1、第四章第四章 不定積分不定積分. 求求它它的的導導數(shù)數(shù)”已已知知一一個個函函數(shù)數(shù)，如如何何微微分分學學的的基基本本問問題題是是“. . 了了積積分分學學這這就就產產生生分分學學的的逆逆問問題題的的函函數(shù)數(shù)，這這類類問問題題是是微微數(shù)數(shù)的的導導數(shù)數(shù)，要要求求原原來來那那么么，如如果果已已知知一一個個函函分分：積積分分學學包包括括兩兩個個基基本本部部 不不定定積積分分和和定定積積分分4.1 不定積分的概念與性質不定積分的概念與性質一一 原函數(shù)與不定積分的概念原函數(shù)與不定積分的概念.) )( ( )()()()( )()( . 1上的原函數(shù)上的原函數(shù)在區(qū)間在區(qū)間或或就稱為就稱為，那么函數(shù)，那么函數(shù)或

2、或，都有，都有上，對上，對如果在區(qū)間如果在區(qū)間定義定義IdxxfxfxFdxxfxdFxfxFIxI xxcos)(sin )0(1)(ln xxx.cossin的的原原函函數(shù)數(shù)是是xx.), 0(1ln內的原函數(shù)內的原函數(shù)在區(qū)間在區(qū)間是是xx原函數(shù)原函數(shù) . 1問問題題：原原函函數(shù)數(shù)存存在在的的條條件件？ . 1系系？不不同同的的原原函函數(shù)數(shù)之之間間的的關關 . 3原原函函數(shù)數(shù)的的個個數(shù)數(shù)？ 2.原函數(shù)存在定理：原函數(shù)存在定理：延續(xù)函數(shù)一定有原函數(shù)延續(xù)函數(shù)一定有原函數(shù). . (2) 原函數(shù)之間的關系原函數(shù)之間的關系:).()( )( )( xfxFIxxFIxf ，都都有有，使使函函數(shù)數(shù)可可

3、導導內內的的連連續(xù)續(xù)函函數(shù)數(shù)，則則存存在在是是區(qū)區(qū)間間設設定定理理原原函函數(shù)數(shù)都都是是，則則對對任任意意常常數(shù)數(shù)）原原函函數(shù)數(shù)不不唯唯一一若若（注注意意：)()( )()( 1xfCxFCxfxF xCxxxcos)(sincos)(sin 例如.)()()()()(CxGxFxfxGxF 則則的原函數(shù)，的原函數(shù)，都是都是和和若若為為任任意意常常數(shù)數(shù)原原函函數(shù)數(shù)為為，則則其其全全體體的的一一個個原原函函數(shù)數(shù)求求得得得得來來的的而而一一旦旦問問它它是是由由什什么么函函數(shù)數(shù)求求導導的的原原函函數(shù)數(shù)，實實質質上上就就是是注注：求求函函數(shù)數(shù))()()()()(CCxFxFxfxf 不定積分不定積分 .

4、 2恣意常數(shù)恣意常數(shù)積分號積分號被積函數(shù)被積函數(shù)CxFdxxf )()(被積表達式被積表達式積分變量積分變量.)( )()()( )()( 2 dxxfxfCxFxfxfxFI不不定定積積分分，記記作作的的稱稱為為的的全全體體原原函函數(shù)數(shù)數(shù)數(shù)，則則的的一一個個原原函函是是上上，設設函函數(shù)數(shù)在在區(qū)區(qū)間間定定義義例1 求.d5xx 解,656xx.665Cxdxx.Cxdxxarctan112dxx2112求例 211)(arctanxx 解例例3 3 設曲線經過點設曲線經過點(1,2),(1,2),且其上任一點處的切且其上任一點處的切線斜率等于這點橫坐標的兩倍，求此曲線方程線斜率等于這點橫坐標的

5、兩倍，求此曲線方程. .解設曲線方程為)(xfy 根據(jù)題意知,2xdxdy,22Cxxdx,)(2Cxxf由曲線經過點1，2, 1 C所求曲線方程為. 12 xy的一個原函數(shù)是即xxf2)(不不定定積積分分的的幾幾何何意意義義 . 3.)( )( )( )()( )( 簇簇的曲線的曲線所得一切積分曲線組成所得一切積分曲線組成意平移意平移積分曲線沿縱軸方向任積分曲線沿縱軸方向任的某一的某一積分在幾何上表示積分在幾何上表示的不定的不定的積分曲線。于是的積分曲線。于是的圖形為的圖形為數(shù)，則稱數(shù)，則稱的一個原函的一個原函是是若若xfxfxfxFyxfxF 0 xy)(xFy CxFy)(. 相平行相平

6、行作切線，則這些切線互作切線，則這些切線互處處曲線上橫坐標相同的點曲線上橫坐標相同的點顯然，若在每一條積分顯然，若在每一條積分注注: 1) 求導數(shù)與求不定積分是互逆運算求導數(shù)與求不定積分是互逆運算CxFxdFdxxfdxxfdCxFdxxFxfdxxf )()(;)()()()(; )()(或或2) 同一函數(shù)的不定積分的結果方式會不同同一函數(shù)的不定積分的結果方式會不同 CxarcdxxCxdxxcot11;arctan1122可用求導數(shù)的方法驗證正確性可用求導數(shù)的方法驗證正確性.實例實例 xx 11.11Cxdxx 由于積分運算和微分運算是互逆的，因此由于積分運算和微分運算是互逆的，因此可以根

7、據(jù)求導公式得出積分公式可以根據(jù)求導公式得出積分公式.)1( 二二 根本積分表根本積分表根根本本積積分分表表 kdx)1( dxx )2( xdx)3(闡明：闡明： , 0 x,ln Cxxdx )ln(, 0 xx,1)(1xxx ,)ln( Cxxdx,|ln CxxdxkCkx( 是常數(shù)是常數(shù))1(11 CxCx |ln dxx211)4(Cx arctan dxx211)5(Cx arcsin xdxcos)6(Cx sin xdxsin)7(Cx cos xdx2cos)8( xdx2secCx tan xdx2sin)9( xdx2cscCx cot xdxxtansec)10(Cx

8、 sec xdxxcotcsc)11(Cx csc dxex)12(Cex dxax)13()10( ln aaCaax且且例4 求積分.2dxxx 解dxxx2dxx25Cx125125Cx2772Cxdxx1)2(1根據(jù)基本積分公式. 公式來求不定積分公式來求不定積分積分積分的形式，再用冪函數(shù)的的形式，再用冪函數(shù)的只需將其化為只需將其化為時時分式或根式表示的，這分式或根式表示的，這注：有些被積函數(shù)是用注：有些被積函數(shù)是用 x dxxgxf)()()1(;)()( dxxgdxxf證dxxgdxxf)()(dxxgdxxf)()().()(xgxf等式成立.此性質可推行到有限多個函數(shù)之和的情

9、形此性質可推行到有限多個函數(shù)之和的情形三三 不定積分的性質積分法那么不定積分的性質積分法那么 dxxkf)()2(.)( dxxfk（k是是常常數(shù)數(shù)，)0 k 例5 求解。dxxx)1213(22dxxx)1213(22dxxdxx22112113xarctan3xarcsin2C 例6 求解.)1 (122dxxxxxdxxxxx)1 (122dxxxxx)1 ()1 (22dxxx1112dxxdxx1112Cxx|lnarctan為兩個函數(shù)之和被積函數(shù)變形化dxxx241例7 求解：原式dxxx24111dxxx)111(22Cxxx arctan33例8 求解.2cos11dxxdxx

10、2cos11dxx1cos2112dxx2cos121.tan21Cx 注：注： 被積函數(shù)有時需求進展恒等變形，再運用根本積分表被積函數(shù)有時需求進展恒等變形，再運用根本積分表.例9：求dxxxx22sincos2cosdxxxxx 2222sincossincos解：原式 dxxdxx22cos1sin1Cxx tancot解解,sinsec)(2xxxf dxxxxf sinsec)(2,costanCxx , 5)0( f, 6 C所求曲線方程為所求曲線方程為. 6costan xxy.)5 , 0(sinsec)(,()( 92，求此曲線的方程，求此曲線的方程軸的交點為軸的交點為，且此曲線與，且此曲線與斜率為斜率為處的切線處