1、習題11-1 對弧長的曲線積分1.計算下列對弧長的曲線積分：（1），其中為圓周，直線及軸在第一象限內(nèi)所圍成的扇形的整個邊界；（2），其中為折線，這里、依次為點、；（3），其中為擺線的一拱，.2.有一段鐵絲成半圓形，其上任一點處的線密度的大小等于該點的縱坐標，求其質(zhì)量。解 曲線的參數(shù)方程為 依題意，所求質(zhì)量習題11-2 對坐標的曲線積分1.計算下列對坐標的曲線積分：（1），其中是拋物線上從點到點的一段??；（2），其中為圓周（按逆時針方向繞行）；（3），其中是從點到點的一段直線；（4），其中為有向閉折線，這里、依次為點、；2.計算，其中是：（1）拋物線上從點到點的一段??；（2）從點到點的直線段；（

2、3）先沿直線從點到點，然后再沿直線到的折線；（4）曲線，上從點到點的一段弧。3.把對坐標的曲線積分化成對弧長的曲線積分，其中為：（1）在面內(nèi)沿直線從點到點；（2）沿拋物線從點到點；（3）沿上半圓周從點到點.4.設(shè)為曲線，上相應(yīng)于從變到的曲線弧，把對坐標的曲線積分化成對弧長的曲線積分。習題11-3 格林公式及其應(yīng)用1. 利用曲線積分，求星形線，所圍成的圖形的面積。2.計算曲線積分，其中為圓周，的方向為逆時針方向。3. 證明曲線積分在整個面內(nèi)與路徑無關(guān)，并計算積分值。.解：積分與路徑無關(guān)，取路徑，則有4.利用格林公式，計算下列曲線積分：（1），其中為三頂點分別為、和的三角形正向邊界；（2），其中是

3、從沿到點的一段弧.解：原式取，所以上述第一個積分與路徑無關(guān)，取點到點的直線積分得：又的參數(shù)方程為從變到，所以于是，原式5.驗證下列在整個平面內(nèi)是某一函數(shù)的全微分，并求這樣的一個：（1）；（2）6.計算，其中為由點到點的曲線弧解 原積分與路徑無關(guān)， 故原式 習題11-4 對面積的曲面積分1. 計算曲面積分，其中為拋物面在面上方的部分。2.計算下列對面積的曲面積分：（1），其中為平面在第一卦限中的部分；（2），其中為球面上的部分；3.求拋物面殼的質(zhì)量，此殼的面密度為.4.計算，其中為錐面及平面所圍成的區(qū)域的整個邊界曲面.解 ， ，在上，在面的投影為在上，在面的投影為 習題11-5 對坐標的曲面積分

4、1.計算下列對坐標的曲面積分：（1），其中為球面的下半部分的下側(cè).（2），其中 為連續(xù)函數(shù)，是平面在第四卦限部分的上側(cè).2.把對坐標的曲面積分化成對面積的曲面積分，其中（1）是平面在第一卦限的部分的上側(cè)；（2）是拋物面在面上方的部分的上側(cè)；習題11-6 高斯公式1.利用高斯公式計算曲面積分：（1），其中為平面，所圍成的立體的表面的外側(cè).（2），其中是界于和之間的圓柱體的整個表面的外側(cè)；（3），其中為平面，所圍成的立方體的全表面的外側(cè)；2.計算曲面積分，其中是曲面的外側(cè).解 添加平面，取上側(cè)，使構(gòu)成封閉，應(yīng)用高斯公式地習題11-7 斯托克斯公式1.利用斯托克公式，計算下列曲線積分：（1），其中為圓周，若從軸的正向看去，這圓周是取逆時針方向；（2），其中為圓周，若從軸正向看去，這圓周是取逆時針方向；（3），其中為圓周，若從軸正向看去，這圓周是取逆時針方向；復(fù)習題十一1.計算下列曲線積分：（1），其中為圓周.（2），其中為擺線，上對應(yīng)從到的一段弧.（3），其中為上半圓周， 沿逆時針方向.2.計算下列曲面積分：（1），其中是界于平面及之間的圓柱面；（2），其中為錐面的外側(cè).（3），其中為半球面上側(cè).3.證明：在整個平面除去的負半軸及原點的區(qū)域內(nèi)是某個二元函數(shù)的全微分，并求出一個這樣的二元函數(shù)。4. 計算曲線積分，其中