1、復(fù)習(xí)復(fù)習(xí)(fx): (fx): 平面曲線的平面曲線的切線與法線切線與法線已知平面(pngmin)光滑曲線切線(qixin)方程法線方程0yy 若平面光滑曲線方程為故在點(diǎn)),(00yx切線方程法線方程在點(diǎn)有有因 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第1頁/共27頁第一頁，共28頁。一、空間一、空間(kngjin)曲線的切線與法曲線的切線與法平面平面過點(diǎn) M 與切線垂直的平面稱為(chn wi)曲線在該點(diǎn)的法機(jī)動(dòng)(jdng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 位置.空間光滑曲線在點(diǎn) M 處的切線切線為此點(diǎn)處割線的極限平面平面.點(diǎn)擊圖中任意點(diǎn)動(dòng)畫開始或暫停第2頁/共27頁第二頁，共28頁。1. 曲線曲線

2、(qxin)方程為參數(shù)方程方程為參數(shù)方程的情況的情況切線切線(qixin)方程方程機(jī)動(dòng)(jdng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 TMM第3頁/共27頁第三頁，共28頁。此處要求(yoqi)也是法平面的法向量(xingling),切線(qixin)的方向向量:稱為曲線的切向量切向量 .如個(gè)別為0, 則理解為分子為 0 .機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 M不全為0, )(, )(, )(000tttTT因此得法平面方程法平面方程 說明說明: 若引進(jìn)向量函數(shù) ) )(, )(, )()(ttttr, 則 為 r (t) 的矢端曲線, 處的導(dǎo)向量 )(, )(, )()(0000ttttr就是該

3、點(diǎn)的切向量.o)(trT第4頁/共27頁第四頁，共28頁。zyxo例例1.求圓柱(yunzh)螺旋線 對(duì)應(yīng)點(diǎn)處的切線(qixin)方程和法平面方程.切線(qixin)方程法平面方程即即解解: 由于對(duì)應(yīng)的切向量為在機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 ),0,(kRT, 故第5頁/共27頁第五頁，共28頁。2. 曲線為一般曲線為一般(ybn)式式的情況的情況光滑(gung hu)曲線當(dāng)曲線(qxin)上一點(diǎn), 且有時(shí), 可表示為處的切向量為 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 )(, )(, 100 xxT第6頁/共27頁第六頁，共28頁。則在點(diǎn)切線切線(qixin)方方程程法平面方程法平面方程(

4、fngchng)有MzyGF),(),()(0 xx 或或機(jī)動(dòng) 目錄(ml) 上頁 下頁 返回 結(jié)束 MMMyxGFxzGFzyGFT),(),(,),(),(,),(),(第7頁/共27頁第七頁，共28頁。也可表為法平面方程法平面方程(fngchng)機(jī)動(dòng) 目錄(ml) 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第8頁/共27頁第八頁，共28頁。例例2. 求曲線求曲線(qxin)在點(diǎn)M ( 1,2, 1) 處的切線(qixin)方程與法平面方程. 切線(qixin)方程解法解法1 令則即切向量xyz機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 )6,0, 6(T第9頁/共27頁第九頁，共28頁。法平面方程法平面方程(f

5、ngchng)即機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回(fnhu) 結(jié)束 解法解法(ji f)2. 方程組兩邊對(duì)方程組兩邊對(duì) x 求求導(dǎo)導(dǎo), 得得曲線在點(diǎn) M(1,2, 1) 處有:切向量解得MMxzxyTdd,dd,1第10頁/共27頁第十頁，共28頁。切線(qixin)方程121zyx即0202yzx法平面方程(fngchng)即點(diǎn) M (1,2, 1) 處的切向量(xingling)0機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 )1,0, 1(T第11頁/共27頁第十一頁，共28頁。二、曲面二、曲面(qmin)的切平面與的切平面與法線法線 設(shè) 有光滑(gung hu)曲面通過(tnggu)其上定點(diǎn)對(duì)應(yīng)點(diǎn)

6、M,切線方程為不全為0 . 則 在且點(diǎn) M 的切向量切向量為任意引一條光滑曲線MT下面證明:此平面稱為 在該點(diǎn)的切平面切平面.機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 上過點(diǎn) M 的任何曲線在該點(diǎn)的切線都在同一平面上. )(, )(, )(000tttT第12頁/共27頁第十二頁，共28頁。MT證證:機(jī)動(dòng)(jdng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 在 上,0得)(, )(, )(000tttT),(, ),(, ),(000000000zyxFzyxFzyxFnzyx令nT 切向量由于(yuy)曲線 的任意性 , 表明(biomng)這些切線都在以為法向量n的平面上 , 從而切平面存在 .n第13頁

7、/共27頁第十三頁，共28頁。曲面(qmin) 在點(diǎn) M 的法向量法線法線(f xin)方程方程切平面切平面(pngmin)方方程程),(000zyxFxMTn),(, ),(, ),(000000000zyxFzyxFzyxFnzyx復(fù)習(xí) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第14頁/共27頁第十四頁，共28頁。曲面(qmin)時(shí), 則在點(diǎn)故當(dāng)函數(shù)(hnsh) 法線法線(f xin)方程方程令特別特別, 當(dāng)光滑曲面當(dāng)光滑曲面 的方程為顯式的方程為顯式 在點(diǎn)有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)時(shí), 切平面方程切平面方程機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第15頁/共27頁第十五頁，共28頁。法向量法向量(xingling)

8、用將法向量的方向法向量的方向(fngxing)余弦：余弦：表示法向量(xingling)的方向角,并假定法向量方向分別記為則向上,) 1, ),(, ),(0000yxfyxfnyx復(fù)習(xí) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第16頁/共27頁第十六頁，共28頁。例例3. 求球面求球面(qimin)在點(diǎn)(1 , 2 , 3) 處的切平面及法線(f xin)方程. 解解:所以(suy)球面在點(diǎn) (1 , 2 , 3) 處有:切平面方程切平面方程 即法線方程法線方程法向量令機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 )6,4,2(zyxn )18,8,2()3, 2, 1(n第17頁/共27頁第十七頁，共28頁。

9、例例4. 確定正數(shù)確定正數(shù)(zhngsh) 使曲面使曲面在點(diǎn)),(000zyxM解解: 二曲面二曲面(qmin)在在 M 點(diǎn)的法向量點(diǎn)的法向量分別為分別為二曲面(qmin)在點(diǎn) M 相切, 故又點(diǎn) M 在球面上,于是有相切.與球面機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 , ),(0000001yxzxzyn ),(0002zyxn 21/nn, 因此有22第18頁/共27頁第十八頁，共28頁。1. 空間(kngjin)曲線的切線與法平面 切線(qixin)方程法平面方程(fngchng)(00 xxt1) 參數(shù)式情況. 空間光滑曲線切向量?jī)?nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié))( )(00yyt0)(00zzt機(jī)動(dòng) 目

10、錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 )(, )(, )(000tttT第19頁/共27頁第十九頁，共28頁。切線(qixin)方程法平面方程(fngchng)空間光滑(gung hu)曲線切向量2) 一般式情況一般式情況.)(0 xx )(0yy 0)(0 zz機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 T第20頁/共27頁第二十頁，共28頁?？臻g光滑(gung hu)曲面0),(:zyxF曲面(qmin) 在點(diǎn)法線法線(f xin)方程方程1) 隱式情況 .的法向量法向量),(000zyxM0)(,(0000zzzyxFz切平面方程切平面方程2. 曲面的切平面與法線曲面的切平面與法線機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁

11、返回 結(jié)束 ),(, ),(, ),(000000000zyxFzyxFzyxFnzyx第21頁/共27頁第二十一頁，共28頁。空間光滑(gung hu)曲面切平面切平面(pngmin)方方程程法線法線(f xin)方程方程2) 顯式情況顯式情況.法線的方向余弦方向余弦法向量法向量機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 ) 1 ,(yxffn第22頁/共27頁第二十二頁，共28頁。思考思考(sko)與與練習(xí)練習(xí)1. 如果(rgu)平面與橢球面相切,提示提示(tsh): 設(shè)切設(shè)切點(diǎn)為點(diǎn)為則機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 (二法向量平行) (切點(diǎn)在平面上)(切點(diǎn)在橢球面上)第23頁/共27頁第二十

12、三頁，共28頁。證明(zhngmng) 曲面上任(shng rn)一點(diǎn)處的切平面(pngmin)都通過原點(diǎn).提示提示: 在曲面上任意取一點(diǎn)則通過此 作業(yè)作業(yè) P45 2，3，4，5，8，9，102. 設(shè)設(shè) f ( u ) 可可微微,第七節(jié) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 證明原點(diǎn)坐標(biāo)滿足上述方程 .點(diǎn)的切平面為第24頁/共27頁第二十四頁，共28頁。 1. 證明證明(zhngmng)曲面曲面與定直線(zhxin)平行,證證: 曲面上任曲面上任(shng rn)一點(diǎn)一點(diǎn)的法向量的法向量取定直線的方向向量為則(定向量)故結(jié)論成立 .的所有切平面恒備用題機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 (n(l,0nl第25頁/共27頁第二十五頁，共28頁。2. 求曲求曲線線(qxin)在點(diǎn)(1,1,1) 的切線(qixin)解解: 點(diǎn)點(diǎn) (1,1,1) 處兩曲面處兩曲面(qmin)的法的法向量為向量為因此切線的方向向量為由此得切線:9法平面:即與法平面.機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 ) 1 , 1 , 1 (1)2,2,32(zyxn)5,3,2(2n21nnl第26頁/共27頁第二十六頁，共28頁。感謝您的觀看(gunkn)！第27頁/共27頁第二十七頁，共28頁。NoImage內(nèi)容(nirng)總結(jié)復(fù)習(xí)(f