1、 o 第一節(jié)：隨機(jī)試驗(yàn)與隨機(jī)事件第一節(jié)：隨機(jī)試驗(yàn)與隨機(jī)事件o 第二節(jié)：事件間的關(guān)系與運(yùn)算第二節(jié)：事件間的關(guān)系與運(yùn)算o 第三節(jié)：事件的概率與古典概型第三節(jié)：事件的概率與古典概型o 第四節(jié)：條件概率與事件的獨(dú)立性第四節(jié)：條件概率與事件的獨(dú)立性 1. 隨機(jī)試驗(yàn)隨機(jī)試驗(yàn)：對隨機(jī)現(xiàn)象進(jìn)行研究，人們通常進(jìn)行大量的 觀察試驗(yàn)，如果試驗(yàn)具有以下三個特點(diǎn)稱為隨機(jī)試驗(yàn)。 可以在相同的條件下重復(fù)進(jìn)行?？梢栽谙嗤臈l件下重復(fù)進(jìn)行。 試驗(yàn)結(jié)果不止一個，但可以預(yù)知一切可能的結(jié)果的取試驗(yàn)結(jié)果不止一個，但可以預(yù)知一切可能的結(jié)果的取 值范圍。值范圍。 試驗(yàn)前不能確定出現(xiàn)哪個結(jié)果。試驗(yàn)前不能確定出現(xiàn)哪個結(jié)果。下面給出幾個隨機(jī)試驗(yàn)

2、的例子： 例1 擲一枚骰子，記錄其點(diǎn)數(shù)。 例2 記錄某電話傳呼臺一小時內(nèi)收到的呼叫數(shù) 例3 擲二枚硬幣，記錄正、反面出現(xiàn)的情況。 例4 一天中任取一時刻記錄下當(dāng)時的氣溫。第一節(jié)：隨機(jī)試驗(yàn)與隨機(jī)事件第一節(jié)：隨機(jī)試驗(yàn)與隨機(jī)事件2 樣本空間及隨機(jī)事件 樣本空間：試驗(yàn)中每個可能的結(jié)果稱為樣本點(diǎn)用w表示，全體樣本點(diǎn)構(gòu)成的空間稱為樣本空間在例1中 樣本空間為 1 ，2，3，4，5，6在例2中 樣本空間為 0，1，2在例3中 樣本空間為（+，-），（-，+），（-，-）， （+，+）在例4中 設(shè)當(dāng)天最低氣溫為a最高氣溫為b 則樣本空間為 xaxb在實(shí)驗(yàn)中人們常關(guān)心于滿足某些條件的樣本點(diǎn)在試驗(yàn)后是否會出現(xiàn)，例

3、如在汛期水文站關(guān)心的是江河水位時否達(dá)到或超過警戒水位H；抽查樣品時檢驗(yàn)人員關(guān)心的是產(chǎn)品某方面指標(biāo)是否達(dá)到合格標(biāo)準(zhǔn)。：樣本空間中滿足某些條件的樣本點(diǎn)構(gòu)成的子集為 隨機(jī)事件。通常用A、B、C表示。若實(shí)驗(yàn)后的結(jié)果 WA則稱事件A發(fā)生了。o 基本事件：只含有一個樣本點(diǎn)的事件叫基本事件。o 必然事件：樣本空間也是它自己的子集。o 不可能事件：不包含任何樣本點(diǎn)的事件稱為不可能事件。o 第二節(jié)第二節(jié) 事件間的關(guān)系及運(yùn)算事件間的關(guān)系及運(yùn)算1. 事件的包含與相等：若事件A發(fā)生導(dǎo)致事件B發(fā)生，即A中 的每個樣本點(diǎn)都屬于B則稱A包含于B或B包含A，若A包含 于B，B包含于A則稱A與B相等。2. 事件的并（和）：設(shè)A

4、、B為兩事件則事件A發(fā)生或B發(fā)生 記為AB稱為A與B的和事件。它由A或B中一切樣本點(diǎn)共 同組成的集合。SABSAB事件間的關(guān)系與運(yùn)算3. 事件的交（積）：事件 A與事件B同時發(fā)生的事件記為 AB或AB它是由既屬于A又屬于B的樣本點(diǎn)構(gòu)成的集合。ABBA SABA1,A2,AnA1A2AnBA AAAABA,事件間的關(guān)系與運(yùn)算互不相容（互斥）互不相容（互斥）SAAB BA對立事件對立事件 （逆事件）（逆事件）SBABA ;SBA請注意請注意互不相容互不相容與與對立事件對立事件的區(qū)別！的區(qū)別！事件間的關(guān)系與運(yùn)算說明說明：1. 任意一個試驗(yàn)的基本事件是兩兩互斥的任意一個試驗(yàn)的基本事件是兩兩互斥的. 2

5、. 對立事件必為互斥事件對立事件必為互斥事件,反之未必。反之未必。 3. 結(jié)論結(jié)論 ;,AAAAASASAA BABABABA ,nnAAAAAA2121 nnAAAAAA2121 事件間的關(guān)系與運(yùn)算 差事件差事件BA BA 發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng) A 發(fā)生發(fā)生 B 不發(fā)生不發(fā)生.BAABA SABBABA ASAB 稱事件稱事件 為事件為事件A與與B的差事件的差事件.記為：記為：BA BxAxx 但但:事件間的關(guān)系與運(yùn)算(例題分析)例例2.2.1: 在在S4 : t|t 0 中中事件事件 A=t|t 1000 表示表示 “產(chǎn)品是次品產(chǎn)品是次品” 事件事件 B=t|t 1000 表示表示 “

6、產(chǎn)品是合格品產(chǎn)品是合格品” 事件事件 C=t|t 1500 表示表示“產(chǎn)品是一級品產(chǎn)品是一級品”則則BA與與CA與與CB 表示表示 “產(chǎn)品是合格品但不是一級品產(chǎn)品是合格品但不是一級品”; BCCB 表示表示 “產(chǎn)品是是一級品產(chǎn)品是是一級品” ;表示表示 “產(chǎn)品是合格品產(chǎn)品是合格品”.是是互互為為對對立立事事件件；是互斥事件；第三節(jié)：事件的概率與古典概型第三節(jié)：事件的概率與古典概型一、事件的頻率定義：在相同的條件下,重復(fù)進(jìn)行N次試驗(yàn),若隨機(jī)事件A在N次試驗(yàn)中發(fā)生NA次,則稱比值NA/N為事件A的頻率,記為fN(A) , 既有 fN(A) = NA/N.)()()(BfAfBAfNNN 顯然顯然

7、1. 0 fN(A) 1； 2. fN(S)=1 ； 3. 若事件若事件A和和B互斥，則互斥，則說明： 頻率只反映事件A發(fā)生的頻繁程度,此頻率值會依不同的試驗(yàn)而有所不同,故用頻率表示事件發(fā)生的可能性是恰當(dāng)?shù)?頻率的特點(diǎn)： 事件A的頻率隨著試驗(yàn)次數(shù)N的增加, 在某一確定的P值附近擺動, 頻率越接近于一個確定的值P頻率具有穩(wěn)定性。二、事件的概率 定義:在相同的條件下,重復(fù)進(jìn)行若干次(無窮次)試驗(yàn)E,若隨機(jī)事件A的頻率穩(wěn)定地在某一確定的值P附近擺動,則稱此確定的P值為事件A的概率, 記為：P(A).說明:1. 事件A的概率是一個介于0和1之間的一個值，用以度量試驗(yàn)完成時事件A發(fā)生的可能性大小， 記為

8、 P(A) 2. P(A)是事件A本身所固有的, 不依賴于試驗(yàn)的不同而不同. 在現(xiàn)實(shí)生活中, P(A)值的確定往往借用頻率或頻率的平均值來近似代替,即在相同條件下,重復(fù)進(jìn)行n次試驗(yàn), 事件A發(fā)生了m次,則事件A發(fā)生的概率可以寫為 概率的性質(zhì)和運(yùn)算法則性質(zhì)1 (非負(fù)性) 對于任何事件A，均有P(A)0性質(zhì)2 (規(guī)范性） P(S)=1, 對任何事件A，有0P(A)1性質(zhì)性質(zhì)3 (完全可加性）完全可加性） A1,A2,An,為為E的兩兩的兩兩互斥事件，則互斥事件，則此公式稱為此公式稱為加法公式加法公式(無限可加性）無限可加性）P(A1A2An )=P(A1)+P(A2)+P(An) + 特別地 1.

9、 當(dāng)事件A, B互斥時，P(AB)=P(A)+P(B) 2.設(shè)A1, A2, An為兩兩互斥事件組,則 P(A1A2An)=P(A1)+P(A2)+P(An).概率的有限可加性概率的有限可加性性質(zhì)性質(zhì)4 4： ;0)( P)()(APBP SAB)(ABAB 性質(zhì)性質(zhì)5：).()()(APBPABPBA ，則有，則有若若;)(1)(APAP 性質(zhì)性質(zhì)6：逆事件概率逆事件概率SAABo 性質(zhì)7： P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)SAB)(ABBABA ()( )( )( )P AB CP AP BP C )()()(ABPBPABP SBAABBAB )()()()(ABCPBCPA

10、CPABP 性質(zhì)性質(zhì)8：性質(zhì)性質(zhì)9：概率的加法公式(例題分析)例例2.3.1：書第：書第44頁例頁例2.8,例例2.9.4.古典概型試驗(yàn)與古典概率生活中有這樣一類試驗(yàn)，它們的共同特點(diǎn)是： 樣本空間的元素只有有限個； 每個基本事件發(fā)生的可能性相同 設(shè)有試驗(yàn)設(shè)有試驗(yàn)E的樣本空間的樣本空間S=e1,e2, ,en ,每一個基每一個基本事件本事件ei(i=1,2,n)的發(fā)生概率均相等。既有的發(fā)生概率均相等。既有:P(e1)= P(e2)= =P(en) ,則稱此試驗(yàn)為古典概型試驗(yàn)則稱此試驗(yàn)為古典概型試驗(yàn), 又稱等又稱等可能概型試驗(yàn)可能概型試驗(yàn), 所對應(yīng)的數(shù)學(xué)模型稱為古典概型。所對應(yīng)的數(shù)學(xué)模型稱為古典概

11、型。 古典概型概率的計算 設(shè)設(shè) S =e1, e2, en , .21ne=PePeP而基本事件兩兩互斥；所以而基本事件兩兩互斥；所以,121nePePePSP .,2,1,1ninePi 由古典概型的等可能性，由古典概型的等可能性， 得得若事件若事件 A 包含包含 k 個基本事件，即個基本事件，即 A =e1, e2, ek , 則有則有 ： .)(中中基基本本事事件件總總數(shù)數(shù)包包含含的的基基本本事事件件數(shù)數(shù)SAnkAP 排列組合知識的補(bǔ)充 加法與乘法原理加法與乘法原理 加法原理加法原理：完成一件事，如果有k類辦法：在第一類辦法中有n1種不同的做法，在第二類辦法中有n2種不同的做法，,在第k

12、類辦法中有nk種不同的做法，那么完成這件事有n=n1+n2+種不同的方法.（一步到位）乘法原理乘法原理：完成一件事需要k個步驟：第一步有n1種不同的方法，第二步有n2種不同的方法，,在第k步 有 n k 種 不 同 的 方 法 ， 那 么 完 成 這 件 事 共 有n1*n2*n3種不同的方法。（分步進(jìn)行） 排列組合知識的補(bǔ)充(例題分析)例2.3.2 一天中從甲地到乙地有3班火車，4班汽車，2班輪船，1班飛機(jī)，問：一天中從甲地到乙地有多少種走法？解：3+4+2+1=10。例2.3.3 書第47頁例2.13排列組合知識的補(bǔ)充 排列排列 ：從從n 個不同的元素中任意取個不同的元素中任意取m個個元素

13、，按一個個元素，按一定順序排成一排定順序排成一排,稱此排為從稱此排為從n 個不同的元素中任意個不同的元素中任意取取m個元素的一個排列個元素的一個排列.排列數(shù)：排列數(shù)：從從n 個不同的元素中任意取個不同的元素中任意取m個元素的所有個元素的所有排列的個數(shù)叫做從排列的個數(shù)叫做從n 個不同的元素中任意取個不同的元素中任意取m個元素個元素的排列數(shù)。用的排列數(shù)。用 表示。其中表示。其中 mnP 121 mnnnnPmn特別是特別是m=n時，則有全排列，既有時，則有全排列，既有 121 nnnPnnmnC !121mnmnmmnnnnCmn 組合數(shù) 從n個不同的元素中任意取m個元素的所有組合的個數(shù),叫做從n

14、個不同的元素中任意取m個元素的組合數(shù)。用 表示。其中組合組合 從從n 個不同的元素中個不同的元素中,任意取任意取m個元素組成組個元素組成組,稱此為從稱此為從n 個不同的元素中任意取個不同的元素中任意取m個元素的個組合。個元素的個組合。例2.3.5 用數(shù)字1，2，3，4，5，6，7，8，9任取兩個不同的數(shù)字作乘積，有多少個積？361289222929 PPC解：o 例2.3.4 書第48頁例2.14例2.3.7 把一套4卷本的書隨機(jī)地擺放在書架上，問：恰好排成序（從左至右或從右至左）的概率是多少？解：解：將書隨機(jī)地擺放在書架上，每一種放法就是一將書隨機(jī)地擺放在書架上，每一種放法就是一個基本事件，

15、共有放法個基本事件，共有放法4！種。！種。把書恰好排成序有兩種放法。把書恰好排成序有兩種放法。所以，所求概率為所以，所求概率為0833. 0! 42 p古典概型概率(例題分析) ） 例2.3.7 設(shè)有10件產(chǎn)品, 7件正品, 3件次品.求：(1)不放回式, 每次從中取一個, 共取3次, 3件均為次品的概率.(2)有放回式, 每次從中取一個, 共取3次, 3件均為次品的概率。解：解：設(shè)設(shè)A表示表示“取取3次，次，3件均為次品件均為次品”的事件。的事件。（1） 不放回抽去產(chǎn)品不放回抽去產(chǎn)品, 由于產(chǎn)品的型號相同由于產(chǎn)品的型號相同, 則每個產(chǎn)品則每個產(chǎn)品被取到的可能性相同被取到的可能性相同, 故此屬

16、于古典概型問題。故此屬于古典概型問題。120172068910123)( AP 樣本空間樣本空間S中的基本事件數(shù)為中的基本事件數(shù)為9*8*7。事件。事件A所含基本所含基本事件數(shù)為事件數(shù)為 3*2*1.古典概型概率(例題分析)（2） 有放回抽去產(chǎn)品, 由于產(chǎn)品的型號相同, 則每個產(chǎn)品被取到的可能性相同, 故此屬于古典概型問題33103)( AP 樣本空間S中的基本事件數(shù)為10*10*10，事件A所含基本事件數(shù)為3*3*3。古典概型概率(例題分析)例2.3.10 一批燈泡40只,其中有3只壞的,從中任取3只檢查,求至少有一只是壞燈泡的概率。解：解：由于每個燈泡被取到的可能性相同，故此屬于古由于每個

17、燈泡被取到的可能性相同，故此屬于古典概型問題。典概型問題。設(shè)設(shè)Ai (i=1,2,3),表示表示“所取的所取的3只燈泡有只燈泡有i只是壞的只是壞的”的的事事件件,設(shè)設(shè)B表示表示“所取的所取的3只燈泡中至少有只燈泡中至少有1只是壞的只是壞的”的的事事件。由題意知：件。由題意知：B=A1 A2 A3, ,且且A1 A2 A3, ,兩兩互兩兩互斥斥 , ,則則古典概型概率(例題分析)P(B)=P(A1 A A2 2 A A3 3)= )= P(A1A A2 2A A3 3) ) 3 , 2 , 1)(3403373 iCCCAPiii于是于是 )()()()(321APAPAPBP 214. 098

18、8211313403373 iiiCCC古典概型概率(例題分析) 或解：或解： 表示表示“所取的所取的3只燈泡中都是好的只燈泡中都是好的”的事件。的事件。由題意知：由題意知：B于是于是 214. 01)(1)(340337 CCBPBPBSB 第四節(jié)：條件概率與事件的獨(dú)立性第四節(jié)：條件概率與事件的獨(dú)立性o 條件概率: 設(shè)事件A和B,且P(B)0,在事件B發(fā)生的條件下,稱事件A發(fā)生的概率為事件A在給定事件B下的條件概率,簡稱A對B的條件概率，記為P(A|B) 計算條件概率的公式： 計算條件概率的方法計算條件概率的方法：1）直接利用定義中的公式直接利用定義中的公式 ；2）在縮減樣本空間的情況下，即

19、在事件）在縮減樣本空間的情況下，即在事件A所包含基所包含基本事件數(shù)的基礎(chǔ)上討論本事件數(shù)的基礎(chǔ)上討論B所包含的基本事件數(shù)。所包含的基本事件數(shù)。 所所包包含含的的基基本本事事件件數(shù)數(shù)所所包包含含的的基基本本事事件件數(shù)數(shù)BABBAP )|(條件概率(例題分析)解：設(shè) A =顧客購買食品, B =顧客購買其他商品o 依題意有：P(A)=0.80；P(B)=0.60；P(AB)=0.35 例例2.4.1 一家超市所作的一項(xiàng)調(diào)查表明一家超市所作的一項(xiàng)調(diào)查表明,有有80%的顧客到超市是的顧客到超市是來購買食品來購買食品,60%的人是來購買其他商品的人是來購買其他商品,35%的人既購買食品的人既購買食品也購買

20、其他商品也購買其他商品.求：求： (1)已知某顧客購買食品的條件下已知某顧客購買食品的條件下,也購買其他商品的概率也購買其他商品的概率 (2)已知某顧客購買其他的條件下已知某顧客購買其他的條件下,也購買食品的概率也購買食品的概率乘法公式用來計算兩事件交的概率以條件概率的定義為基礎(chǔ)設(shè)A，B為兩個事件，若P(B)0，則 P(AB)=P(B)P(A|B) 或 P(AB)=P(A)P(B|A)乘法公式的推廣設(shè)事件A、B、C，且P(AB)0，則 P(ABC)=P(C|AB)P(B|A)P(A)設(shè)有n個事件A1,A2,An,且P(A1A2An-1) 0，則 P(A1A2An) = P(A1) P(A2|A

21、1) P(A3|A1A2) P(An|A1A2An-1)一般情況下一般情況下P(AB)P(A)P(B)，即，即:P(A|B)P(A)乘法公式(例題分析)例例2.4.3 一家報紙的發(fā)行部已知在某社區(qū)有一家報紙的發(fā)行部已知在某社區(qū)有75%的的住戶訂閱了該報紙的日報住戶訂閱了該報紙的日報,而且還知道某個訂閱日報而且還知道某個訂閱日報的住戶訂閱其晚報的概率為的住戶訂閱其晚報的概率為50%.求某住戶既訂閱日求某住戶既訂閱日報又訂閱晚報的概率報又訂閱晚報的概率. 解：解：設(shè)設(shè) A = 某住戶訂閱了日報某住戶訂閱了日報 B = 某個訂閱了日報的住戶訂閱了晚報某個訂閱了日報的住戶訂閱了晚報 依題意有：依題意有：P(A)=0.75；P(B|A)=0.50 P(AB)=P(A) P(B|A)=0.750.5=0.375乘法公式(例題分析)例例2.4.5 從一個裝有從一個裝有3個紅球個紅球2個白球的盒子里摸球個白球的盒子里摸球(摸出后球不放回摸出后球不放回),求連續(xù)兩次摸中紅球的概率求連續(xù)兩次摸中紅球的概率 . 解解 設(shè)設(shè) A = 第第2次摸到紅球次摸到紅球 B = 第第1次摸到紅球次摸到紅球 依題意有：依題意有： P(B)=3/5；P(B|A)=2/4 P(AB)=P(A) P(B|A)=3/52/4=0.3事件的獨(dú)立性1.若P(A|B)=P(A)或P(B|