1、會(huì)計(jì)學(xué)1微積分正項(xiàng)級(jí)數(shù)及其審斂法絕對(duì)微積分正項(xiàng)級(jí)數(shù)及其審斂法絕對(duì)(judu)收收斂與條件收斂斂與條件收斂第一頁，共45頁。nns )(,)2(1 nsunnn則則發(fā)散發(fā)散設(shè)正項(xiàng)級(jí)數(shù)設(shè)正項(xiàng)級(jí)數(shù),nnvu .1發(fā)散發(fā)散 nnv定理(dngl)證畢.比較(bjio)審斂法的不便:須有參考(cnko)級(jí)數(shù). )(n第2頁/共45頁第二頁，共45頁。解,1時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) p,11nnp .級(jí)數(shù)發(fā)散級(jí)數(shù)發(fā)散 P,1時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) p,1111 nnpnnppxdxdxnnpppnns131211 nnppxdxxdx1211第3頁/共45頁第三頁，共45頁。 npxdx11)11(1111 pnp111 p,有界有界

2、即即ns.級(jí)數(shù)收斂級(jí)數(shù)收斂則則 P 發(fā)散發(fā)散時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)收斂收斂時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)級(jí)數(shù)級(jí)數(shù),1,1ppP重要參考級(jí)數(shù)(j sh): 幾何級(jí)數(shù)(j sh), P-級(jí)數(shù)(j sh), 調(diào)和級(jí)數(shù)(j sh).第4頁/共45頁第四頁，共45頁。例例 2 2 證明級(jí)數(shù)證明級(jí)數(shù) 1)1(1nnn是發(fā)散的是發(fā)散的.證明(zhngmng),11)1(1 nnn,111 nn發(fā)散發(fā)散而級(jí)數(shù)而級(jí)數(shù).)1(11 nnn發(fā)散發(fā)散級(jí)數(shù)級(jí)數(shù) 比較審斂法是一基本方法，但應(yīng)用起來卻有許多不便，因?yàn)樗枰⒍ɡ硭蟮牟坏仁?，而這種不等式常常不易建立，為此介紹在應(yīng)用上更為(n wi)方便的極限形式的比較審斂法。第5頁/共45頁第五頁，共4

3、5頁。4.比較(bjio)審斂法的極限形式:設(shè)1nnu與1nnv都是正項(xiàng)級(jí)數(shù), 如果則(1) 當(dāng)時(shí), 二級(jí)數(shù)有相同的斂散性; (2) 當(dāng)時(shí)，若收斂, 則收斂; (3) 當(dāng)時(shí), 若1nnv發(fā)散, 則1nnu發(fā)散;,limlvunnn l00 l l 1nnv 1nnu第6頁/共45頁第六頁，共45頁。證明(zhngmng),lim)1(lvunnn 由由,N ,時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)Nn 232lvulnn )(232Nnvluvlnnn 即即由比較(bjio)審斂法即可得證.,232lll 推論推論： 設(shè)正項(xiàng)級(jí)數(shù)1nnu和1nnv的一般項(xiàng)均為時(shí)的無窮小, 且則二級(jí)數(shù)有相同的斂散性.nnvu 和和 n,nnv

4、u第7頁/共45頁第七頁，共45頁。解)1(nnnn3131, 時(shí)時(shí)故原級(jí)數(shù)(j sh)發(fā)散.)2(,11sin,nnn時(shí)時(shí) ,311收斂收斂又又 nn故原級(jí)數(shù)(j sh)收斂.,11發(fā)散發(fā)散又又 nn第8頁/共45頁第八頁，共45頁。202)1ln(lim11ln1limxxxnnnnxn 故原級(jí)數(shù)(j sh)收斂.,112收斂收斂又又 nn,21)1(2lim2111lim00 xxxxxxx第9頁/共45頁第九頁，共45頁。5 5. .比值審斂法比值審斂法( (達(dá)朗貝爾達(dá)朗貝爾 D DAlembertAlembert 判別法判別法) )： 設(shè)設(shè) 1nnu是是正正項(xiàng)項(xiàng)級(jí)級(jí)數(shù)數(shù), ,如如果果

5、)(lim1 數(shù)數(shù)或或nnnuu則則1 時(shí)時(shí)級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)收收斂斂; ;1 時(shí)時(shí)級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)發(fā)發(fā)散散; ; 1 時(shí)時(shí)失失效效. .證明(zhngmng),1)1(時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) )1 ,( r取取一一數(shù)數(shù),N 則則,時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)Nn ,1ruunn 有有第10頁/共45頁第十頁，共45頁。,1)2(時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) ,NmmNuru ,1NNruu ,212NNNurruu ,1 mNmur收斂收斂而級(jí)數(shù)而級(jí)數(shù),11收斂收斂 NnnmmNuu原級(jí)數(shù)(j sh)收斂,時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)Nn , 111nnnnuuuu 即即.0lim nnu原級(jí)數(shù)(j sh)發(fā)散,N 則則第11頁/共45頁第十一頁，共45頁。比值(bzh)審斂法的優(yōu)

6、點(diǎn):不必找參考(cnko)級(jí)數(shù). 兩點(diǎn)注意(zh y):1 1. .當(dāng)當(dāng)1 時(shí)時(shí)比比值值審審斂斂法法失失效效; ;,11發(fā)散發(fā)散級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)例例 nn,112收斂收斂級(jí)數(shù)級(jí)數(shù) nn)1( 第12頁/共45頁第十二頁，共45頁。,232)1(2nnnnnvu 例例,2)1(211收斂收斂級(jí)數(shù)級(jí)數(shù) nnnnnu,)1(2(2)1(211nnnnnauu 但但,61lim2 nna,23lim12 nna.limlim1不存在不存在nnnnnauu 2 2. .條條件件是是充充分分的的, ,而而非非必必要要. .第13頁/共45頁第十三頁，共45頁。例例 4 4 判判別別下下列列級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)的的收收斂斂性性

7、:(1) 1!1nn; (2) 110!nnn; (3) 12)12(1nnn.解)1(!1)!1(11nnuunn 11 n),(0 n.!11收斂收斂故級(jí)數(shù)故級(jí)數(shù) nn第14頁/共45頁第十四頁，共45頁。),( n)2(!1010)!1(11nnuunnnn 101 n.10!1發(fā)散發(fā)散故級(jí)數(shù)故級(jí)數(shù) nnn)3()22()12(2)12(limlim1 nnnnuunnnn, 1 比值審斂法失效(sh xio), 改用比較審斂法,12)12(12nnn ,112收斂收斂級(jí)數(shù)級(jí)數(shù) nn.)12(211收斂收斂故級(jí)數(shù)故級(jí)數(shù) nnn第15頁/共45頁第十五頁，共45頁。例5 126sin3nn

8、nn 解由于nnnuu1lim 不存在，比值審斂法失效， 而nnnnn36sin32 對(duì) 13nnn由比值(bzh)審斂法得 13nnn收斂故由比較(bjio)審斂法知 126sin3nnnn 收斂(shulin)第16頁/共45頁第十六頁，共45頁。例6 1!nnnnna)0( a解!)1()!1(limlim111nannnauunnnnnnnn ,)11(limeanann 故 ,1,)1(時(shí)時(shí)即即時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) ea級(jí)數(shù)(j sh)收斂級(jí)數(shù)(j sh)發(fā)散,1,)2(時(shí)時(shí)即即時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) ea,1,)3(時(shí)時(shí)即即時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) ea比值(bzh)審斂法失效第17頁/共45頁第十七頁，共45頁。enn

9、)11(1)11(1 nnnneuu故級(jí)數(shù)(j sh)發(fā)散6 6. .根值審斂法根值審斂法 ( (柯西判別法柯西判別法) )： 設(shè)設(shè) 1nnu是是正正項(xiàng)項(xiàng)級(jí)級(jí)數(shù)數(shù), ,如如果果 nnnulim )( 為為數(shù)數(shù)或或 , , 則則1 時(shí)級(jí)數(shù)收斂時(shí)級(jí)數(shù)收斂; ; 1 時(shí)時(shí)級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)發(fā)發(fā)散散; ; 1 時(shí)時(shí)失失效效. . 由nnuu 10lim nnu第18頁/共45頁第十八頁，共45頁。證明(zhngmng)1)1( 取)1 ,( r由 nnnulim知,時(shí)時(shí)，使當(dāng)，使當(dāng)NnN runn )(Nnrunn 由 1Nnnr收斂及比較審斂法得 1Nnnu收斂 1nnu收斂第19頁/共45頁第十九頁，共45

10、頁。1)2( 由 nnnulim知時(shí)時(shí)，使當(dāng)，使當(dāng)NnN 1 nnu1 nu故nu不趨于 0 1nnu發(fā)散1)3( 不能判定(pndng)如 12111nnnn與與都有1lim nnnu但 121nn收斂 11nn發(fā)散第20頁/共45頁第二十頁，共45頁。)0( 71 ananpn例例解ananaupnnnpnnnnn )(limlimlim 故 ,1,1)1(時(shí)時(shí)即即時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) a級(jí)數(shù)(j sh)收斂,1,1)2(時(shí)時(shí)即即時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) a級(jí)數(shù)(j sh)發(fā)散,1,1)3(時(shí)時(shí)即即時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) a根值審斂法失效(sh xio)但此時(shí)級(jí)數(shù)為 發(fā)散發(fā)散時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)收斂收斂時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)級(jí)數(shù)級(jí)數(shù),1,111ppnPnp

11、第21頁/共45頁第二十一頁，共45頁。1.定義: 正、負(fù)項(xiàng)交錯(cuò)的級(jí)數(shù)(j sh)稱為交錯(cuò)級(jí)數(shù)(j sh). nnnnnnuu 111)1()1(或或2 2. .萊布尼茨定理萊布尼茨定理 如果交錯(cuò)級(jí)數(shù)滿足條件如果交錯(cuò)級(jí)數(shù)滿足條件: : ( () ), 3 , 2 , 1(1 nuunn;(;() )0lim nnu, , 則級(jí)數(shù)收斂則級(jí)數(shù)收斂, ,且其和且其和1us , ,其余項(xiàng)其余項(xiàng) nr的絕對(duì)值的絕對(duì)值 1 nnur. . )0( nu其中其中第22頁/共45頁第二十二頁，共45頁。證明(zhngmng)nnnnuuuuuus212223212)()( 又又)()()(21243212nn

12、nuuuuuus 1u , 01 nnuu.lim12ussnn , 0lim12 nnu,2是單調(diào)增加的是單調(diào)增加的數(shù)列數(shù)列ns,2是有界的是有界的數(shù)列數(shù)列ns第23頁/共45頁第二十三頁，共45頁。)(limlim12212 nnnnnuss, s .,1uss 且且級(jí)數(shù)收斂于和級(jí)數(shù)收斂于和),(21 nnnuur余項(xiàng)余項(xiàng),21 nnnuur滿足收斂的兩個(gè)(lin )條件,.1 nnur定理(dngl)證畢.第24頁/共45頁第二十四頁，共45頁。解2)1(2)1()1( xxxxx)2(0 x,1單單調(diào)調(diào)遞遞減減故故函函數(shù)數(shù) xx,1 nnuu1limlim nnunnn又又. 0 原級(jí)

13、數(shù)(j sh)收斂.證明(zhngmng) un 單調(diào)減的方法:01 nnuu11 nnuu？0)()( xfnfun考察考察？第25頁/共45頁第二十五頁，共45頁。定義: 正項(xiàng)和負(fù)項(xiàng)任意出現(xiàn)的級(jí)數(shù)(j sh)稱為任意項(xiàng)級(jí)數(shù)(j sh).定理定理 若若 1nnu收斂收斂, ,則則 1nnu收斂收斂. .證明(zhngmng), 2 , 1()(21 nuuvnnn令令, 0 nv顯然顯然,nnuv 且且,1收斂收斂 nnv),2(11 nnnnnuvu又又 1nnu收斂收斂.第26頁/共45頁第二十六頁，共45頁。上定理(dngl)的作用：任意(rny)項(xiàng)級(jí)數(shù)正項(xiàng)級(jí)數(shù)(j sh)定義定義:

14、:若若 1nnu收斂收斂, , 則稱則稱 1nnu為絕對(duì)收斂為絕對(duì)收斂; ;若若 1nnu發(fā)發(fā)散散, ,而而 1nnu收收斂斂, , 則則稱稱 1nnu為為條條件件收收斂斂. .第27頁/共45頁第二十七頁，共45頁。解,1sin22nnn ,112收斂收斂而而 nn,sin12 nnn收斂收斂故由定義知原級(jí)數(shù)絕對(duì)(judu)收斂. 將正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比值審斂法和根值審斂法應(yīng)用于判定任意項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性可得到如下(rxi)定理：第28頁/共45頁第二十八頁，共45頁。定理(dngl)設(shè)有級(jí)數(shù)(j sh) 1nnu nnnuu1lim)|lim( nnnu或或 則1 1nnu絕對(duì)(judu)收斂1 1n

15、nu發(fā)散1 可能絕對(duì)收斂，可能條件收斂，也可能發(fā)散如,1)1(12 nnn,1)1(1 nnn 11)1(nn第29頁/共45頁第二十九頁，共45頁。注意(zh y)一般而言，由 發(fā)散，并不能推出 1|inu 1inu發(fā)散如 11)1(nnn 11in發(fā)散但 收斂 11)1(nnn若 發(fā)散是由比值審斂法或根值審斂法而審定 1|inu則 必定發(fā)散 1inu這是因?yàn)楸戎?bzh)法和根值法審定(shndng)級(jí)數(shù)發(fā)散的原因是通項(xiàng)不趨向于0由00|nnuu第30頁/共45頁第三十頁，共45頁。斂？斂？是條件收斂還是絕對(duì)收是條件收斂還是絕對(duì)收斂？如果收斂，斂？如果收斂，是否收是否收判斷級(jí)數(shù)判斷級(jí)數(shù) 1

16、ln)1(nnnn例9解,1ln1nnn ,11發(fā)散發(fā)散而而 nn,ln1ln)1(11發(fā)發(fā)散散 nnnnnnn),0(ln)( xxxxf設(shè)設(shè)),1(011)( xxxf則則,), 1()(上單增上單增在在xf,ln1單單減減即即xx 第31頁/共45頁第三十一頁，共45頁。,1ln1時(shí)時(shí)單單減減當(dāng)當(dāng)故故 nnnun所以此交錯(cuò)(jiocu)級(jí)數(shù)收斂，故原級(jí)數(shù)(j sh)是條件收斂, 0ln11limln1limlim nnnnnunnnnxxnnxnlnlimlnlim , 01lim xx.1 nnuu即即第32頁/共45頁第三十二頁，共45頁。正 項(xiàng) 級(jí) 數(shù)任意項(xiàng)級(jí)數(shù)審斂法1.2.4.充

17、要條件5.比較法6.比值法7.根值法4.絕對(duì)收斂5.交錯(cuò)級(jí)數(shù)(萊布尼茨定理)3.按基本性質(zhì);,則級(jí)數(shù)收斂則級(jí)數(shù)收斂若若SSn;, 0,則級(jí)數(shù)發(fā)散則級(jí)數(shù)發(fā)散當(dāng)當(dāng) nun第33頁/共45頁第三十三頁，共45頁。解由由正正項(xiàng)項(xiàng)級(jí)級(jí)數(shù)數(shù) 1nnu收收斂斂，可可以以推推得得 12nnu收收斂斂,nnnuu2lim nnu lim, 0 由比較審斂法知 收斂. 12nnu反之(fnzh)不成立.例如(lr)： 121nn收斂, 11nn發(fā)散.思考題第34頁/共45頁第三十四頁，共45頁。1.求極限(jxin)nnnn 2!3lim 解考察(koch)正項(xiàng)級(jí)數(shù) 112 !3nnnnnnunnnnnnnnnn

18、uu32!2)!1(3limlim111 10)1(23lim nn由比值(bzh)法得 12 !3nnnn收斂由級(jí)數(shù)收斂的必要條件得02!3lim nnnn補(bǔ)充題第35頁/共45頁第三十五頁，共45頁。 11nnnnca 與與設(shè)設(shè)都收斂， 且,nnncba 2. 試證 1nnb收斂.證由 ,nnncba 知nnnnacab 0因 11nnnnca與與都收斂, 故正項(xiàng)級(jí)數(shù) 1)(nnnac收斂,再由比較(bjio)審斂法知正項(xiàng)級(jí)數(shù) 1)(nnnab收斂,而,)(nnnnaabb 即 1nnb可表為兩個(gè)收斂級(jí)數(shù)之和, 11)(nnnnnaab與與故 1nnb收斂.第36頁/共45頁第三十六頁，共

19、45頁。3. 設(shè) , 0, 0 nnba且,11nnnnbbaa 若 1nnb收斂(shulin),則 1nna也收斂(shulin).證由題設(shè)知1111bababannnn nnbbaa11 而 1nnb收斂(shulin),由比較法得 1nna收斂.Cauchy積分審斂法:設(shè) 0)( xfy且單調(diào)減少,)(nfun ,則 1nnu與 1)(dxxf同斂散.4. 第37頁/共45頁第三十七頁，共45頁。證由 f(x) 單調(diào)(dndio)減少知 11)()()1(nnnnunfdxxfnfu 111)()(nnndxxfdxxf故 1nnu與 1)(dxxf同斂散.5. 設(shè) nu是單調(diào)增加且有

20、界的正數(shù)數(shù)列試證明 )1(11 nnnuu收斂.第38頁/共45頁第三十八頁，共45頁。證記,11 nnnuuv則011 nnnnuuuv且11uuuvnnn 而正項(xiàng)(zhn xin)級(jí)數(shù) 11)(nnnuu的部分(b fen)和 nknkknuuuuS1111)(又 nu單調(diào)(dndio)增加且有界,故由單調(diào)有界原理知 Aunn lim存在1limuASnn 即 11)(nnnuu收斂,進(jìn)而 111)(1nnnuuu收斂,由比較法得 1nnv收斂.第39頁/共45頁第三十九頁，共45頁。設(shè)正數(shù)數(shù)列 na單調(diào)減少，級(jí)數(shù) 11)1(nnna發(fā)散考察nnna)11(1 的斂散性證 記,)11(nn

21、nau 由 na單調(diào)(dndio)減少,且0 na故由單調(diào)(dndio)有界原理知 Aann lim存在(cnzi),且0 A若, 0 A由Leibniz審斂法, 得交錯(cuò)級(jí)數(shù) 11)1(nnna收斂, 與題設(shè)矛盾0 Annnnnau 11limlim111 A由根值法知 nnna)11(1 收斂. 6. 第40頁/共45頁第四十頁，共45頁。一、一、 填空題填空題: :1 1、 p級(jí)數(shù)當(dāng)級(jí)數(shù)當(dāng)_時(shí)收斂時(shí)收斂, ,當(dāng)當(dāng)_時(shí)發(fā)散；時(shí)發(fā)散；2 2、若正項(xiàng)級(jí)數(shù)、若正項(xiàng)級(jí)數(shù) 1nnu的后項(xiàng)與前項(xiàng)之比值的根的后項(xiàng)與前項(xiàng)之比值的根 等于等于, , 則當(dāng)則當(dāng)_時(shí)級(jí)數(shù)收斂；時(shí)級(jí)數(shù)收斂；_時(shí)級(jí)數(shù)發(fā)散；時(shí)級(jí)數(shù)發(fā)散； _時(shí)級(jí)數(shù)可能收斂也可能發(fā)散時(shí)級(jí)數(shù)可能收斂也可能發(fā)散 . .二、二、 用比較審斂法或極限審斂法判別下列級(jí)數(shù)的收斂用比較審斂法或極限審斂法判別下列級(jí)數(shù)的收斂性性: : 1 1、 22211313121211nn； 2 2、)0(111 aann . .練 習(xí) 題第41頁/共45頁第四十一頁，共45頁。三、三、 用比值審斂法判別下列級(jí)數(shù)的收斂性用比值審斂法判別下列級(jí)數(shù)的收斂性: : 1 1、 nnn 23233223213