1、計(jì)算流體動(dòng)力學(xué)計(jì)算流體動(dòng)力學(xué)Computational fluid mechanics機(jī)械與動(dòng)力工程學(xué)院機(jī)械與動(dòng)力工程學(xué)院凌祥凌祥第五章第五章 網(wǎng)格生成與坐標(biāo)變換網(wǎng)格生成與坐標(biāo)變換l 方程的普通變換l 度量和雅可比行列式l 再論適宜CFD運(yùn)用的控制方程l 注釋l 拉伸(緊縮)網(wǎng)格l 貼體坐標(biāo)系:橢圓型網(wǎng)格生成l 自順應(yīng)網(wǎng)格l 網(wǎng)格生成的進(jìn)展l 有限體積網(wǎng)格生成的進(jìn)展方程的普通變換( , , )x y t( , , )x y t( ) t思索二維非定常流場(chǎng),其自變量為x, y和t.我們要將物理平面中的自變量(x, y, t)變換成計(jì)算平面中的一組新自變量(, , ),用方程目前這個(gè)變換是以普通方

2、式寫(xiě)出來(lái)的.對(duì)于實(shí)踐運(yùn)用必需用詳細(xì)的解析關(guān)系給出.(5-1a)(5-1b)(5-1c)方程的普通變換求導(dǎo)的鏈?zhǔn)椒敲?有,()() ()() ()() ()ytytytytxxxx,()() ()() ()()()x yx yx yx ytttt 在上述表達(dá)式中添加下標(biāo)是為了強(qiáng)調(diào)求偏導(dǎo)數(shù)的過(guò)程中哪些變量堅(jiān)持不變(5-2)方程的普通變換在延續(xù)性方程,動(dòng)量方程和能量方程中,未知函數(shù)是以導(dǎo)數(shù)方式出現(xiàn),并且要將方程從(x, y, t)空間變換到(, , )空間.根據(jù)求導(dǎo)的鏈?zhǔn)椒敲?有()()()()xxx()()()()yyy()()()()()()tttt(5-3)(5-4)(5-5)方程的普通變

3、換思索第二章推導(dǎo)的粘性流動(dòng)控制.可以看到方程的粘性項(xiàng)中包含二階導(dǎo)數(shù),這些二階導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)也要變換.在式(5-3)中,令()()()()Axxx22222222()()()()()()()()()()()()Axxxxxxxxxxx 那么有(5-6)方程的普通變換B和C是一個(gè)復(fù)合導(dǎo)數(shù),它們包含了關(guān)于(x, y, t)中的某一個(gè)自變量和(, , )中另一個(gè)自變量的導(dǎo)數(shù),因此還需求進(jìn)一步推導(dǎo).由(5-2)規(guī)那么得2222()()()()()Bxxxx 2222()()()()()Cxxxx (5-7)(5-8)方程的普通變換用式(5-7)和式(5-8)替代式(5-6)中B和C所代表的項(xiàng),并重新陳列各項(xiàng)的

4、順序,得到2222222222222()()()()()()()()2()()()xxxxxxx 式(5-9)中利用關(guān)于和的一階偏導(dǎo)數(shù),和二階偏導(dǎo)數(shù)和混合導(dǎo)數(shù)乘以不同的度量給出了關(guān)于X的二階偏導(dǎo)數(shù).(5-9)方程的普通變換接下來(lái),推導(dǎo)關(guān)于y的二階偏導(dǎo)數(shù).令()()()()Dyyy從式(5-2),有22222222()()()()()()()()()()()()Dyyyyyyyyyyy 2Ey 其中和2Fy (5-10)方程的普通變換利用式(5-4),有222()()()()()Eyyy 222()()()()()Fyyy (5-11)(5-12)式(5-11)和式(5-12)代回式(5-10)

5、,并重新陳列各項(xiàng)的順序,得到2222222222222()()()()()()()()2()()()yyyyyyy (5-13)方程的普通變換式(5-13)利用關(guān)于和的一階偏導(dǎo)數(shù),二階偏導(dǎo)數(shù)和混合偏導(dǎo)數(shù)乘以不同的度量,給出了關(guān)于y的二階偏導(dǎo)數(shù).再接下來(lái),推導(dǎo)二階混合偏導(dǎo)數(shù),即22222()()()()()()()()()()()()()Dx yxyxxyyx yyxx yyx 其中出現(xiàn)了與式(5-6)中B和C含義一樣的項(xiàng).(5-14)方程的普通變換用式(5-7)和式(5-8)替代式(5-14)中的這兩項(xiàng),并重新陳列各項(xiàng)的順序,得到22222222()()()()()()()()()()()()

6、()()()x yx yx yxyxyxyxy (5-15)式(5-15)利用關(guān)于和的一階偏導(dǎo)數(shù),二階偏導(dǎo)數(shù)和混合偏導(dǎo)數(shù)乘以不同的度量,給出了 關(guān)于x和y的二階混合偏導(dǎo)數(shù).方程的普通變換例5-1 拉普拉斯方程22220 xy將方程(5-16)從(x, y)變換到(, ),其中= (x, y), = (x, y)(5-16)方程的普通變換利用式(5-9)和式(5-13),得2222222222222222222222()()2()()()()()()()()()()()2()()()()()()()()()0 xxxxxxyyyyyy 方程的普通變換將上式合并同類(lèi)項(xiàng),最終得到2222222222

7、2222222()()() ()() 2()() ()()()() 0 xyxyxxyyxyxy (5-17)調(diào)查方程式(5-16)和式(5-17).前者是物理平面(x, y)上的拉普拉斯方程,后者是計(jì)算平面(, )上經(jīng)過(guò)變換的拉普拉斯方程.度量和雅可比行列式在式(5-3)到式(5-15)各式中,涉及網(wǎng)格幾何性質(zhì)的項(xiàng),如 ,稱(chēng)為度量.在許多運(yùn)用中,運(yùn)用逆變換式(5-1ac) 的逆變換更方便./,/,/yxy ( , , )( , , )( )xxyytt (5-18a)(5-18b)(5-18c)在式(5-18ac)中, 和是自變量.度量和雅可比行列式為了用逆變換式計(jì)算方程中的度量,需求建立度

8、量 等與逆度量 等的關(guān)系式.思索流動(dòng)控制方程中的一個(gè)未知函數(shù),例如速度的x分量u.令 ,由變換式(5-18a)式(5-18b),即 和 ,u的全微分為/,/xy/,/xy( , )uu x y( , )xx ( , )yy uududxdyxy(5-19)度量和雅可比行列式由方程(5-19),有uuxuyxy 和uuxuyxy (5-20)(5-21)度量和雅可比行列式式(5-20)和式(5-21)可以看作是兩個(gè)未知數(shù) 和 的方程組,用克萊姆法那么.從方程組式 (5-20)和式(5-21)中解出 ,得到/ux/uy/uxuyuyuxyxy(5-22a)度量和雅可比行列式在方程 (5-22)中,

9、分母上的行列式稱(chēng)為雅可比行列式,記作( , )( , )xyx yJxy (5-22b)因此,將式(5-22)分子上的行列式展開(kāi),可以寫(xiě)成下面的方式度量和雅可比行列式1()()()()uuyuyxJ/uyxuxuuxyyxy(5-23a)回到方程組式(5-20)和式(5-21),解出或1()()()()uuxuxyJ(5-23b)度量和雅可比行列式為了可以進(jìn)展普通性的討論,將方程式(5-23a)和式(5-23b)寫(xiě)成更普通的方式1()()()()1()()()()yyxJxxyJ和(5-24a)(5-24b)度量和雅可比行列式思索二維的直接變換( , )( , )x yx y(5-25a)(5

10、-25b)對(duì)比式(5-25ab)與式(5-1ac),會(huì)發(fā)現(xiàn)從前面討論中省略了=t.由于這里討論只對(duì)空間度量感興趣,所以忽略了時(shí)間的變換.度量和雅可比行列式根據(jù)全微分表達(dá)式,從式(5-25a)和式(5-25b)可以得到ddxdyxyddxdyxy或者用矩陣方式表示ddxxyddyxy(5-26a)(5-26b)(5-27)度量和雅可比行列式如今思索逆變換(,)(,)xxyy 進(jìn)展全微分,得xxdxddyydydd或者矩陣方式表示xxdxddyyyd(5-28a)(5-28b)(5-29a)(5-29b)(5-30)度量和雅可比行列式從式(5-30)解出右邊的列向量,也就是用式中2x2系數(shù)矩陣的逆

11、矩陣去乘,得到1xxddxdyydy比較式(5-27)和式(5-31),得到1xxxyyyxy(5-31)(5-32)度量和雅可比行列式根據(jù)計(jì)算逆矩陣的規(guī)范法那么,式(5-32)可寫(xiě)為yxyxxyxxxyyy(5-33)度量和雅可比行列式思索式(5-33)分母上的行列式.由于行列式轉(zhuǎn)置后,其直不變,我們有xxxyJyyxy(5-34)度量和雅可比行列式由式(5-22a)給出的J的定義可以看出,式(5-34)中的行列式正好就是變換的雅可比行列式J.將式(5-34)代入到式(5-33),得到1yxxyyxJxy(5-35)度量和雅可比行列式比較等式(5-35)中兩個(gè)矩陣的對(duì)應(yīng)元素,就得到用逆度量表

12、示的直接度量的關(guān)系式,即1111yxJyxJxyJxyJ (5-36a)(5-36b)(5-36c)(5-36d)右那么公式給出直接度量與逆度量之間的關(guān)系式.度量和雅可比行列式把式(5-36a)和式(5-36b)代入到式(5-3)中,得到1()()()()1()()()()yyxJxxyJ這兩個(gè)等式與逆度量給出的變換式(5-24a)和式(5-24b)完全一樣,闡明結(jié)果與前面的分析是一致的.再論適宜CFD運(yùn)用的控制方程在2.10節(jié),方程(2-93)給出了流動(dòng)控制方程的強(qiáng)守恒方式.對(duì)于空間二維的非定常流,假設(shè)沒(méi)有源項(xiàng),那么方程化為0UFGtxy(5-37)簡(jiǎn)明起見(jiàn),只思索空間二維x, y的情形,而

13、不是三維x, y, z的情形.但以下的分析可直接推行到三維.再論適宜CFD運(yùn)用的控制方程問(wèn)題:在計(jì)算平面(, )中,方程(5-37)還能寫(xiě)成守恒方式么?也就是說(shuō),變換后的方程還能寫(xiě)成1110UFGt(5-38)這樣的方式么?再論適宜CFD運(yùn)用的控制方程首先,按照導(dǎo)數(shù)的變換式(5-3)和(5-4),對(duì)方程(5-37)中的變量進(jìn)展變換,得()()()()0UFFGGtxxyy用式(5-22a)定義的雅可比行列式J乘以方程(5-39)得(5-39)()()()()()()()() 0UFFGGJJJJJtxxyy(5-40)再論適宜CFD運(yùn)用的控制方程暫時(shí)放下方程(5-40),先思索將 的導(dǎo)數(shù)展開(kāi),

14、即(/)JFx(/)()()JFxFJFJxx整理后,得到(/)()()()FJFxJFJxx(5-41)(5-42)再論適宜CFD運(yùn)用的控制方程同樣,思索 對(duì)的導(dǎo)數(shù),整理得(/)JFx(/)()()()FJFxJFJxx(5-43)用同樣的方法展開(kāi) 和 并整理,得(/)JGy(/)JGy(/)()()()GJGyJGJyy(5-44)(/)()()()GJGyJGJyy(5-45)再論適宜CFD運(yùn)用的控制方程將式(5-42)式(5-45)代回到方程(5-40)并合并同類(lèi)項(xiàng),得()()()()()() 0UJJFJGJFJGtxyxyFJJGJJxxyy(5-46)再論適宜CFD運(yùn)用的控制方程

15、但發(fā)現(xiàn),式(5-46)最后兩項(xiàng)中用括號(hào)括起的部分等于零,其實(shí),將式(5-36ad)代入到這些項(xiàng)中,就會(huì)得到2222()()()()0()()()()0yyyyJJxxxxxxJJyy 再論適宜CFD運(yùn)用的控制方程于是,方程(5-46)可以寫(xiě)成1110UFGt其中111UJUFJFJGxyGJFJGxy(5-48a)(5-48b)(5-48c)(5-47)再論適宜CFD運(yùn)用的控制方程假設(shè)將式(5-36ad)代入 和 的表達(dá)式(5-48b)和式(5-48c),可以得到1F1G11yxFJFJGFGxyyxGJFJGFGxy (5-49a)(5-49b)其中 和 是用逆度量表示的.1F1G注釋對(duì)于實(shí)

16、踐的問(wèn)題和實(shí)踐的幾何外形,情況往往是:要么由于流動(dòng)問(wèn)題本身的特性(例如,流過(guò)平板的粘性流,壁面附近需求密集分布大量的網(wǎng)格點(diǎn))要么由于邊境的外形(例如,需求建立貼體曲線(xiàn)坐標(biāo)系的彎曲物面)需求經(jīng)過(guò)網(wǎng)格變換物理平面中的非均勻網(wǎng)格變換成計(jì)算平面中的均勻往格.有限體積法不需求這樣變換,它可以直接處置物理平面中的非均勻網(wǎng)格.拉伸(緊縮)網(wǎng)格例5-2 思索圖5-4所示的物理平面和計(jì)算平面.假設(shè)研討的是流過(guò)平板的粘性流.在平板的外表附近,速度迅速變化,如物理平面左邊畫(huà)出的速度剖面所示.拉伸(緊縮)網(wǎng)格為了計(jì)算這種流動(dòng)在平板附近的細(xì)節(jié),在y方向上需求運(yùn)用細(xì)的網(wǎng)格,而在遠(yuǎn)離物面的地方,網(wǎng)格可以粗一些,如圖5-4a

17、.在計(jì)算平面上應(yīng)建立均勻網(wǎng)格,如圖5-4b,調(diào)查可以發(fā)現(xiàn),在物理平面中,網(wǎng)格被拉伸了.拉伸(緊縮)網(wǎng)格這種被拉伸的網(wǎng)格,可以用一個(gè)簡(jiǎn)單的解析變換就能完成(1)1xIn yxye(5-50a)(5-50b)(5-51a)(5-51b)逆變換是拉伸(緊縮)網(wǎng)格在物理平面中,x一直是同一個(gè)值.在計(jì)算平面中,也一直不變,所以在x方向上,網(wǎng)格并沒(méi)有被拉伸.程度線(xiàn)就不是這樣了,計(jì)算平面中的程度線(xiàn)是均勻分布的,一直不變,然而在物理平面中,相應(yīng)的y值發(fā)生了變化,對(duì)求導(dǎo)dyeddye d或者用有限增量替代 和 ,近似地得到y(tǒng)e(5-52)dyd拉伸(緊縮)網(wǎng)格例5-3 調(diào)查流動(dòng)控制方程在物理平面和計(jì)算平面發(fā)生了

18、哪些變化.為簡(jiǎn)單起見(jiàn),假設(shè)是定常流,用延續(xù)性方程來(lái)進(jìn)展闡明.取定常流的延續(xù)性方程(2-25),在笛卡兒坐標(biāo)系下,為()()0uvxy(5-53)這是物理平面的延續(xù)性方程.拉伸(緊縮)網(wǎng)格利用導(dǎo)數(shù)的變換式(5-3)和式(5-4),可將這個(gè)方程變換到計(jì)算平面,變換后的方式為()()()()()()()() 0uuvvxxyy(5-54)方程(5-54)中的度量可從直接變換式(5-50a)和式(5-50b)中求得,即1x0y0 x11yy(5-55)拉伸(緊縮)網(wǎng)格將式(5-55)中的這些度量代入式(5-54),得到()1()01uvy(5-56)由式(5-50b), .因此,方程(5-56)變?yōu)?

19、ye()1()0uve()()0uve或者(5-57)拉伸(緊縮)網(wǎng)格例5-4 為了做進(jìn)一步的論述,我們重作上面的推導(dǎo)過(guò)程,但這次是從逆變換式(5-51a)和式(5-51b)入手.回到方程(5-53),利用導(dǎo)數(shù)的逆變換式(5-24a)和式(5-24b),有1()()1()()()()()() 0uyuyvxvxJJ(5-58)拉伸(緊縮)網(wǎng)格方程(5-58)中的逆度量可從逆變換式(5-51a)和式(5-51b)中求得,結(jié)果是1x0 x0yye(5-59)將式(5-59)代回式(5-58),得到()()0uve(5-60)拉伸(緊縮)網(wǎng)格例5-5 如今思索更復(fù)雜的網(wǎng)格拉伸變換,研討繞鈍體底部的超

20、聲速粘性流.此時(shí),網(wǎng)格在x方向和y方向都要進(jìn)展拉伸.圖5-5給出了物理平面和計(jì)算平面.根據(jù)變換00sinh()xxxAA(5-61)拉伸(緊縮)網(wǎng)格流動(dòng)物理平面計(jì)算平面圖5-5 均勻網(wǎng)格與緊縮網(wǎng)格的比較拉伸(緊縮)網(wǎng)格進(jìn)展x方向(流向)的拉伸,其中0000sinh()1(1)121(1)xxxxAxexIne(5-62)(5-63)式(5-61)中, 是物理平面發(fā)生最大聚集的點(diǎn)在計(jì)算平面中相應(yīng)的位置. 是常數(shù),控制向 點(diǎn)聚集的程度, 越大,聚集得就越密集.0 x0 x拉伸(緊縮)網(wǎng)格網(wǎng)格沿y方向的橫向拉伸,需求把物理平面分成:底部后面和底部的上方上下兩部分.利用變換(1)/(1)(1)/(1)

21、(1)(1)(21)(1)cyyceye (5-64)進(jìn)展y方向的拉伸,其中1log1yyc而 和 都是常數(shù),對(duì)于剛剛分出的兩個(gè)部分,這些常數(shù)取值是不同的y貼體坐標(biāo)系:橢圓型網(wǎng)格生成思索流過(guò)圖5-6a所示的擴(kuò)張管道的流動(dòng).曲線(xiàn)de是管道上壁,直線(xiàn)f g是中心線(xiàn).對(duì)于這種流動(dòng),物理平面中用矩形網(wǎng)格是不行的,在圖5-6b中畫(huà)曲線(xiàn)網(wǎng)格,使邊境de和中心線(xiàn)f g都成為坐標(biāo)線(xiàn),曲線(xiàn)網(wǎng)格完全貼著邊境.圖5-6 簡(jiǎn)單的貼體坐標(biāo)系貼體坐標(biāo)系:橢圓型網(wǎng)格生成曲線(xiàn)網(wǎng)格(圖5-6a)變換成矩形網(wǎng)格(圖5-6b)用下述方法:令 是圖5-6a中上外表de的縱坐標(biāo)那么下述變換將生成(, )平面內(nèi)的矩形網(wǎng)格( )syf x

22、sxyy( )syf x其中(5-65)(5-66)貼體坐標(biāo)系:橢圓型網(wǎng)格生成例如,思索物理平面的d點(diǎn), .將這點(diǎn)坐標(biāo)代入式(5-66),得()dsdyyyx()1()dsddssdyyxyyx在計(jì)算平面中d點(diǎn)位于 上,思索物理平面c點(diǎn),此時(shí)1d()cscyyyx()1()csccsscyyxyyx在計(jì)算平面中,c點(diǎn)也位于 上,與計(jì)算平面中點(diǎn)d的坐標(biāo)值一樣.1c貼體坐標(biāo)系:橢圓型網(wǎng)格生成更復(fù)雜的例子,如圖5-7所示它是圍繞機(jī)翼的流動(dòng)設(shè)計(jì)的.圖5-7 橢圓方法生成的貼體網(wǎng)格貼體坐標(biāo)系:橢圓型網(wǎng)格生成問(wèn)題:那種變換能將圖5-7a的曲線(xiàn)網(wǎng)格變換成圖5-7b計(jì)算平面中的均勻網(wǎng)格?方法:把物理平面的網(wǎng)格

23、用笛卡爾坐標(biāo)表示,沿著內(nèi)邊境1,物理坐標(biāo)知,同樣外邊境2的物理坐標(biāo)知,這就暗示存在一個(gè)邊值問(wèn)題,求解橢圓型偏微分方程需求沿著包圍區(qū)域的邊境在每一點(diǎn)上給定邊境條件.貼體坐標(biāo)系:橢圓型網(wǎng)格生成最簡(jiǎn)單的橢圓方程是L a p l a c e方程2222222200 xyxy(5-67)(5-68)貼體坐標(biāo)系:橢圓型網(wǎng)格生成在方程5-67)和(5-68)中,和是因變量,x和y是自變量.將兩組變量對(duì)調(diào)一下,寫(xiě)出逆方程,使x和y變成因變量,結(jié)果是22222222222020 xxxyyy (5-69)(5-70)貼體坐標(biāo)系:橢圓型網(wǎng)格生成其中2222()()()()()()()()xyxxyyxy貼體坐標(biāo)系

24、:橢圓型網(wǎng)格生成圖5-8畫(huà)出了計(jì)算平面,再次強(qiáng)調(diào)沿著一切四條邊境限1,2,3和4,(x, y)的值都知,這是求解橢圓偏微分方程適定問(wèn)題的根底.圖5-8計(jì)算平面(標(biāo)出了邊境條件并畫(huà)出了一個(gè)內(nèi)點(diǎn))貼體坐標(biāo)系:橢圓型網(wǎng)格生成流動(dòng)控制方程中的度量可以用有限差分計(jì)算,在(不論是物理平面還是計(jì)算平面)標(biāo)志為(i, j)的網(wǎng)格點(diǎn)處,可以寫(xiě)出度量計(jì)算公式為1,1,1,1,()ijiji jijijxxx這樣計(jì)算出來(lái)的度量值將被代入到變換后的流動(dòng)控制方程中.貼體坐標(biāo)系:橢圓型網(wǎng)格生成適用的繞機(jī)翼型網(wǎng)格見(jiàn)圖5-9,它就是用上述橢圓型網(wǎng)格生成的.圖5-9 圍繞M i l e y翼型的網(wǎng)格貼體坐標(biāo)系:橢圓型網(wǎng)格生成圖

25、5-10給出了翼型附近網(wǎng)格的細(xì)節(jié).圖5-10 圖5-9中貼體網(wǎng)格的一小部分,顯示了翼型附近網(wǎng)格分布的細(xì)節(jié)自順應(yīng)網(wǎng)格應(yīng)該將大量的,密集的網(wǎng)格點(diǎn)分布在流場(chǎng)變量存在大的梯度的那部分流動(dòng)區(qū)域內(nèi),從而改良CFD計(jì)算的數(shù)值精度.這樣做不僅是由于密網(wǎng)格可以減小截?cái)嗾`差,更是由于要捕捉流動(dòng)特性,梯度大的地方就需求更多的網(wǎng)格點(diǎn).圖5-11給出的流過(guò)平板的粘性流,可用來(lái)定性地闡明這個(gè)問(wèn)題.自順應(yīng)網(wǎng)格圖5-11 在邊境層內(nèi)需求集中大量的網(wǎng)格點(diǎn)自順應(yīng)網(wǎng)格自順應(yīng)網(wǎng)格是可以自動(dòng)向流場(chǎng)中大梯度區(qū)域聚集的網(wǎng)格,它利用求解的流場(chǎng)特征確定網(wǎng)格點(diǎn)在物理平面中的位置.自順應(yīng)網(wǎng)格的優(yōu)點(diǎn)是:當(dāng)網(wǎng)格數(shù)量固定時(shí),可以提高計(jì)算精度給定精度時(shí),

26、可以減少的網(wǎng)格點(diǎn)來(lái)到達(dá)這一精度.自順應(yīng)網(wǎng)格自順應(yīng)網(wǎng)格的一個(gè)簡(jiǎn)單的例子是C o r d a求解繞后臺(tái)階的粘性超聲流時(shí)所用的網(wǎng)格,其中的坐標(biāo)變換為1(/)1(/)BxbgxCycgy (5-71)(5-72)式中,g是流場(chǎng)中的原始變量,如p, 或 T.自順應(yīng)網(wǎng)格圖5-12自順應(yīng)網(wǎng)格原理表示圖()ttx()tx11()()NNtttxxxtt自順應(yīng)網(wǎng)格(圖5-12a)在物理平面中,t時(shí)辰N和N+1點(diǎn)的位置用黑色的圓點(diǎn)表示,兩點(diǎn)之間的x方向間隔 ,其中上標(biāo)t時(shí)辰.t時(shí)辰N點(diǎn)的x坐標(biāo) ,依賴(lài)于1,2點(diǎn)之間的 ,2,3點(diǎn)之間的 ,也就是說(shuō)tNx()txxx1()tNtNixx(5-73)t+ t時(shí)辰N和N

27、+1點(diǎn)的新位置在圖(5-12a)中用十字形記號(hào)標(biāo)出,圖中同時(shí)還標(biāo)出了 x的新值 . t+ t時(shí)辰N點(diǎn)的x坐標(biāo)為()ttx1()ttNttNixx(5-74)自順應(yīng)網(wǎng)格自順應(yīng)網(wǎng)格可以用N點(diǎn)和N+1點(diǎn)的x坐標(biāo)的相應(yīng)改動(dòng)量除以時(shí)間增量 t來(lái)表示時(shí)間度量, 即,(/)xt ,()tttNNxxxtt ttNx(5-75a)式中, 和 分別由(5-74)和式(5-73)給出.tNx,()tttMMyyytt (5-75b)自順應(yīng)網(wǎng)格其中, 和 由類(lèi)似式(5-73)和式(5-74)的表達(dá)式給出,即ttMytMy11()()tMtMittMttMiyyyy自順應(yīng)網(wǎng)格回到普通的逆變換式(5-18ac).先調(diào)查

28、式(5-18a),即( , , )xx ,()()()xxxdxddd (5-18a)寫(xiě)出全微分,有(5-76)方程中x的變化量d x由, 和的變化量d , d 和d 表示.假設(shè)這些變換是關(guān)于時(shí)間的,堅(jiān)持x和y不變,方程(5-76)可以寫(xiě)成自順應(yīng)網(wǎng)格01,()()()()()()()x yx yx yx yxxxxtttt ,(/)x yxt(5-77)在方程(5-77中),由于x一直堅(jiān)持不變,所以 恒等于零不失普通性地,設(shè)式(5-18c)中的t=t ()的方式給出,那么在式(5-77)中 代入這些值,式(5-77)變?yōu)樽皂槕?yīng)網(wǎng)格,(/)1x yt,()()()()()x yx yxxxtt (5-78)自順應(yīng)網(wǎng)格如今思索方程(5-18b),即( ,)yy ,()()()yyydyddd 01,()()()()()()()x yx yx yx yxyyytttt (5-18b)于是(5-79)從這個(gè)結(jié)果可有(5-80),()()()()()x yx yyyytt 或(5-81)自順應(yīng)網(wǎng)格式(5-78)和式(5-81)中都有度量 和 .將兩式聯(lián)立,用克萊姆