1、數(shù)值分析插值法數(shù)值分析插值法x0 x1x2x3x4xP(x) f(x)f(x) y=f(x)P(x) , 使得 P(xi)= f(xi) = yi (i=0,1, ., n) 其它點(diǎn) P(x) f(x) = y第1頁(yè)/共91頁(yè)2.1.1 插值問(wèn)題 設(shè) y= f(x) 是區(qū)間a , b 上的一個(gè)實(shí)函數(shù), xi ( i=0, 1, . ,n)是a,b上n+1個(gè)互異實(shí)數(shù),已知 y=f(x) 在 xi 的值 yi=f(xi) (i=0,1,.,n), 求一個(gè)次數(shù)不超過(guò)n的多項(xiàng)式Pn(x)使其滿足Pn(xi)=yi (i=0,1, ., n) (5-1)這就是多項(xiàng)式插值問(wèn)題.第2頁(yè)/共91頁(yè)其中Pn(x

2、) 稱為 f(x) 的n次插值多項(xiàng)式, f(x) 稱為被插函數(shù), xi(i=0,1, .,n)稱為插值節(jié)點(diǎn), (xi, yi) (i=0,1, ,n) 稱為插值點(diǎn), a,b 稱為插值區(qū)間, 式(5-1)稱為插值條件。 從幾何意義來(lái)看,上述問(wèn)題就是要求一條多項(xiàng)式曲線 y=Pn(x), 使它通過(guò)已知的n+1個(gè)點(diǎn)(xi,yi) (i=0,1, ,n),并用Pn(x)近似表示f(x).第3頁(yè)/共91頁(yè)即 P(x)=a0+a1x+a2x2+.+anxn其中ai為實(shí)數(shù)，就稱P(x) 為 插值多項(xiàng)式，相應(yīng)的插值法稱為多項(xiàng)式插值，若P(x)為分段的多項(xiàng)式，就稱為分段插值，若P(x)為三角多項(xiàng)式,就稱為三角插值

3、，本章只討論插值多項(xiàng)式與分段插值。 本章主要研究如何求出插值多項(xiàng)式，分段插值函數(shù)，樣條插值函數(shù)；討論插值多項(xiàng)式P(x)的存在唯一性、收斂些及誤差估計(jì)等。第4頁(yè)/共91頁(yè)定理1 設(shè)節(jié)點(diǎn) xi (i=0,1, ,n)互異, 則滿足插值條件 Pn(xi)=yi (i=0,1, ., n)的次數(shù)不超過(guò)n的多項(xiàng) 式存在且唯一.證 設(shè)所求的插值多項(xiàng)式為 Pn(x)=a0+a1x+a2x2+.+anxn (5-2)則由插值條件式Pn(xi)=yi (i=0,1, ., n) 可得關(guān)于系數(shù)a0 ,a1 , ,an的線性代數(shù)方程組2.1.2 插值多項(xiàng)式的存在性和唯一性第5頁(yè)/共91頁(yè) nnnnnnnnnyxax

4、aayxaxaayxaxaa101111000010此方程組有n+1個(gè)方程, n+1個(gè)未知數(shù), 其系數(shù)行列式是范德蒙(Vandermonde)行列式：（5-3）20002111211()01nnjij innnnxxxxxxxxxxx 由克萊姆法則知方程組 (5-3) 的解存在唯一. 證畢。 第6頁(yè)/共91頁(yè) 考慮最簡(jiǎn)單、最基本的插值問(wèn)題.求n次插值多項(xiàng)式 l i(x) (i=0,1, ,n),使其滿足插值條件0,()(0,1, )1,ijjil xjnji 2.2.1 基函數(shù)可知, 除 xi點(diǎn)外, 其余都是 li(x)的零點(diǎn), 故可設(shè)Lagrange法1736-1813 0( )()()in

5、l xA xxxx 11()()iixxxx 第7頁(yè)/共91頁(yè)其中A為常數(shù), 由li(xi)=1可得)()()(1110niiiiiixxxxxxxxA 稱之為拉格朗日基函數(shù), 都是n次多項(xiàng)式 。00()()( )()()(0,1, )niiinxxxxl xxxxxin 11()()iixxxx 11()()iiiixxxx 0( )()()inl xA xxxx 11()()iixxxx nijjjijxxxx0第8頁(yè)/共91頁(yè) n=1時(shí)的一次基函數(shù)為: 0 x1xy1 O x)(0 xl y 10 x1x)(1xlO x.)(,)(01011010 xxxxxlxxxxxl 第9頁(yè)/共9

6、1頁(yè)即已知函數(shù) f(x)在點(diǎn)x0和x1點(diǎn)的函數(shù)值 y0=f(x0)，y1=f(x1).求線性函數(shù) L(x)=a0+ a1x使?jié)M足條件：L(x0)=y0 , L(x1)=y1.)()(001010 xxxxyyyxL 此為兩點(diǎn)線性插值問(wèn)題第10頁(yè)/共91頁(yè)或用直線的兩點(diǎn)式表示為：0011() () xxxxll則則 稱稱 ： 叫叫 做做 點(diǎn)點(diǎn) 的的 一一 次次 插插 值值 基基 函函 數(shù)數(shù) 為為 點(diǎn)點(diǎn) 的的 一一 次次 插插 值值 基基 函函 數(shù)數(shù)插值基函數(shù)的特點(diǎn)： x0 x1l010l1011x0 x1l0l1.)(,)(01011010 xxxxxlxxxxxl 記.)(010110101x

7、xxxyxxxxyxL 第11頁(yè)/共91頁(yè)1200102()()( ),()()xxxxlxxxxx n=2時(shí)的二次基函數(shù)為 : 0211012()()( ),()()xxxxlxxxxx 0122021()()( ).()()xxxxlxxxxx 第12頁(yè)/共91頁(yè)0 01 10( )( )( )( )( )nnn ni iiL xy lxy l xy lxy l x 可知其滿足2.2.2 拉格朗日插值多項(xiàng)式利用拉格朗日基函數(shù)l i(x), 構(gòu)造次數(shù)不超過(guò)n的多項(xiàng)式njyxLjjn, 1 , 0)( )()(xLxPnn 稱為拉格朗日插值多項(xiàng)式,再由插值多項(xiàng)式的唯一性,得 特別地, 當(dāng) n

8、=1時(shí)又叫線性插值,其幾何意義為過(guò)兩點(diǎn)的直線. 當(dāng) n =2時(shí)又叫拋物（線）插值, 其幾何意義為過(guò)三點(diǎn)的拋物線.第13頁(yè)/共91頁(yè)1)(0 niixl注意 :(1) 對(duì)于插值節(jié)點(diǎn),只要求它們互異,與大小次序無(wú)關(guān); 以 xi (i=0,1,n)為插值節(jié)點(diǎn), 函數(shù) f(x) 1作插值多項(xiàng)式, 由插值多項(xiàng)式的唯一性即得基函數(shù)的一個(gè)性質(zhì)(2) 插值基函數(shù)l i(x) 僅由插值節(jié)點(diǎn)xi (i=0,1, ,n)確定, 與被插函數(shù) f(x)無(wú)關(guān);(3) 插值基函數(shù)l i(x) 的順序與插值節(jié)點(diǎn)xi (i=0,1, ,n) 的順序一致.第14頁(yè)/共91頁(yè)1)(0 niixl這是因?yàn)槿羧?x)=xk (k=0,

9、1,n),由插值多項(xiàng)式的唯一性有0( ),0,1,nkkiiil x xxkn 特別當(dāng)k=0時(shí),就得到第15頁(yè)/共91頁(yè)所以019141( )(9), ( )(4)495945xxlxxlxx 10 01 111( )( )( )2(9)3(4)55L xy lxy lxxx 1137(7)2.65L01,4,9,yx xx7例1 已知 用線性插值(即一次插值多項(xiàng)式)求 的近似值。012,3,yy 基函數(shù)分別為:解插值多項(xiàng)式為23(9)(4)55xx 1(6)5x( )第16頁(yè)/共91頁(yè)4, 3, 1, 13210 xxxx)4)(3)(1(401)41)(31)(11()4)(3)(1()(

10、0 xxxxxxxl)4)(3)(1(121)41)(31)(11()4)(3)(1()(1 xxxxxxxl)4)(1)(1(81)43)(13)(13()4)(1)(1()(2 xxxxxxxl)3)(1)(1(151)34)(14)(14()3)(1)(1()(3 xxxxxxxl例2 求過(guò)點(diǎn)(-1,-2), (1,0), (3,-6), (4,3)的拋物線插值(即三次插值多項(xiàng)式).解 以以為節(jié)點(diǎn)的基函數(shù)分別為:第17頁(yè)/共91頁(yè))()()()()(332211003xlyxlyxlyxlyxL )3)(1)(1(1513)4)(1)(1(81)6()4)(3)(1(1210)4)(3)

11、(1(401)2( xxxxxxxxxxxx)3)(1)(1(51)4)(1)(1(43)4)(3)(1(201 xxxxxxxxx3423 xx()則拉格朗日的三次插值多項(xiàng)式為第18頁(yè)/共91頁(yè) 截?cái)嗾`差Rn(x)=f (x) -Ln(x)也稱為n次Lagrange插值多項(xiàng)式的余項(xiàng)。以下為拉格朗日余項(xiàng)定理。 定理2 設(shè) f (x) 在區(qū)間 a ,b上存在 n+1 階導(dǎo)數(shù), xi a, b (i=0,1, , n) 為 n+1個(gè)互異節(jié)點(diǎn), 則對(duì)任何x a ,b, 有(1)1( )( )( )( )( )(1)!nnnnfR xf xL xxn 2.2.3 插值余項(xiàng)( , )a b 且與x有關(guān))

12、10( )()nniixxx 其其中中第19頁(yè)/共91頁(yè)證 由插值條件和n+1(x) 的定義, 當(dāng)x=xk 時(shí) , 式子顯然成立, 并且有 n+1(xk)=0 ( k=0,1,n ), 這表明x0 , x1, , xn 都是函數(shù)n+1(x) 的零點(diǎn), 從而 n+1(x) 可表示為 1( )( )( )( )( )nntf tL tK xt (1)1( )( )( )( )( )(1)!nnnnfR xf xL xxn 1( )( )( )( )( )nnnRxf xLxK xx 其中K(x)是待定函數(shù)。 對(duì)于任意固定的xa,b, xxk ,構(gòu)造自變量 t 的輔助函數(shù)第20頁(yè)/共91頁(yè)1( )(

13、 )( )( )( )nntf tL tK xt 由式 n+1(xk)=0 和式 Ln(xk)=yk ( k=0,1,n ),以及1( )( )( )( )( )nnnRxf xLxK xx 可知：x0 , x1, , xn 和 x 是(t) 在區(qū)間a,b上的 n+2個(gè)互異零點(diǎn), 因此根據(jù)羅爾 (Rolle) 定理, 至少存在一點(diǎn) =(x) (a,b),使 (1)( )0n (1)( )( )(1)!nfK xn 即(1)1( )( )( )( )( )(1)!nnnnfR xf xL xxn 所以第21頁(yè)/共91頁(yè) 一般來(lái)說(shuō),外推比內(nèi)插效果差,在估計(jì)誤差時(shí)下列不等式很有用。),(,)()!1

14、()(01baxxxnMxRniinn 或或),(,)(max)!1()(01baxxxnMxRniibxann 。其中：其中：)(max)1(1xfMnbxan niinnnxxnfxLxfxR0) 1()()!1()()()()( 第22頁(yè)/共91頁(yè)25. 0)4(, 4 . 0)5 . 2(, 5 . 0)2(210 fyfyfy)45 . 2)(25 . 2()4)(2(4 . 0)42)(5 . 22()4)(5 . 2(5 . 0)(2 xxxxxL)5 . 24)(24()5 . 2)(2(25. 0 xx15. 1425. 005. 02 xx,1)(xxf ，節(jié)點(diǎn)節(jié)點(diǎn)4, 5

15、 . 2, 2210 xxx)(xf求求的拋物插值多項(xiàng)式,且計(jì)算f (3)的近似值并估計(jì)誤差。例3 設(shè)解 插值多項(xiàng)式為第23頁(yè)/共91頁(yè),6)(4xxf 83| )2(| )(|max4 , 23 fxfMx21 3|(3)| |(3)(3)|(32)(32.5)(34)|6 80.03125RfL 因?yàn)楣蕓 )4)(5 . 2)(2( |8361| )4)(5 . 2)(2( |!3| )(|33 xxxxxxMxR325. 0)3()3(2 Lf于是另見(jiàn)書p29的例1.第24頁(yè)/共91頁(yè)用二次插值計(jì)算ln11.25的近似值,并估計(jì)誤差.例4 給定函數(shù)表x10111213lnx 2.3025

16、85 2.3978952.484907 2.564949解 取節(jié)點(diǎn)x0=10,x1=11,x2=12,作二次插值有302585. 2)1210)(1110()1225.11)(1125.11( 397895. 2)1211)(1011()1225.11)(1025.11( 484907. 2)1112)(1012()1125.11)(1025.11( 420426. 2 ln11.25L2(11.25)第25頁(yè)/共91頁(yè)在區(qū)間10,12上lnx 的三階導(dǎo)數(shù)的上限M3=0.002,可得誤差估計(jì)式00007. 0| )1225.11)(1125.11)(1025.11( |! 3)25.11(32

17、 MR實(shí)際上,ln11.25=2.420368, |R2(11.25)|=0.000058.第26頁(yè)/共91頁(yè)2.3.1 均差及其基本性質(zhì)定義1 稱101010)()(,xxxfxfxxf 為 f (x)在x0、x1點(diǎn)的一階均差.一階均差的均差(差商)202110210,xxxxfxxfxxxf 稱為函數(shù)f (x)在x0、x1 、x2 點(diǎn)的二階均差.英1642-1727 第27頁(yè)/共91頁(yè)一般地，n-1階均差的均差nnnnnnxxxxxfxxxfxxxf 01112010, 稱為f (x)在x0 , x1 , , xn點(diǎn)的 n 階均差。差商的計(jì)算步驟與結(jié)果可列成均差表，如下一般f(xi) 稱為

18、f(x) 在xi點(diǎn)的零階均差，記作fxi。第28頁(yè)/共91頁(yè)xk函數(shù)值函數(shù)值一階均差一階均差二階均差二階均差三階均差三階均差. x0 x1 x2 x3 . f (x0) f (x1) f (x2) f (x3) . f x0 , x1 f x1 , x2 f x2 , x3 . f x0, x1, x2 f x1, x2, x3 . f x0, x1, x2 , x3 .表5-1（均差表）第29頁(yè)/共91頁(yè)給出節(jié)點(diǎn)x0,x1,xn和函數(shù)值(x0),(x1),(xn),可按如下的差商表順序逐次計(jì)算各階差商值.xi(xi)一階一階差商差商二階差商二階差商三階差商三階差商n階差商階差商x0 x1x2

19、x3 xn(x0)(x1)(x2)(x3) (xn)x0,x1x1,x2x2,x3 xn-1,xnx0,x1,x2x1,x2,x3 xn-2,xn-1,xnx0,x1,x2,x3 xn-3,xn-2,x2,x3 x0,x1,xn第30頁(yè)/共91頁(yè) nknkkkkkkknxxxxxxxxxfxxxf011010)()()()(,這一性質(zhì)可以用數(shù)學(xué)歸納法證明，它表明均差與節(jié)點(diǎn)的排列次序無(wú)關(guān)，即 fx0 , x1 , x2 , ., xn= fx1 , x0 , x2 , ., xn= = fx1 , x2 , ., xn , x0 性質(zhì)1 均差可以表示為函數(shù)值的線性組合，即稱之為均差的對(duì)稱性（也稱

20、為對(duì)稱性質(zhì)）。第31頁(yè)/共91頁(yè)性質(zhì)2 由性質(zhì)1立刻得到或11202010, nnnnnnnxxxxxfxxxfxxxf01021102110,xxxxxfxxxfxxxxfxxxfnnnnn 第32頁(yè)/共91頁(yè)性質(zhì)3 n次多項(xiàng)式f(x)的k階差商,當(dāng)kn時(shí)是一個(gè)n-k次多項(xiàng)式;當(dāng)kn時(shí)恒等于0.性質(zhì)4 若f(x)在a,b上存在n階導(dǎo)數(shù), 且節(jié)點(diǎn)x0 , x1 , xna,b ,則至少存在一點(diǎn) a, b 滿足下式!)(,)(10nfxxxfnn 例1 f (x)=6x8+7x510, 求f 1,2, ,9及f 1,2, ,10. 解 f (8)(x)=68 !, f 1,2, ,9=-6, f

21、 (9)(x)=0, f 1,2, ,10=0.第33頁(yè)/共91頁(yè)2.3.2 牛頓插值多項(xiàng)式設(shè)x是a，b上一點(diǎn)，由一階均差定義得)(,)()(000 xxxxfxfxf 同理，由二階均差定義)(,110100 xxxxxfxxfxxf 如此繼續(xù)下去，可得一系列等式000)()(,xxxfxfxxf 110010,xxxxfxxfxxxf 得得第34頁(yè)/共91頁(yè)01010 , ,()nnnnf x xxf xxxf x xxxx )(,)()(000 xxxxfxfxf )(,110100 xxxxxfxxfxxf )(,221021010 xxxxxxfxxxfxxxf 依次把后式代入前式，最

22、后得00000100101001001201012012( )() ,()(),() ,()()(),(),()() ,()()()f xf xf x xxxf xf xxxxf x xxxxxxf xf xxxxf xxxxxxxf x xxxxxxxxx第35頁(yè)/共91頁(yè)00100101001001201012012( )(),() ,()()(),(),()() ,()()()( )( )nnf xf xf x xxxf x x xxxxxf xf x xxxf x x xxxxxf x x x xxxxxxxN xR x 00100120101010011( )( ) , () , ,

23、()() , ,()()( ) , , ( )nnnnkkkN xf xf x xx xf x x xx xx xf x xxx xx xf xf x xxx 其中00101( ) ,()()() ,( )nnnnnR xf x xxxxxxxxf x xxx 第36頁(yè)/共91頁(yè)( )( )( )nnf xN xR x 可見(jiàn), Nn(x)為次數(shù)不超過(guò)n 的多項(xiàng)式,且易知 Rn(xi)= 0 即 Nn(xi)= yi , (i=0,1, ,n) 滿足插值條件, 故其為插值問(wèn)題的解, Nn(x)稱為牛頓插值多項(xiàng)式。001001201001( )( ) ,() ,()() ,()()nnnN xf

24、xf x xx xf x x xx xx xf xxx xx x 001( ) ,()()()nnnRxf x xxxxxxxx Rn(x)稱為牛頓型插值余項(xiàng)。第37頁(yè)/共91頁(yè)由插值多項(xiàng)式的唯一性知，它與拉格朗日插值多項(xiàng)式是等價(jià)的,即 Ln(x) Nn(x)且有如下遞推形式)()(,)()(1001 nnnnxxxxxxfxNxN和余項(xiàng)公式)()(,)(010nnnxxxxxxxxfxR )()()!1()(0)1(nnxxxxnf 由此即得性質(zhì)4。且)()(,)()(,)(01100101nnnnnnnxxxxxxxxfxxxxxxxxfxR 第38頁(yè)/共91頁(yè)xk f(xk)一階均差一階

25、均差 二階均差二階均差三階均差三階均差 四階均差四階均差0.400.550.650.800.900.410750.578150.696750.888111.026521.11601.18601.27571.38410.28000.35880.43360.19700.21370.0344例1 已知f(x)=shx的數(shù)表,求二次牛頓插值多項(xiàng)式,并由 此計(jì)算f(0.596)的近似值。 )55. 0)(40. 0(2800. 0)40. 0(1160. 141075. 0)(2 xxxxN解 由上表可得過(guò)前三點(diǎn)的二次牛頓插值多項(xiàng)式為第39頁(yè)/共91頁(yè)632010. 0)596. 0()596. 0(2

26、 Nf又1970. 0,3210 xxxxf可得過(guò)前四點(diǎn)的三次牛頓插值多項(xiàng)式)65. 0)(55. 0)(40. 0(1970. 0)()(23 xxxxNxN故6319145. 0)596. 0()596. 0(3 Nf故故)55. 0)(40. 0(2800. 0)40. 0(1160. 141075. 0)(2 xxxxN)80. 0)(65. 0)(55. 0)(40. 0(0344. 0)(3 xxxxxR可得N3(x)的截?cái)嗾`差631034. 0)596. 0( R0344. 0,40 xxf第40頁(yè)/共91頁(yè) 設(shè)函數(shù)y=f(x)在等距節(jié)點(diǎn)xi=x0+ih (i=0,1, ,n)上

27、的函數(shù)值為fi=f(xi)(h為步長(zhǎng))定義2 fi=fi+1-fi 和 fi=fi-fi-1分別稱為函數(shù)f(x)在點(diǎn)xi處的一階向前差分和一階向后差分。 一般地, f(x) 在點(diǎn) xi 處的 m 階向前差分和 m 階向后差分分別為mfi= m-1fi+1- m-1fi 和 mfi= m-1fi - m-1fi-12.4.1 差分及其性質(zhì)第41頁(yè)/共91頁(yè)函數(shù)值函數(shù)值一階差分一階差分二階差分二階差分三階差分三階差分四階差分四階差分. f (x0) f (x1) f (x2) f (x3)f (x4) . f0 ( f1) f1 ( f2) f2 ( f3) f3 ( f4) . 2f0 ( 2f

28、2) 2f1 ( 2f3) 2f2 ( 2f4) . 3f0 ( 3f3) 3f1 ( 3f4). 4f0 ( 4f4) .構(gòu)造差分表5-2第42頁(yè)/共91頁(yè)容易證明，差分有如下基本性質(zhì)性質(zhì)1 各階差分均可用函數(shù)值表示. 即jinjnnjjinnninnininfcfcfcff 011) 1() 1(jijnnjjninnniniinfcfcfcff 011) 1() 1(且有等式 nfi= nfi+n .第43頁(yè)/共91頁(yè)性質(zhì)3 均差與差分的關(guān)系式為111,!1,!miii mimmi mi miimf x xxfm hf xxxfm h性質(zhì)2 函數(shù)值均可用各階差分表示. 即injjjnin

29、nniniinfcfcfcff 01且有差分與微商的關(guān)系式為),()()(nkknnnnxxfhf 差分的其它性質(zhì)參看本章p59習(xí)題8，9，10，11.第44頁(yè)/共91頁(yè)代入牛頓插值公式 ,可得)1()1(!)1(! 2)()(002000 ntttnfttftffthxNxNnnn稱為牛頓向前插值公式，其余項(xiàng)為),()()!1()()1()()(0)1(10nnnnnxxfhnntttthxRxR 插值節(jié)點(diǎn)為 xi=x0+ih (i=0,1, ,n), 如果要計(jì)算 x0附近點(diǎn) x 處的函數(shù)值f(x), 可令 x=x0+th (0 t n)2.4.2 等距節(jié)點(diǎn)差值公式第45頁(yè)/共91頁(yè) 類似地

30、, 若計(jì)算 xn 附近的函數(shù)值 f(x), 可令 x=xn+th (- n t 0) ，可得牛頓向后插值公式)1()1(!)1(! 2)()(2 ntttnfttftffthxNxNnnnnnnnn),(, )()!1()()1()()(0)1(1nnnnnnxxfhnntttthxRxR 及其余項(xiàng)第46頁(yè)/共91頁(yè)例2 設(shè) y=f(x)=ex, xi=1, 1.5, 2, 2.5, 3, 用三次插值多項(xiàng) 式求f(1.2) 及f(2.8)的近似值.解 相應(yīng)的函數(shù)值及差分表如下:xif (xi)一階差分一階差分二階差分二階差分三階差分三階差分 四階差分四階差分11.522.532.71828 4

31、.481697.2890612.1824920.08554 1.76341 2.90347 4.793437.90305 1.14396 1.886063.10962 0.74210 1.223560.48146第47頁(yè)/共91頁(yè)求f(1.2)用牛頓前插公式, 且由 1.2=1+0.5t, 得t=0.431.14396(1.2)(1.2)2.71828 1.76341 0.40.4 (0.4 1)2!0.742100.4 (0.4 1)(0.4 2)3.33386323!fN xif (xi)一階差分一階差分二階差分二階差分三階差分三階差分 四階差分四階差分11.522.532.71828 4

32、.481697.2890612.1824920.08554 1.76341 2.90347 4.793437.90305 1.14396 1.886063.10962 0.74210 1.223560.48146第48頁(yè)/共91頁(yè)求f(2.8)用牛頓后插公式,且由 2.8=3+0.5t, 得t= -0.43(2.8)(2.8)fN xif (xi)一階差分一階差分二階差分二階差分三階差分三階差分 四階差分四階差分11.522.532.71828 4.481697.2890612.1824920.08554 1.76341 2.90347 4.793437.90305 1.14396 1.886

33、063.10962 0.74210 1.223560.481463.1096220.08554 7.90305 ( 0.4)( 0.4) ( 0.4 1)2! 1.22356( 0.4) ( 0.4 1)( 0.4 2)15.76808723! 求f(1.8)呢?第49頁(yè)/共91頁(yè)2.5.1 三次埃爾米特插值多項(xiàng)式 設(shè) y=f(x)是區(qū)間a, b上的實(shí)函數(shù), x0, x1 是a, b上相異兩點(diǎn), 且 x0 x1, y=f (x) 在xi上的函數(shù)值和一階導(dǎo)數(shù)值分別為 yi=f (xi) (i=0,1)和mi = f (xi) (i=0,1), 求三次多項(xiàng)式 H3(x), 使其滿足：33()(0,

34、1)()iiiiHxyiHxm H3(x)稱為三次埃爾米特插值多項(xiàng)式。法1822 -1901 第50頁(yè)/共91頁(yè)構(gòu)造三次埃爾米特插值多項(xiàng)式如下:定理3 滿足條件式 的三次埃爾米特插值多項(xiàng)式存在且唯一。33(),()(0,1)iiiiHxy Hxm i 300110011( )( )( )( )( )Hxyxyxmxmx 條條 件件函函 數(shù)數(shù)函數(shù)值函數(shù)值導(dǎo)數(shù)值導(dǎo)數(shù)值x0 x1x0 x1 0(x)1000 1(x)0100 0(x)0010 1(x)0001第51頁(yè)/共91頁(yè)由0)()(1010 xx 可將它寫成2100)()(xxxxbax 21000)(11)(xxax ，得，得由由 ，所以，

35、所以）（，得，得再由再由3100020)(xxbx 21010100)(21)(xxxxxxxxx 20101011)(21)(xxxxxxxxx ）（將將同同理理10 xx 第52頁(yè)/共91頁(yè)，可可令令同同樣樣由由0)()()(101000 xxx 2100)()(xxxxcx ，再再由由1)(00 x 210)(1xxc 得得,)()(210100 xxxxxxx 201011)()(xxxxxxx 第53頁(yè)/共91頁(yè)210100)()(xxxxxxx 201011)()(xxxxxxx 2201000022101111( )12 ( ) ( )( )() ( )( )12 ( ) ( )

36、( )() ( )xl x lxxxx lxxlx lxxxx lx ,)(21 )(21010100 xxxxxxxxx ,)(21 )(20101011xxxxxxxxx 即)(),(10 xlxl插值點(diǎn)的Lagrange),(),(1100yxyx為為以以一次基函數(shù). 第54頁(yè)/共91頁(yè)可得滿足條件的三次埃爾米特插值多項(xiàng)式為300110011( )( )( )( )( )Hxyxyxmxmx220011011001011022010011011012()12()()()()()xxxxxxxxyyxxxxxxxxxxxxm xxm xxxxxx 第55頁(yè)/共91頁(yè)定理4 設(shè)f(x)在包含

37、x0、x1的區(qū)間a,b內(nèi)存在四階導(dǎo)數(shù)，則當(dāng)xa,b時(shí)有余項(xiàng)(4)2233011( )( )( )( )() ()4!R xf xH xfxxxx 設(shè))(max)4(410 xfMxxx 則當(dāng)x(x0 , x1)時(shí),余項(xiàng)有如下估計(jì)式（誤差限）443384)(hMxR 2.5.2 誤差估計(jì)( , )a b 且與x有關(guān))第56頁(yè)/共91頁(yè)例2 已知f(x)=x1/2及其一階導(dǎo)數(shù)的數(shù)據(jù)見(jiàn)下表,用埃爾米特插值公式計(jì)算1251/2的近似值,并估計(jì)其截?cái)嗾`差. x121144 f(x)1112 f (x)1/22 1/24解23121144( )1112144121121144xxHx21441211212

38、121144144121xx2112114422144121121144xx2114412124121144144121xx第57頁(yè)/共91頁(yè)得3125(125)11.18035H由2/7)4(1615)(xxf 可求得223323151(125)419384 1615190.000012384 12111R 2233322221112( )2219144265212123231112114414412122 2324 23H xxxxxxxxx 第58頁(yè)/共91頁(yè)先看下面的例子 對(duì)(x)=(1+25x2)-1,在區(qū)間-1,1上取等距節(jié)點(diǎn) xi=-1+ih, i=0,1,10,h=0.2,作(

39、x)關(guān)于節(jié)點(diǎn) xi(i=0,1,10)的10次插值多項(xiàng)式 L10(x), 如圖所示第59頁(yè)/共91頁(yè)xyo1-10.511.522511yy=L10(x)這個(gè)現(xiàn)象被稱為Runge現(xiàn)象. 表明高次插值的不穩(wěn)定性. 實(shí)際上, 很少采用高于7次的插值多項(xiàng)式.第60頁(yè)/共91頁(yè)2.6.1 分段線性插值01()(0,1,., ),iinyf xinaxxxb 已已知知求一個(gè)分段函數(shù)P(x), 使其滿足:(1) P(xi)=yi (i=0,1, ., n);(2) 在每個(gè)子區(qū)間xi，xi+1 上是線性函數(shù).稱滿足上述條件的函數(shù)P(x)為分段線性插值函數(shù).第61頁(yè)/共91頁(yè)),.,1 , 0)(nixfyi

40、i分別作線性插值得,在每個(gè)子區(qū)間xi，xi+1已知11111( ),(0,1,1)iiiiiiiiiixxxxP xyyxx xxxxxin 1111( ),(0,1,1)iiiiiiiiiiixxxxP xyyxx xhhhxxin 或第62頁(yè)/共91頁(yè)由線性插值的誤差即得分段線性插值在區(qū)間xi, xi+1上的余項(xiàng)估計(jì)式為1122( )()()()()2!max()max()88iiiiixxxaxbff xP xxxxxhhfxfx 201max,max()iinaxbhhMfx 因此,在插值區(qū)間a,b上有余項(xiàng)22()(), ,8hfxP xMxa b 第63頁(yè)/共91頁(yè)2.6.2 分段拋

41、物線插值(2) 在每個(gè)子區(qū)間xi-1, xi+1 上，L(x)是次數(shù)不超過(guò)2的 多項(xiàng)式.稱滿足上述條件的函數(shù)L(x)為分段拋物線插值函數(shù).(1) L(xi)=yi (i=0,1, ., n);對(duì)01naxxxb 求一個(gè)分段函數(shù)L(x), 使其滿足:即將區(qū)間a, b分為小區(qū)間xi-1, xi+1 (i=1,2, ,n)第64頁(yè)/共91頁(yè)2.6.3 分段三次Hermite插值(),()(0,1, ),iiiiyf xmfxin 已知01naxxxb 求一個(gè)分段函數(shù)H(x), 使其滿足:(2) 在每個(gè)子區(qū)間xi, xi+1 上，H(x)是次數(shù)不超過(guò)3的 多項(xiàng)式.稱滿足上述條件的函數(shù)H(x)為分段三次

42、Hermite插值函數(shù).(1)(),()(0,1, ),iiiiH xyHxmin 第65頁(yè)/共91頁(yè)2211122111( )12()12()()()()()iiiiiiiiiiiiiiiiiixxxxxxxxH xyyhhhhxxxxm xxmxxhh 22111332211122( )1 2()()1 2()()()()()()iiiiiiiiiiiiiiiiyyH xxxxxxxxxhhmmxxxxxxxxhh 1(0,1,1)iiihxxin 或xi，xi+1上(),()(0,1, ),iiiiyf xmfxin 得在每個(gè)子區(qū)間由第66頁(yè)/共91頁(yè)分段三次埃爾米特插值在區(qū)間xi, x

43、i+1上的余項(xiàng)估計(jì)式為1(4)2214(4)1( )()()() ()4!max() ,384iiiiiiixxxff xH xxxxxhfxxxx 因此，在插值區(qū)間a, b上有余項(xiàng)44()(), ,384hfxHxMxa b (4)401max,max()iinaxbhhMfx 第67頁(yè)/共91頁(yè)例3 構(gòu)造函數(shù)f(x)=lnx在1x10上的數(shù)表, 應(yīng)如何選取步長(zhǎng)h,才能使利用數(shù)表進(jìn)行分段插值時(shí)誤差不超過(guò)0.510-4 。解221101( ),max( )1.xfxMfxx 欲使2241101( )( )max( )10882xhhf xP xfx 即進(jìn)行分段線性插值時(shí)，應(yīng)取h210-2，誤差

44、不超過(guò)0.510-4。22 10h 得得第68頁(yè)/共91頁(yè)(4)(4)441106( ),max( )6.xfxMfxx 欲使44(4)41101( )( )max( )10384642xhhf xH xfx 142 210h 得得即進(jìn)行分段三次埃爾米特插值時(shí),應(yīng)取誤差不超過(guò)0.510-4 。142 210h 第69頁(yè)/共91頁(yè)2.7.1 問(wèn)題的提出定義 給定區(qū)間a,b的一個(gè)劃分 a=x0 x1xn=b， yi=f (xi) (i=0,1,n),如果函數(shù)S(x)滿足：(1) S(xi )=yi (i=0,1,n);(2) 在每個(gè)小區(qū)間xi, xi+1 (i=0,1,.,n-1)上是次數(shù)不超過(guò)3

45、的多項(xiàng)式;(3) 在每個(gè)內(nèi)節(jié)點(diǎn)xi (i=1,2,.,n-1)上具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù), 則稱 S(x) 為關(guān)于上述劃分的一個(gè)三次多項(xiàng)式樣條 函數(shù)，簡(jiǎn)稱三次樣條。第70頁(yè)/共91頁(yè) S(x)在每個(gè)小區(qū)間xi , xi+1上是一個(gè)次數(shù)不超過(guò)3的多項(xiàng)式, 因此需確定四個(gè)待定常數(shù), 一共有n個(gè)小區(qū)間,故應(yīng)確定4n個(gè)系數(shù), S(x)在n-1個(gè)內(nèi)節(jié)點(diǎn)上具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，應(yīng)滿足條件)1, 2 , 1()0()0()0()0()0()0( nixSxSxSxSxSxSiiiiii即有3n-3個(gè)連續(xù)條件，再加上S(x) 滿足的插值條件n+1個(gè)，共計(jì)4n-2個(gè)，因此還需要2個(gè)條件才能確定S(x)，通常補(bǔ)充兩個(gè)邊界條件

46、。第71頁(yè)/共91頁(yè)2.7.2 三彎矩方程Mi來(lái)求S(x)的方法稱為三彎矩法。),.,1 , 0()(niMxSii 為參數(shù),這種通過(guò)確定設(shè)iiiiiihxxMhxxMxS 11) )( ( 在xi , xi+1上是一次多項(xiàng)式, 且可表示為 )(xS 對(duì) 積分兩次并利用S(xi)=yi和S(xi+1)=yi+1定出積分常數(shù)得)(xS 321112111()()( )()666() , (0,1,1)6iiiiiiiiiiiiiiiixxxxMhxxS xMMyhhhM hyxx xin hxxi 第72頁(yè)/共91頁(yè)321112111()()( )()666() , (0,1,1)6iii ii

47、iiiiiiiiiiixxx xMhxxS xMMyhhhM hyxx xin 對(duì)S(x)求導(dǎo)得iiiiiiiiiiiihMMhyyhxxMhxxMxS62)(2)()(112121 1,(0,1,1)iixx xin hxxi 第73頁(yè)/共91頁(yè)所以11111(0)36(0)63iiiiiiiiiiiiiiiihhyyS xMMhhhyyS xMMh (i=1,2,.,n-1) )( () )( (00iixSxS由iiiiiiiiiiiihMMhyyhxxMhxxMxS62)(2)()(112121 11111116336iiiiiiiiiiiiiihhyyhhyyMMMMhh 第74頁(yè)/

48、共91頁(yè)111111111166 ,iiiiiiiiiiiiiiiiiiiiihhhhhhyyyydf xx xhhhh 112(1,2,1)iiiiiiMMMdin得其中11111116336iiiiiiiiiiiiiihhyyhhyyMMMMhh 第75頁(yè)/共91頁(yè)由公式nnmxSmxS) )( (, ,) )( (001. 邊界條件為11111(0)36(0)63iiiiiiiiiiiiiiiihhyyS xMMhhhyyS xMMh 00100001011111()36()63nnnnnnnnnhhyymS xMMhhhyymS xMMh 得第76頁(yè)/共91頁(yè)即010122nnnMMdMMd 00100001011111()36()63nnnnnnnnnhhyymS xMMhhhyymS xMMh 10100001166()()nnnnnnyyyydmdmhhhh 其其中中第77頁(yè)/共91頁(yè)0011111111212212nnnnnnMdMdMdMd 從中解出Mi (i=0,1,.,n) 得三次樣條S(x).010122nnnMMdMMd 112(1,2,1)iiiiiiM