1、正項級數(shù)及其審斂法正項級數(shù)及其審斂法交錯級數(shù)及其審斂法交錯級數(shù)及其審斂法絕對收斂與條件收斂絕對收斂與條件收斂第二節(jié)第二節(jié) 常數(shù)項級數(shù)的審斂法常數(shù)項級數(shù)的審斂法1. 定義定義 1nnu正項級數(shù)正項級數(shù) nsss212. 充要條件充要條件單調(diào)增加數(shù)列單調(diào)增加數(shù)列這時這時,部分和數(shù)列只可能有兩種情形部分和數(shù)列只可能有兩種情形:.nsssnn lim,)1(時時當(dāng)當(dāng) n.1必發(fā)散必發(fā)散級數(shù)級數(shù) nnu,)2(有上界有上界若若ns0 nu一、正項級數(shù)及其審斂法一、正項級數(shù)及其審斂法.1必必收收斂斂 nnu正項級數(shù)的部分和數(shù)列正項級數(shù)的部分和數(shù)列定理定理1(1(基本定理基本定理) )說明說明一般的級數(shù)，部

2、分和數(shù)列存在極限，才可一般的級數(shù)，部分和數(shù)列存在極限，才可以保證級數(shù)的收斂性以保證級數(shù)的收斂性.對于正項級數(shù)，只要部分和數(shù)列有界，就對于正項級數(shù)，只要部分和數(shù)列有界，就可以保證級數(shù)收斂可以保證級數(shù)收斂正項級數(shù)收斂正項級數(shù)收斂部分和所成的數(shù)列部分和所成的數(shù)列ns有界有界.上述充要條件，僅僅對正項級數(shù)成立！上述充要條件，僅僅對正項級數(shù)成立！發(fā)散的級數(shù)，部分和數(shù)列沒有極限發(fā)散的級數(shù)，部分和數(shù)列沒有極限發(fā)散的正項級數(shù)，部分和數(shù)列一定趨于無窮大發(fā)散的正項級數(shù)，部分和數(shù)列一定趨于無窮大 例例 斷定斷定 的斂散性的斂散性. 1121nn解解121 n1211211212 nnSn2121212 n211 由

3、定理由定理1 1知知, ,故級數(shù)的部分和故級數(shù)的部分和可與另一個已知斂散性的正項級數(shù)比較來確定可與另一個已知斂散性的正項級數(shù)比較來確定.,21n 1 該正項級數(shù)收斂該正項級數(shù)收斂. .啟示啟示:判定一個正項級數(shù)的斂散性判定一個正項級數(shù)的斂散性,由于由于正項級數(shù)收斂正項級數(shù)收斂部分和所成的數(shù)列部分和所成的數(shù)列ns有界有界.3. 比較審斂法比較審斂法證證定理定理2 2nnuuus 21且且 1nnv 設(shè)設(shè)nnvu 即部分和數(shù)列有界即部分和數(shù)列有界. 1nnunvvv 21,nnvu 若若那那么么 1nnv收斂收斂 1nnu收斂收斂 1nnu發(fā)散發(fā)散 1nnv發(fā)散發(fā)散收斂收斂 0nns 則則)( n

4、sn設(shè)設(shè)nnvu 且且 不是有界數(shù)列不是有界數(shù)列 1nnv 1nnu發(fā)散發(fā)散 1nnv發(fā)散發(fā)散發(fā)散發(fā)散證證,0nnvu 若若比較審斂法的不便比較審斂法的不便:須有參考級數(shù)須有參考級數(shù). 推論推論 1nnv(發(fā)散發(fā)散)收斂收斂)0,( kNnkvunn且且)0,( kkvunn 1nnu則則收斂收斂(發(fā)散發(fā)散) 11,nnnnvu若若均為正項級數(shù)，那么均為正項級數(shù)，那么因為級數(shù)的每一項乘以非零的數(shù)，或者去掉有因為級數(shù)的每一項乘以非零的數(shù)，或者去掉有限項不會影響到級數(shù)的斂散性，則有：限項不會影響到級數(shù)的斂散性，則有：解解, 1 p設(shè)設(shè)級級數(shù)數(shù)則則 p, 1 p設(shè)設(shè) pn1(1)(2) 11nn調(diào)和

5、級數(shù)調(diào)和級數(shù)發(fā)散發(fā)散nnp11 nnpxx1d用比較審斂法用比較審斂法發(fā)散發(fā)散. . 11npnppxnnxn11,1 有有時時當(dāng)當(dāng) nnpnx1d例例 討論討論 級數(shù)級數(shù) p pppn131211的收斂性的收斂性. )0( p npxdx11)11(1111 pnp111 p,有界有界即即nsns級級數(shù)數(shù)則則 p收斂收斂. . 11npn)1( p 發(fā)發(fā)散散時時當(dāng)當(dāng)收收斂斂時時當(dāng)當(dāng),1,1pp pppn131211級數(shù)級數(shù) p pn1pppnns131211 nnppxxxx121dd1 nnpxx1d nnpnx1d常用！常用！(1) 幾何級數(shù)幾何級數(shù)使用正項級數(shù)的比較判定法時使用正項級數(shù)

6、的比較判定法時,常用的比較級數(shù)：常用的比較級數(shù)：一些級數(shù)的斂散性一些級數(shù)的斂散性,作為比較的標(biāo)準(zhǔn)作為比較的標(biāo)準(zhǔn).需要知道需要知道(2) p-級數(shù)級數(shù)(3) 調(diào)和級數(shù)調(diào)和級數(shù) 發(fā)散發(fā)散時時當(dāng)當(dāng)收斂收斂時時當(dāng)當(dāng),1,10qqaqnn 發(fā)發(fā)散散時時當(dāng)當(dāng)收收斂斂時時當(dāng)當(dāng),1,1pp 11npn nnn13121111發(fā)散發(fā)散例例 討論下列正項級數(shù)的斂散性討論下列正項級數(shù)的斂散性.nnn3sin2)1(1 13)1(1)2(nnn解解 (1) nnnu3sin20 而等比級數(shù)而等比級數(shù) 收斂收斂.nn 132 原級數(shù)收斂原級數(shù)收斂.n 32 nn32 由比較審斂法由比較審斂法,解解 因為因為3)1(1

7、nnun 3211 n 132)1(1nn是發(fā)散的是發(fā)散的p-級數(shù)級數(shù).原級數(shù)原級數(shù).1.3121323232 n 13)1(1)2(nnn 發(fā)發(fā)散散時時當(dāng)當(dāng)收收斂斂時時當(dāng)當(dāng)級級數(shù)數(shù),1,1ppp,11 npn發(fā)散發(fā)散.由比較審斂法由比較審斂法,11都是正項級數(shù)都是正項級數(shù)與與設(shè)設(shè) nnnnvu如果如果,limlvunnn 則則,0)1(時時當(dāng)當(dāng) l,0)2(時時當(dāng)當(dāng) l,)3(時時當(dāng)當(dāng) l4.4.比較審斂法的極限形式比較審斂法的極限形式定理定理3 3,1發(fā)發(fā)散散若若 nnv;1收收斂斂若若 nnv,1發(fā)散發(fā)散若若 nnv.1發(fā)散發(fā)散 nnu發(fā)散發(fā)散 1nnu收斂收斂 1nnu證證lvunnn

8、 lim)1(由由1 對對于于,N ,時時當(dāng)當(dāng)Nn 1 lvunn)()1(Nnvlunn 即即由比較審斂法的推論由比較審斂法的推論, 得證得證.,limlvunnn ,0)1(時時當(dāng)當(dāng) l;1收收斂斂若若 nnv收斂收斂 1nnu(2)和和(3)的證明作為課下練習(xí)的證明作為課下練習(xí)比較判別法的實質(zhì)是比較判別法的實質(zhì)是時時當(dāng)當(dāng),0, 0nnvu.比較通項的階比較通項的階.,)1(11斂斂散散性性相相同同和和是是同同階階無無窮窮小小若若 nnnnnnvuvu,)2(的的高高階階無無窮窮小小是是若若nnvu.11收收斂斂收收斂斂則則 nnnnuv.11發(fā)發(fā)散散發(fā)發(fā)散散 nnnnvu問題問題？兩兩級

9、級數(shù)數(shù)斂斂散散性性有有何何關(guān)關(guān)系系的的低低階階無無窮窮小小是是若若,nnvu.11收收斂斂收收斂斂 nnnnvu.11發(fā)發(fā)散散發(fā)發(fā)散散 nnnnuv如果通項趨于零較慢的級數(shù)收斂，則較快的也收斂；如果通項趨于零較慢的級數(shù)收斂，則較快的也收斂；如果通項趨于零較快的級數(shù)發(fā)散，則較慢的也發(fā)散；如果通項趨于零較快的級數(shù)發(fā)散，則較慢的也發(fā)散；如果通項趨于零的速度一樣，則級數(shù)斂散性相同。如果通項趨于零的速度一樣，則級數(shù)斂散性相同。解解nn1sinlim 1 發(fā)散發(fā)散例例 判定下列級數(shù)的斂散性判定下列級數(shù)的斂散性 11sinnn表明兩級數(shù)表明兩級數(shù)n1,1sin1 nn 11nn斂散性相同，斂散性相同， 11

10、sinnn定理定理6 6 5. 極限審斂法極限審斂法 ,1 nnu設(shè)設(shè))0( nu)(0lim)1( 或或者者如如果果lnunn)0(lim, 1)2( llunpnpn且且如如果果收收斂斂則則 1nnu發(fā)發(fā)散散則則 1nnu證證(1)(1)在上述結(jié)論在上述結(jié)論(2)(3)(2)(3)中令中令nvn1 (2)(2)在上述結(jié)論在上述結(jié)論(1)(1)中令中令pnnv1 極限審斂極限審斂 法實質(zhì)是以法實質(zhì)是以p級數(shù)為比較級數(shù)的比較審級數(shù)為比較級數(shù)的比較審斂法。在使用比較審斂法時，只要記住比較審斂法斂法。在使用比較審斂法時，只要記住比較審斂法比較的通項趨于零的速度。比較的通項趨于零的速度。如果通項趨于

11、零較慢的級數(shù)收斂，則較快的也收斂；如果通項趨于零較慢的級數(shù)收斂，則較快的也收斂；如果通項趨于零較快的級數(shù)發(fā)散，則較慢的也發(fā)散；如果通項趨于零較快的級數(shù)發(fā)散，則較慢的也發(fā)散；如果通項趨于零的速度一樣，則級數(shù)斂散性相同。如果通項趨于零的速度一樣，則級數(shù)斂散性相同。解解221)11ln(limnnn 例例 判定斂散性判定斂散性 12)11ln(nn原級數(shù)收斂原級數(shù)收斂1 )11ln(lim22nnn )0(lim, 1)2( llunpnpn且且如如果果收收斂斂則則 1nnu)cos1(1 limnnn 解解)0(21cos12 xxx23n例例 判定斂散性判定斂散性 1)cos1(1nnn )()

12、(21cos12 nnn 22211lim nnnnn 221 )0(lim, 1)2( llunpnpn且且如如果果收收斂斂則則 1nnu原級數(shù)收斂原級數(shù)收斂證明請參閱教材。證明請參閱教材。定理定理4 4,1 nnu設(shè)設(shè) nnnuu1lim6.6.比值審斂法比值審斂法( (達(dá)朗貝爾達(dá)朗貝爾 判定法判定法) ) AlembertD,收斂收斂發(fā)散發(fā)散)0( nu 方法失效方法失效 1nnu 1nnu1 1 1 2. 若用比值判別法判定級數(shù)發(fā)散若用比值判別法判定級數(shù)發(fā)散注注3. 一旦出現(xiàn)一旦出現(xiàn)=1 要用其它方法判定要用其它方法判定.級數(shù)的通項級數(shù)的通項un不趨于零不趨于零.nnnuu1lim 或

13、或 不存在時不存在時,1. 適用于適用于中中nunn 或關(guān)于或關(guān)于含有含有 !的連乘形式的連乘形式.,)1(時時 發(fā)散發(fā)散級數(shù)級數(shù) 11nn收斂收斂級數(shù)級數(shù) 121nn如如 nnnuu1lim1 4. 比值判別法的優(yōu)點：不用找參考級數(shù)。比值判別法的優(yōu)點：不用找參考級數(shù)。解解)( n)1( nnuu1101 n.10!1發(fā)發(fā)散散故故級級數(shù)數(shù) nnn例例 判定下列級數(shù)的斂散性判定下列級數(shù)的斂散性 110!)1(nnn 12)12(1)2(nnn!1010)!1(1nnnn nnnuu1lim 1 比值審斂法失效比值審斂法失效, )12(21lim nnn收收斂斂級級數(shù)數(shù) 121nn收收斂斂故故級級

14、數(shù)數(shù) 1)12(21nnn解解)22()12(2)12(lim nnnnn21n41 改用比較極限審斂法改用比較極限審斂法 12)12(1)2(nnn,limlvunnn ,0時時當(dāng)當(dāng) l兩級數(shù)有相同的斂散性兩級數(shù)有相同的斂散性 nnuu1)(0 n.收收斂斂故故級級數(shù)數(shù)例例 證明級數(shù)證明級數(shù) )1(32113211211111n并估計以級數(shù)的部分和并估計以級數(shù)的部分和sn近似代替和近似代替和s解解以級數(shù)的部分和以級數(shù)的部分和sn近似代替和近似代替和s是收斂的是收斂的,所產(chǎn)生的誤差所產(chǎn)生的誤差.nnn1)!1(1!1 nr所產(chǎn)生的誤差為所產(chǎn)生的誤差為: nss 21nnuu 21nnnnuus

15、sr 2111!1nnn )!2(1)!1(1!1nnn )2)(1(1111!1nnnn)!1)(1(1111!1 nnnn )1(32113211211111n定理定理5 57. 根值審斂法根值審斂法 (柯西判別法柯西判別法),1 nnu設(shè)設(shè)收斂收斂發(fā)散發(fā)散)0( nu 方法失效方法失效 1nnu 1nnu1 1 1 nnulimn注注 2. 時，此判別法失效只能改用其它方法時，此判別法失效只能改用其它方法.1 ,1 ,1 nnn設(shè)級數(shù)設(shè)級數(shù)如如n1 )(0 n級數(shù)收斂級數(shù)收斂.1. 適用于通項以適用于通項以n為指數(shù)冪的級數(shù)。為指數(shù)冪的級數(shù)。nn1n nun斷定斷定 的斂散性的斂散性. 1

16、2)1(2nnn解解根據(jù)根值審斂法，級數(shù)收斂根據(jù)根值審斂法，級數(shù)收斂.因為因為例例nnnn2)1(2lim nnn)1(221lim .21 正、負(fù)項相間的級數(shù)稱為正、負(fù)項相間的級數(shù)稱為nnnu 11)1()0( nu其其中中:如果交錯級數(shù)滿足條件如果交錯級數(shù)滿足條件, 0lim)2( nnu);, 3 , 2 , 1()1(1 nuunn則則.|1 nnur,1us 且且和和的絕對值的絕對值其余項其余項nr定義定義 )1(1nnnu 或或,級級數(shù)數(shù)收收斂斂交錯級數(shù)交錯級數(shù). .定理定理6 6( (萊布尼茨定理萊布尼茨定理) )二、交錯級數(shù)及其審斂法二、交錯級數(shù)及其審斂法證證nnnnuuuuu

17、us212223212)()( 又又1u , 01 nnuussnn 2lim.2是是單單調(diào)調(diào)增增加加的的數(shù)數(shù)列列ns.2是有界的是有界的數(shù)列數(shù)列ns由條件由條件(1):分析分析ssnn limnns2lim 12lim nns), 3 , 2 , 1()1(1 nuunns nnnuuuuuus21243212 ()()()1u 12lim nnss , s級級數(shù)數(shù)收收斂斂于于和和nr余項余項 21nnnuur滿足收斂的兩個條件滿足收斂的兩個條件, nr證畢證畢.也是一個交錯級數(shù)也是一個交錯級數(shù).)(lim122 nnnus0lim12 nnu由條件由條件(2):12212 nnnuss0l

18、im)2( nnussnn 12lim證證.1us 且且)(21 nnuu1 nu例例 判別級數(shù)判別級數(shù) 11)1(nnn的收斂性的收斂性.解解 此級數(shù)為此級數(shù)為交錯級數(shù)，交錯級數(shù)， 而且而且 nun111 n1 nu01lim nunn所以原級數(shù)收斂，所以原級數(shù)收斂， 且其和且其和11 us若用其前若用其前n項來近似項來近似s，誤差為，誤差為11|1 nurnn注意注意 11nn和和 11)1(nnn的不同的不同.解解)1( xx)2(0 x,1單單調(diào)調(diào)遞遞減減故故函函數(shù)數(shù) xx1 nnuu1limlim nnunnn又又0 原級數(shù)收斂原級數(shù)收斂.此級數(shù)為此級數(shù)為2)1(2)1( xxx例例

19、 判別級數(shù)判別級數(shù) 21)1(nnnn的收斂性的收斂性.交錯級數(shù)交錯級數(shù).任意項級數(shù)任意項級數(shù)定義定義,|1收收斂斂若若 nnu為為則稱則稱 1nnu為為則則稱稱 1nnu,|1發(fā)散發(fā)散若若 nnu,1收斂收斂而而 nnu定義定義,1 nnunu可正可正, ,可負(fù)可負(fù), ,可可0.0.絕對收斂絕對收斂. .條件收斂條件收斂. .三、絕對收斂與條件收斂三、絕對收斂與條件收斂明顯，明顯，|1 nnu對任意項級數(shù)對任意項級數(shù),1 nnu必為正項級數(shù)必為正項級數(shù)比如比如 1211) 1(nnn絕對收斂絕對收斂. . 111) 1(nnn條件收斂條件收斂. .證證), 2 , 1(|)|(21 nuuv

20、nnn, 0 nv|,|nnuv 且且收斂收斂 1nnv 1nnu又又 絕對收斂與收斂絕對收斂與收斂因為級數(shù)因為級數(shù)|nnnuuu |,|2|0nnnuuu |2|nnnuuu 正正,1絕絕對對收收斂斂若若級級數(shù)數(shù) nnu定理定理8 8.1必必定定收收斂斂則則級級數(shù)數(shù) nnu), |2(1 nnnuv|1 nnu收斂收斂.收斂收斂 1nnu顯然顯然, 0 比較審斂法比較審斂法有以下重要關(guān)系有以下重要關(guān)系nv注注1 1 |2111nnnnnuuv 證明過程中引進(jìn)了如下級數(shù)證明過程中引進(jìn)了如下級數(shù)由于由于 0 , 00,|21nnnnnuuuuu這個級數(shù)就是原級數(shù)中的全體正項形成的級數(shù)，這個級數(shù)就

21、是原級數(shù)中的全體正項形成的級數(shù)，定理的證明過程表明定理的證明過程表明 1nnv是收斂的是收斂的同樣可以引進(jìn)以下級數(shù)同樣可以引進(jìn)以下級數(shù) nnnnnuuw |2111請分析此級數(shù)和原級數(shù)的關(guān)系！請分析此級數(shù)和原級數(shù)的關(guān)系！由于由于 0 ,0 , 0|21nnnnnuuuuu原級數(shù)中的全體負(fù)項的絕對值形成的級數(shù)！原級數(shù)中的全體負(fù)項的絕對值形成的級數(shù)！同樣由于同樣由于 1nnu是絕對收斂的，且是絕對收斂的，且所以所以 nnnnnuuw |2111也是收斂的正項級數(shù)也是收斂的正項級數(shù)|0nnuw 1nnw用絕對收斂級數(shù)的全部正項或者全部的負(fù)項的相反數(shù)形成的新級數(shù)一定是收斂的正項級數(shù).問題：如果用條件收

22、斂的級數(shù)構(gòu)造如上的級數(shù)呢？問題：如果用條件收斂的級數(shù)構(gòu)造如上的級數(shù)呢？ |2111nnnnnuuv nnnnnuuw |2111 1nnu條件收斂，即條件收斂，即 11|nnnnuu收斂收斂發(fā)散，發(fā)散，斂散性如何？斂散性如何？用條件收斂級數(shù)的全部正項或者全部的負(fù)項的相反數(shù)形成的新級數(shù)一定是發(fā)散的正項級數(shù).注2定理定理8的逆命題不成立的逆命題不成立. 一般一般 1|nnu收斂收斂 1nnu 收斂收斂或者說或者說 1nnu 發(fā)散發(fā)散 1|nnu發(fā)散發(fā)散但是，若由比值或者根值審斂法斷定但是，若由比值或者根值審斂法斷定則可以保證則可以保證 1nnu 發(fā)散發(fā)散 1|nnu發(fā)散發(fā)散 1|nnu發(fā)散發(fā)散證明

23、：證明：比值或者根值審斂法斷定比值或者根值審斂法斷定若由比值或者根值審斂法斷定若由比值或者根值審斂法斷定那么那么 1nnu 發(fā)散發(fā)散 1|nnu發(fā)散發(fā)散是因為是因為0|lim nnu明顯，假設(shè)明顯，假設(shè)0|lim nnu0lim nnu必有必有所以，必有所以，必有 1nnu 發(fā)散發(fā)散注3因為絕對收斂必收斂，所以很多任意項級數(shù)的收因為絕對收斂必收斂，所以很多任意項級數(shù)的收斂性問題，就轉(zhuǎn)化為正項級數(shù)的收斂性問題斂性問題，就轉(zhuǎn)化為正項級數(shù)的收斂性問題.即：對某一個任意項級數(shù)，如果對通項取絕對值即：對某一個任意項級數(shù)，如果對通項取絕對值得到的新級數(shù)收斂正項級數(shù)），則原級數(shù)必收得到的新級數(shù)收斂正項級數(shù)）

24、，則原級數(shù)必收斂，而且是絕對收斂。斂，而且是絕對收斂。解解收斂收斂而而 121nn 12sinnnn故原級數(shù)故原級數(shù)例例 12sinnnn判別級數(shù)判別級數(shù)的斂散性的斂散性.任意項級數(shù)任意項級數(shù)21n 收斂收斂絕對收斂絕對收斂.2sinnn解解故故例例21)11(21)1(nnnnn 判別級數(shù)判別級數(shù)的斂散性的斂散性.根據(jù)根值審斂法根據(jù)根值審斂法所以所以2)11(21)1(nnnn 2)11(21nnn nnnn2)11(21 nn)11(21 )(21 ne1 0|nu0nu所以原級數(shù)發(fā)散所以原級數(shù)發(fā)散例例nnnn21)1()1(12)1( 1!)()2(nnnn解解 (1) 121nn又又所以原級數(shù)所以原級數(shù) 121nn收斂收斂.絕對收斂絕對收斂.是條件收斂還是絕對收斂是條件收斂還是絕對收斂.是等比級數(shù)是等比級數(shù),判定下列級數(shù)的斂散性判定下列級數(shù)的斂散性,對收斂級數(shù)要指明對收斂級數(shù)要指明nnnn21)1(2)1(1 解解因為因為又又!)!1()1(lim1nnnnnnn e nnnn 1lim(2)由正項級數(shù)的比值判別法知由正項級數(shù)的比值判別法知, 1!nnnn從而級數(shù)從而級數(shù)(2)由于使用的是比值判別法而判定的級數(shù)由于使用的是比值判別法而判定的級數(shù)(2)因而因而nn