1、第 4 章測(cè)試系統(tǒng)的特性一般測(cè)試系統(tǒng)由傳感器、中間變換裝置和顯示記錄裝置三部分組成。測(cè)試過程中傳感器將反映被測(cè)對(duì)象特性的物理量（如壓力、加速度、溫度等）檢出并轉(zhuǎn)換為電信號(hào)，然后傳輸給中間變換裝置；中間變換裝置對(duì)電信號(hào)用硬件電路進(jìn)行處理或經(jīng)A/D 變成數(shù)字量，再將結(jié)果以電信號(hào)或數(shù)字信號(hào)的方式傳輸給顯示記錄裝置；最后由顯示記錄裝置將測(cè)量結(jié)果顯示出來，提供給觀察者或其它自動(dòng)控制裝置。測(cè)試系統(tǒng)見圖4-1 所示。根據(jù)測(cè)試任務(wù)復(fù)雜程度的不同，測(cè)試系統(tǒng)中每個(gè)環(huán)節(jié)又可由多個(gè)模塊組成。例如，圖4-2 所示的機(jī)床軸承故障監(jiān)測(cè)系統(tǒng)中的中間變換裝置就由帶通濾波器、A/D 變換器和快速傅里葉變換（ Fast Fouri

2、er Transform，簡(jiǎn)稱 FFT）分析軟件三部分組成。測(cè)試系統(tǒng)中傳感器為振動(dòng)加速度計(jì)，它將機(jī)床軸承振動(dòng)信號(hào)轉(zhuǎn)換為電信號(hào)；帶通濾波器用于濾除傳感器測(cè)量信號(hào)中的高、低頻干擾信號(hào)和對(duì)信號(hào)進(jìn)行放大，A/D 變換器用于對(duì)放大后的測(cè)量信號(hào)進(jìn)行采樣，將其轉(zhuǎn)換為數(shù)字量；FFT 分析軟件則對(duì)轉(zhuǎn)換后的數(shù)字信號(hào)進(jìn)行快速傅里葉變換，計(jì)算出信號(hào)的頻譜；最后由計(jì)算機(jī)顯示器對(duì)頻譜進(jìn)行顯示。要實(shí)現(xiàn)測(cè)試，一個(gè)測(cè)試系統(tǒng)必須可靠、不失真。因此，本章將討論測(cè)試系統(tǒng)及其輸入、輸出的關(guān)系，以及測(cè)試系統(tǒng)不失真的條件。圖 4-1測(cè)試系統(tǒng)簡(jiǎn)圖圖 4-2軸承振動(dòng)信號(hào)的測(cè)試系統(tǒng)4.1 線性系統(tǒng)及其基本性質(zhì)機(jī)械測(cè)試的實(shí)質(zhì)是研究被測(cè)機(jī)械的信號(hào)x

3、(t) （激勵(lì)）、測(cè)試系統(tǒng)的特性h(t )和測(cè)試結(jié)果y(t )（響應(yīng)）三者之間的關(guān)系，可用圖4-3 表示。x (t )h (t )y( t )圖 4-3測(cè)試系統(tǒng)與輸入和輸出的關(guān)系它有三個(gè)方面的含義：（ 1）如果輸入 x(t ) 和輸出 y(t) 可測(cè)，則可以推斷測(cè)試系統(tǒng)的特性h(t) ；（ 2）如果測(cè)試系統(tǒng)特性h(t ) 已知，輸出 y(t) 可測(cè)，則可以推導(dǎo)出相應(yīng)的輸入x(t )；（ 3）如果輸入 x(t ) 和系統(tǒng)特性 h(t ) 已知，則可以推斷或估計(jì)系統(tǒng)的輸出y(t) 。這里所說的測(cè)試系統(tǒng)，廣義上是指從設(shè)備的某一激勵(lì)輸入（輸入環(huán)節(jié)）到檢測(cè)輸出量的那個(gè)環(huán)節(jié)（輸出環(huán)節(jié)）之間的整個(gè)系統(tǒng)，一般

4、包括被測(cè)設(shè)備和測(cè)量裝置兩部分。所以只有首先確知測(cè)量裝置的特性，才能從測(cè)量結(jié)果中正確評(píng)價(jià)被測(cè)設(shè)備的特性或運(yùn)行狀態(tài)。理想的測(cè)試裝置應(yīng)具有單值的、確定的輸入 /輸出關(guān)系，并且最好為線性關(guān)系。由于在靜態(tài)測(cè)量中校正和補(bǔ)償技術(shù)易于實(shí)現(xiàn)，這種線性關(guān)系不是必須的（但是希望的） ；而在動(dòng)態(tài)測(cè)量中，測(cè)試裝置則應(yīng)力求是線性系統(tǒng)，原因主要有兩方面：一是目前對(duì)線性系統(tǒng)的數(shù)學(xué)處理和分析方法比較完善；二是動(dòng)態(tài)測(cè)量中的非線性校正比較困難。但對(duì)許多實(shí)際的機(jī)械信號(hào)測(cè)試裝置而言，不可能在很大的工作范圍內(nèi)全部保持線性，只能在一定的工作范圍和誤差允許范圍內(nèi)當(dāng)作線性系統(tǒng)來處理。線性系統(tǒng)輸入 x(t) 和輸出 y(t )之間的關(guān)系可以用式

5、（ 4-1）來描述ad n y(t )ad n 1 y(t ) .ady(t )a y(t )ndt nn 1dt n 11dt0（ 4-1）d m x(t)d m 1 x(t )b dx(t )bb.b x(t )mdt mm 1dt m 11 dt0當(dāng) an ， an 1 ， a0 和 bm ， bm 1， b0 均為常數(shù)時(shí)，式（ 4-1）描述的就是線性系統(tǒng)，也稱為時(shí)不變線性系統(tǒng)，它有以下主要基本性質(zhì)：（1）疊加性若x1 (t)y1 (t) ， x2 (t )y2 (t) ，則有x1 (t)x2 (t )y1 (t )y2 (t)（ 4-2）（2）比例性若 x(t )y(t ) ，則對(duì)任意

6、常數(shù) c 有cx(t ) cy(t )（ 4-3）（3）微分性若 x(t )y(t ) ，則有dx(t )dy(t )（ 4-4）dtdt（4）積分性若系統(tǒng)的初始狀態(tài)為零， x(t)y(t ) ，則有tt（ 4-5）x( t ) dty (t ) dt00（5）頻率保持性若當(dāng)系統(tǒng)輸入為某一頻率的正弦信號(hào)時(shí)，系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)輸出將只有該同一頻率。設(shè)系統(tǒng)輸入為正弦信號(hào)：x(t)x0e j 0t ，則系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)輸出為y(t) y0e j ( 0 t )（ 4-6）上述線性系統(tǒng)的特征，特別是頻率保持性，在測(cè)試工作中具有非常重要的作用。因?yàn)樵趯?shí)際測(cè)試中，測(cè)得的信號(hào)常常會(huì)受到其他信號(hào)或噪聲的干擾，這時(shí)依據(jù)頻率保持

7、特性可以認(rèn)定測(cè)得信號(hào)中只有與輸入信號(hào)相同的頻率成分才是真正由輸入引起的輸出。同樣，在機(jī)械故障診斷中，根據(jù)測(cè)試信號(hào)的主要頻率成分，在排除干擾的基礎(chǔ)上，依據(jù)頻率保持特性推出輸入信號(hào)也應(yīng)包含該頻率成分，通過尋找產(chǎn)生該頻率成分的原因，就可以診斷出故障的原因。4.2測(cè)試系統(tǒng)的靜態(tài)特性測(cè)試系統(tǒng)的靜態(tài)特性就是在靜態(tài)量測(cè)量情況下描述實(shí)際測(cè)試系統(tǒng)與理想線性時(shí)不變系統(tǒng)的接近程度。靜態(tài)量測(cè)量時(shí)，裝置表現(xiàn)出的響應(yīng)特性稱為靜態(tài)響應(yīng)特性，常用來描述靜態(tài)響應(yīng)特性的參數(shù)主要有靈敏度、非線性度和回程誤差等。靈敏度當(dāng)測(cè)試系統(tǒng)的輸入 x(t) 在某一時(shí)刻 t 有一個(gè)增量x 時(shí)，輸出 y 到達(dá)新的穩(wěn)態(tài)時(shí)發(fā)生一個(gè)相應(yīng)的變化 y ，則稱

8、y（ 4-7）Sx為該測(cè)量系統(tǒng)的絕對(duì)靈敏度，如圖4-4 所示。如果不考慮系統(tǒng)的過渡過程，由線性系統(tǒng)的性質(zhì)可知，線性系統(tǒng)的靈敏度可以表示為b0C（ 4-8）Sa0式中， a0 ， b0 為常數(shù)， C 表示一比例常數(shù)。可見，線性系統(tǒng)的靜態(tài)特征曲線為一條直線。例如，某位移測(cè)量系統(tǒng)在位移變化1 m 時(shí)輸出的電壓變化有 5mV ，則其靈敏度 S 5V / mm ，對(duì)輸入、輸出量綱相同的測(cè)量系統(tǒng)，其靈敏度無量綱，常稱為放大倍數(shù)。由于外界環(huán)境條件等因素的變化，可能造成測(cè)試系統(tǒng)輸出特性的變化，例如由環(huán)境溫度的變化而引起的測(cè)量和放大電路特性的變化等，最終反映為靈敏度發(fā)生變化，由此引起的靈敏度變化稱為靈敏度漂移，

9、如圖 4-4 所示。a）b）圖 4-4絕對(duì)靈敏度及其漂移a）絕對(duì)靈敏度b）靈敏度漂移在設(shè)計(jì)或選擇測(cè)試系統(tǒng)的靈敏度時(shí)，應(yīng)該根據(jù)測(cè)量要求合理進(jìn)行。一般而言，測(cè)試系統(tǒng)的靈敏度越高，測(cè)量的范圍就越窄，穩(wěn)定性也往往越差。非線性度非線性度是指測(cè)試系統(tǒng)的輸入、輸出之間能否像理想線性系統(tǒng)那樣保持線性關(guān)系的一種度量。通常采用靜態(tài)測(cè)量實(shí)驗(yàn)的辦法求出測(cè)試系統(tǒng)的輸入輸出關(guān)系曲線（即實(shí)驗(yàn)曲線或標(biāo)定曲線），該曲線偏離其擬合直線的程度即為非線性度?？梢远x非線性度F 為系統(tǒng)的全程測(cè)量范圍內(nèi)，實(shí)驗(yàn)曲線和擬合直線偏差B 的最大值與輸出范圍（量程）A 之比。如圖 4-5所示。Fmax(B) 100%（ 4-9）A回程誤差引起回程

10、誤差的原因一般是由于測(cè)試系統(tǒng)中有滯后環(huán)節(jié)或工作死區(qū)，它也是表征測(cè)試系統(tǒng)非線性特征的一個(gè)指標(biāo)，可以反映同一輸入量對(duì)應(yīng)多個(gè)不同輸出量的情況，通常也由靜態(tài)測(cè)量求得，如圖4-6 所示。定義為在同樣的測(cè)量條件下，在全程測(cè)量范圍內(nèi)，當(dāng)輸入量由小增大或由大減小時(shí)，對(duì)于同一個(gè)輸入量所得到的兩個(gè)數(shù)值不同的輸出量之間差值的最大值與全程輸出范圍的比值。記作Hmax(h)（4-10）100%A回程誤差可以由摩擦、間隙、材料的受力變形或磁滯等因素引起，也可能反映著儀器的不工作區(qū)（又稱死區(qū)）的存在，所謂不工作區(qū)就是輸入變化對(duì)輸出無影響的范圍。圖 4-5非線性度圖 4-6回程誤差4.3 測(cè)試系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性測(cè)試系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性

11、是指輸入量隨時(shí)間變化時(shí)，其輸出隨輸入而變化的關(guān)系。一般地，在所考慮的測(cè)量范圍內(nèi)，測(cè)試系統(tǒng)都可以認(rèn)為是線性系統(tǒng)，因此就可以用式（4-1）這一時(shí)不變線性系統(tǒng)微分方程來描述測(cè)試系統(tǒng)與輸入、輸出之間的關(guān)系，但使用時(shí)有許多不便。因此，常通過拉普拉斯變換建立其響應(yīng)的“傳遞函數(shù)”，通過傅里葉變換建立其相應(yīng)的“頻率響應(yīng)函數(shù)”，以便更簡(jiǎn)便地描述測(cè)試系統(tǒng)的特性。傳遞函數(shù)對(duì)運(yùn)行機(jī)械進(jìn)行測(cè)量時(shí)，得到的測(cè)量結(jié)果不僅受設(shè)備靜態(tài)特性的影響，也會(huì)受到測(cè)試系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性的影響，因此，需要對(duì)測(cè)試系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性有清楚的了解。式（4-1）描述了測(cè)試系統(tǒng)中輸入輸出間的關(guān)系，對(duì)于線性系統(tǒng)，若系統(tǒng)的初始條件為零，即在考察時(shí)刻t 以前 (t0

12、 ) ，其輸入、輸出信號(hào)及其各階導(dǎo)數(shù)均為零，則對(duì)式（4-1）作拉普拉斯變換，可得(an snan 1sn 1.a1sa0 )Y (s)(bm smbm 1sm 1.b1 sb0 ) X ( s)（ 4-11）定義輸出信號(hào)和輸入信號(hào)的拉普拉斯變換之比為傳遞函數(shù)，即H (s)Y (s)bmsmbm 1 sm 1. b1s b0（ 4-12）X (s)an snan 1 sn 1. a1s a0式中， s 為拉普拉斯算子， sj ； an ， an 1 ， ， a1 ， a0 和 bn ， bn 1 ， b1 ， b0 是由測(cè)試系統(tǒng)的物理參數(shù)決定的常系數(shù)。由式（4-12）可知，傳遞函數(shù)以代數(shù)式的形式

13、表征了系統(tǒng)對(duì)輸入信號(hào)的傳輸、轉(zhuǎn)換特性。它包含了瞬態(tài) s 和穩(wěn)態(tài) s j 響應(yīng)的全部信息。 式（4-1）則是以微分方程的形式表征系統(tǒng)輸入與輸出信號(hào)的關(guān)系。在運(yùn)算上，傳遞函數(shù)比解微分方程要簡(jiǎn)便。傳遞函數(shù)具有如下主要特點(diǎn)：（1） H (s) 描述了系統(tǒng)本身的固有動(dòng)態(tài)特性，而與輸入x(t ) 及系統(tǒng)的初始狀態(tài)無關(guān)。（2）H ( s) 是對(duì)物理系統(tǒng)特性的一種數(shù)學(xué)描述，而與系統(tǒng)的具體物理結(jié)構(gòu)無關(guān)。H (s) 是通過對(duì)實(shí)際的物理系統(tǒng)抽象成數(shù)學(xué)模型式（ 4-1）后，經(jīng)過拉普拉斯變換后所得出的，所以即同一形式的傳遞函數(shù)可表征具有相同傳輸特性的不同物理系統(tǒng)。（3） H ( s) 的分母取決于系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)，而分子則表

14、示系統(tǒng)同外界之間的關(guān)系，如輸入點(diǎn)的位置、輸入方式、被測(cè)量及測(cè)點(diǎn)布置情況等。分母中的s 的冪次 n 代表系統(tǒng)微分方程的階數(shù)，如當(dāng) n1 或 n2 時(shí)，分別稱為一階系統(tǒng)或二階系統(tǒng)。一般測(cè)試系統(tǒng)都是穩(wěn)定系統(tǒng)， 其分母中的的 s 的冪次總是高于分子中s 的冪次（ nm ）。頻率響應(yīng)函數(shù)傳遞函數(shù) H ( s) 是在復(fù)數(shù)域中描述和考察系統(tǒng)的特性，與時(shí)域中用微分方程來描述和考察系統(tǒng)的特性相比有許多優(yōu)點(diǎn)。頻率響應(yīng)函數(shù)是在頻域中描述和考察系統(tǒng)特性，與傳遞函數(shù)相比，頻率響應(yīng)函數(shù)易通過實(shí)驗(yàn)來建立，且其物理概念清楚。在系統(tǒng)傳遞函數(shù) H (s) 已經(jīng)知道的情況下，令 H (s) 中的 s 的實(shí)部為零，即 s j便可以求

15、得頻率響應(yīng)函數(shù) H ( ) 。對(duì)于時(shí)不變線性系統(tǒng)，有頻率響應(yīng)函數(shù)H ()bm ( j ) mbm 1( j)m 1.b1 ( j)b0（ 4-13）H ( )nan 1 ( j)n 1.a1 ( j)a0an ( j式中， j1 。若在 t0 時(shí)刻將輸入信號(hào)接入時(shí)不變線性系統(tǒng)，令sj 代入拉普拉斯變換中，實(shí)際上是將拉普拉斯變換變成傅里葉變換。又由于系統(tǒng)的初始條件為零，因此，系統(tǒng)的頻率響應(yīng)函數(shù)H() 就成為輸出 y(t) 、輸入 x(t) 的傅里葉變換 Y ( )、 X () 之比，即H ( )Y ()（ 4-14）X ()由式（ 4-14），在測(cè)得輸出 y(t ) 和輸入 x(t ) 后，由其

16、傅里葉變換 Y()和X ( )即可求得頻率響應(yīng)函數(shù) H ( )Y() 。頻率響應(yīng)函數(shù)是描述系統(tǒng)的簡(jiǎn)諧輸入和其穩(wěn)態(tài)輸出的關(guān)系，在測(cè)X ()量系統(tǒng)頻率響應(yīng)函數(shù)時(shí)，必須在系統(tǒng)響應(yīng)達(dá)到穩(wěn)態(tài)階段時(shí)才測(cè)量。頻率響應(yīng)函數(shù)是復(fù)數(shù)，因此，可以寫成復(fù)指數(shù)形式H ( ) A( )ej ( )（ 4-15）式中， A( ) 稱為系統(tǒng)的幅頻特性；( ) 稱為系統(tǒng)的相頻特性?？梢?，系統(tǒng)的頻率響應(yīng)函數(shù)H ( ) 或其幅頻特性 A( ) 、相頻特性( ) 都是簡(jiǎn)諧輸入頻率 的函數(shù)。為研究問題方便， 有時(shí)常用曲線來描述系統(tǒng)的傳輸特性。 A( )曲線和()曲線分別稱為系統(tǒng)的幅頻特性曲線和相頻特性曲線。實(shí)際作圖時(shí)，常對(duì)自變量取對(duì)數(shù)

17、標(biāo)尺，幅值坐標(biāo)取分貝數(shù)， 即作 20 lg A() lg( ) 和 ( ) lg( ) 曲線，兩者分別稱為對(duì)數(shù)幅頻曲線和對(duì)數(shù)相頻曲線，總稱為伯德圖（Bode 圖）。如果將 H () 寫成實(shí)部和虛部形式，有H ()P( )jQ ()式中，P( )和Q( )都是的實(shí)函數(shù)，曲線 P( )和 Q ()分別稱為系統(tǒng)的實(shí)頻特性和虛頻特性曲線。 如果將 H () 的實(shí)部和虛部分別作為縱、 橫坐標(biāo)，則曲線 Q( )P( ) 稱為奈奎斯特圖（ Nyquist 圖），顯然A( )P2( ) Q2( )（ 4-16）()arctan Q ( )（ 4-17）P( w)脈沖響應(yīng)函數(shù)若測(cè)試系統(tǒng)輸入為單位脈沖函數(shù)，即x(

18、t)(t) 時(shí)， X (s) 1 。因此，有Y(s)H (s)Y (s)X (s)對(duì)上式作拉普拉斯逆變換，有y( t)h(t )稱 h(t) 為系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)函數(shù)。脈沖響應(yīng)函數(shù)為測(cè)試系統(tǒng)特性的時(shí)域描述。至此，測(cè)試系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性在時(shí)域可以用h(t) 來描述，在頻域可以用 H ( ) 來描述，在復(fù)數(shù)域可以用 H ( s) 來描述。三者的關(guān)系是一一對(duì)應(yīng)的。環(huán)節(jié)的串聯(lián)和并聯(lián)實(shí)際的測(cè)試系統(tǒng)，通常都是由若干個(gè)環(huán)節(jié)組成，測(cè)試系統(tǒng)的傳遞函數(shù)與各個(gè)環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)之間的關(guān)系取決于各環(huán)節(jié)的連接形式。若系統(tǒng)由多個(gè)環(huán)節(jié)串聯(lián)而成，如圖4-7 所示，且后面的環(huán)節(jié)對(duì)前一環(huán)節(jié)沒有影響，各環(huán)節(jié)自身的傳遞函數(shù)為H i (s) ，則測(cè)

19、試系統(tǒng)的總傳遞函數(shù)為nH (s)H i (s)（4-18）i 1圖 4-7系統(tǒng)串聯(lián)相應(yīng)系統(tǒng)的頻率響應(yīng)函數(shù)為nH ( j)H i ( j)i 1其幅頻、相頻特性為nA()Ai ()i 1n()i ( )i 1若系統(tǒng)由多個(gè)環(huán)節(jié)并聯(lián)而成，如圖4-8 所示，則測(cè)試系統(tǒng)的總傳遞函數(shù)為nH ( s)H i (s)i1圖 4-8系統(tǒng)并聯(lián)（4-19）（4-20）（4-21）相應(yīng)系統(tǒng)的頻率響應(yīng)函數(shù)為nH ( j )H i ( j )（4-22）i 1需要注意：當(dāng)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)分母中 s 的冪次 n 值大于 2 時(shí)，系統(tǒng)稱為高階系統(tǒng)。由于一般的測(cè)試系統(tǒng)總是穩(wěn)定的， 高階系統(tǒng)傳遞函數(shù)的分母總可以分解成為 s的一次和

20、二次實(shí)系數(shù)因式，即nn1r( nr ) 222( s pi )( s（4-23）an sa n 1 s. a1 s a 0 a n2 i ni sni )i1i1式中， pi 、i、 ni 為實(shí)常數(shù)，其中i1。故式（ 4-12）可改寫為rqi( n r )2i siH (s)（4-24）s22 ini s2is pii 1ni式中，i 、i、 qi 為實(shí)常數(shù)。式（4-24）表明：任何一個(gè)高階系統(tǒng)，總可以把它看成是若干個(gè)一階、二階系統(tǒng)的串、并聯(lián)。所以，研究一階和二階系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性，具有非常普遍的意義。4.4 不失真測(cè)試條件由于受測(cè)試系統(tǒng)的影響，總會(huì)產(chǎn)生某種程度的失真。所謂測(cè)試系統(tǒng)的不失真，就是測(cè)

21、試系統(tǒng)的響應(yīng)和激勵(lì)的波形相比，只有幅值大小和出現(xiàn)的時(shí)刻有所不同，不存在形狀上的變化。若測(cè)試系統(tǒng)的輸入輸出分別為 x(t ) 和 y(t ) ，則不失真測(cè)試的含義可以表示為y(t )Kx(tt 0 )（4-25）式中，K 為常量，t0 為滯后時(shí)間。對(duì)上式作傅立葉變換，可求得系統(tǒng)頻響函數(shù)為H ( ) A( )ej t0（4-26）若要不失真就必須滿足A()K()（4-27）t0式中， K 和 t0 均為常量。理想的不失真測(cè)試系統(tǒng)其幅頻和相頻特性曲線如圖4-9 所示?？梢?，測(cè)試系統(tǒng)在頻域內(nèi)實(shí)現(xiàn)不失真測(cè)試的條件是幅頻特性曲線是一條平行于軸的直線，相頻特性曲線是斜率為t0 的直線。a）b）圖 4-9 理

22、想不失真測(cè)量系統(tǒng)特性a）幅頻特性 b）相頻特性實(shí)際上，許多線性測(cè)試系統(tǒng)的響應(yīng)與激勵(lì)波形并不一致，信號(hào)經(jīng)過測(cè)試系統(tǒng)后大都產(chǎn)生失真。這種失真或是由于系統(tǒng)對(duì)各頻率分量的幅度產(chǎn)生了不同程度的衰減或放大（A( )不為常量），從而使得響應(yīng)中各頻率分量的幅度相對(duì)比例發(fā)生了變化；或是由于系統(tǒng)對(duì)各頻率分量的相移與頻率不成比例 （() 與之間為非線性關(guān)系），結(jié)果使響應(yīng)中各頻率分量間的相對(duì)位置發(fā)生了變化；或是由于以上兩種失真的綜合。由A( ) 不為常量引起的失真稱為幅值失真，而由() 與之間非線性關(guān)系引起的失真稱為相位失真。需要說明的是，若測(cè)量目的是為了精確獲取信號(hào)波形，那么式（4-27）表示的不失真條件完全滿足要

23、求。但是獲取信號(hào)用作反饋控制，則上述條件并不全面，因?yàn)闀r(shí)間滯后可能會(huì)破壞控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性，這時(shí)還需要()0 才是理想條件。要使測(cè)試系統(tǒng)精確可靠，測(cè)試系統(tǒng)的定標(biāo)不僅應(yīng)該精確，還應(yīng)當(dāng)定期地進(jìn)行校準(zhǔn)，定標(biāo)和校準(zhǔn)的實(shí)質(zhì)，就是對(duì)測(cè)試系統(tǒng)本身特性參數(shù)的測(cè)試。機(jī)械信號(hào)測(cè)試系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性的定標(biāo)和校準(zhǔn)，目前最為常用的有兩種，即頻率響應(yīng)法和階躍響應(yīng)法。頻率響應(yīng)法就是通過對(duì)測(cè)試系統(tǒng)進(jìn)行穩(wěn)態(tài)正弦激勵(lì)實(shí)驗(yàn)以測(cè)得其動(dòng)態(tài)特性，即對(duì)測(cè)試系統(tǒng)輸入頻率可調(diào)的正弦信號(hào)，在每一個(gè)頻率點(diǎn)，當(dāng)輸出達(dá)到穩(wěn)定后分別測(cè)其輸入輸出的幅值比和相角差，就可以得到該系統(tǒng)的幅頻和相頻曲線；階躍響應(yīng)法就是對(duì)測(cè)試系統(tǒng)輸入一個(gè)階躍信號(hào)并通過測(cè)得的輸出信號(hào)來估計(jì)

24、系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性參數(shù)。4.5 一階和二階系統(tǒng)的特性從前述章節(jié) 4.3 可知，一階系統(tǒng)和二階系統(tǒng)是分析和研究高階系統(tǒng)的基礎(chǔ)。因此，本節(jié)將詳細(xì)介紹一階和二階系統(tǒng)的特性及其在典型信號(hào)輸入下的響應(yīng)。一階系統(tǒng)特性首先看一個(gè)具體的例子。圖4-10 是一個(gè)液柱式溫度計(jì)，如以Ti (t) 表示溫度計(jì)的輸入信號(hào)即被測(cè)溫度，以 T0 (t) 表示溫度計(jì)的輸出信號(hào)即示值溫度，則輸入與輸出間的關(guān)系為圖 4-10液柱式溫度計(jì)Ti (t) T0 (t)C dT0 (t )（4-28）RdtdT0 (t )T0 (t ) Ti (t)（4-29）RCdt式中， R 為傳導(dǎo)介質(zhì)的熱阻；C 為溫度計(jì)的熱容量。式（4-29）表明，液

25、柱式溫度計(jì)系統(tǒng)的微分方程是一階微分方程，可認(rèn)為該溫度計(jì)是一個(gè)一階測(cè)試系統(tǒng)。對(duì)其作拉普拉斯變換，并令RC （為溫度計(jì)時(shí)間常數(shù)），則有sT0 (s)T0 ( s)Ti (s)（4-30）因此，傳遞函數(shù)為T0 (s)1（4-31）H (s)1 sTi ( s)相應(yīng)地，溫度計(jì)系統(tǒng)的頻率響應(yīng)函數(shù)為H ( j )1（4-32）1j可見，液柱式溫度計(jì)的傳遞特性具有一階系統(tǒng)特性。下面從一般意義上分析一階系統(tǒng)的頻率響應(yīng)特性。一階系統(tǒng)微分方程的通式為a1dy(t)（4-33）a0 y(t ) b0 x(t)dt用 a0 除方程各項(xiàng)得a1dy(t )b0x(t)（4-34）a0y(t)a0dt式中，a1具有時(shí)間量綱

26、，稱為時(shí)間常數(shù)，常用符號(hào)來表示；b0則是系統(tǒng)的靜態(tài)靈敏度用a0a0S 表示。在線性系統(tǒng)中， S 為常數(shù)。由于 S 值的大小僅表示輸出與輸入之間（輸入為靜態(tài)量時(shí)）放大的比例關(guān)系，并不影響對(duì)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性的研究，因此，為討論問題方便起見，可以令b0S1 ，這種處理稱為靈敏度歸一處理。在作了上述處理之后，一階系統(tǒng)的微分方程可a0改寫為dy(t )y(t)x(t )（4-35）dt對(duì)上式作拉普拉斯變換得sY( s) Y ( s)X ( s)（4-36）則一階系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為Y (s)1（4-37）H (s)s 1X (s)其頻率響應(yīng)為H ( j11j)1() 2) 2j1 (A()Re() 2Im()

27、21（4-38）1() 2(） arctan Im()arctan()Re()() 為負(fù)值表示系統(tǒng)輸出信號(hào)的相位滯后于輸入信號(hào)的相位。一階系統(tǒng)的幅頻和相頻特性曲線如圖 4-11 所示。a）b）圖 4-11一階系統(tǒng)的幅值與相頻特性a）幅頻曲線b）相頻曲線從一階系統(tǒng)的幅頻曲線來看，與動(dòng)態(tài)測(cè)試不失真的條件相對(duì)照，顯然它不滿足A()為水平直線的要求。對(duì)于實(shí)際的測(cè)試系統(tǒng)，要完全滿足理論上的動(dòng)態(tài)測(cè)試不失真條件幾乎是不可能的，只能要求在接近不失真的測(cè)試條件的某一頻段范圍內(nèi)，幅值誤差不超過某一限度。一般在沒有特別指明精度要求的情況下，系統(tǒng)只要是在幅值誤差不超過5%（即在系統(tǒng)靈敏度歸一處理后， A( ) 值不大

28、于 1.05 或不小于 0.95）的頻段范圍內(nèi)工作，就認(rèn)為可以滿足動(dòng)態(tài)測(cè)試要求。一階系統(tǒng)當(dāng) 1/ 時(shí)， A( ) 值為 0.707（ -3dB），相位滯后 45，通常稱 1/ 為一階系統(tǒng)的轉(zhuǎn)折頻率。 只有當(dāng) 遠(yuǎn)小于 1/ 時(shí)幅頻特性才接近于 1，才可以不同程度地滿足動(dòng)態(tài)測(cè)試要求。 在幅值誤差一定的情況下， 越小，則系統(tǒng)的工作頻率范圍越大?；蛘哒f，在被測(cè)信號(hào)的最高頻率成分 一定的情況下， 越小，則系統(tǒng)輸出的幅值誤差越小。從一階系統(tǒng)的相頻曲線來看，同樣也只有在遠(yuǎn)小于 1/時(shí)，相頻曲線接近于一條過零點(diǎn)的斜直線， 可以不同程度地滿足動(dòng)態(tài)測(cè)試不失真條件，而且也同樣是越小，則系統(tǒng)的工作頻率范圍越大。綜合上

29、述分析， 可以得出結(jié)論： 反映一階系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能的指標(biāo)參數(shù)是時(shí)間常數(shù)，原則上是越小越好。在常見的測(cè)量裝置中， 彈簧阻尼系統(tǒng)以及簡(jiǎn)單的RC 低通濾波器等都屬于一階系統(tǒng)，如圖 4-12 所示。a）b）圖 4-12 一階系統(tǒng)a）機(jī)械一階系統(tǒng)b）電氣一階系統(tǒng)二階系統(tǒng)特性圖 4-13 所示的動(dòng)圈式顯示儀振子是一個(gè)典型二階系統(tǒng)。在筆式記錄儀和光線示波器等動(dòng)圈式振子中，通電線圈在永久磁場(chǎng)中受到電磁轉(zhuǎn)矩 ki i (t ) 的作用，產(chǎn)生指針偏轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)，偏轉(zhuǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量會(huì)受到扭轉(zhuǎn)阻尼轉(zhuǎn)矩C d (t )和彈性恢復(fù)轉(zhuǎn)矩 k(t ) 的作用，根據(jù)牛頓第二定dt 2律，這個(gè)系統(tǒng)的輸入與輸出關(guān)系可以用二階微分方程描述J d

30、 2 (t )C d (t )k (t)ki i (t)（4-39）dt 2dt式中， i (t ) 為輸入動(dòng)圈的電流信號(hào)；(t) 為振子（動(dòng)圈）的角位移輸出信號(hào)；J 為振子轉(zhuǎn)動(dòng)部分的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量； C 為阻尼系數(shù)，包括空氣阻尼、電磁阻尼、油阻尼等；k 為游絲的扭轉(zhuǎn)剛度； ki 為電磁轉(zhuǎn)矩系數(shù)，與動(dòng)圈繞組在氣隙中的有效面積、匝數(shù)和磁感應(yīng)強(qiáng)度等有關(guān)。圖 4-13動(dòng)圈式儀表振子的工作原理對(duì)式（ 4-39）拉普拉斯變換后，得振子系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為K i( s)J2Sn（4-40）H (s)Cs22 n s2I ( s)s2knJsJ式中， nk / J 為系統(tǒng)的固有頻率；C / 2 kJ 為系統(tǒng)的阻尼率；

31、 Ski 為系統(tǒng)的靈k敏度。下面分析典型的二階系統(tǒng)的頻率響應(yīng)特性。一般二階系統(tǒng)的微分方程的通式為a2d 2 y(t )a1dy(t )a0 y(t ) b0 x(t)dt 2dt靈敏度歸一處理后，可寫成a2d2 y(t )a1dy(t)a0dt 2a0y(t ) x(t)dt令 na0（稱為系統(tǒng)固有頻率），2a1（稱為系統(tǒng)的阻尼率）。則a1a0a2a212a0na12a0n于是，式（ 4-42）經(jīng)靈敏度歸一處理后可進(jìn)一步改寫為1d 2 y(t )2dy(t )2dt2y(t ) x(t )nndt作拉普拉斯變換得12 s2Y (s)2sY( s) Y (s) X (s)nn因此，二階系統(tǒng)的傳遞

32、函數(shù)為12H ( s)2n222s2 n s1ss 1n2nn二階系統(tǒng)的頻率響應(yīng)為（4-41）（4-42）（4-43）（4-44）（4-45）H ( j )11( )2j 2 ( )nnA()1（4-46）1 ( )2242( )2nn2()()arctann) 21(n二階系統(tǒng)幅頻曲線和相頻曲線如圖4-14 所示。需要注意的是，這是靈敏度歸一后所作的曲線。從二階系統(tǒng)的幅頻和相頻曲線來看，影響系統(tǒng)特性的主要參數(shù)是頻率比和阻尼n率。只有在1 并靠近坐標(biāo)原點(diǎn)的一段，A() 比較接近水平直線，() 也近似與成n線性關(guān)系，可以作動(dòng)態(tài)不失真測(cè)試。若測(cè)試系統(tǒng)的固有頻率n 較高，相應(yīng)地A() 的水平直線段也

33、較長一些，系統(tǒng)的工作頻率范圍便大一些。另外，當(dāng)系統(tǒng)的阻尼率在 0.7 左右時(shí)，A() 的水平直線段也會(huì)相應(yīng)地長一些，() 與之間也在較寬頻率范圍內(nèi)更接近線性。當(dāng)0.6 0.8 時(shí)，可獲得較合適的綜合特性。分析表明，當(dāng)0.7 時(shí)，在0 0.58 的范n圍內(nèi)，A() 的變化不超過5% ，同時(shí)() 也接近于過坐標(biāo)原點(diǎn)的斜直線?？梢?，二階系統(tǒng)的主要?jiǎng)討B(tài)性能指標(biāo)參數(shù)是系統(tǒng)的固有頻率n 和阻尼率兩個(gè)參數(shù)。a）b）圖 4-14二階系統(tǒng)的幅頻和相頻特性曲線a）幅頻特性曲線b）相頻特性曲線注意，對(duì)于二階系統(tǒng)，當(dāng)1 時(shí)， A()1 ，若系統(tǒng)的阻尼率甚小，則輸出幅值將n2急劇增大，故1 時(shí)，系統(tǒng)發(fā)生共振。共振時(shí)，振

34、幅增大的情況和阻尼率成反比，且不n管其阻尼率為多大，系統(tǒng)輸出的相位總是滯后輸入90。另外，當(dāng)2.5 以后，() 接近n于 180， A() 也接近一條水平直線段，但輸出比輸入小很多。質(zhì)量 -彈簧 -阻尼系統(tǒng)及 RLC 電路等測(cè)試裝置都屬于二階系統(tǒng)，如圖 4-15、圖 4-16 所示。圖 4-15質(zhì)量 -彈簧系統(tǒng)圖 4-16RLC 電路一階和二階系統(tǒng)在單位階躍輸入下的響應(yīng)如圖 4-17所示的單位階躍信號(hào)1(t0)x(t)(t0)0其拉氏變換為X (s)一階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)，如圖4-18 所示。1sy(t) 1 e t /（4-47）二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)，如圖4-19 所示。en ty(t)1sin(d t)（4-48）122 ；arctan12式中， dn 1(1) 。圖4-17單位階躍輸入圖4-18一階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)圖4-19二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)由上圖可知，一階系統(tǒng)在單位階躍激勵(lì)下的穩(wěn)態(tài)輸出誤差為零，進(jìn)入穩(wěn)態(tài)的時(shí)間t