負(fù)數(shù)的指數(shù)衰減。 因?yàn)槿魏我粋€(gè)可逆的 MA(q) 過(guò)程都可以轉(zhuǎn)換成

50、一個(gè)無(wú)限階的系數(shù)按幾何遞減的 AR 過(guò)程，所以 MA(q) 過(guò)程的偏自相關(guān)函數(shù)呈緩慢衰減特征。 -0.8-0.6-0.4-0.20.00.20.40.60.82468101214 -0.8-0.6-0.4-0.20.00.20.40.60.82468101214 1 0 1 0， (1- 1 L + 12 L2 - ) xt = ut , xt = 1 x t-1 - 12 x t-2 + 13 x t-3 - + ut , 對(duì)于 xt = ut - 1 ut-1過(guò)程，有 1/ (1- 1 L) xt = ut ，當(dāng)1 0, (1+ 1 L + 12 L2 + ) xt = ut , xt =

51、 - 1 x t-1 - 12 x t-2 - 13 x t-3 - + ut , 對(duì)于 MA(2) 過(guò)程，若 (L) = 0 的根是實(shí)數(shù)，偏自相關(guān)函數(shù)由兩個(gè)指數(shù)衰減形式疊加而成。 若 (L) = 0 的根是虛數(shù)， 偏自相關(guān)函數(shù)呈正弦衰減形式。 ARMA( p, q) 過(guò)程的偏自相關(guān)函數(shù)也是無(wú)限延長(zhǎng)的，其表現(xiàn)形式與MA(q)過(guò)程的偏自相關(guān)函數(shù)相類似。根據(jù)模型中移動(dòng)平均部分的階數(shù) q 以及參數(shù)i的不同，偏自相關(guān)函數(shù)呈指數(shù)衰減和（或）正弦衰減混合形式。 對(duì)于時(shí)間序列數(shù)據(jù)，偏自相關(guān)函數(shù)通常是未知的?？捎脴颖居?jì)算 11, 22, 的估計(jì)量 11, 22, 。估計(jì)的偏自相關(guān)函數(shù) kk, k = 1, 2

52、, , K, (4.48) 稱為偏相關(guān)圖。因?yàn)?AR 過(guò)程和 ARMA 過(guò)程中 AR 分量的偏自相關(guān)函數(shù)具有截尾特性，所以可利用偏相關(guān)圖估計(jì)自回歸過(guò)程的階數(shù) p。實(shí)際中對(duì)于偏相關(guān)圖取 k = 15 就足可以了。 kk的方差近似為 T-1。當(dāng) T 充分大時(shí)，近似有 (kk -0) / T-1/2 = T1/2kk N (0, 1) 所以在觀察偏相關(guān)圖時(shí)，若kk的絕對(duì)值超過(guò) 2 T-1/2（2 個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差） ，就被認(rèn)為是顯著地不為零。 第五節(jié)第五節(jié) 時(shí)間序列模型的建立與預(yù)測(cè)時(shí)間序列模型的建立與預(yù)測(cè)ARIMA 過(guò)程 yt用 (L)dyt = 0 + (L) ut (4.51) 表示，其中 (L)和 (

53、L)分別是 p, q 階的以 L 為變數(shù)的多項(xiàng)式，它們的根都在單位圓之外。0為位移項(xiàng)，d yt表示對(duì) yt 進(jìn)行 d 次差分之后可以表達(dá)為一個(gè)平穩(wěn)的可逆的 ARMA 過(guò)程。這是隨機(jī)過(guò)程的一般表達(dá)式。它既包括了 AR，MA 和 ARMA 過(guò)程，也包括了單整的 AR，MA 和 ARMA 過(guò)程。 建立時(shí)間序列模型通常包括三個(gè)步驟: （1）模型的識(shí)別; （2）模型參數(shù)的估計(jì); （3）診斷與檢驗(yàn)。 模型的識(shí)別就是通過(guò)對(duì)相關(guān)圖的分析，初步確定適合于給定樣本的 ARIMA 模型形式，即確定 d, p, q 的取值。 模型參數(shù)的估計(jì)就是待初步確定模型形式后對(duì)模型參數(shù)進(jìn)行估計(jì)。 診斷與檢驗(yàn)就是以樣本為基礎(chǔ)檢驗(yàn)擬

54、合的模型，以求發(fā)現(xiàn)某些不妥之處。如果模型的某些參數(shù)估計(jì)值不能通過(guò)顯著性檢驗(yàn)，或者殘差序列不能近似為一個(gè)白噪聲過(guò)程，應(yīng)返回第一步再次對(duì)模型進(jìn)行識(shí)別。如果上述兩個(gè)問(wèn)題都不存在，就可接受所建立的模型。建摸過(guò)程用圖 2.8 表示。下面對(duì)建摸過(guò)程做詳細(xì)論述。 圖 2.8 建立時(shí)間序列模型程序圖 一. 識(shí)別 用相關(guān)圖和偏相關(guān)圖識(shí)別模型 形式（確定參數(shù) d, p, q） 二. 估計(jì) 對(duì)初步選取的模型進(jìn)行參數(shù)估計(jì) 三. 診斷與檢驗(yàn) 包括參數(shù)的顯著性檢驗(yàn)和 殘差的隨機(jī)性檢驗(yàn) 模型可取嗎 止 可取 不可取 1.模型的識(shí)別 模型的識(shí)別主要依賴于對(duì)相關(guān)圖與偏相關(guān)圖的分析。 在對(duì)經(jīng)濟(jì)時(shí)間序列進(jìn)行分析之前，首先應(yīng)對(duì)樣本數(shù)

55、據(jù)取對(duì)數(shù)，目的是消除數(shù)據(jù)中可能存在的異方差，然后分析其相關(guān)圖。 識(shí)別的第第 1 步步是判斷隨機(jī)過(guò)程是否平穩(wěn)。由前面分析可知，如果一個(gè)隨機(jī)過(guò)程是平穩(wěn)的，其特征方程的根都應(yīng)在單位圓之外。如果 (L) = 0 的根接近單位圓，自相關(guān)函數(shù)將衰減的很慢。所以在分析相關(guān)圖時(shí)，如果發(fā)現(xiàn)其衰減很慢，即可認(rèn)為該時(shí)間序列是非平穩(wěn)的。這時(shí)應(yīng)對(duì)該時(shí)間序列進(jìn)行差分，同時(shí)分析差分序列的相關(guān)圖以判斷差分序列的平穩(wěn)性，直至得到一個(gè)平穩(wěn)的序列。對(duì)于經(jīng)濟(jì)時(shí)間序列，差分次數(shù)，即模型（4.51）中的參數(shù) d 通常只取 0，1 或 2。 實(shí)際中也要防止過(guò)度差分。 一般來(lái)說(shuō)平穩(wěn)序列差分得到的仍然是平穩(wěn)序列， 但當(dāng)差分次數(shù)過(guò)多時(shí)存在兩個(gè)缺

56、點(diǎn)， （1） 序列的樣本容量減??；（2）方差變大；所以建模過(guò)程中要防止差分過(guò)度。對(duì)于一個(gè)序列，差分后若數(shù)據(jù)的極差變大，說(shuō)明差分過(guò)度。 第 2 步是在平穩(wěn)時(shí)間序列基礎(chǔ)上識(shí)別 ARMA 模型階數(shù) p, q。表 2.3 給出了不同 ARMA 模型的自相關(guān)函數(shù)和偏自相關(guān)函數(shù)。當(dāng)然一個(gè)過(guò)程的自相關(guān)函數(shù)和偏自相關(guān)函數(shù)通常是未知的。用樣本得到的只是估計(jì)的自相關(guān)函數(shù)和偏自相關(guān)函數(shù)，即相關(guān)圖和偏相關(guān)圖。建立 ARMA 模型，時(shí)間序列的相關(guān)圖與偏相關(guān)圖可為識(shí)別模型參數(shù) p, q 提供信息。相關(guān)圖和偏相關(guān)圖（估計(jì)的自相關(guān)系數(shù)和偏自相關(guān)系數(shù)）通常比真實(shí)的自相關(guān)系數(shù)和偏自相關(guān)系數(shù)的方差要大，并表現(xiàn)為更高的自相關(guān)。實(shí)際中

57、相關(guān)圖，偏相關(guān)圖的特征不會(huì)像自相關(guān)函數(shù)與偏自相關(guān)函數(shù)那樣“規(guī)范” ，所以應(yīng)該善于從相關(guān)圖，偏相關(guān)圖中識(shí)別出模型的真實(shí)參數(shù) p, q。另外，估計(jì)的模型形式不是唯一的，所以在模型識(shí)別階段應(yīng)多選擇幾種模型形式，以供進(jìn)一步選擇。 表2.3 ARIMA過(guò)程與其自相關(guān)函數(shù)偏自相關(guān)函數(shù)特征 模 型 自相關(guān)函數(shù)特征 偏自相關(guān)函數(shù)特征 ARIMA(1,1,1) xt = 1 xt-1 + ut + 1ut-1 緩慢地線性衰減 -1.0-0.50.00.51.02468101214-1.0-0.50.00.51.02468101214 AR（1） xt = 1 xt-1 + ut 若1 0，平滑地指數(shù)衰減 若1

58、0，k=1 時(shí)有正峰值然后截尾 若11 0，k=1 時(shí)有正峰值然后截尾 -0.8-0.6-0.4-0.20.00.20.40.60.82468101214 若1 0，交替式指數(shù)衰減 -0.8-0.6-0.4-0.20.00.20.40.60.82468101214 若1 0，2 0） -0.8-0.6-0.4-0.20.00.20.40.60.82468101214 （1 0，2 0，2 0，2 0） 指數(shù)或正弦衰減 -0.8-0.6-0.4-0.20.00.20.40.60.82468101214 （1 0，2 0，2 0） ARMA（1，1） xt = 1 xt-1 + ut + 1 ut

59、-1 k=1 有峰值然后按指數(shù)衰減 -0.50.00.51.02468101214 （1 0，1 0） -0.8-0.6-0.4-0.20.00.20.40.60.82468101214 （1 0，1 0，1 0） -0.8-0.6-0.4-0.20.00.20.40.60.82468101214 （1 0，1 0，2 0） k=1, 2 有兩個(gè)峰值然后按指數(shù)衰減 -0.8-0.6-0.4-0.20.00.20.40.60.82468101214 （1 0，2 0） ARMA（1，2） xt = 1 xt-1+ ut + 1 ut-1+ 2 ut-2 k=1, 2 有兩個(gè)峰值然后按指數(shù)衰減 -

60、0.8-0.6-0.4-0.20.00.20.40.60.82468101214 （1 0，1 0，2 0，1 0，2 0） k=1 有峰值然后按指數(shù)或正弦衰減 -0.8-0.6-0.4-0.20.00.20.40.60.82468101214 （1 0，1 0，2 0，1 0，2 0） ARMA（2，2） xt=1xt-1+2xt-2+ t +1ut-1+2ut-2 k=1, 2 有兩個(gè)峰值然后按指數(shù)或正弦衰減 -0.6-0.4-0.20.00.20.40.62468101214 （1 0，2 0，2 0，2 0，2 0） k=1, 2 有兩個(gè)峰值然后按指數(shù)或正弦衰減 -0.8-0.6-0.