1、內(nèi) 容 提 要 離散控制系統(tǒng)與連續(xù)控制系統(tǒng)的根本區(qū)別在于采樣系統(tǒng)中既包含有連續(xù)信號，又包含有離散信號，是一個混和信號系統(tǒng)。分析和設(shè)計(jì)離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)工具是Z變換，采用的數(shù)學(xué)模型是差分方程、脈沖傳遞函數(shù)。離散系統(tǒng)：離散系統(tǒng)：一般情況下，控制信號是離散型的時一般情況下，控制信號是離散型的時間函數(shù)間函數(shù)r*(t) 。 取自系統(tǒng)輸出端的負(fù)反饋信號在和上述離散控取自系統(tǒng)輸出端的負(fù)反饋信號在和上述離散控制信號進(jìn)行比較時，需要采取離散型的時間函數(shù)制信號進(jìn)行比較時，需要采取離散型的時間函數(shù)b*(t) ，于是比較后得到的偏差信號將是離散型的，于是比較后得到的偏差信號將是離散型的時間函數(shù)，即時間函數(shù)，即 連續(xù)系統(tǒng)：

2、控制信號、反饋信號以及偏差信號都控制信號、反饋信號以及偏差信號都是連續(xù)型的時間函數(shù)是連續(xù)型的時間函數(shù))()()(*tbtrte圖7-1：離散系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖 因此，在離散系統(tǒng)中，通過控制器對被控對象進(jìn)行控制的直接作用信號乃是離散型的偏差信號 。上述離散系統(tǒng)的方塊圖示于圖7-1。)(*te圖圖7-27-2：離散反饋信號：離散反饋信號 在圖7-1中，離散反饋信號 是由連續(xù)型的時間函數(shù)b(t)通過采樣開關(guān)的采樣而獲得的。采樣開關(guān)經(jīng)一定時間T重復(fù)閉合，每次閉合時間為 ，且有 ，見圖7-2。)(*tbT12ssfTT， 在離散系統(tǒng)中，采樣開關(guān)重復(fù)閉合的時間間隔T 稱為采樣周期。分別稱為采樣頻率及采樣角頻率，其

3、中T代表采樣周期。 連續(xù)性時間函數(shù)經(jīng)采樣開關(guān)采樣后變成重復(fù)連續(xù)性時間函數(shù)經(jīng)采樣開關(guān)采樣后變成重復(fù)周期等于采樣周期的時間序列。該時間序列通周期等于采樣周期的時間序列。該時間序列通道在連續(xù)型時間函數(shù)上打道在連續(xù)型時間函數(shù)上打*號來表示，如圖號來表示，如圖7-2所示。所示。這種時間序列屬于離散型時間函數(shù)。圖7-3：離散系統(tǒng)簡化結(jié)構(gòu)圖 在圖7-1中，兩個采樣開關(guān)的動作一般是同步的，因此，圖7-l所示離散系統(tǒng)方塊圖可等效地簡化成圖7-3。 離散控制系統(tǒng)的應(yīng)用范圍非常廣泛，一般離散控制系統(tǒng)的構(gòu)成如圖7-4所示。 圖7-4：離散控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖數(shù)字控制系統(tǒng)數(shù)字控制系統(tǒng) 數(shù)字控制系統(tǒng)是一種離散型的控制系統(tǒng)，只不

4、數(shù)字控制系統(tǒng)是一種離散型的控制系統(tǒng)，只不過是通過數(shù)字計(jì)算機(jī)控制而已。因此，過是通過數(shù)字計(jì)算機(jī)控制而已。因此，它包括工作它包括工作于離散狀態(tài)下的數(shù)字計(jì)算機(jī)于離散狀態(tài)下的數(shù)字計(jì)算機(jī)(或?qū)Ｓ玫臄?shù)字控制器或?qū)Ｓ玫臄?shù)字控制器)和具有連續(xù)工作狀態(tài)的被控對象兩大部分和具有連續(xù)工作狀態(tài)的被控對象兩大部分，其方塊，其方塊圖如圖圖如圖7-5所示。圖中，有用于控制目的的數(shù)字計(jì)所示。圖中，有用于控制目的的數(shù)字計(jì)算機(jī)，或數(shù)字控制器，它構(gòu)成控制系統(tǒng)的數(shù)字部分，算機(jī)，或數(shù)字控制器，它構(gòu)成控制系統(tǒng)的數(shù)字部分，通過這部分的信號均以離散形式出現(xiàn)。被控對象一通過這部分的信號均以離散形式出現(xiàn)。被控對象一般用般用G(s)表示是系統(tǒng)的不

5、可變部分，它是構(gòu)成連續(xù)表示是系統(tǒng)的不可變部分，它是構(gòu)成連續(xù)部分的主要成分。部分的主要成分。圖7-5：數(shù)字控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖 在數(shù)字控制系統(tǒng)中，具有連續(xù)時間函數(shù)形式的在數(shù)字控制系統(tǒng)中，具有連續(xù)時間函數(shù)形式的被控信號被控信號y(t)或或c(t) (模擬量模擬量)受控于具有離散時間函受控于具有離散時間函數(shù)形式的控制信號數(shù)形式的控制信號 (數(shù)字量數(shù)字量)。既然模擬量需要。既然模擬量需要反應(yīng)數(shù)字量，這中間便需要有數(shù)反應(yīng)數(shù)字量，這中間便需要有數(shù)-模轉(zhuǎn)換環(huán)節(jié)。連模轉(zhuǎn)換環(huán)節(jié)。連續(xù)的被控制信號續(xù)的被控制信號y(t)或或c(t)經(jīng)反饋環(huán)節(jié)反饋到輸入端經(jīng)反饋環(huán)節(jié)反饋到輸入端與參考輸入相比較，從而得到與參考輸入相比較，從

6、而得到e(t)并經(jīng)并經(jīng)AD得到偏得到偏差信號差信號 。 離散的偏差信號離散的偏差信號 經(jīng)數(shù)字計(jì)算機(jī)的加工處理經(jīng)數(shù)字計(jì)算機(jī)的加工處理變換成數(shù)字信號變換成數(shù)字信號 ， 再經(jīng)再經(jīng)DA轉(zhuǎn)換為連續(xù)信轉(zhuǎn)換為連續(xù)信號號 饋送到連續(xù)部分的執(zhí)行元件去控制系統(tǒng)的被饋送到連續(xù)部分的執(zhí)行元件去控制系統(tǒng)的被控制信號控制信號c(t)。圖中采樣開關(guān)的動作是同步的。圖中采樣開關(guān)的動作是同步的。)(*tu)(*te)(*te)(*tu)(*tu)(tuk一、采樣過程一、采樣過程 實(shí)現(xiàn)采樣控制首先遇到的問題，就是如何把連實(shí)現(xiàn)采樣控制首先遇到的問題，就是如何把連續(xù)信號變換為脈沖序列的問題。續(xù)信號變換為脈沖序列的問題。 按一定的時間

7、間隔對連續(xù)信號進(jìn)行采樣，將其按一定的時間間隔對連續(xù)信號進(jìn)行采樣，將其轉(zhuǎn)換為相應(yīng)的脈沖序列的過程稱為采樣過程。實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)換為相應(yīng)的脈沖序列的過程稱為采樣過程。實(shí)現(xiàn)采樣過程的裝置叫采樣器或采樣開關(guān)。采樣過程的裝置叫采樣器或采樣開關(guān)。 采樣器可以用一個周期性閉合的開關(guān)來表示，采樣器可以用一個周期性閉合的開關(guān)來表示，其閉合周期為其閉合周期為T，每次閉合時間為，每次閉合時間為 。在實(shí)際上，。在實(shí)際上，由于采樣持續(xù)時間由于采樣持續(xù)時間 通常遠(yuǎn)小于采樣周期通常遠(yuǎn)小于采樣周期T，也遠(yuǎn)，也遠(yuǎn)小于系統(tǒng)連續(xù)部分的時間常數(shù)，因此，在分析離小于系統(tǒng)連續(xù)部分的時間常數(shù)，因此，在分析離散系統(tǒng)時，可近似認(rèn)為散系統(tǒng)時，可近似認(rèn)為

8、趨近于趨近于0。在這種條件下，。在這種條件下，當(dāng)采樣開關(guān)的輸入信號為連續(xù)信號當(dāng)采樣開關(guān)的輸入信號為連續(xù)信號e(t)時，其輸出時，其輸出信號信號e*(t)是一個脈沖序列，采樣瞬時是一個脈沖序列，采樣瞬時e*(t)的幅值等的幅值等于相應(yīng)瞬時于相應(yīng)瞬時e(t)的幅值，即的幅值，即e(0T)、e(T)、e(2T) e(nT)，如圖，如圖7-6所示。所示。 圖7-6：實(shí)際采樣過程*( )(0)1( ) 1()( )1() 1()e tette TtTtT)2( 1)2( 1)2(TtTtTe0)( 1)( 1)(kkTtkTtkTe 采樣過程可以看成是一個脈沖調(diào)制過程。理采樣過程可以看成是一個脈沖調(diào)制過

9、程。理想的采樣開關(guān)相當(dāng)于一個單位理想脈沖序列發(fā)生想的采樣開關(guān)相當(dāng)于一個單位理想脈沖序列發(fā)生器，它能夠產(chǎn)生一系列單位脈沖。器，它能夠產(chǎn)生一系列單位脈沖。0*)()()(kkTtkTete0*)()()()()(kTttekTttete或 采樣開關(guān)相當(dāng)于一個單位脈沖發(fā)生器，采樣信號的調(diào)制過程如圖7-7所示。圖7-7：采樣信號的調(diào)制過程時，上式可寫成當(dāng)0 采樣定理采樣定理(shannon定理定理)，由于它給出了從采，由于它給出了從采樣的離散信號恢復(fù)到原連續(xù)信號所必需的最低采樣的離散信號恢復(fù)到原連續(xù)信號所必需的最低采樣頻率，所以在設(shè)計(jì)離散系統(tǒng)時是很重要的。樣頻率，所以在設(shè)計(jì)離散系統(tǒng)時是很重要的。二、采

10、樣定理二、采樣定理*-( )( )( )( ) (t-nT0, ()0)sjnw t1TTne te tte tetnT *1( )( )snEsL e tE sjnT則有*-( )( )()ne te ttnT - ( )()TnttnT 令(1) 采樣信號的頻譜采樣信號的頻譜1( )sjntTnteT即*1()()snEjE jjnT*111()()()()ssEjE jjE jE jjTTT+*111()()()()()sssEjjE jjE jE jjTTTEj+ (2) 采樣定理采樣定理即即 的周期為的周期為*()Ejs*()()sEjjkEj0, 1, 2,k 因此，我們有因此，我

11、們有 *111()(2)()()11 ()(2)ssssEjE jjE jjE jTTTE jjE jjTT+1()0 1, 2,sE jjnnT 將其展開可得將其展開可得若想從上述離散信號恢復(fù)為連續(xù)信號，則需要滿足若想從上述離散信號恢復(fù)為連續(xù)信號，則需要滿足采樣頻率怎么選？采樣頻率怎么選？nsnjETjE)(1)(* 分析表明，采樣函數(shù)的拉氏變換式分析表明，采樣函數(shù)的拉氏變換式E*(s)是以是以s為周期的周期函數(shù)。另外，上述分析還表示了采樣為周期的周期函數(shù)。另外，上述分析還表示了采樣函數(shù)的拉氏變換式函數(shù)的拉氏變換式E*(s)與連續(xù)函數(shù)拉氏變換式與連續(xù)函數(shù)拉氏變換式E(s)之間的關(guān)系。之間的關(guān)

12、系。 通常通常E*(s)的全部極點(diǎn)均位于的全部極點(diǎn)均位于S平面的左半部，平面的左半部，因此可用因此可用j代替上式中的復(fù)變量代替上式中的復(fù)變量s，直接求得采樣信，直接求得采樣信號的傅氏變換：號的傅氏變換： 上式即為采樣信號的頻譜函數(shù)。它也反映了離散上式即為采樣信號的頻譜函數(shù)。它也反映了離散信號頻譜和連續(xù)信號頻譜之間的關(guān)系。信號頻譜和連續(xù)信號頻譜之間的關(guān)系。 一般說來，連續(xù)函數(shù)的頻譜是孤立的，其帶寬一般說來，連續(xù)函數(shù)的頻譜是孤立的，其帶寬是有限的，即上限頻率為有限值是有限的，即上限頻率為有限值 (見圖見圖7-8（a）)。而離散函數(shù)而離散函數(shù)E*(t)則具有以則具有以s 為周期的無限多個頻為周期的無

13、限多個頻譜，如圖譜，如圖7-8（b）所示。）所示。 在離散函數(shù)的頻譜中，在離散函數(shù)的頻譜中，n=0的部分的部分E(j)T稱稱為主頻譜。它對應(yīng)于連續(xù)信號的頻譜。除了主頻譜為主頻譜。它對應(yīng)于連續(xù)信號的頻譜。除了主頻譜外，外， E*(j)還包含無限多個附加的高頻頻譜。為了還包含無限多個附加的高頻頻譜。為了準(zhǔn)確復(fù)現(xiàn)采樣的準(zhǔn)確復(fù)現(xiàn)采樣的 連續(xù)信號，必須使采樣后的離散信連續(xù)信號，必須使采樣后的離散信號的頻譜彼此不重疊，這樣就可以用一個比較理想號的頻譜彼此不重疊，這樣就可以用一個比較理想的低通濾波器，濾掉全部附加的高頻頻譜分量，保的低通濾波器，濾掉全部附加的高頻頻譜分量，保留主頻譜。留主頻譜。 圖7-8：連

14、續(xù)及離散信號的頻譜 由圖由圖7-8可見，相鄰兩頻譜互不重迭的條件是可見，相鄰兩頻譜互不重迭的條件是s 2max 如果滿足條件，并把采樣后的離散信號如果滿足條件，并把采樣后的離散信號e*(t)加到加到如圖如圖7-9所示特性的理想濾波器上，則在濾波器的輸出所示特性的理想濾波器上，則在濾波器的輸出端將不失真地復(fù)現(xiàn)原連續(xù)信號端將不失真地復(fù)現(xiàn)原連續(xù)信號(幅值相差幅值相差lT倍倍)。倘。倘若若s 0) 的的Z變換變換.( )f tt解：解：21)(stLsFF(s)有兩個有兩個s=0的極點(diǎn)，即的極點(diǎn)，即2, 011rs2220011 ( )limlim(2 1)!(1)TsTsssdzdzTzZ f ts

15、dss zeds zez 若 對于任何常數(shù)a和b，則有1 1 Z Z 變換性質(zhì)線性定理變換性質(zhì)線性定理)()(),()(2211zXtxZzXtxZ)()()()(2121zbXzaXtbxtaxZ證明：由Z變換定義12120( )( )()()kkZ ax tbx tax kTbx kTz1200()()kkkkax kT zbx kT z1200()()kkkkax kT zbx kT z12( )( )aXzbXz三、三、Z Z 變換的基本定理變換的基本定理若)()(zXtxZ)()(zXznTtxZn10)()()(nkknzkTxzXznTtxZ2 2 實(shí)數(shù)位移定理又稱平移定理實(shí)數(shù)位

16、移定理又稱平移定理 實(shí)數(shù)位移含義，是指整個采樣序列在時間軸上左右平移若干個采樣周期，其中向左平移為超前，向右平移為延遲。則有及3 3 復(fù)域位移定理復(fù)域位移定理若 則有：)()(zXtxZ)()(zeXtxeZaTat定理的含義是：函數(shù)x(t)乘以指數(shù)序eaT的Z變換，等于在x(t)的Z變換表達(dá)式X(z)中，以 取代原算子z。zeaT證明：由Z變換定義0( )()atakTkkZ ex tex kT z0()()aTkkx kTez()aTX ez例例7-7：試用復(fù)數(shù)位移定理計(jì)算函數(shù)：試用復(fù)數(shù)位移定理計(jì)算函數(shù)te-at的的Z變換變換解：令x(t)=t，由于2) 1()()(zTztZzX根據(jù)復(fù)數(shù)

17、位移定理，有22)() 1()(aTaTaTaTataTezTzezezeTteZzeX4 復(fù)數(shù)微分定理復(fù)數(shù)微分定理若若 Zx(t)=X(z)，則，則dzzdXTzttxZ)()(5 初值定理初值定理若若Zx(t)=X(z) ，且當(dāng)，且當(dāng)t0t=2時，有z1=3一個極點(diǎn). 線性離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型有差分方程、脈沖傳遞函數(shù)和離散狀態(tài)空間表達(dá)式三種。離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型 將輸入序列x(n)，n=1，2，變換為輸出序列y(n)的一種變換關(guān)系，稱為離散系統(tǒng)。 記為y(n)=Fx(n)其中，x(n) 和y(n)可以理解為t=nT時，系統(tǒng)的輸入序列x(nT)和輸出序列y(nT），T為采樣周期

18、。線性離散系統(tǒng)線性離散系統(tǒng) 如果離散系統(tǒng)滿足疊加原理，則稱為線性離散系統(tǒng)，有如下關(guān)系式若2211）（）（，）（）（nxFnynxFny且有）（）（）（nbxnaxnx21其中和為任意常數(shù)，則）（）（）（）（）（）（nbynaynbxnaxFnxFny2121線性定常離散系統(tǒng)線性定常離散系統(tǒng) 輸入與輸出關(guān)系不隨時間而改變的線性離散系統(tǒng)稱為線性定常離散系統(tǒng)。一、差分方程一、差分方程 對于一般的線性定常離散系統(tǒng)，k時刻的輸出y(k)不但與k時刻的輸入x(k)有關(guān)，而且與k時刻以前的輸入x(k1)，x(k2),有關(guān)，同時還與k時刻以前的輸出y(k1),y(k2),有關(guān)。這種關(guān)系可以用下列階后向差分方程

19、描述：）（）（）（）（）（）（）（mkxmbkxbkxbnkynakyakyaky11022111 1 差分方程描述差分方程描述上式可表示為上式可表示為nimjjkxjbikyiaky10）（）（）（ 式中式中a和和b為常數(shù)為常數(shù)mn，上式稱為階線性常，上式稱為階線性常系數(shù)差分方程，它在數(shù)學(xué)上代表一個線性定常離系數(shù)差分方程，它在數(shù)學(xué)上代表一個線性定常離散系統(tǒng)。散系統(tǒng)。 圖8-13：離散系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖 如圖7-13所示采樣系統(tǒng)描述它的一階微分方程為：)()()()()()()(tkrtkytytkytkrtkety其一階差分方程為)()() 1() 1(kTkTrkTykTTky2 2 差分方程求解

20、差分方程求解 常用方法有迭代法和z變換法。迭代法非常簡單?？梢娎?-13。 Z變換法的實(shí)質(zhì)是利用變換法的實(shí)質(zhì)是利用z變換的實(shí)數(shù)位移定理，變換的實(shí)數(shù)位移定理，將差分方程化為以將差分方程化為以z為變量的代數(shù)方程，然后進(jìn)為變量的代數(shù)方程，然后進(jìn)行行z反變換，求出各采樣時刻的響應(yīng)。反變換，求出各采樣時刻的響應(yīng)。Z變換法的變換法的具體步驟是：具體步驟是：對差分方程進(jìn)行z變換；解出方程中輸出量的z變換Y(z)；求Y(z)的z反變換，得差分方程的解y(k)。 例例7-13 已知差分方程y(k)=x(k)+5y(k1)6y(k2) 輸入序列x(k)=1，初始條件為y(0)=0,y(1)=1，試用迭代法求出輸出

21、序列y(k)，k =0，1，2，10。解：解：根據(jù)初始條件及遞推關(guān)系，得y(0)=0y(1)=1y(2)=x(2)+5y(1)-6y(0)=6y(3)=x(3)+5y(2)-6y(1)=25y(4)=x(4)+5y(3)-6y(2)=90y(10)=x(10)+5y(9)-6y(8)=86526 例例7-14 用Z變換法解二階差分方程02132）（）（）（kykyky100）（，）（Tyy解：解：對上式z變換可得22( )(0)(1)3( )3(0)2 ( )0z Y zz yzyzY zzyY zzyyzyzYzz)0(3) 1 ()0()()23(22代入初始條件，得，2123)()()2

22、3(22zzzzzzzzYzzYzzkkky)2() 1()(,得）（）（）（）（）（TtTtTtTtty4103522*圖7-14 例7-14的解 二二 脈沖傳遞函數(shù)脈沖傳遞函數(shù) 在線性連續(xù)系統(tǒng)中，我們把初始條件為零的在線性連續(xù)系統(tǒng)中，我們把初始條件為零的條件下系統(tǒng)條件下系統(tǒng)(或環(huán)節(jié)或環(huán)節(jié))輸出信號的拉氏變換與輸入信輸出信號的拉氏變換與輸入信號的拉氏變拉之比，定義為傳遞函數(shù)，并用它來號的拉氏變拉之比，定義為傳遞函數(shù)，并用它來描述系統(tǒng)描述系統(tǒng)(或環(huán)節(jié)或環(huán)節(jié))的特性。的特性。 與此相類似，在線性離散系統(tǒng)中，我們把初與此相類似，在線性離散系統(tǒng)中，我們把初始條件為零的條件下系統(tǒng)始條件為零的條件下系統(tǒng)

23、(或環(huán)節(jié)或環(huán)節(jié))的輸出離散信號的輸出離散信號的的Z變換與輸入離散信號的變換與輸入離散信號的z變換之比，定義為脈變換之比，定義為脈沖傳遞函數(shù)，又稱為沖傳遞函數(shù)，又稱為z傳遞函數(shù)。脈沖傳遞函數(shù)是傳遞函數(shù)。脈沖傳遞函數(shù)是離散系統(tǒng)的一個重要概念，是分析離散系統(tǒng)的有離散系統(tǒng)的一個重要概念，是分析離散系統(tǒng)的有力工具。力工具。圖圖7-15 7-15 離散系統(tǒng)脈沖傳遞函數(shù)離散系統(tǒng)脈沖傳遞函數(shù) 1 脈沖傳遞函數(shù)的定義脈沖傳遞函數(shù)的定義 在零初始條件下，線性定常離散系統(tǒng)的離散輸在零初始條件下，線性定常離散系統(tǒng)的離散輸出信號出信號z變換與離散輸入信號變換與離散輸入信號z變換之比，稱為該系變換之比，稱為該系統(tǒng)的脈沖傳

24、遞函數(shù)（或統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)（或z傳遞函數(shù)）。傳遞函數(shù)）。）（）（）（zXzYzG應(yīng)該指出，多數(shù)實(shí)際采樣系統(tǒng)的輸出信號是連續(xù)信應(yīng)該指出，多數(shù)實(shí)際采樣系統(tǒng)的輸出信號是連續(xù)信號，如圖號，如圖8-15所示，在這種情況下，可以在輸出端所示，在這種情況下，可以在輸出端虛設(shè)一個采樣開關(guān)，并設(shè)它與輸入采樣開關(guān)以相同虛設(shè)一個采樣開關(guān)，并設(shè)它與輸入采樣開關(guān)以相同的采樣周期的采樣周期T同步工作。這樣就可以沿用脈沖傳遞同步工作。這樣就可以沿用脈沖傳遞函數(shù)的概念。函數(shù)的概念。 由于由于(t)的拉氏變換等于的拉氏變換等于1，所以輸出量的拉，所以輸出量的拉氏變換氏變換y(s)=G(s)，進(jìn)一步有，進(jìn)一步有y(s)=L-1G

25、(s) 。習(xí)慣。習(xí)慣上將脈沖響應(yīng)函數(shù)用上將脈沖響應(yīng)函數(shù)用g(t)表示，即表示，即g(t)= L1G(s)。 如果在如果在G(s)上加的是上加的是(ta) ，即延遲到，即延遲到a時時刻才將脈沖函數(shù)加上，那么輸出信號也自然地延刻才將脈沖函數(shù)加上，那么輸出信號也自然地延遲一段時間遲一段時間a，而成為，而成為g(ta) 。 再研究一系列脈沖依次到再研究一系列脈沖依次到G(s)上的情況。脈沖上的情況。脈沖序列序列x*(t)可以表示成可以表示成)2()2()()()()0()(*TtTxTtTxtxtx 現(xiàn)在分析一個孤立的單位脈沖函數(shù)現(xiàn)在分析一個孤立的單位脈沖函數(shù)(t) 加在線加在線性對象性對象G(s)上

26、的情況。上的情況。 在在0tT時間內(nèi)，實(shí)際起作用的只有時間內(nèi)，實(shí)際起作用的只有t=0時刻時刻加入的那一個脈沖，其余各個脈沖尚未加入。因加入的那一個脈沖，其余各個脈沖尚未加入。因此在這段時間內(nèi)的輸出量是此在這段時間內(nèi)的輸出量是y(t)=x(0)g(t),將將t=0代代入上式得入上式得y(0)=x(0)g(0) 。在。在Tt0，2.736-0.632k0，即k4.33。四、采樣周期與開環(huán)增益對穩(wěn)定性的影響四、采樣周期與開環(huán)增益對穩(wěn)定性的影響例例7-21 設(shè)有零階保持器的離散系統(tǒng)如圖7-24所示，試求：（1）當(dāng)采樣周期T分別為1(s)，0.5(s)時，系統(tǒng)的臨界開環(huán)增益Kc。（2）當(dāng)r(t)=1(t

27、)，K=1，T分別為0.1，1，2，4(s)時，系統(tǒng)的輸出響應(yīng)c(kT)。圖7-24 例7-21離散系統(tǒng))(1()1 () 1()1 ()(1)(SSk12TezztTeTezTTekZzzG0)368. 0264. 0()368. 1368. 0()(2kzkzzD0)104. 0736. 2()528. 0264. 1 (632. 0)(2kwkkwwD由勞斯判據(jù)KC=2.4W域（T=0.5時）：0)017. 0214. 3()18. 0786. 0(197. 0)(2kwkkwwD解：由勞斯判據(jù)KC=4.37)(1)()(zGzGz)1 ()1 () 1()1 () 1(2TTTTTTT

28、TeTeeKzeTeKzTeezTeK且由 ，可求得C(z)表達(dá)式 1)(zzzR 取K=1，T=0.1, 1, 2, 4s，可由C(z)求Z反變換得到c(kT)，見圖7-25圖7-25 不同T時的響應(yīng) 線性連續(xù)系統(tǒng)的計(jì)算穩(wěn)態(tài)誤差方法都可以推廣到采樣系統(tǒng)中來。下面僅介紹穩(wěn)態(tài)誤差系數(shù)的計(jì)算。設(shè)單位反饋采樣系統(tǒng)如圖7-26所示：圖7-26 單位反饋離散系統(tǒng) 系統(tǒng)的開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)為G(z) 采樣系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差除可從輸出信號在各采樣時刻上的數(shù)值c(nT) (n=0，1，2)，以及從過渡過程曲線c(t)求取外，還可以應(yīng)用Z變換的終值定理來計(jì)算。( )( )( ) ( ),( )1( )G zY zz

29、R zzG z ( )( )( )( )( )( )1( )1( )( ) ( )1( )eG zE zR zY zR zR zG zR zz R zG z 利用z變換的終值定理求出采樣瞬時的穩(wěn)態(tài)誤差)(1)() 1(lim)() 1(lim)(lim)(11*zGzRzzEzteezzt上式表明，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差與G(z)及輸入信號的形式有關(guān)。 與線性連續(xù)系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差分析類似引出離散系統(tǒng)型別的概念，由于 的關(guān)系，原線性連續(xù)系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)G(s)在s=0處極點(diǎn)的個數(shù)v作為劃分系統(tǒng)型別的標(biāo)準(zhǔn)，可推廣為將離散系統(tǒng)開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)G(z)在z=1處極點(diǎn)的數(shù)目v作為離散系統(tǒng)的型別,稱v=0,1,2,.

30、的系統(tǒng)為0型、I型、II型離散系統(tǒng)。sTez 下面考查幾種典型輸入作用下的穩(wěn)態(tài)誤差。(1)單位階躍輸入時的穩(wěn)態(tài)誤差單位階躍輸入時的穩(wěn)態(tài)誤差pzzzkzGzzzGzzEze1)(1 lim11)(1) 1(lim)() 1(lim)(111式中 稱為靜態(tài)位置誤差系數(shù)。 )(1 lim1zGkzp 對0型離散系統(tǒng)（沒有z=1的極點(diǎn)），則Kp,從而e()0；對I型、II型以上的離散系統(tǒng)（有一個或一個以上 z=1的極點(diǎn)），則 Kp=，從而e()=0。 因此，在單位階躍函數(shù)作用下，0型離散系統(tǒng)在采樣瞬時存在位置誤差；I型或II型以上的離散系統(tǒng)，在采樣瞬時沒有位置誤差。這與連續(xù)系統(tǒng)十分相似。（2）單位斜坡

31、輸入時的穩(wěn)態(tài)誤差）單位斜坡輸入時的穩(wěn)態(tài)誤差vzzzkTzGzTzTzzGzzEze)() 1(lim) 1()(1) 1(lim)() 1(lim)(1211式中 稱為靜態(tài)速度誤差系數(shù)。 因?yàn)?型系統(tǒng)的kv=0， I型系統(tǒng)的為有限值，II型和II型以上系統(tǒng)的 ，所以有如下結(jié)論：0型離散系統(tǒng)不能承受單位斜坡函數(shù)作用，I型離散系統(tǒng)在單位斜坡函數(shù)作用下存在速度誤差，II型和II型以上離散系統(tǒng)在單位斜坡函數(shù)作用下不存在穩(wěn)態(tài)誤差。)() 1(lim1zGzkzv（3）單位加速度輸入時的穩(wěn)態(tài)誤差）單位加速度輸入時的穩(wěn)態(tài)誤差azzzkTzGzTzzzTzGzzEze22123211)() 1(lim) 1(

32、2) 1()(1) 1(lim)() 1(lim)( 當(dāng)然，上式也是系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)位置誤差，并稱為加速度誤差。式中 稱為靜態(tài)加速度誤差系數(shù)。)() 1(lim21zGzkza 由于0型及I型系統(tǒng)的ka=0，II型系統(tǒng)的為常值，III型及III型以上系統(tǒng)的， ka=,因此有如下結(jié)論成立： 0型及型及I型離散系統(tǒng)不能承受單位加速度函數(shù)型離散系統(tǒng)不能承受單位加速度函數(shù)作用，作用，II型離散系統(tǒng)在單位加速度函數(shù)作用于下型離散系統(tǒng)在單位加速度函數(shù)作用于下存在加速度誤差，只有存在加速度誤差，只有III型及型及III型以上的離散型以上的離散系統(tǒng)在單位加速度函數(shù)作用下，才不存在采樣瞬系統(tǒng)在單位加速度函數(shù)作用下，才

33、不存在采樣瞬時的穩(wěn)態(tài)位置誤差時的穩(wěn)態(tài)位置誤差。 在線性連續(xù)系統(tǒng)中，閉環(huán)傳遞函數(shù)零、極點(diǎn)在S平面的分布對系統(tǒng)的暫態(tài)響應(yīng)有非常大的影響。與此類似，離散系統(tǒng)的暫態(tài)響應(yīng)與閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)零、極點(diǎn)在z平面的分布也有密切的關(guān)系。一、離散控制系統(tǒng)閉環(huán)極點(diǎn)分布和暫態(tài)響應(yīng)的關(guān)系一、離散控制系統(tǒng)閉環(huán)極點(diǎn)分布和暫態(tài)響應(yīng)的關(guān)系 設(shè)閉環(huán)系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)為nnnnnmmmmmazazazazabzbzbzbzbzNzMz122110122110)()()（式中m0時， （令 ） akTikiiieApAkTy)(ipTaln1動態(tài)過程為按指數(shù)規(guī)律變化脈沖序列。pi 1，閉環(huán)復(fù)數(shù)極點(diǎn)位于z平面上的單位圓外，動態(tài)響應(yīng)為振蕩

34、脈沖序列； 若| pk |=1，閉環(huán)復(fù)數(shù)極點(diǎn)位于z平面上的單位圓上，動態(tài)響應(yīng)為等幅振蕩脈沖序列； 若| pk |1，閉環(huán)復(fù)數(shù)極點(diǎn)位于z平面上的單位圓內(nèi)，動態(tài)響應(yīng)為振蕩收斂脈沖序列,且| pk |越小,即復(fù)極點(diǎn)越靠近原點(diǎn),振蕩收斂越快； 閉環(huán)復(fù)數(shù)極點(diǎn)分布與相應(yīng)動態(tài)響應(yīng)形式的關(guān)系，如圖7-28所示圖7-28 復(fù)數(shù)極點(diǎn)分布與響應(yīng)的關(guān)系 通過以上的分析可以看出，閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)的極點(diǎn)在z平面上的位置決定相應(yīng)暫態(tài)分量的性質(zhì)和特點(diǎn)。 當(dāng)閉環(huán)極點(diǎn)位于單位圓內(nèi)時，其對應(yīng)的暫態(tài)分量是衰減的。極點(diǎn)離原點(diǎn)越近衰減越快。若極點(diǎn)位于正實(shí)軸上，暫態(tài)分量按指數(shù)衰減。一對共扼復(fù)數(shù)極點(diǎn)的暫態(tài)分量為振蕩衰減，其角頻率為kT。若極

35、點(diǎn)位于負(fù)實(shí)軸上，也將出現(xiàn)衰減振蕩，其振蕩角頻率為T。為了使采樣系統(tǒng)具有較為滿意的暫態(tài)響應(yīng)，其z傳遞函數(shù)的極點(diǎn)最好分布在單位圓內(nèi)的右半部靠近原點(diǎn)的位置。 在線性連續(xù)系統(tǒng)中采用的，根據(jù)一對主導(dǎo)極點(diǎn)分析系統(tǒng)暫態(tài)響應(yīng)的方法，也可以推廣到采樣系統(tǒng)。 綜上所述,離散系統(tǒng)的動態(tài)特性與閉環(huán)極點(diǎn)的分布密切相關(guān)。當(dāng)閉環(huán)實(shí)極點(diǎn)位于z平面上左半單位圓內(nèi)時,由于輸出衰減脈沖交替變號,故動態(tài)過程質(zhì)量很差;當(dāng)閉環(huán)復(fù)極點(diǎn)位于左半單位圓內(nèi)時,由于輸出衰減高頻振蕩脈沖,故動態(tài)過程性能欠佳。因此因此,在離散系統(tǒng)設(shè)計(jì)時在離散系統(tǒng)設(shè)計(jì)時,應(yīng)把閉環(huán)極點(diǎn)安置在應(yīng)把閉環(huán)極點(diǎn)安置在z平平面的右半單位圓內(nèi)面的右半單位圓內(nèi),且盡量靠近極點(diǎn)。且盡量

36、靠近極點(diǎn)。例例7-22 若系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖7-29所示，試求其單位階躍響應(yīng)的離散值，并分析系統(tǒng)的動態(tài)性能。采樣周期T=0.2秒。圖圖7-29 7-29 例例7-227-22系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖 解：解：系統(tǒng)的閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)為0173. 06048. 07728. 00198. 04990. 03805. 0)(232zzzzzz當(dāng)輸入量r(t)=1(t)時，R(z)=z/(z1)，輸出量的z變換為：10173. 06408. 07728. 00198. 04990. 03805. 0)()()(232zzzzzzzzRzzY0173. 05875. 03776. 17728. 10198. 04

37、490. 03805. 023423zzzzzzz利用長除法得1413121110987654321005. 1960. 0942. 0989. 0079. 1118. 1025. 1842. 0760. 0945. 0313. 1488. 1124. 1381. 0)(zzzzzzzzzzzzzzzY基于z變換定義，由上式求得系統(tǒng)在單位階躍外作用下的輸出序列y(kT)為005. 1)14(118. 1)9(313. 1)4(960. 0)13(025. 1)8(488. 1)3(942. 0)12(842. 0)7(124. 1)2(989. 0)11(760. 0)6(381. 0)(07

38、9. 1)10(945. 0)5(0)0(TyTyTyTyTyTyTyTyTyTyTyTyTyTyy 根據(jù)上面各離散點(diǎn)數(shù)據(jù)繪出系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)曲線如圖7-30示。 由圖求得給定離散系統(tǒng)的近似性能指標(biāo)為：%48%),(6 .0),(4 .0超調(diào)量峰值時間上升時間ststpr圖圖7-30 7-30 單位階躍響應(yīng)曲線單位階躍響應(yīng)曲線 在設(shè)計(jì)離散控制系統(tǒng)的過程中，為了滿足性能指在設(shè)計(jì)離散控制系統(tǒng)的過程中，為了滿足性能指標(biāo)的要求，常常需要對系統(tǒng)進(jìn)行校正。與連續(xù)控制標(biāo)的要求，常常需要對系統(tǒng)進(jìn)行校正。與連續(xù)控制系統(tǒng)相類似，離散控制系統(tǒng)中的校正裝置按其在系系統(tǒng)相類似，離散控制系統(tǒng)中的校正裝置按其在系統(tǒng)中的位置

39、可分為串聯(lián)校正裝置和反饋校正裝置；統(tǒng)中的位置可分為串聯(lián)校正裝置和反饋校正裝置；按其作用可分為超前校正和遲后校正。與連續(xù)系統(tǒng)按其作用可分為超前校正和遲后校正。與連續(xù)系統(tǒng)所不同的是，離散系統(tǒng)中的校正裝置不僅可以用模所不同的是，離散系統(tǒng)中的校正裝置不僅可以用模擬電路來實(shí)現(xiàn)，而且也可以用數(shù)字裝置來實(shí)現(xiàn)。擬電路來實(shí)現(xiàn)，而且也可以用數(shù)字裝置來實(shí)現(xiàn)。 在一般情況下，線性離散系統(tǒng)采取數(shù)字校正的在一般情況下，線性離散系統(tǒng)采取數(shù)字校正的目的，是在使系統(tǒng)穩(wěn)定的基礎(chǔ)上進(jìn)目的，是在使系統(tǒng)穩(wěn)定的基礎(chǔ)上進(jìn)步提高系統(tǒng)的步提高系統(tǒng)的控制性能，如滿足一些典型控制信號作用下系統(tǒng)在控制性能，如滿足一些典型控制信號作用下系統(tǒng)在采樣時刻

40、上無穩(wěn)態(tài)誤差，以及過渡過程在最少個采采樣時刻上無穩(wěn)態(tài)誤差，以及過渡過程在最少個采樣周期內(nèi)結(jié)束等項(xiàng)要求。樣周期內(nèi)結(jié)束等項(xiàng)要求。 一、一、 數(shù)字控制器的脈沖傳遞函數(shù)數(shù)字控制器的脈沖傳遞函數(shù)D(z) 如圖7-31所示的線性離散系統(tǒng)(線性數(shù)字控制系統(tǒng))中，數(shù)字控制器D將輸入的脈沖系列e*(t)作旨在滿足系統(tǒng)性能指標(biāo)要求的適當(dāng)處理后，輸出新的脈沖序列u*(t)。如果數(shù)字控制器對脈沖序列的運(yùn)算是線性的，那么，盡管這里無連續(xù)工作式的元件存在，也可以確定個聯(lián)系輸入脈沖序列e*(t)與輸出脈沖序列u*(t)的脈沖傳遞函數(shù)D(z)。 在確定數(shù)字控制器的脈沖傳遞函數(shù)D(z)時，假設(shè)其前后兩個采樣開關(guān)的動作是同步的，

41、即認(rèn)為計(jì)算過程很快，輸出對輸入沒有明顯地遲后；如果計(jì)算遲后較大，仍可以認(rèn)為輸出輸入是同步采樣的。但這時需在輸出開關(guān)后面附加一個遲后時間等于計(jì)算遲后的遲后環(huán)節(jié)。圖7-31：線性離散系統(tǒng) )()(1)()()()()(zGzDzGzDzRzYz)(1)()()(zzGzzD 在圖7-31所示線性離散系統(tǒng)中，設(shè)反饋通道的傳遞函數(shù)H(s)1，以及連續(xù)部分(包括保持器)G(s)的z變換為G(z)，則求得單位反饋線性離散系統(tǒng)的閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)為)()(11)()()(zGzDzRzEze)()()(1)(zzGzzDee 根據(jù)線性離散系統(tǒng)連續(xù)部分的脈沖傳遞函數(shù)G(z)及系統(tǒng)的閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)或 e(z)便

42、可確定出數(shù)字控制器的脈沖傳遞函數(shù)D(z)。nnmmzazazazazbzbzbbzD332211221101)(數(shù)字控制器脈沖傳遞函數(shù)的一般形式為式中 ai (i1，2，n) 及bi (i0，1，2，m)為常系數(shù)。 為使數(shù)字控制器的脈沖傳遞函數(shù)D(z)具有物理實(shí)現(xiàn)性，在式中，需要有nm的條件存在。當(dāng)nm時，分子多項(xiàng)式中可能缺少前面幾項(xiàng)，但其分母各項(xiàng)式在nm和n=m時并沒有變化，z0項(xiàng)系數(shù)仍為1。因此，分母多項(xiàng)式中z0項(xiàng)系數(shù)的存在，便說明條件nm是成立的。 在這里，對系統(tǒng)控制性能的要求，由閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)(z)或e(z)來反映。因此,在閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)和系統(tǒng)性能指標(biāo)間的聯(lián)系便是需要討論的一個重要

43、問題。二二 最少拍系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)最少拍系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù) 在離散控制過程中，通常把一個采樣周期稱作一拍。具有當(dāng)?shù)湫涂刂菩盘栕饔孟略诓蓸訒r刻上無穩(wěn)態(tài)誤差，以及過渡過程能在最少個采樣周期內(nèi)結(jié)束等項(xiàng)控制性能的離散系統(tǒng)，稱為最少拍系統(tǒng)或有限拍系統(tǒng)。221)(ttrttr)(111)(zzR31112)1 (2)1 ()(zzzTzR211)1 ()(zTzzR)( 1)(ttr 設(shè)典型輸入信號分別為單位階躍信號、單位速度信號和單位加速度信號時，其 z 變換分別為：為使穩(wěn)態(tài)誤差為0， e (z) 中應(yīng)包含 因子。 可見典型輸入信號的Z變換可寫為 其中A(z)是不包含因子(1 z1)的z1 的多項(xiàng)式。

44、rzzAzR)1 ()()(1)()()(zRzEze)()()(zRzzEereezzAzzRzzE)1 ()()()()()(1)()1 ()()1 (lim)()1 (lim11111zzzAzzEzeerzzsrrz)1(1由有利用終值定理，給定穩(wěn)態(tài)誤差為 )()1 ()(1zFzzre設(shè)式中F(z)為不包含(1 z1)的z1的多項(xiàng)式 可見，當(dāng) F(z)=1時，E (z)中包含的z1的項(xiàng)數(shù)最少。離散系統(tǒng)的暫態(tài)響應(yīng)過程可在最少個采樣周期內(nèi)結(jié)束。1( )( )( ) ( )( )= ( ) ( )(1)eerA zE zz R zzF z A zz 因此，rezz)1 ()(1rzz)1

45、(1)(1是無穩(wěn)態(tài)誤差最少拍采樣系統(tǒng)的閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)。 在典型輸入信號分別為單位階躍信號、單位速度信號和單位加速度信號時，可分別求得最少拍采樣系統(tǒng)的閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù) e (z) 、 e (z)及E(z)、C(z)。111)(),( 1)(zzRttr)1 ()(1zze1)(zz)1)()()()()()()(1)(11zzGzzzGzzzGzzDeee當(dāng)，或r=1時得于是且有1)()()(zRzzEenzzzzzzzC3211111)(0)2()(, 1)0(TeTee1)2()(, 0)0(TcTcc表明：可見最少拍離散系統(tǒng)經(jīng)過一拍便可完全跟蹤階躍輸入，其調(diào)節(jié)時間ts=T 。211)1

46、()(,)(zTzzRttr212121)1 ()(zzzze21212)1 (1)(zzzz當(dāng)或 r=2時得于是)21)(2)()()()(2121zzzGzzzzGzzDe且有1)()()(TzzRzzEennTzTzTzzTzzzzC322112132)1 ()2()(表明：0)3()2(,)(, 0)0(TeTeTTeenTnTcTTcTTcTcc)(3)3(,2)2(, 0)()0( 可見最少拍離散系統(tǒng)經(jīng)過二拍便可完全跟蹤斜坡輸入，其調(diào)節(jié)時間ts=2T 。當(dāng),21)(2ttr31112)1 (2)1 ()(zzzTzR或r=3時得31)1 ()(zze3213133)1 (1)(zz

47、zzz31321)1)(33)()()()(zzGzzzzzGzzDe于是且有22122121)()()(zTzTzRzzEenzTnzTzTzzzTzzzzC2232223111232122923)1 (2)1 ()33()(表明：0)3()2(, 0)()0(TeTeTee2222)(,23)2(, 0)()0(TnnTcTTcTcc 可見最少拍離散系統(tǒng)經(jīng)過三拍便可完全跟蹤拋物輸入，其調(diào)節(jié)時間ts=3T 。 最少拍系統(tǒng)反應(yīng)位置階躍輸入、速度輸入及加速輸入信號時的過渡過程c*(t)，分別示于圖7-32，圖7-33，圖7-34。圖圖7-32 7-32 最少拍階躍輸入過渡過程最少拍階躍輸入過渡過

48、程圖圖7-33 7-33 最少拍斜坡輸入過渡過程最少拍斜坡輸入過渡過程圖圖7-34 7-34 最少拍拋物輸入過渡過程最少拍拋物輸入過渡過程求取數(shù)字控制器的脈沖傳遞函數(shù)求取數(shù)字控制器的脈沖傳遞函數(shù)D(z) 當(dāng)線性離散系統(tǒng)的典型輸入信號的形式確定當(dāng)線性離散系統(tǒng)的典型輸入信號的形式確定后，如果開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)后，如果開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)G(z)不含傳遞遲后，不含傳遞遲后，以及以及G(z)在單位圓上及單位圓外既無極點(diǎn)也無零在單位圓上及單位圓外既無極點(diǎn)也無零點(diǎn)，便可由表點(diǎn)，便可由表7-3選取相應(yīng)的最少拍系統(tǒng)的閉環(huán)脈選取相應(yīng)的最少拍系統(tǒng)的閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)。這時，由選定的閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)沖傳遞函數(shù)。這時，由選定

49、的閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)e(z)(或或e(z)，便可求得確保線性離散系統(tǒng)成為，便可求得確保線性離散系統(tǒng)成為最少拍系統(tǒng)的數(shù)字控制器的脈沖傳遞函數(shù)最少拍系統(tǒng)的數(shù)字控制器的脈沖傳遞函數(shù)D(z)。例例7-23 設(shè)單位反饋線性離散系統(tǒng)的連續(xù)部分及設(shè)單位反饋線性離散系統(tǒng)的連續(xù)部分及零階保持器的傳遞函數(shù)分別為零階保持器的傳遞函數(shù)分別為) 1(10)(0sssGsesGTsh1)(其中其中T為采樣周期；已知為采樣周期；已知T1秒，試求取在斜坡秒，試求取在斜坡輸入信號輸入信號r(t)=t作用下，能使給定系統(tǒng)成為最少拍作用下，能使給定系統(tǒng)成為最少拍系統(tǒng)的數(shù)字控制器的脈沖傳遞函數(shù)系統(tǒng)的數(shù)字控制器的脈沖傳遞函數(shù)D(z)。解解 根據(jù)