1、會計學(xué)1第第1講多元函數(shù)的概念講多元函數(shù)的概念第一章 多元函數(shù)微分學(xué)第一節(jié) 多元函數(shù)的概念正確理解集合的連通性的概念。正確理解開區(qū)域、閉區(qū)域、區(qū)域邊界的概念。正確理解區(qū)域的有界性概念。正確理解 n 維空間中點(diǎn)的鄰域的概念。正確理解集合的聚點(diǎn)的概念。正確理解多元函數(shù)及其圖形的概念。第1頁/共49頁第一節(jié) 多元函數(shù)的概念2. 聚點(diǎn)、開集、閉集、有界集 . 1中鄰域的定義空間nR3.區(qū)域4. 多元函數(shù)及其圖形請點(diǎn)擊第2頁/共49頁()0 x0 x0 x. 利用“點(diǎn)”、“距離” 將鄰域概念推廣到高維空間 ),U( 00：鄰域鄰域的的點(diǎn)點(diǎn)xx | | 0 xxx ),d( | ),U(00 xxxx.第

2、3頁/共49頁()0 x0 x0 x. 利用“點(diǎn)”、“距離” 將鄰域概念推廣到高維空間 ),U( 00：鄰域鄰域的的點(diǎn)點(diǎn)xx | | 0 xxx ),d( | ),U(00 xxxx.0X |X | ),d(00XXXX0X0X回憶一維空間中點(diǎn)的鄰域概念第4頁/共49頁 . 1中鄰域的定義中鄰域的定義空間空間nR 0 ) , 3 , 2 ( 0為實(shí)數(shù)，則稱集合為實(shí)數(shù)，則稱集合，設(shè)設(shè)nRXn ),d( | ),U(00XXXX ),U( 00。鄰域，記為鄰域，記為的的中點(diǎn)中點(diǎn)為為XXRn想想:二維、三維空間中點(diǎn)的鄰域是什么樣子 ?第5頁/共49頁Oxy.),(000yxX開圓盤 )()( | )

3、,(),U( 202002yyxxyxXR 中：在第6頁/共49頁開球體Oxyz. )()()( | ),(),U( 20202003zzyyxxzyxXR 中：在),(0000zyxX第7頁/共49頁去心鄰域的概念也可搬過來。 中去心鄰域的定義中去心鄰域的定義空間空間nR 0 ) , 3 , 2 ( 0為實(shí)數(shù)，則稱集合為實(shí)數(shù)，則稱集合，設(shè)設(shè)nRXn ),d(0 | ),U(00XXXX ),(U 00。去心鄰域，記為去心鄰域，記為的的中點(diǎn)中點(diǎn)為為XXRn )()(0 | ),(),(U 202002yyxxyxXR 中：在 )()()(0 | ),(),(U 20202003zzyyxxzy

4、xXR 中：在第8頁/共49頁2. 聚點(diǎn)、開集、閉集、有界集集合的內(nèi)點(diǎn)、外點(diǎn)、邊界點(diǎn)。集合的聚點(diǎn)集合的孤立點(diǎn)開集、閉集有界集集合的連通性請點(diǎn)擊第9頁/共49頁集合的內(nèi)點(diǎn)、外點(diǎn)、邊界點(diǎn)E 邊界點(diǎn) 外點(diǎn)內(nèi)點(diǎn) E)(U0XE)(U0X)U(0X其內(nèi)既有 E的點(diǎn)也有不屬于E 的點(diǎn)第10頁/共49頁E 集合的聚點(diǎn) 0 E ，若，若設(shè)有集合設(shè)有集合E) ,(U0X E 0。的一個聚點(diǎn)的一個聚點(diǎn)為集合為集合則稱點(diǎn)則稱點(diǎn) X 第11頁/共49頁的內(nèi)點(diǎn)、的內(nèi)點(diǎn)、集合集合 10 | ),(E 22yxyx E )0 , 0( 1 22的聚點(diǎn)。的聚點(diǎn)。都是都是上的點(diǎn)、以及點(diǎn)上的點(diǎn)、以及點(diǎn)圓周圓周 yxOxy.1.聚

5、點(diǎn)可能屬于集合 E ,也可能不屬于集合 E 。 例第12頁/共49頁集合的孤立點(diǎn) )(U E 00，其內(nèi)不含集合，其內(nèi)不含集合，但存在，但存在若點(diǎn)若點(diǎn)XX E , E0。的孤立點(diǎn)的孤立點(diǎn)為集合為集合則稱則稱的點(diǎn)的點(diǎn)X第13頁/共49頁的所有點(diǎn)均為 E 孤立點(diǎn)。xyO.(1,1).),(2121. . )0 , 0( 為其聚點(diǎn)為其聚點(diǎn)但點(diǎn)但點(diǎn) 例 , 1 | ),(E Nnnyxyx集合第14頁/共49頁開集、閉集 E 中的開集。中的開集。為為則稱集合則稱集合nR E 點(diǎn)，點(diǎn)，中的每一點(diǎn)均為它的內(nèi)中的每一點(diǎn)均為它的內(nèi)若集合若集合 E ，包含了它的所有聚點(diǎn)包含了它的所有聚點(diǎn)若集合若集合 E 。中的

6、閉集中的閉集為為則稱集合則稱集合nR喂！是所有聚點(diǎn)哦！ 由內(nèi)點(diǎn)構(gòu)成的集合！ 第15頁/共49頁 E ), U(O,E , 0 為為則稱則稱使使若若rr. , , 稱為無界集稱為無界集否則否則中的有界集中的有界集nRyxOErEO中的有界集 2R ) U(O,E r 有界集第16頁/共49頁xyOaE無界集 ,| ),(E ybxayxb第17頁/共49頁集合的連通性 E E 內(nèi)的內(nèi)的全位于全位于中的任意兩點(diǎn)均可用完中的任意兩點(diǎn)均可用完若若 . E ,中的連通集中的連通集為為則稱則稱折線連接起來折線連接起來nR . E , 為不連通的為不連通的稱稱否則否則連通集單連通集復(fù)連通集分為第18頁/共4

7、9頁集合的連通性示意圖 單連通 復(fù)連通EE. 不連通E.第19頁/共49頁是有界判別下列集合的有界性、連通性及開閉: 是無界 1),(222yxyxE是有界164| ),(2223zyxzyxE連通開集連通閉集連通非開非閉集 例 4 | ),(221yxyxE第20頁/共49頁? , 是開集還是閉集是開集還是閉集與全集與全集空集空集中中空間空間nnRR .:是開集又是閉集是開集又是閉集空間中的空集與全集既空間中的空集與全集既規(guī)定規(guī)定第21頁/共49頁 區(qū)域是連通開集. 區(qū)域 的內(nèi)點(diǎn)及邊界點(diǎn)都是它的聚點(diǎn). , 則稱則稱為一連通開集為一連通開集若非空集若非空集nR . 中的區(qū)域中的區(qū)域?yàn)闉閚R注意

8、：集合的聚點(diǎn) 不一定屬于集合.開的第22頁/共49頁 。的邊界，記為稱為合的所有邊界點(diǎn)構(gòu)成的集第23頁/共49頁區(qū)域的邊界第24頁/共49頁區(qū)域與其全部邊界點(diǎn)的并集, 稱為閉區(qū)域.記為第25頁/共49頁4. 多元函數(shù)及其圖形第26頁/共49頁長方體體積 V 依賴于其長度 x ，寬度 y 及高 z ：這里 x , y , z 各自獨(dú)立變化，所以 V 是“自變量” x、y、z 的 例zyxV zyxzyxfV ),( 0, 0, 0。其中，zyx函數(shù)。它是一個三元函數(shù)： 第27頁/共49頁一元函數(shù)X.R二元函數(shù)xyoR.fD.f.三元函數(shù)xyzo.R.fXXI)(xfy ),(yxfz 矩形的面積

9、 S = xy),(zyxfu 長方體體積 V = xyz第28頁/共49頁RnR.XnnRxxxX),(21f.uRu),()(1nxxfXfu第29頁/共49頁定義： 。若映射設(shè)非空集nRRf: 元函數(shù)，記為上的為則稱nf ),(21nxxxfu。為稱為函數(shù)的定義域，記 )( fD ),( , )(21。nxxxXfD ),()(21稱為函數(shù)nxxxfXfu )( 稱為函處的函數(shù)值，在點(diǎn)fXf )(。數(shù)的值域。記為fR 點(diǎn)函數(shù)自變量第30頁/共49頁多元函數(shù)的表示方法解析法表格法圖形法第31頁/共49頁RnR.XnnRxxxX),(21f.uRu),()(1nxxfXfu第32頁/共49頁

10、 ),( , ),( 的圖形為集合二元函數(shù)Dyxyxfz , ),( , ),( | ),(Dyxyxfzzyx ) ( 3。曲面、曲線等中的幾何圖形它表示為三維空間 R前面學(xué)過的一些二次曲面就是 相應(yīng)的一些二元函數(shù)的圖形。多元函數(shù)的圖形第33頁/共49頁 ),( , ),( 2121的圖形為集合元函數(shù)nnxxxxxxfun ),( , ),( | ),(212121。nnnxxxxxxfuxxx 不能畫出幾何圖形。三元及三元以上的函數(shù)第34頁/共49頁求多元函數(shù)定義域舉例第35頁/共49頁二元函數(shù)),(yxfz 的圖形在平面上的投影即為函數(shù)的定義域。xyOxyzD.),(yxfz 第36頁/

11、共49頁求下列函數(shù)的定義域: 想想，該怎么求？ 與一元函數(shù)的情形進(jìn)行比較 例 322yxyxz第37頁/共49頁解Oxy 平面上該函數(shù)的定義域?yàn)橛煞帜覆荒転榱憧芍?，xy 以外的所有點(diǎn)：除xy ),( | ),(2yxRyxyx且xy 第38頁/共49頁求函數(shù)的定義域: 與一元函數(shù)的情形進(jìn)行比較 例 1 )ln(),(22yxxxyyxf第39頁/共49頁由對數(shù)函數(shù)知識、得Oxy故原函數(shù)的定義域?yàn)?xy 解0 xy 0122yx 0 x 01 , 0 , 0 | ),(22yxxxyyx負(fù)數(shù)不能開偶次方，分母不能為零、第40頁/共49頁解 想一想想一想想一想想一想想一想想一想 例 ,112 224224求函數(shù)設(shè)yxyyxxz 222。上各點(diǎn)的值在圓周ayx。 1 124aa第41頁/共49頁多元函數(shù)也有復(fù)合函數(shù)與一元函數(shù)中的情形類似第42頁/共49頁xyyxyxxyyxfz)(),(22zuvwxy 例第43頁/共49頁與一元函數(shù)中的情形類似多元函數(shù)也有隱函數(shù)第44頁/共49頁 , 0),( 的函數(shù)：為能確定如果方程yxzzyxF , )