1、1 二維隨機(jī)變量問(wèn)題的提出例1：研究某一地區(qū)學(xué)齡兒童的發(fā)育情況。僅研究身高H H的分布或僅研究體重W W的分布是不夠的。需要同時(shí)考察每個(gè)兒童的身高和體重值，研究身高和體重之間的關(guān)系，這就要引入定義在同一樣本空間的兩個(gè)隨機(jī)變量。例2：研究某種型號(hào)炮彈的彈著點(diǎn)分布。每枚炮彈的彈著點(diǎn)位置需要由橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)來(lái)確定，而它們是定義在同一樣本空間的兩個(gè)隨機(jī)變量。定義：設(shè)定義：設(shè)E E是一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)，樣本空間是一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)，樣本空間S=eS=e；設(shè)設(shè)X=X(e)X=X(e)和和Y=Y(e)Y=Y(e)是定義是定義在在S S上的隨機(jī)變量，由它們構(gòu)成的上的隨機(jī)變量，由它們構(gòu)成的向量向量(X,Y)(X,Y)叫做二

2、維隨機(jī)向量叫做二維隨機(jī)向量或二維隨機(jī)變量?；蚨S隨機(jī)變量。( , )()() (,)F x yPXxYyP Xx Yy記成0 x, x yySey ,X e Y ex定義：設(shè)定義：設(shè)(X,Y)(X,Y)是二維隨機(jī)變量對(duì)于任意實(shí)數(shù)是二維隨機(jī)變量對(duì)于任意實(shí)數(shù)x,yx,y，二元函數(shù)二元函數(shù)稱為二維隨機(jī)變量稱為二維隨機(jī)變量(X,Y)(X,Y)的分布函數(shù)。的分布函數(shù)。(X,Y)(X,Y)平面上隨機(jī)點(diǎn)的平面上隨機(jī)點(diǎn)的 坐標(biāo)坐標(biāo),),(yYxXPyxF 即為隨機(jī)點(diǎn)即為隨機(jī)點(diǎn)(X,Y)(X,Y)落在以點(diǎn)落在以點(diǎn)(x,y)(x,y)為頂點(diǎn)為頂點(diǎn), ,位于位于該點(diǎn)左下方的無(wú)窮矩形區(qū)域該點(diǎn)左下方的無(wú)窮矩形區(qū)域G G

3、內(nèi)的概率值。內(nèi)的概率值。),(yxF),( 分布函數(shù) 的性質(zhì)1212( , )(, )xxF x yF xyx1x2(x1,y)(x2,y)yy2xy1(x,y1)(x,y2)( , )F x y1212( ,)( ,)yyF x yF x y2 0( , )1 (,)1 ,F x yFx y ，對(duì)任意 (, )( ,)(,)0FyF xF 1,F x yx y。關(guān)于單調(diào)不減，即：0(, )( , )lim F xyF x y0 ( ,)( , )lim F x yF x y12124 ,xxyy若22211211(,)(,)( ,)( ,)0F xyF xyF x yF x y3,F x y

4、x y。關(guān)于右連續(xù)，即：121222211211,(,)(,)( ,)( ,)0P xXxyYyF xyF xyF x yF x y因?yàn)?x2x1y2y0 2. 二維離散型隨機(jī)變量的聯(lián)合分布,21mxxxX的可能值為的可能值為設(shè)設(shè),21nyyyY的可能值為的可能值為取這些可能值的概率分別為多少？取這些可能值的概率分別為多少？ 若二維若二維 r.v.（X，Y）所有可能的取值是有）所有可能的取值是有限對(duì)或無(wú)限可列對(duì)，則稱（限對(duì)或無(wú)限可列對(duì)，則稱（X，Y）是二維離散）是二維離散型隨機(jī)變量。型隨機(jī)變量。),( ),(jiyxYX的可能值為的可能值為, 2 , 1;, 2 , 1njmi 則則的的性性質(zhì)

5、質(zhì)：ijpijjijipyYxXPyxp ),(),(1)公式法公式法1)2(10)1( ijijijpp), 2 , 1,( ji232221131211pppppp321yyyX Y21xx(X,Y)的概率分布表：的概率分布表：描述描述(X,Y)的取值規(guī)律的取值規(guī)律 GyxijjipGYXP),(),(例例1 1： 將一枚硬幣連擲三次，令將一枚硬幣連擲三次，令X=“X=“正面出現(xiàn)正面出現(xiàn)的次數(shù)的次數(shù)”，Y=“Y=“正反面次數(shù)之差的絕對(duì)值正反面次數(shù)之差的絕對(duì)值”，試求試求(X,Y)(X,Y)的聯(lián)合分布律。的聯(lián)合分布律。（0,30,3）（）（1,11,1）（）（2,12,1）（）（3,33,3

6、）P(X=0,Y=3)=P(反反反反反反)=1/8解解: (X,Y)所有可能的取值為：所有可能的取值為：0123103/83/8031/8001/8XY例例2:2: 設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量X X在在1,2,3,41,2,3,4中隨機(jī)地取一中隨機(jī)地取一個(gè)數(shù)個(gè)數(shù), ,另一隨機(jī)變量另一隨機(jī)變量Y Y在在1 1到到X X中隨機(jī)地取一整中隨機(jī)地取一整數(shù)數(shù). .求求(X,Y)(X,Y)的的分布律。分布律。 (X,Y)所有可能的取值為： (1,1); (2,1)、(2,2); (3,1)、(3,2)、 (3,3); (4,1)、(4,2)、 (4,3)、(4,4).),(jYiXP ijiji, 0,1414

7、 , 3 , 2 , 1, ii., 1,ijj 解：解：設(shè)設(shè)X可能的取值為可能的取值為Y可能的取值為可能的取值為則：則：)()(iXjYPiXP 123411/41/81/121/16201/81/121/163001/121/1640001/16(X,Y)的聯(lián)合分布律為的聯(lián)合分布律為:XY 二維連續(xù)型隨機(jī)變量,( , )( , )yxX YF x yf x yx yF x yf u v dudv 對(duì)于二維隨機(jī)變量的分布函數(shù) 如果存在非負(fù)函數(shù)，使對(duì)于任意， 有定義：,X Y連續(xù)型的二維稱為隨機(jī)變量,f x yX Y二維隨機(jī)變量的聯(lián)合稱為概率密度說(shuō)明說(shuō)明1),()( dxdyyxfii(2)

8、的性質(zhì)的性質(zhì)( , )f x y0),()( yxfi(1)分布函數(shù)分布函數(shù) 是連續(xù)函數(shù)是連續(xù)函數(shù). (因?yàn)橐驗(yàn)?是積分上限函數(shù)是積分上限函數(shù)),(yxF),(yxF),(yxf反映反映(X,Y)落在落在 處附近的概率大小處附近的概率大小),(yxyxyxfyyYyxxXxP ),(),(概率微分概率微分的關(guān)系的關(guān)系與與)()()3(xfxF),(),(yxFyxfxy xydxdyyxfyxF),(),( GdxdyyxfGYXP),(),(:),()4(的作用的作用yxf描述描述(X,Y)的取值規(guī)律的取值規(guī)律G ( , )1(, )( , )zf x yxoyP X YGzf x y1 在

9、幾何上，表示空間一個(gè)曲面， 介于它和平面的空間區(qū)域的體積為 2等于以G為底，以曲面 為頂面的柱體體積。 所以 X,Y 落在面積為零的區(qū)域注：的概率為零。1xy0 例3：設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)具有概率密度： (23 ), 00( , ) 0, xykexyf x y，其他 2( , )F x y 求分布函數(shù)； 3()P YX求的概率(1)k求 常 數(shù)；( , )1,f x y dxdy 解： (1)利用得230061xykedxedyk6kyx(23 )6, 00( , ) 0, xyexyf x y，其他 2 ( , )( , )yxF x yf u v dudv (23 )03 ()6xy

10、yP YXedxdy (23 )006, 0,0 0 , yxuvedudvxy 其他230023, 0,0 0 , xyuveduedv xy其他23(1)(1), 0,0 0, xyeexy其他3203(| )yxyeedy3203yyeedy503yedy5033|55ye 例4：設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)具有概率密度 (1) 求常數(shù)k；(2) 求概率 解：, 01( , )0, kxyxyf x y其他 1 ( , )1f x y dxdy 利用 1( , )f x y dxdy 得： 2 (1)P XY(1)P XY100ykxydxdy 13028kky dy8k11208xxdxx

11、ydy122204 (1)xxx dx1201114 (1 2 )236xx dx1xyyx02 邊緣分布 二維隨機(jī)變量(X,Y)作為整體，有分布函數(shù) 其中X和Y都是隨機(jī)變量，它們的分布函數(shù) 記為： 稱為邊緣分布函數(shù)邊緣分布函數(shù)。( , ),F x y( ) ( )XYFxFy，( )( ,)( )(,)XYFxF xFyFy( )()(, )YFyP YyFy同理得：( )()(,)( ,)XFxP XxP Xx YF x ( , ) ( )XF x yyFx 即在分布函數(shù)中令， 就能得到事實(shí)上， 對(duì)于離散型隨機(jī)變量(X,Y)，分布律為( ) ,1,2,ijijP Xx Yypi j，1()

12、() 1,2,iiijijP XxP XxYpp i 記為，=1()() 1,2,jjijjiP YyP XYyppj 記為，= iiijjijpppjppi記號(hào)中 表示是由關(guān)于求和后得到的； 同樣是由關(guān)于 求和后得到的；p11p12p1jp11xp21p22p2jp22xpi1pi2pijpi ixXYy1y2yjiP Xxp1p2p.j1jP YyX,Y的邊緣分布律為：注意：232221131211ppppppjp XY321yyy321ppp11x2x 1p 2p ip11jjp12jjp11iip13iip例例: : 求例求例1 1中二維隨機(jī)變量中二維隨機(jī)變量(X,Y)(X,Y)關(guān)于關(guān)

13、于X X與與Y Y的的邊緣分布律邊緣分布律. .0123103/83/8031/8001/8jp. ipXY8186821838381X X與與Y Y的邊緣分布律如下的邊緣分布律如下: :0123jp. ipX818383818286Y13 對(duì)于連續(xù)型隨機(jī)變量(X,Y)，概率密度為( , )f x y( )( , )( )( , )XYfxf x y dyfyf x y dx( )XFx( ,)F x( , )xf t y dy dt( )xXft dt( )YFy(, )Fy( , )yf x t dx dt( )yYft dt事實(shí)上，同理： X,Y的邊緣概率密度為： 例2：(X,Y)的聯(lián)合

14、分布律為 求：(1)a,b的值； (2)X,Y的邊緣分布律； (3) (1|1)P XYYX-1100.20.1a120.1 0.2b(1|1)0.5P YX已知：0.2(1|1)0.3aP YX又X10.420.6ipjpY0.3 0.5-1100.2 23 (1|1)0.45P XY0.210.3a2a0.1 b=0.3，(2) 解： (1) 由分布律性質(zhì)知 a+b+0.6=1 即a+b=0.4 例3：設(shè)G是平面上的有界區(qū)域，其面積為A，若二維隨機(jī)變量(X,Y)具有概率密度則稱(X,Y)在G上服從均勻分布均勻分布?，F(xiàn)設(shè)(X,Y)在有界區(qū)域上均勻分布，其概率密度為 求邊緣概率密度 解：1,

15、( , )( , )0 , Ax yGf x y其他2xyx26, ( , )0, xyxf x y其他( ) ( )XYfxfy，( )( , )Xfxf x y dy2266(), 01 0, xxdyxxx其他( )( , )Yfyf x y dx66(), 01 0, yydxyyy其他 212221122222121212121241 ( , )21()()()()1exp22(1) , 0 011, f x yxxyyXX YyYx 例 ：設(shè)二維隨機(jī)變量的概率密度為： 其中， 都是常數(shù)，且，； ， 我們稱為服從參121222(, )(;)1212X YN數(shù)為 ， 的二維正態(tài)分布，記

16、為：； 試求二維正態(tài)隨機(jī)變量的邊，緣概率密度。二維正態(tài)分布的圖形二維正態(tài)分布的圖形2211222222121212( )( , )()()()()11exp22(1)21Xfxf x y dyxxyydy 解：2212122211()122(1)212121xyxeedy 221221222112()1()22(1)21211221xyxeedy 2121()211 2xex 2222()221 ( ), 2xYfyey 同理即二維正態(tài)分布的兩個(gè)邊緣分布都是一維正態(tài)分布，并且都不依賴于參數(shù))(jiyYxXP 1. 當(dāng)（當(dāng)（X，Y）為離散型）為離散型定義定義 在在(X,Y)中，當(dāng)一個(gè)隨機(jī)變量取固

17、定值的條件中，當(dāng)一個(gè)隨機(jī)變量取固定值的條件下，另一個(gè)隨機(jī)變量的分布，此分布為下，另一個(gè)隨機(jī)變量的分布，此分布為條件分布條件分布在在 條件下，條件下，X的條件分布的條件分布jyY )(jiYXyxp固定值固定值自變量自變量)(),()(),(jYjijjiypyxpyYPyYxXP 同理同理)(ijXYxyp)(),(iXjixpyxp , 2 , 1 i, 2 , 1 j總和總和分量分量1/161/120031/1600041/161/121/8021/161/121/81/414321XY1/41/41/41/4)( Xp)( Yp25/4813/487/483/48例例8 8 在例在例2

18、2中，中，求：求：(1) (1) 在在X=X=3 3的條件下的條件下Y Y的條件分的條件分布律；布律； (2) 求在求在Y=1的條件下的條件下X的條件分布律。的條件分布律。31)31(41121 XYP31)32(41121 XYP31)33(41121 XYP00)34(41 XYP因?yàn)椋阂驗(yàn)椋?313131)3(4321 XyYPYj2532542562512)1(4321 YxXPXi所以，所以，類似可求：類似可求：2.2.當(dāng)（當(dāng)（X X，Y Y）為連續(xù)型）為連續(xù)型的條件概率密度的條件概率密度條件下條件下在在XyY )(yxfYX固定值固定值自變量自變量)()(yYxXPyxFYX )(

19、 yYyxXP0lim yYyPyYyxXP),(lim0 yyYxyydyyfdyyxfdx)(),(lim0 yfdxxfYx21120,-y :2)(2),(lim其中其中)(),(yfdxyxfYx )(),()()(yfyxfyxFyxfYYXYX 總和總和分量分量)(),()(xfyxfxyfXXY 的條件概率密度為的條件概率密度為條件下條件下在在同理同理YxX ,)0)( xfX)0)( yfY)(, 0)2(; )(, 0)1(:yxfyxyfxYXXY 求求例例: :設(shè)二維隨機(jī)變量設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)(X,Y)的的 概率密度為：概率密度為： 其其他他,00, 0,6),(

20、32yxeyxfyx解解 dyyxfxfX),()( 0, 00,6032xxdyeyx 0, 00,22xxex dxyxfyfY),()( 0, 00,6032yydxeyx 0, 00,33yyey 0, 00,3)(,0, 00,2)(32yyeyfxxexfyYxX)(xyfXY)(),(xfyxfX )(0, 00,22xfxxeXx 0, 00,36332xxeeyyx)(yxfYX)(),(yfyxfY )(0, 00,33yfyyeYy 0, 00,26232yyeexyx獨(dú)立性獨(dú)立性獨(dú)立性獨(dú)立性：設(shè)設(shè)X X與與Y Y是兩個(gè)隨機(jī)變量是兩個(gè)隨機(jī)變量, ,若對(duì)任意的若對(duì)任意的相互

21、獨(dú)立。相互獨(dú)立。與與則稱則稱有有YXyYPxXPyYxXPyx)()(),(:, ：若：若X X與與Y Y獨(dú)立獨(dú)立, ,則則為任意可能值點(diǎn)為任意可能值點(diǎn)),()()(),(jijYiXjiyxypxpyxp (2)(2)離散型離散型隨機(jī)變量隨機(jī)變量，X X與與Y Y相互獨(dú)立的充要條件為相互獨(dú)立的充要條件為: :RyxyFxFyxFYX ,)()(),(3)連續(xù)型隨機(jī)變量，連續(xù)型隨機(jī)變量，X與與Y相互獨(dú)立的充要條件為相互獨(dú)立的充要條件為:)()(),(yfxfyxfYX Ryx ,(4) 聯(lián)合分布和邊緣分布的關(guān)系聯(lián)合分布和邊緣分布的關(guān)系聯(lián)合分布聯(lián)合分布邊緣分布邊緣分布條件：獨(dú)立性條件：獨(dú)立性例例

22、: : 設(shè)二維隨機(jī)變量設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)(X,Y)的概率密度為的概率密度為: :是是否否獨(dú)獨(dú)立立。與與問(wèn)問(wèn)其其他他YXyxxeyxfyx , 00, 0,),()(解解：0,0)( xdyxeyx0,0 xxedyexexyxdyyxfxfX ),()(dxyxfyfY ),()(0,0)( ydxxeyx0,0 ydxxeexy)(0 xyedxe 00dxexeexxy 0,0 yedxeeyxy 其其他他, 00,)(xxexfxX 其其他他,00,)(yeyfyY)()(),(yfxfyxfYX 。YX相相互互獨(dú)獨(dú)立立與與12YX01P(y=j)161262162612P(X=i

23、)1323(0,1)1 6P XY(0) (1)P XP Y(0,2)1 6P XY(0) (2)P XP Y(1,1)2 6P XY(1) (1)P XP Y(1,2)2 6P XY(1) (2)P XP Y,X Y因而是相互獨(dú)立的。YX01P(y=j)12161262162612P(X=i) )1212,X Y例3:若具有分布律 右圖 ，則：(0,1)1 6P XY(0) (1)1 2 1 21 4P XP Y(0,1)(0) (1)P XYP XP Y故XY因而 與 不相互獨(dú)立。,X Y例2:具有分布律 右圖 ，則： ,X Y例4:設(shè)X與Y是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，已知的聯(lián)合分布律，求其余未

24、知的概率值。 012()10.010.220.03()XYP XiP Yj0.040.250.040.80.60.12 , 0XYX Y例5 證明：對(duì)于二維正態(tài)隨機(jī)變量， 與 相互獨(dú)立的充要條件是參 數(shù),X Y證：因?yàn)榈母怕拭芏葹椋?1222112222212121( , )21()()()()122(1)f x yxxyyexp 23又由例 知，其邊緣概率密度的乘積為：2212221212()()11 ( )( )22XYxyfx fyexp ,( , ),( ),( )XYX Yf x yfxfy反之，若相互獨(dú)立，由于都是連續(xù)函數(shù)，0,( , )( )( )XYx yf x yfx fy如

25、果，則對(duì)于所有，有,X Y即相互獨(dú)立。,( , )( )( )XYx yf x yfx fy故對(duì)于所有的，有1212(,)()() ,XYfff 特別的有2121211221 即0 一般一般n n維隨機(jī)變量的一些概念和結(jié)果維隨機(jī)變量的一些概念和結(jié)果 112212 ;,nnnnESeXXeXXeXXeSnXXXn維隨機(jī)變量設(shè) 是一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)，它的樣本空間是設(shè)是定義在 上的隨機(jī)變量，由它們構(gòu)成的一維個(gè)隨維向量稱為機(jī)變量。 1212112212, ( ,)(,),nnnnnnx xxnF x xxP Xx XxXxnXXX分布函數(shù) 對(duì)于任意 個(gè)實(shí)數(shù)， 元函數(shù)： 稱為 維隨機(jī)變量的分布函數(shù)。12121

26、212112212 ,(,) 1,2, (,) 1,2, 1,2,nnniinijiinnijnXXXxxxiP XxXxXxjninXXX離散型隨機(jī)變量的分布律設(shè)所有可能取值為 稱為 維離散型隨機(jī)變量的分布律。111212121212( ,), ( ,)( ,)nnnnxxxnnnf x xxx xxF x xxf x xx dx dxdx 連續(xù)型隨機(jī)變量的 若存在非負(fù)函數(shù)，使得對(duì)于任概意實(shí)數(shù)率密度 邊緣分布邊緣分布 如：1212,( ,)nnXXXF x xx的分布函數(shù)已知，111()( ,)XFxF x 12,(1)nXXXkkn則的維邊緣分布函數(shù)就隨之確定。12(,)1212( ,)(

27、 ,)XXFx xF x x11223111122, ,()(,)nniiinnii iiP XxP XxXxXx12123411221122, ,(,)(,)nniiiinnii iiP XxXxP XxXxXx111223()( ,)Xnnfxf x xx dx dxdx12(,)121234( ,)( ,)XXnnfx xf x xx dx dxdx 相互獨(dú)立相互獨(dú)立 12121212, (,)()()()nnnXXXnx xxF xxxFx FxFx若對(duì)于所有的有：12,nXXX則稱是相互獨(dú)立的1212,mnXXXY YY與的獨(dú)立性12112,( ,),mmXXXF x xx設(shè)的分布函

28、數(shù)為12212,(,),nnY YYF y yy的分布函數(shù)為12121212,( ,)mnmnXXXY YYF x xxy yy的分布函數(shù)為1212112212( ,)( ,)(,)mnmnF x xxy yyF x xxF y yy若1212,mnXXXY YY稱與相互獨(dú)立。1. (X,Y)離散離散,:),(21kzzzYXgZ離散離散 ),()(kkzYXgPzZP )(),(關(guān)鍵關(guān)鍵反解反解GYX ),(GYXP ),(),(),(,2211mmiiiiiiyxyxyxG 如如加法加法使使 對(duì)應(yīng)的對(duì)應(yīng)的(X,Y)的那些可能的那些可能值值, 其概率之和其概率之和kzYXg ),(5 兩個(gè)隨

29、機(jī)變量的函數(shù)的分布例例1:1:設(shè)二維隨機(jī)變量設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)(X,Y)的分布律為的分布律為: :0123103/83/8031/8001/8求求Z=X+Y的分布律的分布律.解解: :Z Z的所有取值為的所有取值為: :XY1, 2, 3, 4, 5, 6.0) 1, 0() 1( YXPZP83) 1, 1()2( YXPZPZ123456pk03/84/8001/8848183) 3, 0() 1, 2() 3( YXPYXPZP 2. (X,Y)連續(xù)型連續(xù)型方法方法: 分布函數(shù)法分布函數(shù)法 ),(,),(yxfYXgZZ求求連續(xù)連續(xù) ),()()()1(zYXgPzZPzFZ )(

30、),(關(guān)鍵關(guān)鍵反解反解GYX Gdxdyyxf),()()()2(zFzfZZ ),(GYXP 解：由 x, y, 的取值及Z與X、Y的函數(shù)關(guān)系可知，Z的取值范圍（Z的密度函數(shù)不為0的范圍）是 0 z 1, 首先求Z的分布函數(shù) ； 當(dāng) z 0 時(shí)： = 0 當(dāng) z 1 時(shí)： = 1 當(dāng) 0z1時(shí)，如圖： 則Z的密度函數(shù)為：0z1 下面我們就幾個(gè)具體的函數(shù)來(lái)討論下面我們就幾個(gè)具體的函數(shù)來(lái)討論,;,. 3. 2. 1YXMinNYXMaxMYXZYXZ Z=X+Y的分布的分布 )(zZPzFZ zyxDdxdyyxf:,)(zYXP dydxyxfzFyzZ,dxyxfyzyz ),(,對(duì)積分對(duì)積

31、分和和固定固定得得作變量代換，令作變量代換，令yux zyuxyzduyyufdxyxf, dyduyyufzFzZ ,于于是是 zdudyyyuf,由概率密度的定義可得由概率密度的定義可得Z的概率密度為：的概率密度為： dyyyzfzfZ,固定固定 dxxzxfzfZ, 特別地，當(dāng)特別地，當(dāng)X和和Y相互獨(dú)立時(shí)，上述兩式變?yōu)橄嗷オ?dú)立時(shí)，上述兩式變?yōu)椋ǚQ為（稱為卷積公式卷積公式）：）： dyyfyzfzfYXZ dxxzfxfzfYXZ又可寫作：又可寫作：的對(duì)稱性，的對(duì)稱性，與與由由)(zfyxZ例例1:設(shè)設(shè)X和和Y是兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量是兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量,它們都服從它們都服從N(0,1

32、),即有即有 xexfxX,21)(22 yeyfyY,21)(22 求求Z=X+Y的概率密度。的概率密度。 dxeexzx222221 dxeezxz 22)2(421 dxxzfxfzfYXZ解：解：由卷積公式由卷積公式4)2(22zzx )2(22zzxx tzx 2令令d2 tetdteezftzZ 22421)( 22222)0(422121 zzee )2 , 0( NZ結(jié)論結(jié)論: 獨(dú)立獨(dú)立, 2 , 1),(2niNXiii 正態(tài)分布正態(tài)分布)1(21nXXX 正態(tài)分布正態(tài)分布)2(2211nnXcXcXc 分布的可加性分布的可加性例例2:設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量X與與Y獨(dú)立同分布，

33、獨(dú)立同分布，X的概率密的概率密度為：度為： 其它其它, 010, 1)(xxf求求Z=X+Y的概率密度。的概率密度。 dxxzfxfzfYXZ解：解：由卷積公式由卷積公式范圍范圍的的被積函數(shù)不為被積函數(shù)不為的積分范圍的積分范圍xx0 其其它它,021,210,)(110zzdxzzdxzfzzZ zxzxxzx1101010011 z1 zzz10 z21110 zz dxzxxfzfZ, dyyyzfzfZ,特別地特別地,當(dāng)當(dāng)X和和Y相互獨(dú)立時(shí)相互獨(dú)立時(shí),有有 dyyfyzfzfYXZ dxzxfxfzfYXZ2 2. . Z=X-YZ=X-Y類似與類似與Z=X+YZ=X+Y的情形的情形,

34、,可知可知x-y=z例例3:3:設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量X X與與Y Y獨(dú)立同分布獨(dú)立同分布,X,X的概率密度為：的概率密度為： 其其他他, 0100,5010)(xxxf求求Z=X-Y的概率密度。的概率密度。 dxzxfxfzfYXZ解：解：由卷積公式由卷積公式 其其它它, 0100,150003002000010,15000)10200)(10()(32zzzzzzzzfZ3. M=max(X,Y)3. M=max(X,Y)及及N=min(X,Y)N=min(X,Y)的分布的分布 設(shè)設(shè)X,YX,Y是兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量是兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量, ,它們它們的分布函數(shù)分別為的分布函數(shù)分別為F

35、FX X(x)(x)和和F FY Y(y)(y)。由于由于zYzXzYX 且且,),max( 現(xiàn)在來(lái)求現(xiàn)在來(lái)求M=max(X,Y)M=max(X,Y)及及N=min(X,Y)N=min(X,Y)的的分布函數(shù)。分布函數(shù)。zYzXzYX 且且,),min(1)M=max(X,Y)的分布函數(shù)為：的分布函數(shù)為：)()(maxzMPzF )()(zFzFYX ),(zYzXP )()(zYPzXP (2) N=min(X,Y)的分布函數(shù)為：的分布函數(shù)為：)()(minzNPzF ),(1zYzXP )(1)(11zYPzXP )(1)(11zFzFYX )(1zNP ）（）（zYPzXP 1例例1：設(shè)系

36、統(tǒng)設(shè)系統(tǒng)L由兩個(gè)相互獨(dú)立的子系統(tǒng)由兩個(gè)相互獨(dú)立的子系統(tǒng)L1，L2聯(lián)接聯(lián)接而成，聯(lián)接方式分別為而成，聯(lián)接方式分別為: (1)串聯(lián)串聯(lián);(2)并聯(lián)并聯(lián);(3)備用備用(當(dāng)當(dāng)L1損壞時(shí)，損壞時(shí)，L2開(kāi)始工作開(kāi)始工作)，如圖所示。，如圖所示。（1）（2） （3）L1，L2的壽命分別用的壽命分別用X，Y表示，已知它們的概率密表示，已知它們的概率密度分別為度分別為:0, 00,)(xxexfxX0, 00,2)(2yyeyfyY試就以上三種聯(lián)接方式分別寫出試就以上三種聯(lián)接方式分別寫出L L的壽命的壽命Z Z的概率密度的概率密度. .解解:(1):(1)串聯(lián)的情況串聯(lián)的情況: Z = min (X,Y)X,

37、Y的分布函數(shù)分別為：的分布函數(shù)分別為：, 0, 00,1)(xxexFxX0, 00,1)(2yyeyFyYZ = min (X,Y)的分布函數(shù)為：的分布函數(shù)為：0, 001)(1)(1 1)(3minxxexFxFxFxYX，Z的概率密度為的概率密度為:0, 00,3)(3xminxxexf（2 2）并聯(lián)的情況：）并聯(lián)的情況：Z=max(X,Y)()()(maxxFxFxFYXZ = max (X,Y)的分布函數(shù)為：的分布函數(shù)為：Z的概率密度為的概率密度為:0, 00,32)(3x2xxmaxxxeeexf0,00),1)(1 (2xxeexx（3 3）備用的情況：）備用的情況：Z=X+YZ=X+YZ Z的概率密度為的概率密度為: :dxxzfxfzfYXZ)()()(0,00,20)(2xzzdxeezxz0,00,20,00,220 x2zzeezzdxeezzzz例4:設(shè)X與Y的聯(lián)合分布律為： 1210.20.120.30.4XY,max(, ),)UXY VX YU V令，求(的聯(lián)合分布率。1220.20300.4400.4UV解：復(fù)習(xí)復(fù)習(xí)聯(lián)聯(lián)合分布函數(shù)數(shù)，聯(lián)聯(lián)合分布律，聯(lián)聯(lián)合