1、專題一集合、邏輯與不等式§ 1 1集合【知識(shí)要點(diǎn)】1集合中的元素具有確定性、互異性、無序性.2. 集合常用的兩種表示方法：列舉法和描述法，另外還有大寫字母表示法，圖示法(韋 恩圖)，一些數(shù)集也可以用區(qū)間的形式表示.3. 兩類不同的關(guān)系：(1) 附屬關(guān)系一一元素與集合間的關(guān)系；(2) 包含關(guān)系一一兩個(gè)集合間的關(guān)系(相等是包含關(guān)系的特殊情況).4. 集合的三種運(yùn)算：交集、并集、補(bǔ)集.【例題分析】例1給出以下六個(gè)關(guān)系：(1) 0 N *(2)0 ' - 1, 1(3) .一 0(4)、' 0(5)0 0 , 1(6)0 -0其中正確的關(guān)系是.解答：(4)(6)【評(píng)析】1.熟

2、悉集合的常用符號(hào)：空集，記作一 ; N表示自然數(shù)集； 或N*表示正整數(shù)集；Z表示整數(shù)集；Q表示有理數(shù)集；R表示實(shí)數(shù)集.2. 明確元素與集合的關(guān)系及符號(hào)表示：如果a是集合A的元素，記作：a A;如果a 不是集合A的元素，記作：aA.3. 明確集合與集合的關(guān)系及符號(hào)表示：如果集合A中任意一個(gè)元素都是集合B的元素，那么集合A叫做集合B的子集.記作：A5B或B二A.如果集合A是集合B的子集，且B中至少有一個(gè)元素不屬于 A,那么，集合 A叫做集 合B的真子集.A，B或B A.4. 子集的性質(zhì)：任何集合都是它本身的子集：A A ；空集是任何集合的子集：一 A；提示：空集是任何非空集合的真子集.傳遞性：如果

3、 A B, B C,貝U A C;如果A B, B C，貝U A C.例2全集U = 小于10的正整數(shù),其子集A, B滿足條件(uA) n右uB)=1 , 9, A n B = 2 , Bn ('uA)= 4 , 6, 8.求集合 A, B.解：根據(jù)條件，得到如圖 1 1所示的韋恩圖，圖1 1于是，韋恩圖中的陰影局部應(yīng)填數(shù)字3, 5, 7.故 A= 2 , 3, 5, 7 , B= 2 , 4, 6, 8.【評(píng)析】1、明確集合之間的運(yùn)算對(duì)于兩個(gè)給定的集合 A、B，由既屬于 A又屬于B的所有元素構(gòu)成的集合叫做 A、B的 交集.記作：AA B.對(duì)于兩個(gè)給定的集合 A、B,把它們所有的元素并

4、在一起構(gòu)成的集合叫做A、B的并集.記作：AU B.如果集合A是全集U的一個(gè)子集，由U中不屬于A的所有元素構(gòu)成的集合叫做 A在U 中的補(bǔ)集.記作'-uA.2、集合的交、并、補(bǔ)運(yùn)算事實(shí)上是較為復(fù)雜的“且、“或、“非的邏輯關(guān)系運(yùn)算，而韋恩圖可以將這種復(fù)雜的邏輯關(guān)系直觀化，是解決集合運(yùn)算問題的一個(gè)很好的工具，要 習(xí)慣使用它解決問題，要有意識(shí)的利用它解決問題.例3設(shè)集合 M = x1 < xv 2 , N = x | xva.假設(shè) M A N = ,那么實(shí)數(shù) a 的取值范圍是.答： 3 1.【評(píng)析】此題可以通過數(shù)軸進(jìn)行分析，要特別注意當(dāng)a變化時(shí)是否能夠取到區(qū)間端點(diǎn)的值.象韋恩圖一樣，數(shù)軸同

5、樣是解決集合運(yùn)算問題的一個(gè)非常好的工具.例 4 設(shè) a, b R，集合1,a +b,a =0,，b，那么 b a= a【分析】因?yàn)?,a b, a二0,b，所以a+ b = 0或a = 0舍去，否那么一沒有意義,aa所以，a+ b= 0, b = 1,所以一 1 1 , a+ b, a, a = 1,a結(jié)合 a + b= 0, b = 1,所以 b a= 2.練習(xí)1 1答案、選擇題1 . B 2. B 3. A 4. C提示：4 .集合A表示非負(fù)偶數(shù)集，集合 B表示能被4整除的自然數(shù)集，所以正奇數(shù) ( uB)，從而 U = A U ('.uB).二、填空題5. x | xv 46. 4

6、 個(gè) 7. x I 1v xv 28. ai ； 2 個(gè)(x 為 ai 或 a3).三、解答題9. (An B)U C= 1 , 2, 3, 410. 分析：畫如下圖的韋恩圖：得A= 0 , 2, 3, 5, 7, B = 2 , 4, 6, 8.11. 答： av 4;a> 2;2< av 4提示：畫數(shù)軸分析，注意 a可否取到“臨界值§ 1 2常用邏輯用語【知識(shí)要點(diǎn)】1.命題是可以判斷真假的語句.2 .邏輯聯(lián)結(jié)詞有“或“且 “非.不含邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題叫簡(jiǎn)單命題，由簡(jiǎn)單命題和邏輯聯(lián)結(jié)詞構(gòu)成的命題叫做復(fù)合命題.可以利用真值表判斷復(fù)合命題的真假.P真真假假真假真假卜或晉真假3

7、.命題的四種形式真真假假g假真假戶且V蔑假假假假非7假原命題：假設(shè)p那么q.逆命題：假設(shè)q那么p.否命題：假設(shè)p，那么q.逆否命題：假設(shè)一 q,那么p.注意區(qū)別“命題的否認(rèn)與“否命題這兩個(gè)不同的概念.原命題與逆否命題、逆 命題與否命題是等價(jià)關(guān)系.4. 充要條件如果p= q,那么p叫做q的充分條件，q叫做p的必要條件.如果p= q且q= p,即q：= p那么p叫做q的充要條件，同時(shí)，q也叫做p的充要條件.5. 全稱量詞與存在量詞【例題分析】例1分別寫出以下命題的逆命題、否命題和逆否命題，并判斷其真假.(1) 假設(shè) a2+ b2= 0，貝V ab = 0;(2) 假設(shè) An B = A,那么 A

8、B.解：(1)逆命題：假設(shè)ab= 0，那么a2+ b2= 0;是假命題;否命題：假設(shè)a2+ b20，貝U abz 0;是假命題； 逆否命題：假設(shè)abz 0,貝y a2 + b2z 0；是真命題；(2)逆命題：假設(shè) A = B，貝U A n B= A;是真命題；否命題：假設(shè)A n Bz A,那么A不是B的真子集；是真命題； 逆否命題：假設(shè) A不是B的真子集，那么 An Bz A.是假命題.評(píng)述：原命題與逆否命題互為逆否命題，同真同假；逆命題與逆否命題也是互為逆否命題有時(shí)一個(gè)命題的真假不易判斷，可以判斷其逆否命題的真假，因?yàn)槎呤堑葍r(jià)的例2指出以下語句中，p是q的什么條件，q是p的什么條件.(1)

9、 p： (x 2)(x 3)= 0; q : x= 2;(2) p： a>2; q： az0.【分析】由定義知，假設(shè)p= q且q >p，那么p是q的充分不必要條件；假設(shè)pq且q= p,那么p是q的必要不充分條件；假設(shè)p= q且q= p, p與q互為充要條件.于是可得(1)中p是q的必要不充分條件；q是p的充分不必要條件.(2)中p是q的充分不必要條件；q是p的必要不充分條件.【評(píng)析】 判斷充分條件和必要條件，首先要搞清楚哪個(gè)是條件哪個(gè)是結(jié)論，剩下的問 題就是判斷p與q之間誰能推出誰了.例 3 設(shè)集合 M = x | x>2, N = x | xv 3，那么“ x M 或 x

10、N 是“ x M n N的 ( )(A)充分非必要條件(B)必要非充分條件(C)充要條件(D)非充分條件也非必要條件解：條件 p: x M 或 x N,即為 x R ；條件 q： x M n N，即為x R | 2 v xv 3.又R x R | 2v xv 3,且x R | 2 v xv 3 乂 R，所以p是q的必要非充分條件， 選B .【評(píng)析】當(dāng)條件p和q以集合的形式表現(xiàn)時(shí)，可用下面的方法判斷充分性與必要性：設(shè)滿足條件p的元素構(gòu)成集合 A,滿足條件q的元素構(gòu)成集合 B,假設(shè)B且B，A,那么p 是q的充分非必要條件；假設(shè) A B且B A，那么p是q的必要非充分條件；假設(shè) A= B，那么p與q

11、互為充要條件.例4命題“對(duì)任意的x R , x3 x2 + K 0的否認(rèn)是()(A)不存在 x R , x3 x2 + 1 W 0,(B)存在 x R , x3 x2 + 1 W 0(C)存在 x R, x3 x2 + 1 >0(D)對(duì)任意的 x R, x3 x2 + 1 >0【分析】這是一個(gè)全稱命題，它的否認(rèn)是一個(gè)特稱命題其否認(rèn)為“存在x R, x3x2+ 1 > 0.答：選C.【評(píng)析】注意全(特)稱命題的否認(rèn)是將全稱量詞改為存在量詞(或?qū)⒋嬖诹吭~改為全稱量詞)，并把結(jié)論否認(rèn).練習(xí)1 2答案一、選擇題1 . D 2. A3. B4. B二、填空題5. 必要不充分條件6.假設(shè)

12、丨x |< 1,那么x> 17.充要條件 &提示：8.因?yàn)锳5B，即對(duì)任意x A,有x B.根據(jù)邏輯知識(shí)知，A B,即為.另外，也可以通過文氏圖來判斷.三、解答題9 .答：(1)全稱命題，真命題.(2 )特稱命題，真命題.(3) 特稱命題，真命題；(4)全稱命題，真命題.10.略解：答：逆命題：假設(shè) ab= 0，貝U a2 + b2= 0;是假命題；例如 a= 0, b= 1否命題：假設(shè)a2+ b2 0,貝U abz 0;是假命題；例如 a = 0, b = 1逆否命題：假設(shè)ab豐0,貝U a2 + b2z0 ；是真命題；因?yàn)榧僭O(shè) a2+ b2= 0,貝U a= b = 0

13、，所以 ab= 0,即原命題是真命題，所以其逆否命題為真命題.§ 1 3不等式(含推理與證明)【知識(shí)要點(diǎn)】1. 不等式的性質(zhì).(1) 如果a> b，那么bv a；(2) 如果a> b，且b> c,那么a> c；(3) 如果 a>b，那么 a + c>b+ c(如果 a+ c>b,那么 a>b c)；(4) 如果 a>b, c>d,那么 a+ c>b + d；(5) 如果 a> b, c> 0,那么 ac> be;如果 a> b, c v 0,那么 acv bc；(6) 如果 a>b>

14、0, c>d>0,那么 ac>bd；(7) 如果 a>b>0,那么 an>bn(n N +, n> 1)；(8)如果 a>b>0,那么 n a ：b(x N ,n 1);2進(jìn)行不等式關(guān)系判斷時(shí)常用到的實(shí)數(shù)的性質(zhì)：假設(shè) a R，那么 a2 _0;|a|_0.、. a _0(a R ).3. 會(huì)解一元一次不等式，一元二次不等式，簡(jiǎn)單的分式不等式、絕對(duì)值不等式.簡(jiǎn)單 的含參數(shù)的不等式.a + b I4. 均值定理：如果a、b R十，那么ab.當(dāng)且僅當(dāng)a= b時(shí)，式中等號(hào)成立.2其他常用的根本不等式：如果a、b R，那么a2 + b2> 2a

15、b, (a b)2>0.如果a、b同號(hào)，那么b _ 2.a b5. 合情推理之歸納推理與類比推理；演繹推理；綜合法、分析法與反證法.【例題分析】例1假設(shè)a> b> c,那么一定成立的不等式是 ()1 1 1A . a | c | > b | c | B . ab> acC. a | c |> b| c | D .-a b c【分析】 關(guān)于選項(xiàng)A .當(dāng)c= 0時(shí)，a | c |> b | c |不成立.關(guān)于選項(xiàng)B .當(dāng)av 0時(shí)，ab > ac不成立.關(guān)于選項(xiàng)C .因?yàn)閍> b，根據(jù)不等式的性質(zhì) a| c |> b| c |,正確.1

16、1 1關(guān)于選項(xiàng)D .當(dāng)a> b> 0> c時(shí)，不成立.所以，選 C.a b c例2 a, b R，以下命題中的真命題是()1 1A.假設(shè) a>b，那么 | a | >| b |B.假設(shè) a>b，貝U:-a b33aC.假設(shè) a>b，貝y a >bD.假設(shè) a>b,貝U1b【分析】關(guān)于選項(xiàng)A .當(dāng)a= 1, b= 2時(shí)，| a | >| b |不成立.1 1關(guān)于選項(xiàng)B .當(dāng)a> 0, b v 0時(shí)，不成立.a b關(guān)于選項(xiàng)C.因?yàn)閍>b，根據(jù)不等式的性質(zhì) a3>b3,正確.關(guān)于選項(xiàng)D .當(dāng)bv 0時(shí)，a 1不成立.所以，

17、選 C.b【評(píng)析】判斷不等關(guān)系的正誤，其一要掌握判斷的依據(jù)，依據(jù)相關(guān)的理論判斷，切忌僅憑感覺進(jìn)行判斷；其二要掌握判斷的方法.判斷不等式的理論依據(jù)參看本節(jié)的知識(shí)要點(diǎn)，另外，后面專題講到的函數(shù)的相關(guān)知識(shí)尤其是函數(shù)的單調(diào)性也是解決不等式問題的非常重要的方法.判斷一個(gè)不等式是正確的，就應(yīng)該給出一個(gè)合理的證明(或說明)，就像例1、例2對(duì)正確的選項(xiàng)判斷那樣判斷一個(gè)不等式是不正確的，應(yīng)舉出反例.例3解以下不等式：(1)X2-x 1 > 0;(2)x2 3x+ 2 > 0;(3)2x2 3x+ 1< 0;x -120;丨 2x 1 | < 3;(6)竺弓乞1.x -2解：方程x2 x

18、1 = 0的兩個(gè)根是為，X21 二 52結(jié)合函數(shù)y = x2 x 1的圖象，可得不等式 x x 1 >0的解集為x|x :1 2 5或x 1 2 5(2)不等式 x2 3x+ 2>0 等價(jià)于(x 1)(x 2)>0,易知方程(x 1)(x 2) = 0的兩個(gè)根為x1 = 1, x2= 2,結(jié)合函數(shù)y = x2 3x+ 2的圖象，可得不等式x2 3x+ 2> 0的解集為x | x< 1或x> 2 不等式2x2 3x+ 1 w 0等價(jià)于(2x 1)(x 1)w 0，以下同 的解法，1可得不等式的解集為x| X乞1.2x -1一(4) 0等價(jià)于(x 1)(x 2)

19、 >0，以下同 的解法，可得不等式的解集為x | x< 1x -2或 x>2 (5) 不等式 | 2x 1 | < 3 等價(jià)于一3< 2x 1 < 3,所以一2< 2x< 4,即一1< x< 2，所以 不等式| 2x 1 |< 3的解集為x | 1w x<2 2x 1x 亠 1(6) 不等式1可以整理為0,x-2x-2丄二豈0,等價(jià)于丄1 ：0或乞=0.以下同(4)的解法，可得不等式的解集為x | x-2x-2 x-21 w x< 2 【評(píng)析】一元一次不等式、一元二次不等式的解法要熟練掌握.其他不等式的解法適 當(dāng)掌握

20、.1.利用不等式的性質(zhì)可以解一元一次不等式.2 解一元二次不等式要注意函數(shù)、方程、不等式三者之間的聯(lián)系，通過研究與一元二 次不等式相對(duì)應(yīng)的一元二次方程的根的情況、進(jìn)而結(jié)合相應(yīng)的二次函數(shù)的圖象就可以解決 一元二次不等式解集的問題了.所以，解一元二次不等式的步驟為：計(jì)算二次不等式相應(yīng)的方程的判別式；求出相應(yīng) 的一元二次方程的根(或根據(jù)判別式說明無根)；畫出相應(yīng)的二次函數(shù)的簡(jiǎn)圖；根據(jù)簡(jiǎn)圖寫出 二次不等式的解集.x - ax 一 a3、不等式0與(x a)(x b) >0同解；不等式0與(x a)(x b)< 0同解；xbxb4*、不等式 | f(x) |< c 與c< f(x

21、)< c 同解；不等式 | f(x) |> c 與"f(x)> c 或 f(x) < c同解在解簡(jiǎn)單的分式不等式時(shí)要注意細(xì)節(jié)，例如(5)題關(guān)于“W號(hào)的處理.例4解以下關(guān)于x的不等式；(1) ax+ 3v 2;(2)x 6ax+ 5a < 0.解：由 ax+ 3v 2 得 axv 1,當(dāng)a= 0時(shí)，不等式解集為.一；當(dāng)a>0時(shí)，不等式解集為x | x ： - -；a1當(dāng)av 0時(shí)，不等式解集為x|x .a(2) x2 6ax+ 5a2< 0 等價(jià)于不等式(x a)(x 5a)< 0,當(dāng)a= 0時(shí)，不等式解集為x | x= 0;當(dāng)a>

22、 0時(shí)，不等式解集為x | aw xw 5a;當(dāng)av 0時(shí)，不等式解集為x | 5aw xw a.【評(píng)析】含參數(shù)的不等式的解法與不含參數(shù)的不等式的解法、步驟是完全一致的.要注意的是，當(dāng)進(jìn)行到某一步驟具有不確定性時(shí)，需要進(jìn)行分類討論.如(2)的解決過程中，當(dāng)解出方程(x a)(x 5a) = 0的兩根為x-= a,5a之后，需要畫出二次函數(shù)y= x2 6ax+ 5a2的草圖，這時(shí)兩根 a與5a的大小不定，需要討論，當(dāng)分a=0, a> 0, a v 0三種情況之后，就可以在各自情況下確定a與5a的大小，畫出二次函數(shù)m m>a c b dy= x2 6ax+ 5a2的草圖寫出解集了.例

23、5 a> b> 0, cv dv 0, mv 0 .求證:ma -c證明：方法一(作差比擬)m _ m(b _d) _ (a _ c) m(b _ a) (c _ d)b-d (a-c)(b-d)(a-c)(b-d)由 b av 0, cdv 0,又 mv 0,所以 m(b a)+ (c d) >0, 因?yàn)?a> b>0, cv dv0，所以 a c>0, b d>0,ma -c.0,即b-da-c b-d所以 ml(a) (c d)0,所以(a _c)(b _d)方法二因?yàn)閏v dv 0，所以c d v 0,又 a>b>0,所以 a b&

24、gt;0，所以 a b>c d，所以 a c>b d>0,11mm所以，又因?yàn)閙v 0,所以巴a c b da c b dc 例 6 a + b+ c= 0, a> b> c,求證：(1)a> 0; (2)2.a證明：假設(shè)aw 0，因?yàn)閍> b > c,所以bv 0, cv 0.所以 a+ b+ cv 0，與 a + b+ c= 0 矛盾.因?yàn)閎=- a-c, a>b，所以，所以2a>-c,又a>0，所以2-，所以-2.a a1例7 a, b, c (0, 1)，求證：(1 - a)b, (1 b)c, (1 c)a中至少有一個(gè)

25、不大于.4 1證明：假設(shè)(1 a)b，(1 - b)c， (1 c)a均大于4111即(1 -,(1-'b)c,(1 -'C)a,4441 1 1(1-a)b 亍(1fb)c 2，、(1fc)a2，因?yàn)?a, b, c (0, 1)，所以 1 - a, 1 - b, 1 - c (0, 1),所以(1 a) b _2. (1a)b 1，同理(1 b)+ c> 1, (1-c) + a> 1,所以(1 a) + b+ (1 b) + c+ (1 c)+ a>3，即卩 0>0,矛盾.1所以(1 a)b, (1 b)c, (1 c)a中至少有一個(gè)不大于 一.4

26、【評(píng)析】 證明常用的方法有比擬法、綜合法、分析法與反證法等.證明不等式也是如此.1、 例5中的方法一所用到的比擬法從思維、書寫的角度都較為容易，也相對(duì)易于把握，要熟練掌握.2、 例5中的方法二所用到的綜合法是一般證明題常用的方法，其書寫方法簡(jiǎn)明、易讀， 但要注意的是，這樣的題的思路常常是分析法.比方，例5中的方法二的思路我們可以認(rèn)為是這樣得到的：欲證,只需證a c b d明m(b d)> m(a c)(因?yàn)閎 d >0, a c>0)，即只需證明 b dv a c,即只需證明 a b> c d,而由a b>0, c dv 0，所以可以循著這個(gè)思路按照相反的順序書寫

27、.所以，在 很多情況下，分析法更是思考問題的方法，而綜合法更是一種書寫方法.3、 適合用反證法證明的常見的命題一般是非常顯而易見的問題(如例6(1)、否認(rèn)式的命題、存在性的命題、含至多至少等字樣的命題(如例7)等等.證明的步驟一般是：(1)假設(shè)結(jié)論的反面是正確的；(2)推出矛盾的結(jié)論；(3)得出原來命 題正確的結(jié)論.例8根據(jù)圖中圖形及相應(yīng)點(diǎn)的個(gè)數(shù)找規(guī)律，第8個(gè)圖形相應(yīng)的點(diǎn)數(shù)為 【分析】第一個(gè)圖有1行，每行有1+ 2個(gè)點(diǎn);第二個(gè)圖有2行,每行有2 + 2個(gè)占.1 八、，第三個(gè)圖有3行,每行有3 + 2個(gè)占.1 八、，第八個(gè)圖有8行,每行有8 + 2個(gè)點(diǎn)，所以共有8 X 10= 80個(gè)點(diǎn)答：80.

28、練習(xí)1 3答案一、選擇題1 . B2. C3.A4.B二、填空題5.6. x| 2 V XV 37. x R | K x< 3 |&n三、解答題1 3 - 5- 3 ： 59答：(1)x| x 0或x ; (2)x|x;2 2 2x|0 : X ： 3 ； (4) x |- 1V xV 5 ; (5)x|0 ： X :：1.232 210. 證明：ab+ bc+ ca= b(a+ c) + ac= (a + c)(a + c) + ac= a ac- c3c2豈 042 C 3 2c 2Ta a - -c (a -)所以 ab+ bc+ ca< 0.11. 解：(1)原不等式二(x+ a)(x 3a) V 0.分三種情況討論： 當(dāng)aV 0時(shí)，解集為x | 3a v xv a; 當(dāng)a= 0時(shí)，原不等式二x2v 0,解集為" 當(dāng)a> 0時(shí)，解集為x | av xv 3