1、數(shù)列的極限一個引例數(shù)列的極限一個引例“一尺之棰，日取其半，萬世不竭一尺之棰，日取其半，萬世不竭” 莊周莊周1.1.引例：截丈問題引例：截丈問題 11,2x 2x nx 12nnx 0第一天截剩下的部分 第二天截剩下的部分 第 n 天截剩下的部分 3x 一、數(shù)列極限的定義一、數(shù)列極限的定義 21,2121231,21,2n第1頁/共35頁稱為無窮數(shù)列，簡稱數(shù)列數(shù)列。 其中的每個數(shù)稱為數(shù)列的項， 按自然數(shù) 1,2,12,nx xx稱為通項(一般項)。 .nxnx如 12n12n2111,2 22n一般項這個引例反映了數(shù)列的某種特性： 對數(shù)列 無限的接近這個常數(shù) a ， a 稱為其極限， 如果存在某

2、個常數(shù) a ，當 n 無限增大時，nx2.2.數(shù)列的定義數(shù)列的定義 編號依次排列的一列數(shù) ,nx數(shù)列記為 否則稱為發(fā)散數(shù)列。 則稱這個數(shù)列為收斂數(shù)列， 第2頁/共35頁如 1 2 3,2 3 41nn1n 1n1 111,2 3n1nn1nn 21,4,9,n 2n2n11,1,1,1,n11n11n一般項 一般項 一般項 一般項 收斂到 01發(fā)散 發(fā)散 收斂數(shù)列的特性特性： 無限地接近無限地接近某個常數(shù) a nx隨 n 的無限增大， 第3頁/共35頁3.3.數(shù)列的變化趨勢數(shù)列的變化趨勢極限極限 觀察數(shù)列 時的變化趨勢 當 111nnn 播放播放播放播放第4頁/共35頁觀察數(shù)列 時的變化趨勢

3、當 111nnn 第5頁/共35頁觀察數(shù)列 時的變化趨勢 當 111nnn 第6頁/共35頁觀察數(shù)列 時的變化趨勢 當 111nnn 第7頁/共35頁觀察數(shù)列 時的變化趨勢 當 111nnn 第8頁/共35頁觀察數(shù)列 時的變化趨勢 當 111nnn 第9頁/共35頁觀察數(shù)列 時的變化趨勢 當 111nnn 第10頁/共35頁觀察數(shù)列 時的變化趨勢 當 111nnn 第11頁/共35頁觀察數(shù)列 時的變化趨勢 當 111nnn 第12頁/共35頁觀察數(shù)列 時的變化趨勢 當 111nnn 第13頁/共35頁觀察數(shù)列 時的變化趨勢 當 111nnn 第14頁/共35頁觀察數(shù)列 時的變化趨勢 當 111

4、nnn 第15頁/共35頁觀察數(shù)列 時的變化趨勢 當 111nnn 第16頁/共35頁觀察數(shù)列 時的變化趨勢 當 111nnn 第17頁/共35頁觀察數(shù)列 時的變化趨勢 當 111nnn 第18頁/共35頁1nx 1111nnn通過對演示的觀察，得 當 n 無限增大時， 11nnxn 無限接近于1。 問題問題：無限接近意味什么？如何用數(shù)學語言刻劃它. 兩個數(shù) a 和 b 之間的接近程度可以用兩數(shù)之差的絕對值 ba來度量， 越小，a 與 b 越接近. ba第19頁/共35頁1,100給定 11,100n由 100,n 只要 11,100nx 有 1,1000給定 11,1000n由 1000,n

5、 只要 11,1000nx 有 1,10000給定 11,10000n由 10000,n 只要 11,10000nx 有 0,給定 n 只要 1,nx有 定義：定義：設(shè) nx為一數(shù)列，如果存在常數(shù) a ，對于任意 nxa記 limnnxanxa n 或 都成立， 或者稱數(shù)列 nx收斂于a . nx給定的正數(shù) (不論它多么小)，總存在正整數(shù) N ，使得當 時， nN則稱 a 是數(shù)列 的極限， , N 1第20頁/共35頁limnnxa0,使 時， nNnxa證明 1nx ( 1)1nnn 1n0,欲使 即使 1,n只要 1n因此，取 1,N 則 nN時, 有 故 1limlim1nnnnnxn

6、( 1),nnnxn 證明數(shù)列 nx的極限為1. 例例1 1 已知 思考：思考：取 11N 可不可以？ 0,N成立 1nx成立， 即可。 ( 1)1nnn 成立。 第21頁/共35頁注意注意 （1）的作用在于衡量 與 a 的接近程度，只要求 nx0（2）一經(jīng)給出，暫看作是固定的，由其決定 N （3）22 ,3 , 也可用 代替， N 時,有10nq故1lim0.nnq亦即ln1.lnnq 1nq例例4 4 設(shè) 的極限為 0. 1 lnln ,nq即 ln1lnNq因此，取 第25頁/共35頁1.1.收斂數(shù)列極限的唯一性收斂數(shù)列極限的唯一性證明：（反證法）limnnxa及l(fā)im,nnxb且ab取

7、,2ba2nabx假設(shè)時， 1nN2nabx時， 2nN12max,NN N取nx滿足的不等式矛盾，所以假設(shè)不真。定理定理1 1 收斂數(shù)列的極限唯一。0,nxa即naxa時， 110,NnN,nxb即nbxb時， 220,NnN時，nN二、收斂數(shù)列的性質(zhì)二、收斂數(shù)列的性質(zhì) 第26頁/共35頁2.2.收斂數(shù)列的有界性收斂數(shù)列的有界性有界性有界性 0,M否則無界。 2n有界，無界定理定理2 2 收斂數(shù)列一定有界。 證明 設(shè) lim,nnxa取1,N則當nN時, 從而有1,nxa有取 12max,1,1NMxxxaa則有1,2,nxMn所以數(shù)列有界。使對一切,nx有界 成立，則nxM nx如221n

8、n11naxa nx1,a 1amax第27頁/共35頁注意注意 收斂必有界，發(fā)散不一定無界無界必發(fā)散，有界不一定收斂，1( 1 )n雖有界但不收斂數(shù)列第28頁/共35頁0nx ( 0),( 0).3.3.收斂數(shù)列的保號性收斂數(shù)列的保號性lim,nnxa如果 0a 且0,N則nN當 時， 定理定理3 3 0 ,0 .lim,nnxa且則0a 推論：推論：如果從某項起 0nx 第29頁/共35頁且極限是a。 定理定理4 4 如果數(shù)列收斂于 a ，則其任一子數(shù)列也收斂， nx注意注意 如果數(shù)列 有兩個子數(shù)列收斂于不同極限， nx發(fā)散。 nx則 證明數(shù)列 發(fā)散的方法： nxa. 定義 c. 找到 n

9、x的一個發(fā)散子列 d. 找到 nx的兩個有不同 11n4.4.收斂數(shù)列與其子列的關(guān)系收斂數(shù)列與其子列的關(guān)系 子列：子列：在數(shù)列中任意抽取無限多項并保持其在原數(shù)列中的 如 1 ,1都是其子列 先后次序，這樣得到的數(shù)列稱為原數(shù)列的子數(shù)列(或子列)。 b. 無界必發(fā)散 極限的子列 第30頁/共35頁1. 數(shù)列極限的 “ N ” 定義及應(yīng)用2. 收斂數(shù)列的性質(zhì):唯一性 ; 有界性 ; 保號性;任一子數(shù)列收斂于同一極限小結(jié)小結(jié) 第31頁/共35頁練習：P30 1; 3.(2) (4)3.(2)證明 32nx 313212nn12 21n14n欲使3,2nx只要1,4n即14n則當nN時, 就有3,2nx1,4N取313lim.212nnn313lim212nnn即可0,第32頁/共35頁3.(4)證明1nx 110n110nlim0.99991nn 個