1、1.31.3簡(jiǎn)單曲線的極坐標(biāo)方程簡(jiǎn)單曲線的極坐標(biāo)方程曲線的極坐標(biāo)方程曲線的極坐標(biāo)方程一、定義：一、定義：如果曲線上的點(diǎn)與方程如果曲線上的點(diǎn)與方程f( , )=0有如下關(guān)系有如下關(guān)系()曲線上任一點(diǎn)的坐標(biāo)曲線上任一點(diǎn)的坐標(biāo)(所有坐標(biāo)中所有坐標(biāo)中至少有一個(gè)至少有一個(gè))符合方程符合方程f( , )=0 ；()方程方程f( , )=0的所有解為坐標(biāo)的點(diǎn)的所有解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在曲線上。都在曲線上。 則曲線的方程是則曲線的方程是f( , )=0 。探究:如圖，半徑為如圖，半徑為a的圓的圓心坐標(biāo)為的圓的圓心坐標(biāo)為(a,0)(a0)，你能用一個(gè)等式表示，你能用一個(gè)等式表示圓上任意一點(diǎn)的極坐標(biāo)圓上任意一點(diǎn)的極坐標(biāo)

2、( , )滿足滿足的條件？的條件？xC(a,0)O) 1 ()0 ,2(),2, 0() 1.(.cos2cos),(,2的坐標(biāo)滿足等式可以驗(yàn)證，點(diǎn)即中。在以外的任意一點(diǎn)，那么，為圓上除點(diǎn)設(shè)，那么是交點(diǎn)。設(shè)圓與極軸的另一個(gè)解：圓經(jīng)過極點(diǎn)aAOaMOAOAOMAMORtAMOMAOMaOAAO的點(diǎn)都在這個(gè)圓上。等式，可以驗(yàn)證，坐標(biāo)適合滿足的條件，另一方面坐標(biāo)就是圓上任意一點(diǎn)的極所以，等式) 1 (),() 1 (的極坐標(biāo)方程。叫做曲線那么方程上，的點(diǎn)都在曲線并且坐標(biāo)適合方程一個(gè)滿足方程一點(diǎn)的極坐標(biāo)中至少有上任意，如果平面曲線一般地，在極坐標(biāo)系中CfCffC0),(0),(0),(的圓的極坐標(biāo)方程

3、。為半徑就是圓心在所以，aaaCa),0)(0 ,(cos2極坐標(biāo)方程：極坐標(biāo)方程：例例1、已知圓、已知圓O的半徑為的半徑為r，建立怎樣的極坐，建立怎樣的極坐標(biāo)系，可以使圓的極坐標(biāo)方程簡(jiǎn)單？標(biāo)系，可以使圓的極坐標(biāo)方程簡(jiǎn)單？xOrM簡(jiǎn)單。上比式合時(shí)的極坐標(biāo)方程在形顯然，使極點(diǎn)與圓心重即為圓上任意一點(diǎn)，則設(shè)都等于半徑何特征就是它們的極徑幾圖），那么圓上各點(diǎn)的為極軸建立坐標(biāo)系（如出發(fā)的一條射線為極點(diǎn)，從解：如果以圓心) 1 (,),(.rrOMMrOO5 3cos5sin已知一個(gè)圓的方程是 求圓心坐思考：標(biāo)和半徑。222225 3cos5sin5 3 cos5 sin5 355 35()()2522

4、5 35(,),522xyxyxy解： 兩邊同乘以 得即化為直角坐標(biāo)為即所以圓心為半徑是你可以用極坐標(biāo)方程直接來求嗎？你可以用極坐標(biāo)方程直接來求嗎？3110(cossin)10cos()226(5,),56解：原式可化為所以圓心為半徑為Oaaaa此圓過極點(diǎn)圓的極坐標(biāo)方程為半徑為圓心為)cos(2)0)(,(練習(xí)以極坐標(biāo)系中的點(diǎn)以極坐標(biāo)系中的點(diǎn)(1,1)為圓心，為圓心，1為為半徑的圓的方程是半徑的圓的方程是 .2cos.2sin44.2cos1.2sin1ABCDC3110(cossin)10cos()226(5,),56解：原式可化為所以圓心為半徑為Oaaaa此圓過極點(diǎn)圓的極坐標(biāo)方程為半徑為圓

5、心為)cos(2)0)(,(練習(xí)以極坐標(biāo)系中的點(diǎn)以極坐標(biāo)系中的點(diǎn)(1,1)為圓心，為圓心，1為為半徑的圓的方程是半徑的圓的方程是 .2cos.2sin44.2cos1.2sin1ABCDC題組練習(xí)題組練習(xí)1 1求下列圓的極坐標(biāo)方程求下列圓的極坐標(biāo)方程()中心在極點(diǎn)，半徑為中心在極點(diǎn)，半徑為2；()中心在中心在(a,0)，半徑為，半徑為a；()中心在中心在(a, /2)，半徑為，半徑為a；()中心在中心在( 0, )，半徑為，半徑為r。 2 2acos 2asin 2+ 0 2 -2 0 cos( - )= r2方程是什么？化為直角坐標(biāo)、曲線的極坐標(biāo)方程sin414)2(22 yx圓的圓心距是多

6、少？的兩個(gè)和、極坐標(biāo)方程分別是sincos21cos( ,0)2sincos()cos()2212sin( ,),2 22解：圓 圓心的坐標(biāo)是圓圓 的圓心坐標(biāo)是所以圓心距是題組練習(xí)題組練習(xí)2 23cos()4、極坐標(biāo)方程所表示的曲線是（ ）A、雙曲線、雙曲線 B、橢圓、橢圓 C、拋物線、拋物線 D、圓、圓D為半徑的圓。為圓心，以解：該方程可以化為21)4,21()4cos(41)42()42(02222sin22cos224sinsin4coscos22222yxyxyx即解：410cos()3、圓 的圓心坐標(biāo)是)0 , 5( 、A)3, 5(、B)3, 5(、C)32, 5(、D（ ）C5(

7、2,)2A、寫出圓心在點(diǎn)處且過極點(diǎn)的圓的極坐標(biāo)方程，并把它化成直角坐標(biāo)方程。222224cos()4sin24 sin4(2)4xyyxy解： 化為直角坐標(biāo)系為即2126:2cos ,:2 3 sin20,CC、已知圓圓試判斷兩圓的位置關(guān)系。所以兩圓相外切。半徑為，圓心半徑為圓心坐標(biāo)方程為解：將兩圓都化為直角21)3, 0(1)3(:1)0 , 1 (, 1) 1( :2122221221OOOyxCOyxC78cosOCONON、從極點(diǎn) 作圓 ： 的弦，求的中點(diǎn)的軌跡方程。ONMC(4,0)(4,0),4,4cosCrOCCMMONCMONM解：如圖，圓 的圓心半徑連結(jié)，是弦的中點(diǎn)所以，動(dòng)點(diǎn)

8、的軌跡方程是 化為直角坐標(biāo)方程。把極坐標(biāo)方程練習(xí)cos241648316844)4(4424cos22222222yxxxxyxxx兩邊平方得：即解：方程可化為直線的極坐標(biāo)方程直線的極坐標(biāo)方程答：與直角坐標(biāo)系里的情況一樣，求答：與直角坐標(biāo)系里的情況一樣，求曲線的極坐標(biāo)方程就是找出曲線上動(dòng)曲線的極坐標(biāo)方程就是找出曲線上動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)點(diǎn)的坐標(biāo) 與與 之間的關(guān)系，然后列之間的關(guān)系，然后列出方程出方程 ( , )=0 ，再化簡(jiǎn)并討論。，再化簡(jiǎn)并討論。怎樣求曲線的極坐標(biāo)方程？怎樣求曲線的極坐標(biāo)方程？例題例題1：求過極點(diǎn)，傾角為：求過極點(diǎn)，傾角為 的射線的射線的極坐標(biāo)方程。的極坐標(biāo)方程。4 oMx4 分析：分

9、析：如圖，所求的射線如圖，所求的射線上任一點(diǎn)的極角都上任一點(diǎn)的極角都是是 ，其，其/ 4 極徑可以取任意的非負(fù)數(shù)。故所求極徑可以取任意的非負(fù)數(shù)。故所求直線的極坐標(biāo)方程為直線的極坐標(biāo)方程為(0)4 新課講授新課講授1、求過極點(diǎn)，傾角為、求過極點(diǎn)，傾角為 的射線的極的射線的極坐標(biāo)方程。坐標(biāo)方程。54 易得易得5(0)4 思考：思考：2、求過極點(diǎn)，傾角為、求過極點(diǎn)，傾角為 的直線的極的直線的極坐標(biāo)方程。坐標(biāo)方程。4 544 或或 和前面的直角坐標(biāo)系里直線方程和前面的直角坐標(biāo)系里直線方程的表示形式比較起來，極坐標(biāo)系里的的表示形式比較起來，極坐標(biāo)系里的直線表示起來很不方便，要用兩條射直線表示起來很不方便

10、，要用兩條射線組合而成。原因在哪？線組合而成。原因在哪？0 為了彌補(bǔ)這個(gè)不足，可以考慮允許為了彌補(bǔ)這個(gè)不足，可以考慮允許極徑可以取全體實(shí)數(shù)。則上面的直極徑可以取全體實(shí)數(shù)。則上面的直線的極坐標(biāo)方程可以表示為線的極坐標(biāo)方程可以表示為()4R 或或5()4R 例題例題2、求過點(diǎn)求過點(diǎn)A(a,0)(a0)，且垂直，且垂直于極軸的直線于極軸的直線L的極坐標(biāo)方程。的極坐標(biāo)方程。解：如圖，設(shè)點(diǎn)解：如圖，設(shè)點(diǎn)( , )M 為直線為直線L上除點(diǎn)上除點(diǎn)A外的任外的任意一點(diǎn)，連接意一點(diǎn)，連接OMox AM在在 中有中有 Rt MOA cosOMMOAOA即即cosa 可以驗(yàn)證，點(diǎn)可以驗(yàn)證，點(diǎn)A的坐標(biāo)也滿足上式。的坐

11、標(biāo)也滿足上式。求直線的極坐標(biāo)方程步驟求直線的極坐標(biāo)方程步驟1、根據(jù)題意畫出草圖；、根據(jù)題意畫出草圖；2、設(shè)點(diǎn)、設(shè)點(diǎn) 是直線上任意一點(diǎn)；是直線上任意一點(diǎn)；( , )M 3、連接、連接MO；4、根據(jù)幾何條件建立關(guān)于、根據(jù)幾何條件建立關(guān)于 的方的方 程，并化簡(jiǎn)；程，并化簡(jiǎn)；, 5、檢驗(yàn)并確認(rèn)所得的方程即為所求。、檢驗(yàn)并確認(rèn)所得的方程即為所求。練習(xí)：練習(xí)：設(shè)點(diǎn)設(shè)點(diǎn)P的極坐標(biāo)為的極坐標(biāo)為A ，直，直線線 過點(diǎn)過點(diǎn)P且與極軸所成的角為且與極軸所成的角為 ,求直求直線線 的極坐標(biāo)方程。的極坐標(biāo)方程。 ( ,0)a ll解：如圖，設(shè)點(diǎn)解：如圖，設(shè)點(diǎn)( , )M 為直線為直線 上異于的點(diǎn)上異于的點(diǎn)l連接連接OM

12、， oMx p在在 中有中有 MOA sin()sin()a 即即sin()sina顯然顯然A點(diǎn)也滿點(diǎn)也滿足上方程。足上方程。例題例題3設(shè)點(diǎn)設(shè)點(diǎn)P的極坐標(biāo)為的極坐標(biāo)為 ，直線，直線 過點(diǎn)過點(diǎn)P且與極軸所成的角為且與極軸所成的角為 ,求直線求直線 的極坐標(biāo)方程。的極坐標(biāo)方程。 11(,) lloxMP 1 1 解：如圖，設(shè)點(diǎn)解：如圖，設(shè)點(diǎn)( , )M 點(diǎn)點(diǎn)P外的任意一點(diǎn)，連接外的任意一點(diǎn)，連接OM為直線上除為直線上除則則 由點(diǎn)由點(diǎn)P的極坐標(biāo)知的極坐標(biāo)知 ,OMxOM1OP 1xOP 設(shè)直線設(shè)直線L與極軸交于點(diǎn)與極軸交于點(diǎn)A。則。則在在MOP 1,()OMPOPM 由正弦定理由正弦定理得得11si

13、n()sin() 11sin()sin()顯然點(diǎn)顯然點(diǎn)P的坐標(biāo)的坐標(biāo)也是它的解。也是它的解。平行于極軸的直線。、求過點(diǎn)練習(xí))4, 2(1AOHMA)4, 2( , )(2,)42 sin24sin ,sin2(2,)4sin2lMAMHRt OMHMHOMA 解：在直線 上任意取點(diǎn)在中，即所以，過點(diǎn)平行于極軸的直線方程為的直線的極坐標(biāo)方程。且斜率為、求過2)3 , 2(2A程這就是所求的極坐標(biāo)方得代入直線方程將為直線上的任意一點(diǎn)，設(shè)角坐標(biāo)系內(nèi)直線方程為解：由題意可知，在直07sincos2072sin,cos),(072yxyxMyx表示的曲線是、極坐標(biāo)方程)(31sin3RA、兩條相交的直線

14、、兩條相交的直線B、兩條射線、兩條射線C、一條直線、一條直線D、一條射線、一條射線所以是兩條相交直線兩條直線即所以得可得解：由已知042:, 042:4242tan322cos31sin21yxlyxlxy4cos24cos2,sin2sin2,2sinABCD 、直線關(guān)于直線 對(duì)稱的直線方程為、 ( )B2sin22化為極坐標(biāo)方程為即的對(duì)稱直線的問題關(guān)于線解：此題可以變成求直yxyx3cos3cos33sin33sin)6sin(125、直線的極坐標(biāo)方程是的，則過圓心與極軸垂直一個(gè)圓的方程為、在極坐標(biāo)系中，已知DCBA( )C4cos, 4cos2cos, 2sinsin46、直線的方程是相切的一條、在極坐標(biāo)系中，與圓DCBA( )B2cos24)2(04sin42222化為極坐標(biāo)方程為圓的方程為那么