1、解法: 類似(li s)定積分解決問題的思想:一、引例一、引例(yn l)1.曲頂柱體的體積(tj) 給定曲頂柱體:底： xOy 面上的閉區(qū)域 D頂: 連續(xù)曲面?zhèn)让妫阂?D 的邊界為準(zhǔn)線 , 母線平行于 z 軸的柱面求其體積.“大化小, 常代變, 近似和, 求 極限” D),(yxfz 第1頁/共28頁第一頁，共29頁。1)“大化(d hu)小”用任意曲線(qxin)網(wǎng)分D為 n 個區(qū)域以它們(t men)為底把曲頂柱體分為 n 個2)“常代變”在每個3)“近似和”則中任取一點小曲頂柱體k),(kk第2頁/共28頁第二頁，共29頁。4)“取極限(jxin)”令),(yxfz ),(kkfk),

2、(kk第3頁/共28頁第三頁，共29頁。2. 平面平面(pngmin)薄片的質(zhì)量薄片的質(zhì)量 有一個平面薄片, 在 xOy 平面上占有(zhnyu)區(qū)域 D ,計算(j sun)該薄片的質(zhì)量 M .度為設(shè)D 的面積為 ,則若非常數(shù) ,仍可用其面密 “大化小, 常代變,近似和, 求極限” 解決.1)“大化小”用任意曲線網(wǎng)分D 為 n 個小區(qū)域相應(yīng)把薄片也分為小塊 .yxO第4頁/共28頁第四頁，共29頁。yx2)“常代變”中任取一點(y din)3)“近似(jn s)和”4)“取極限(jxin)”k),(kk則第 k 小塊的質(zhì)量第5頁/共28頁第五頁，共29頁。兩個(lin )問題的共性：(1)

3、解決問題的步驟(bzhu)相同(2) 所求量的結(jié)構(gòu)式相同(xin tn)“大化小, 常代變, 近似和,取極限”nkkkkfV10),(limnkkkkM10),(lim曲頂柱體體積: 平面薄片的質(zhì)量: 第6頁/共28頁第六頁，共29頁。二、二重積分的定義二、二重積分的定義(dngy)及可積性及可積性定義(dngy):將區(qū)域(qy) D 任意分成 n 個小區(qū)域(qy)任取一點若存在一個常數(shù) I , 使可積 , 在D上的二重積分.積分和積分域被積函數(shù)積分表達式面積元素記作是定義在有界區(qū)域 D上的有界函數(shù) , 第7頁/共28頁第七頁，共29頁。引例(yn l)1中曲頂柱體體積:引例2中平面薄板(bo

4、 bn)的質(zhì)量:如果(rgu) 在D上可積,元素d也常記作二重積分記作這時分區(qū)域 D , 因此面積 可用平行坐標(biāo)軸的直線來劃 yxO第8頁/共28頁第八頁，共29頁。二重積分存在二重積分存在(cnzi)定理定理:若函數(shù)(hnsh),(yxf定理(dngl)2.),(yxf(證明略)定理1.在D上可積.限個點或有限條光滑曲線外都連續(xù) ,積.在有界閉區(qū)域 D上連續(xù),則若有界函數(shù)在有界閉區(qū)域 D 上除去有 y1x1DO第9頁/共28頁第九頁，共29頁。三、二重積分的性質(zhì)三、二重積分的性質(zhì)(xngzh)( k 為常數(shù)(chngsh) 為D 的面積(min j), 則 第10頁/共28頁第十頁，共29頁

5、。特別(tbi), 由于則5. 若在D上),(yxf6. 設(shè)D 的面積(min j)為 ,則有第11頁/共28頁第十一頁，共29頁。7.(二重積分的中值(zhn zh)定理)證: 由性質(zhì)(xngzh)6 可知,由連續(xù)函數(shù)介值定理(dngl), 至少有一點在閉區(qū)域D上 為D 的面積 ,則至少存在一點使使連續(xù),因此第12頁/共28頁第十二頁，共29頁。例例1. 比較比較(bjio)下列積下列積分的大小分的大小:其中(qzhng)解: 積分(jfn)域 D 的邊界為圓周它在與 x 軸的交點 (1,0) 處與直線從而而域 D 位于直線的上方, 故在 D 上y2x1OD第13頁/共28頁第十三頁，共29

6、頁。例例2. 估計下列估計下列(xili)積分之值積分之值解: D 的面積(min j)為由于(yuy)積分性質(zhì)5即: 1.96 I 210101010DxyO第14頁/共28頁第十四頁，共29頁。例例3. 判斷判斷(pndun)積積分分的正負號.解: 分積分(jfn)域為則原式 =3D311D猜想結(jié)果為負 但不好(b ho)估計 .舍去此項yxO第15頁/共28頁第十五頁，共29頁。xyO8. 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)(hnsh),(yxfD 位于 x 軸上方(shn fn)的部分為D1 , 當(dāng)區(qū)域關(guān)于(guny) y 軸對稱, 函數(shù)關(guān)于(guny)變量 x 有奇偶性時, 仍1D在 D 上在閉區(qū)域上連續(xù)

7、,域D 關(guān)于x 軸對稱,則則有類似結(jié)果.在第一象限部分, 則有第16頁/共28頁第十六頁，共29頁。四、曲頂柱體體積四、曲頂柱體體積(tj)的的計算計算設(shè)曲頂柱的底為任取平面(pngmin)故曲頂柱體體積(tj)為截面積為截柱體的)(2xy)(1xy0 xzxyabDO記作 第17頁/共28頁第十七頁，共29頁。同樣(tngyng), 曲頂柱的底為則其體積可按如下兩次積分(jfn)計算DyxfVd),(xyxfyyd),()()(21Oydcx)(2yx)(1yxy記作 第18頁/共28頁第十八頁，共29頁。例例4. 求兩個求兩個(lin )底圓半徑為底圓半徑為R 的直交圓柱的直交圓柱面所圍的

8、體積面所圍的體積.解: 設(shè)兩個(lin )直圓柱方程為利用對稱性, 考慮(kol)第一卦限部分,其曲頂柱體的頂為則所求體積為222RzxDxyzRRO第19頁/共28頁第十九頁，共29頁。內(nèi)容內(nèi)容(nirng)小結(jié)小結(jié)1. 二重積分的定義(dngy)2. 二重積分的性質(zhì)(xngzh)(與定積分性質(zhì)相似)3. 曲頂柱體體積的計算二次積分法第20頁/共28頁第二十頁，共29頁。被積函數(shù)(hnsh)相同, 且非負, 思考思考(sko)與練習(xí)與練習(xí)解: 由它們(t men)的積分域范圍可知11xyO1. 比較下列積分值的大小關(guān)系:第21頁/共28頁第二十一頁，共29頁。2. 設(shè)設(shè)D 是第二是第二(d

9、r)象限的一個有界閉域象限的一個有界閉域 , 且且 0 y 1, 則則的大小(dxio)順序為 ( )提示(tsh): 因 0 y 1, 故故在D上有yOx1D第22頁/共28頁第二十二頁，共29頁。3. 計算計算(j sun)解:02第23頁/共28頁第二十三頁，共29頁。4. 證明證明(zhngmng):其中(qzhng)D 為解: 利用(lyng)題中 x , y 位置的對稱性, 有又 D 的面積為 1 , 故結(jié)論成立 .yOx1D1第24頁/共28頁第二十四頁，共29頁。 P135 2，4，5 P152 1(1), 8第二節(jié) 作業(yè)作業(yè)(zuy)第25頁/共28頁第二十五頁，共29頁。備用備用(biyng)題題1. 估計(gj) 的值, 其中(qzhng) D 為解: 被積函數(shù)D 的面積的最大值),(yxf的最小值yOx2D1第26頁/共28頁第二十六頁，共29頁。2. 判斷判斷(pndun)的正負(zhn f).解：當(dāng)時，故又當(dāng)時，于是(ysh)1111xyOD第27頁/共28頁第二十七頁，共29頁。感謝您的欣賞(xnshng)！第28頁/共28頁第二十八頁，共29頁。NoImage內(nèi)容(nirng)總結(jié)解法: 類似(li s)定積分解決問題的思想:。第1頁/共28頁。用任意曲線網(wǎng)分D為 n 個區(qū)域。以它們?yōu)榈装亚斨w分為 n 個。計算該