1、第十九章四邊形知識(shí)與題型總結(jié)本章知識(shí)要求和結(jié)構(gòu)1.掌握平行四邊形、矩形、菱形、正方形、梯形的概念，了解它們之間的內(nèi)在個(gè)內(nèi)角爐(1)演變關(guān)系圖:2.探索并掌握平行四邊形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形的有關(guān)性質(zhì)和常四邊形且.一個(gè)內(nèi)角為Rt,組鄰邊相等'平不平行組鄰邊(2)從屬關(guān)系(依據(jù)演變關(guān)系圖，將四邊形，平行四邊形，梯形，矩形，菱形，正方形，等腰梯形，直角梯形填入下面的從屬關(guān)系圖中，其中每一個(gè)圓代表一種圖形)名稱平行四邊形矩形菱形正方形疋義的四邊形是平行四邊形的平行四邊形是矩形的平行四邊形是菱形的平行四邊形是正方形邊性角質(zhì)對(duì)角線對(duì)稱性判邊角用判別方法，并能運(yùn)用這些知識(shí)進(jìn)行有關(guān)的證明和計(jì)算

2、疋對(duì)角線面積周長(zhǎng)定理：作用：可以證明兩條直線平行；線段的相等或倍分拓展:三角形共有三條中位線，并且它們將原三角形分割成四個(gè)的小三角形,其面積和周長(zhǎng)分別為原三角形面積和周長(zhǎng)的和；3.(1)平行四邊形的面積等于它的底和該底上的高的積如圖1SyabCD=BCAE=CDBF圖1圖2(4)直角三角形的性質(zhì)定理：直角三角形斜邊上的中線5.正方形：(1)對(duì)角線：若正方形的邊長(zhǎng)為a,則對(duì)角線的長(zhǎng)為.2a；正方形的一條對(duì)角線上的一點(diǎn)到另一條對(duì)角線的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等(3)面積：正方形的面積等于邊長(zhǎng)的平方；等于兩條對(duì)角線的乘積的一半(2)同底(等底)同高(等高)的平行四邊形面積相等如圖2,Syabcd=Sybcf

3、e周長(zhǎng)相等的四邊形中，正方形的面積最大.60、周長(zhǎng)相等的760,-.6孕梯形的中位線30(1) 定義：連結(jié)梯形兩腰中點(diǎn)的線段叫做梯形的中位線(2) 梯形的中位線定理：梯形的中位線平行于兩底，且等于兩底和的一半1(3) 梯形的面積s=2x(上底+下底)高=中位線槁4.三角形中位線定理定義:叫做三角形中位線(與中線的區(qū)分)7.幾種特殊四邊形的對(duì)角線矩形對(duì)角線交角為60(120)時(shí)，可得：等邊三角形和含30角直角三角菱形有一個(gè)角為60時(shí)，可得:正方形中可得:1.QABCD中，/A的平分線分BC成4cm和3cm兩條線段,則QABCD的周長(zhǎng)為.含30角的四個(gè)全等直角三角形四大四小等腰直角三角形2.在QA

4、BCD中，/C=60o,DE丄AB于E,DF丄BC于F.(1) 則/EDF=;(2) 如圖，若AE=4,CF=7,貝UABCD周長(zhǎng)=;A若AE=3,CF=7,請(qǐng)作出對(duì)應(yīng)圖形，并求QABCD周長(zhǎng).（圖）（圖）（圖）對(duì)角線互相垂直的梯形，對(duì)角線互相垂直的等腰梯形平移腰可得：雙垂圖可得：等腰直角三角形（圖）（圖）3.在平行四邊形ABCD中，若/C=ZB+/D，則/A=.（2）已知在QABCD,/A比/B小20o，則/C的度數(shù)是.（3）在£7ABCD中，周長(zhǎng)為100cm,AB-BC=20cm，貝UAB=,BC=.8.中點(diǎn)四邊形：（頂點(diǎn)為各邊的中點(diǎn)，需討論對(duì)角線&中位線）順次連結(jié)任意四

5、邊形各邊中點(diǎn)構(gòu)成的四邊形是（4）在aABCD中，周長(zhǎng)為30cm，且AB:（5）（2007河北?。┤鐖D，若匸ABCD與EBCF關(guān)于BC所在直線對(duì)稱，/ABE=90°,則/F=°.4.（2007福建福州）下列命題中，錯(cuò)誤的是（)匚F順次連結(jié)對(duì)角線相等的四邊形的各邊中點(diǎn)，構(gòu)成的四邊形是順次連結(jié)對(duì)角線互相垂直的四邊形的各邊中點(diǎn)構(gòu)成的四邊形是順次連結(jié)平行四邊形各邊中點(diǎn)構(gòu)成的四邊形是順次連結(jié)矩形各邊中點(diǎn)構(gòu)成的四邊形是順次連結(jié)菱形各邊中點(diǎn)構(gòu)成的四邊形是A矩形的對(duì)角線互相平分且相等B對(duì)角線互相垂直的四邊形是菱形C. 等腰梯形的兩條對(duì)角線相等D. 等腰三角形底邊上的中點(diǎn)到兩腰的距離相等5.（

6、2007浙江義烏）在下列命題中，正確的是（）A一組對(duì)邊平行的四邊形是平行四邊形順次連結(jié)直角梯形各邊中點(diǎn)構(gòu)成的四邊形是順次連結(jié)等腰梯形各邊中點(diǎn)構(gòu)成的四邊形是B.有一個(gè)角是直角的四邊形是矩形C.有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形（一）概念題二.典型題型歸納D.對(duì)角線互相垂直平分的四邊形是正方形6.（2007甘肅隴南）順次連結(jié)任意四邊形各邊中點(diǎn)所得四邊形一定是（）A.平行四邊形B.菱形C.矩形D.正方形12.如圖，在矩形ABCD中，E是CD邊上一點(diǎn)AE=AB,AB=2AD，求/EBC的度數(shù)7. （2007四川眉山）下列命題中的假命題是（）A一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形B一組鄰邊相等的矩形是正方形C一

7、組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形D一組對(duì)邊相等且有一個(gè)角是直角的四邊形是矩形8. （2007四川成都）下列命題中，真命題是（）A.兩條對(duì)角線相等的四邊形是矩形E. 兩條對(duì)角線互相垂直的四邊形是菱形C. 兩條對(duì)角線互相垂直且相等的四邊形是正方形D. 兩條對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形9. （2007浙江嘉興）如圖，在菱形ABCD中，不一定成立的（）A.QABCDE.AC丄BDC.等邊ABDD./CAB=ZCAD（二）圖形的性質(zhì)和判定方法（三）轉(zhuǎn)化的思想一一將梯形問(wèn)題通過(guò)化歸、分割、拼接轉(zhuǎn)化成三角形和平行10. 如圖，已知四邊形ABCD是正方形，分別過(guò)A、C兩點(diǎn)作I1丨2，作BM丄I2于M

8、,DN丄I2于N，直線MB邊形PQMN的形狀.ND分別交Ii、丨2于Q、P,試判斷四11.如圖，在正方形ABCD中，E、F、G、H分別為正方形邊上的點(diǎn)，而且AE=BF=CG=DH，求證：四邊形EFGH為正方形.UDG四邊形問(wèn)題.如圖所示:13. 填空(1) 等腰梯形上底長(zhǎng)為3cm，腰長(zhǎng)為4cm，其中銳角等于60o,則下底長(zhǎng)是.(2) 等腰梯形一個(gè)底角是60o,它的上、下底分別是8和18,則這梯形的腰長(zhǎng)是，高是，面積是.(3) 在直角梯形中，垂直于底的腰長(zhǎng)5cm，上底長(zhǎng)3cm，另一腰與下底的夾角為30o,則另一腰長(zhǎng)為，下底長(zhǎng)為.(4) 等腰梯形兩對(duì)角線互相垂直，一條對(duì)角線長(zhǎng)為6,則高為，面積為.

9、(5) 已知在梯形ABCD中，AD/BC，若兩底AD、BC的長(zhǎng)分別為2、8,兩條對(duì)角線BD=6,AC=8，則梯形的面積為.15.如圖，在平行四邊形ABCD中，E、F分別是直線AB、CD的中點(diǎn)，AF、DE相交于點(diǎn)G，CE、BF交于點(diǎn)H.求證：四邊形GEHF是平行四邊形.(四)推理論證的進(jìn)一步鞏固14. (2007恩施自治州)如圖，平行四邊形ABCD的對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O,E、F是直線AC上的兩點(diǎn)，并且AE=CF,求證：四邊形BFDE是平行四邊形16.平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E、F分別在BC、AD上，且AF=CE，,求證:四邊形AECF是平行四邊形17求證：正方形的兩條對(duì)角線將之分成四個(gè)全等

10、的等腰直角三角形.18.已知點(diǎn)E、F在正方形ABCD的邊BC、（1）若BE=CF，如圖13（1）.求證：AE=BFCD上，并且AE丄BF;DF（2）若E、F分別是BC、EF的中點(diǎn)，如圖13（2），求證:GD=AD.B.紫花、橙花種植面積一定相等C. 紅花、藍(lán)花種植面積一定相等D. 藍(lán)花、黃花種植面積一定相等20. （06鹽城）已知QABCD的面積為4,對(duì)角線交于0,貝VAOB=.21. 若A,B,C三點(diǎn)不共線，則以其為頂點(diǎn)的平行四邊形共有（）A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)22平行四邊形一邊長(zhǎng)為10,一條對(duì)角線長(zhǎng)為6,則它的另一條對(duì)角線a的取值范圍是（）A.4<a<16B.4<

11、;a<26C.12<a<20D.8<a<3223平行四邊形中一邊長(zhǎng)為10cm，那么兩條對(duì)角線的長(zhǎng)度可以是（）A.4cm和6cmB.6cm和8cmC.8cm和12cmD.20cm和30cm24.（07北京市23）如圖，已知ABC.（1）請(qǐng)你在BC邊上分別取兩點(diǎn)D,E（BC的中點(diǎn)除外），連結(jié)AD,AE，寫出使此圖中只存在兩對(duì).面積相等的三角形的相應(yīng)條件，并表示出面積相等的三角形；請(qǐng)你根據(jù)使（1）成立的相應(yīng)條件，證明ABACADAE.A19.（2007浙江金華）國(guó)家級(jí)歷史文化名城一一金華，風(fēng)光秀麗，花木蔥蘢.某廣場(chǎng)上一個(gè)形狀是平行四邊形的花壇（如圖），分別種有紅、黃、藍(lán)

12、、綠、橙、紫6種顏色的花.如果有AB/EF/DC,BC/GH/AD，那么下列說(shuō)法中錯(cuò)誤的是（）A.紅花、綠花種植面積一定相等垂線，AD丄BD于D,AE丄CE于E.求證：ED/BC.(2)如圖27(2)，已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1,BC、CD上各有一點(diǎn)E、F,如果"CEF的周長(zhǎng)為2.求/EAF的度數(shù).26.如圖，已知BD、CE是"ABC的兩條高,M、N分別是BC、DE的中點(diǎn).求證：(1)EM=DM;(2)MN丄DE.(3)如圖27(3)，已知正方形E為CD邊上一點(diǎn)，且滿足/求證：AE=BC+CE.(五)知識(shí)的聯(lián)系與綜合28.已知QABCD的頂點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)為(-2,3)

13、,(-5,-4),(1,-4)，貝UD點(diǎn)坐標(biāo)為29.如圖，已知QABCD的兩條對(duì)角線點(diǎn)A的坐標(biāo)為(-2,3)，則點(diǎn)AC與BD交于平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn),)27.(1)如圖27(1)，正方形ABCD,E、F分別為 若/EAF=45o.求證：EF=BE+DF. 若"AEF繞A點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，保持/EAF=45o,問(wèn)"CEF的周長(zhǎng)是否隨"AEF位置的變化而變化？圖27(1)C的坐標(biāo)為30.如圖，兩平面鏡的夾角為，入射光線AO平行于入射到，兩次反射后的光線O'B平行于，則角等于.FCB（A22C第圖FABSCABDDCCBABAERAPDADNMBCPCBQPDADFFEO

14、OECBCBED36.如圖，在QABCD中，點(diǎn)P在BC上，PQ/BD交CD與Q,則圖中和ABP面積相等的三角形有個(gè)，它們分別是:.37.如圖，E是平行四邊形ABCD的邊AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，E38.如圖，點(diǎn)E、F分別在QABCD的邊DC、CE且AE=AF,DG丄AF,BH丄AE,G、H是垂足.AD求證：DG=BH.,第38題圖40.在矩形ABCD中，AB=3,AD=4,P丄BD于F，貝UPE+PF=.AP第36題圖DE父BC于F.求證：SabfSefc（七）運(yùn)動(dòng)變換的思想在本章中的應(yīng)用.39.（希望杯第9屆初二第二試）已知QABCD的周長(zhǎng)為52,自頂點(diǎn)D作DE丄AB,DF丄BC,E、F為垂足，若D

15、E=5,DF=8，求BE+BF的值.是AD邊上的動(dòng)點(diǎn)，PE丄AC于E,PF31已知矩形的對(duì)角線長(zhǎng)為13,周長(zhǎng)為34,則這個(gè)矩形的面積為.32.（05,濰坊）如圖，在直角坐標(biāo)系中，將長(zhǎng)方形OABC沿0B對(duì)折，使點(diǎn)A落在A處，已知OA=；3,AB=1則點(diǎn)A的坐標(biāo)是（）（六）面積的問(wèn)題：各種四邊形面積的求法和等積變換33.如圖，E為QABCD邊CD上一點(diǎn)，£7ABCD的面積為5,則厶ABE的面積為（）35.如圖，在矩形ABCD中，過(guò)BD上一點(diǎn)K分別作矩形兩邊的平行線MN和PQ,那么圖中矩形AMKP的面積Si與矩形QCNK的面積S2的大小關(guān)系是第39題圖1第39題圖2D（舄）第33題圖34.

16、如圖，在QABCD中,AD丄BD,/A=1/ABC，如果AD=2,2SiS2（填“”、“=”或“<”）B.（f,3）C.（冷）第34題圖那么QABCD的周長(zhǎng)是，面積是1s2Eis3is4K第35題圖41.(1)如圖41(1)(2)，已知"ABD,"BCE,"ACF是等邊三角形,求證：四邊形ADEF是平行四邊形.42、(2007浙江臺(tái)州)把正方形ABCD繞著點(diǎn)A，按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)得到正方形AEFG，邊FG與BC交于點(diǎn)H(如圖)試問(wèn)線段HG與線段HBF如圖41(3),已知"ABC,以AB、AC為邊分別作等邊三角形"ABD,"ACF,

17、再以AD、AF為鄰邊作平行四邊形ADEF，43、(2007江蘇揚(yáng)州)如圖，正方形ABCD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)no后得到正方形AEFG，邊EF與CD交于點(diǎn)0.(1)以圖中已標(biāo)字母的點(diǎn)為端點(diǎn)連結(jié)兩條線段(正方形的對(duì)角線除外)，要求所連結(jié)的兩條線段相交且互相垂直，并說(shuō)明這兩條線段互相垂直的理由；(2)若正方形的邊長(zhǎng)為2cm，重疊部分(四邊形(3)且如圖41(4)，已知"ABD,"BCE是等邊三角形，A,F是CE,EB上一點(diǎn),CA=EB，求證：四邊形ADFC是平行四邊形4/32AEOD)的面積為cm，求旋轉(zhuǎn)的角度3圖42(4)Cn.CBAD/BC,M、N分別為AD、46. (05,青島

18、)如圖，在等腰梯形ABCD中,44.(2007甘肅隴南)四邊形ABCD、DEFG都是正方形，連接AE、CG.BC的中點(diǎn)，E、F分別是BMCM的中點(diǎn).(1)求證：AE=CG;(2)觀察圖形，猜想AE與CG之間的位置關(guān)系,并證明你的猜想.求證：ABMADCM;四邊形MENF是什么圖形？請(qǐng)證明你的結(jié)論;若四邊形MENF是正方形，則梯形的高與底邊BC有何數(shù)量關(guān)系？并請(qǐng)說(shuō)明理由AD丄BC,M.D第45題圖45.(2007淄博)已知：如圖，在ABC中，AB=AC,垂足為點(diǎn)D,AN是厶ABC外角/CAM的平分線，CE丄AN，垂足為點(diǎn)E,(1) 求證：四邊形ADCE為矩形；(2) 當(dāng)ABC滿足什么條件時(shí)，四邊

19、形ADCE是一個(gè)正方形？并給出證明.47. (2007四川資陽(yáng))如圖47(1)，已知P為正萬(wàn)形ABCD的對(duì)角線AC上一點(diǎn)(不與A、C重合),PE丄BC于點(diǎn)E,PF丄CD于點(diǎn)F.(1)求證：BP=DP;如圖47(2),若四邊形PECF繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中是否總有BP=DP?若是，請(qǐng)證明之；若不是，請(qǐng)舉出反例；(3)試選取正方形ABCD的兩個(gè)頂點(diǎn)，分別與四邊形PECF的兩個(gè)頂點(diǎn)連結(jié)，使得到的兩條線段在旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中長(zhǎng)度始終相等，并證明之(八)函數(shù)的思想在本章中的運(yùn)用49.(2006泰州)將一矩形紙片OABC放在直角坐標(biāo)系中，O為原點(diǎn)，C在x軸上，OA=6,OC=10.(1) 如圖1,在OA上取一

20、點(diǎn)E,將厶EOC沿EC折疊，使O點(diǎn)落在AB邊上的D點(diǎn)，求E點(diǎn)的坐標(biāo)；(2) 如圖2,在OA'、OC邊上選取適當(dāng)?shù)狞c(diǎn)E'、F，將E'OF沿E'F折疊，使O點(diǎn)落在AB、邊上的D'點(diǎn)，過(guò)D作D'G/AO交EF于T點(diǎn)，交OC于G點(diǎn)，求證：TG=AE:(3) 在(2)的條件下，設(shè)T(x,y),探求：y與x之間的函數(shù)關(guān)系式.并指出變量x的取值范圍.(4) 如圖3,如果將矩形OABC變?yōu)槠叫兴倪呅蜲A"B"C",使OC"=10,48、(2007南充改編)等腰梯形ABCD中,AB=15,AD=20，/C=30o.M、N同時(shí)

21、以相同速度分別從點(diǎn)A、點(diǎn)D開(kāi)始在AB、AD(包括端點(diǎn))上運(yùn)動(dòng).OC"邊上的高等于6,其他條件均不變，探求：這時(shí)T(x,y)的坐標(biāo)y與x之間是否仍然滿足(3)中所得的函數(shù)關(guān)系，若滿足，請(qǐng)證明之；若不滿足，寫出你認(rèn)為正確的函數(shù)關(guān)系式(1) 設(shè)ND為X,用x表示出點(diǎn)N到AB的距離，并寫出x的取值范圍.(2) 設(shè)t=10-x，用t表示AMN的面積.(3) 求厶AMN的面積的最大值，并判斷取最大值時(shí)AMN的形狀.（九）翻折問(wèn)題（特殊四邊形的折疊問(wèn)題）51沿特殊四邊形的對(duì)角線折疊（06.浙江嘉興）如圖，矩形紙片ABCDAB=2/ADB=30，沿對(duì)角線BD折E兩點(diǎn)間的距離為疊（使ABD和厶EBD落

22、在同一平面內(nèi)），貝UAEA1第51題圖第52題圖50.（08通州22改編）如圖，在QABCD中，AB=8cm,AD=6cm,/DAB=60。，點(diǎn)M是邊AD上一點(diǎn)，且DM=2cm，點(diǎn)E、F分別是邊AB、BC上的點(diǎn),EM、CD的延長(zhǎng)線交于G，試用含x的代數(shù)式表示CGF的面積;當(dāng)GF丄AD時(shí)，求AE的值.第50題圖52沿特殊四邊形的對(duì)稱軸折疊如圖，已知矩形ABCD的邊AB=2ABBC,矩形ABCD的面積為S,沿矩形的對(duì)稱軸折疊一次得到一個(gè)新的矩形，則這個(gè)新矩形對(duì)角線長(zhǎng)為53使特殊四邊形的對(duì)角頂點(diǎn)重合折疊（05,山東威海）如圖，梯形紙片ABCD,/B=60°,AD/BC,AB=AD=2BC=

23、6將紙片折疊，使點(diǎn)AE,則CE=DBACBB與點(diǎn)D重合，折痕為EAB：L*AD'C'第57題圖第56題圖第53題圖第54題圖第55題圖54使特殊四邊形一頂點(diǎn)落在其一邊上而折疊57使特殊四邊形一頂點(diǎn)落在其對(duì)稱軸上而折疊（2）如圖，折疊矩形的一邊CD,使點(diǎn)C落在AB上的點(diǎn)F處，已知AB=10cmBC=8cm如圖，有一塊面積為1的正方形ABCDM、N分別為ADBC邊的中點(diǎn)，將C則EC的長(zhǎng)為點(diǎn)折至MN上，落在點(diǎn)P的位置，折痕為BQ，連結(jié)PQ.55使特殊四邊形兩頂點(diǎn)落在其一邊上而折疊（1求MP的長(zhǎng)度；求證：以PQ為邊長(zhǎng)的正方形的面積等于三（崇文）如圖，在梯形ABCD中，DC/AB,將梯形

24、對(duì)折，使點(diǎn)D、C分別落在AB上的D、°處，折痕為EF,若CD=3cmEF=4cm則AD+BC=cm.56使特殊四邊形一頂點(diǎn)落在其對(duì)稱軸上而折疊（1）如圖，已知EF為正方形ABCD的對(duì)稱軸，將/A沿DK折疊，使它的頂點(diǎn)A落?并證明之.對(duì)于任意的矩形，按照上述方法是否都能折出這種三角形ACE*ABE58. 兩次不同方式的折疊（06.淄博市）如圖，將一矩形形紙片按如圖方式折疊,BC、BD為折痕，折疊后AB與EB在同一條直線上則/CBD的度數(shù)為（）A.大于90°B.等于90°C.小于90°D.不能確定59. 三次不同方式的折疊（03,山西）如圖，取一張矩形的紙片進(jìn)行折疊，具體操作過(guò)程如下第一步：先把矩形ABCD對(duì)折，折痕為MN,如圖；第二步：再把B點(diǎn)疊在折痕MN上，折痕為AE,點(diǎn)B在MN上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為B'得RtAAB'E,如圖；第三步：沿EB'線折疊得折痕EF,如圖.利用展開(kāi)圖探究厶AEF是什么三角形？證明你的結(jié)論；（十）動(dòng)手操作實(shí)踐60. （2007湖南懷化）如圖，將一張等腰直角三角形紙片沿中位線剪開(kāi)可以拼成不同形狀的四邊形，請(qǐng)畫出所有可能四邊形并寫出的它的名稱行四邊形或梯形(請(qǐng)按11的比例畫出所拼的圖形)第62題圖61. (05棗莊,9分)如圖1四邊形A