1、第七章第七章 平板彎曲問題的有限元分析平板彎曲問題的有限元分析1四四 教學(xué)基本內(nèi)容教學(xué)基本內(nèi)容第七章第七章 平板彎曲問題的有限元分析平板彎曲問題的有限元分析 第一節(jié)第一節(jié) 引言引言 第二節(jié)第二節(jié) 基于薄板理論的非協(xié)調(diào)板單元基于薄板理論的非協(xié)調(diào)板單元 第三節(jié)第三節(jié) 考慮橫向剪切變形影響的平板彎曲單元考慮橫向剪切變形影響的平板彎曲單元 第四節(jié)第四節(jié) 坐標(biāo)變換坐標(biāo)變換 第五節(jié)第五節(jié) 總體剛度列陣和荷載列陣形成總體剛度列陣和荷載列陣形成 第六節(jié)第六節(jié) 總體剛度修正總體剛度修正 第七節(jié)第七節(jié) 求解節(jié)點(diǎn)位移分量、計(jì)算單元內(nèi)力和應(yīng)力求解節(jié)點(diǎn)位移分量、計(jì)算單元內(nèi)力和應(yīng)力2o 工程中存在廣泛的板殼結(jié)構(gòu),在幾何上

2、一個(gè)方向的尺寸遠(yuǎn)小于其他兩個(gè)方向的尺寸,這類問題可以簡(jiǎn)化二維問題.o 基于保持Kirchhoff板（薄板）理論-直法線假定，即原垂直與中面的直線在變形后仍垂直與變形后的中面，且長(zhǎng)度不變；o 基于考慮橫向剪切變形的Mindlin平板（中厚）理論-此理論認(rèn)為原來保持垂直與板中面的直線在變形后仍保持為直線，但因?yàn)闄M向剪切變形的結(jié)果，不一定在垂直與變形后的中面。7.1 引言引言34特別注意：彎矩特別注意：彎矩 使板的橫截面使板的橫截面 的一側(cè)產(chǎn)生正號(hào)的一側(cè)產(chǎn)生正號(hào)的正應(yīng)力的正應(yīng)力 時(shí)為正；正號(hào)扭矩使板的橫截面上時(shí)為正；正號(hào)扭矩使板的橫截面上 的的一側(cè)產(chǎn)生正號(hào)的剪應(yīng)力時(shí)為正，橫向剪力是使板的橫截面產(chǎn)一側(cè)

3、產(chǎn)生正號(hào)的剪應(yīng)力時(shí)為正，橫向剪力是使板的橫截面產(chǎn)生正號(hào)的剪應(yīng)力為正。上圖中符號(hào)都為正。生正號(hào)的剪應(yīng)力為正。上圖中符號(hào)都為正。注意注意 指向指向。1 板殼結(jié)構(gòu)的內(nèi)力定義板殼結(jié)構(gòu)的內(nèi)力定義單位長(zhǎng)度上的彎矩、扭矩、剪力滿足：,xyMM0z ,xy 0z ,xyMM2 Kirchhoff薄板理論（不考慮剪切變形）yzwxwyxzwywxxywywx 中面法線繞x軸的轉(zhuǎn)動(dòng)：中面法線繞y軸的轉(zhuǎn)動(dòng)：薄板中面的撓度：( , )( , ,0)ww x yw x y z5直法線假定忽略厚度方向的應(yīng)力中面無橫向變形0 xzyz0z( , ,0)( , ,0)0u x y zv x y z進(jìn)一步結(jié)合直法線假定，可以推

4、論出：( , , )( , , )yxwu x y zzzxwv x y zzzy 0z且直法線保持長(zhǎng)度不變6基本假定和特征zxyxyuxvyuvyx222222xyxywzxwzywzx y 幾何方程222222wxwywx y 7記則有中各個(gè)分量分別代表薄板彎曲在x方向和y方向的曲率，以及x和y方向的扭率PPzD D 物理方程（對(duì)于各向同性材料）z平面應(yīng)力問題的彈性矩陣8xz3 Mindlin板理論 (考慮剪切變形的影響)w ()yywx xz法線保持直線，但不再垂直中面。撓度w和轉(zhuǎn)角 是各自獨(dú)立的場(chǎng)函數(shù)且它們?nèi)咧g應(yīng)滿足位移協(xié)調(diào)條件。9, xy0zwz0 xzyz0,0zuxwzvyw

5、xzyz 如圖所示的薄板，取右手坐標(biāo)系oxyz，使坐標(biāo)平面oxy位于板的中面，根據(jù)假設(shè)知：w僅為x、y的函數(shù)，而與z無關(guān)，即w = w ( x , y )同時(shí)根據(jù)假定有圖 7-17.2 基于薄板理論的非協(xié)調(diào)板單元（直法線假設(shè)）一 矩形單元10ywzvxwzu,ywxw,),(, ),(21yxfywzvyxfxwzu),(1yxf),(2yxf得上面兩式分別對(duì)z積分，并注意 ，即與z無關(guān)，得式中 和 是x，y的任意函數(shù)。110,000zzvuywzvxwzu, 根據(jù)假設(shè)中面部產(chǎn)生應(yīng)變的假定)，可得而 w = w ( x , y )式中u，v和w是板內(nèi)某點(diǎn)對(duì)于坐標(biāo)軸方向的位移分量。從上面二式可以

6、看出，在平板中面各點(diǎn)u = v = 0，它不產(chǎn)生平面方向的位移，也就是中面不伸長(zhǎng)。同時(shí)，平板中面的撓度w可以表示板內(nèi)各點(diǎn)的撓度，因?yàn)樗妥鴺?biāo)z無關(guān)。 (7-1)12(7-2) 利用幾何方程，可以得到板內(nèi)各點(diǎn)的應(yīng)變分量是 yxwywxwzxvyuyvxuxyyx222222(7-3)13z yxwywxwDzDxyyx2222222100010112ED 根據(jù)薄板的簡(jiǎn)化假定，我們可以把 略去不計(jì)，于是板內(nèi)各點(diǎn)的應(yīng)力可以用撓度表示為式中 (7-5) (7-4)是平板的彈性矩陣，它和平面應(yīng)力問題中的彈性矩陣完全相同。14yx,xy yxwywxwDhdzzMMMMhhxyyx22222322212

7、從平板理論知道，若取微元hdxdy，那么在微元上作用著彎矩Mx，My和扭矩Mxy；它是由正應(yīng)力 和剪應(yīng)力 在板截面上的合力矩。如果Mx，My和Mxy表示單位寬度上的內(nèi)力矩，于是有式中h是平板厚度。內(nèi)力矩的正方向如圖。(7-36)15Mhz312Mhhz226 比較(7-4)式和(7-6)式，可以得到用內(nèi)力矩表示的平板應(yīng)力特別是在平板的上下表面處應(yīng)力為最大，它是 由以上各式可以看到，平板中面撓度w可以作為基本未知量。如果撓度w為已知，則板中位移、內(nèi)力和應(yīng)力均可按照上述公式計(jì)算。(7-7)16(7-8) 下面開始講述平板彎曲的有限單元法。 將平板中面用一系列矩形單元?jiǎng)澐郑玫揭粋€(gè)離散的系統(tǒng)以代替原

8、來的平板，欲使各單元至少在結(jié)點(diǎn)上有撓度及其斜率的連續(xù)性，必須把撓度及其在x和y方向的一階偏導(dǎo)數(shù)指定為結(jié)點(diǎn)位移（或稱廣義位移）。通常將結(jié)點(diǎn)i的位移列陣寫成iiiyixiiixwywww(7-9)1矩形單元的位移模式zyxwwxyxiyi17iyixiiMMWRyx,yxMM, 與之相對(duì)應(yīng)的結(jié)點(diǎn)力列陣可以表示為 它們的符號(hào)規(guī)定：對(duì)于撓度w和與之對(duì)應(yīng)的結(jié)點(diǎn)力W以沿z軸的正方向?yàn)檎?；?duì)于轉(zhuǎn)角 和與之對(duì)應(yīng)的結(jié)點(diǎn)力矩 方向一致為正 則按右手定則標(biāo)出的矢量沿坐標(biāo)軸正方向?yàn)檎?。圖7-1中標(biāo)出的位移和力的方向均為正。 (7-9)18o31231131029283726524321aaaaaaaaaaaaw 對(duì)于

9、矩形單元，如平面問題中引入一個(gè)自然坐標(biāo)系 來研究單元特性。由于矩形單元的每個(gè)結(jié)點(diǎn)有三個(gè)位移分量，一個(gè)單元有四個(gè)結(jié)點(diǎn)共有十二個(gè)結(jié)點(diǎn)位移分量，因此我們選取含有十二個(gè)參數(shù)的多項(xiàng)式作為位移模式，即(7-10)19 最后兩項(xiàng)的選取是使在單元邊界有三次式的形式。按照上式可以算出轉(zhuǎn)角為)3322(1212311210928653aaaaaaaabbwywx (7-11)3232(131221129827542aaaaaaaaaawxwy20ii,4141)(iiiiyiyixixiiiNNNwNw eNw TTTTTeNNNNN43214321 將矩形單元的四個(gè)結(jié)點(diǎn)坐標(biāo) 分別代入(7-10)式和(7-11)

10、式，就可以得到用十二個(gè)參數(shù)表示結(jié)點(diǎn)位移分量的聯(lián)立方程組，求解這十二個(gè)方程，從中解出a1至a12再代入(7-10)式，經(jīng)歸并整理后就可以改寫成如下形式或者寫成標(biāo)準(zhǔn)形式其中 (7-13)(7-12)21)4 , 3 , 2 , 1( iNNNNiyixii8/ )1( )1( )1(8/ )1( )1( )1(8/ )2( )1( )1(200200220000iiyiixiaNbNN00i0i0如果把形函數(shù)寫成通式于是其中記號(hào) 和 分別是 ， 。(c) (7-14)22 由(7-12)式可以看到，整個(gè)薄板的位移完全由平面在z方向的撓度w所決定，而在中面各點(diǎn)不產(chǎn)生x和y方向位移。因此薄板所可能產(chǎn)生

11、的剛性位移就只有沿z方向的平動(dòng)以及繞x和y軸的轉(zhuǎn)動(dòng)，而對(duì)于z軸方向的旋轉(zhuǎn)是沒有的。位移模式(7-10)式中是前三項(xiàng)反映了薄板單元的這三個(gè)剛體位移。再由(7-3)式看到，板內(nèi)各點(diǎn)的應(yīng)變完全由撓度w的三個(gè)二階導(dǎo)數(shù)所決定。如果這三個(gè)二階導(dǎo)數(shù)不隨坐標(biāo)而變化，則描述平板單元的一個(gè)常應(yīng)變狀態(tài)，(7-10)式中的第四、五、六三個(gè)二次項(xiàng)反映了這個(gè)常應(yīng)變狀態(tài)（或稱常曲率狀態(tài)）。因此，我們總是能夠保證存在一組結(jié)點(diǎn)位移，可以反映單元的剛體位移和常應(yīng)變狀態(tài)，因此，這個(gè)矩形單元是完備的。 從(7-3)式和(7-4)式可以看出，應(yīng)變和應(yīng)力是有撓度w的二階偏導(dǎo)數(shù)所決定。因此，如果要得到一個(gè)協(xié)調(diào)的單元還要求在單元的交界面上有

12、斜率的連續(xù)性(即C1連續(xù)性，n-1階），這個(gè)要求經(jīng)常使問題復(fù)雜化。23swnw1 342321ccccwc 由(7-12)和(7-14)式可以看出，在單元邊界上撓度和撓度沿切線邊界方向的偏導(dǎo)數(shù)，可以通過邊界上的結(jié)點(diǎn)位移所唯一地決定，但是撓度沿邊界法線方向的偏導(dǎo)數(shù)則不然，也就是說，w和 的值在單元交界線之間是連續(xù)的，而對(duì)于 卻不連續(xù)；s表示交界線切線方向而n表示交界線法線方向。因此我們現(xiàn)在所討論的單元是非協(xié)調(diào)元，或稱為不完全協(xié)調(diào)單元。 以 的ij邊界為例說明ssn1n2ij24jjyiiyjiawawww,cywj i 該邊界上兩端點(diǎn)i , j共有4個(gè)已知條件：將這4個(gè)條件代入 中，就可以完全確

13、定4個(gè)常數(shù)c1,c2,c3,c4。如果 邊界 是兩相鄰單元的公共邊界，則兩個(gè)單元分別按上述4 個(gè)條件所確定的常數(shù)c1,c2,c3,c4也一定相同，即兩相鄰單元的公共邊界、上有相同的撓度w。這表明，所選取的位移模式w滿足了相鄰單元的撓度在公共邊界上的連續(xù)條件。25j ix231234xaaaaixibwjjxbwj ix再由式(7-10)的第一式看出，在單元 邊界上的法線轉(zhuǎn)角 也是x（或 ）的三次多項(xiàng)式上式仍需要兩端點(diǎn)i , j有4個(gè)已知條件來確定常數(shù)a1,a2,a3,a4，但是，現(xiàn)在只有 和 兩個(gè)條件，不可能確定出4個(gè)常數(shù)a1,a2,a3,a4。因此，板單元整個(gè) 公共邊界上的法線轉(zhuǎn)角 （即位移

14、法向?qū)?shù)）是不連續(xù)的，只有在公共邊界的兩端點(diǎn)i , j上有共同的法線轉(zhuǎn)角。但是可以驗(yàn)證這種非協(xié)調(diào)元是能夠通過分片試驗(yàn)（即單元滿足常應(yīng)變平衡要求的，所以當(dāng)單元不斷縮小時(shí)，計(jì)算結(jié)果也是收斂的。2631231131029283726524321aaaaaaaaaaaaw(7-10) eeBBBBB4321,2,2,222iiiiiixyiyyixxiiNNbaNababzabNbNaNzNNNzB,ixxiNN2222,iiNxN將(7-12)式代入幾何方程式(7-3)，可以將單元應(yīng)變用結(jié)點(diǎn)位移列陣表示為式中記號(hào) 等分別表示 。 (7-15)(7-16)2矩形單元的剛度矩陣27)123()123()

15、433(4120)31( )1()1(341)1( )31(0)1(341020222,0000,0000,iiiiiiiiiabNabaNbababNab)4 , 3 , 2 , 1( i 按照(c)式和(7-14)式可以算出(d)28 44434241343332312423222114131211kkkkkkkkkkkkkkkkk 221111hhjTijTiijdddabBDBdxdydzBDBk 于是單元?jiǎng)偠染仃嚳梢詫懗扇缦滦问狡渲凶泳仃嚨挠?jì)算公式是(7-17)29ddNNNNbaNNNNNNababDkjTijTijTijTijTiij ,221111,22)1(2)1(1223h

16、ED333231232221131211aaaaaaaaakij 把(7-5)式和(7-6)式代入上式，并完成對(duì)z的積分，于是有式中 它就是彈性薄板的彎曲剛度。如果再利用(d)式把(7-18)式展開并完成全部積分，就可以得到子矩陣(7-18) (7-19) (7-20)30式中的九個(gè)元素的顯式如下120220222102202213022022120022220220221151553235155323515532355414153ababaHbaababHaababaHbaababbaabHaijjjiijii31)3( )3(5)53(12)( )(155155323)( )(15)3(

17、)3(5)53(120022002332332130220223123002200222abHaaaabHaaababHaaabHabaHbajijiijjjiji(7-21) 式中jijiabDH00,6032 1111ddabNqMMWQTiyixiiei)4 , 3 , 2 , 1( iiyiixiibaqMabqMabqW3,3,20200)4 , 3 , 2 , 1( i如果平板單元受有分布橫向載荷q的作用，于是等效結(jié)點(diǎn)力是 當(dāng)q = q0為常量時(shí)，將(7-14)式代入上式并進(jìn)行積分，于是得 (7-22)3矩形單元的等效結(jié)點(diǎn)力和內(nèi)力矩計(jì)算33MM4122222222iihziBhyx

18、wywxw 最后，由(7-17)式知道，若要計(jì)算平板應(yīng)力列陣 ，必需算出內(nèi)力矩列陣 。而對(duì)于 的計(jì)算，只要在(7-33)式和(7-45)式中求得34 6/4122iihziBDhM,2)1()1(iiiiiiNNbaNabNbaNababzEBD)4 , 3 , 2 , 1( i 再把上式代入(7-6)式中，可以得到式中 (7-23)35)123()1()123()1()433()1()1( )31(2)31( )1(2)1(6)1(6)1( )31(2)31( )1(2)1(6)1(6)1(802022200000000000000002iiiiiiiiiabbabaabbabaababzE

19、BD)4 , 3 , 2 , 1( i 若將(d)式代入上式，則得 36392283726524321)(yxyyxxyxyxyxw 由于矩形單元在使用上受到平板形狀的限制，而采用三角形單元可以較好地適應(yīng)邊界形狀。 根據(jù)板單元每個(gè)結(jié)點(diǎn)三個(gè)位移，而三角形單元三個(gè)結(jié)點(diǎn)，于是被采用的位移模式應(yīng)該包含9個(gè)參數(shù)，而x和y的完全三次多項(xiàng)式共計(jì)十項(xiàng)。若以它為基礎(chǔ)構(gòu)造位移模式，必須在其中刪去一項(xiàng)。而三次方項(xiàng)刪去任何一項(xiàng)，都不能保持對(duì)于x和y的對(duì)稱性，有人建議取1三角形單元的位移模式37二 三角形單元 GGe321,LLL133221232221,LLLLLLLLL32121323222112332222133

20、3231,LLLLLLLLLLLLLLLLLL以達(dá)到減少一個(gè)待定系數(shù)并保持對(duì)稱性的目的?？上г诖饲闆r下，對(duì)于二個(gè)邊界分別平行于x軸和y軸的等腰三角形單元，確定 代數(shù)方程系數(shù)矩 是奇異的，因此陣 不能確定，此方案不行。還有另一種方案是將單元中心撓度w也作為一個(gè)參數(shù)，但按此方案導(dǎo)出的單元是不收斂的。因此，在直角坐標(biāo)系中構(gòu)造三角形板單元的撓度插值函數(shù)是困難的，而在面積坐標(biāo)下進(jìn)行這項(xiàng)工作可行的。 用1、2、3代替i、j、m，則面積坐標(biāo)的一次、二次、三次式分別有以下各項(xiàng)二次 三次 38一次 (7-24)321LLL)()()(212221923121382232327216135324332211LLL

21、LLLLLLLLLLLLLLLLLLw 容易看出三次式的最后一項(xiàng) （注意L3 = 1L1L2）本身和它的兩個(gè)一階偏導(dǎo)數(shù)，在三個(gè)角點(diǎn)處的值等于零，對(duì)于確定9個(gè)參數(shù)無用，因此自然可以刪去而利用前面九項(xiàng)來構(gòu)造位移模式。但是，由這個(gè)不完全的三次多項(xiàng)式構(gòu)成的位移模式，不能保證有獨(dú)立的線性項(xiàng)和二次項(xiàng)；也就是說，剛體位移和常應(yīng)變準(zhǔn)則，可能不被滿足。為了這一點(diǎn)，可假設(shè)位移模式是 (7-25)39321,32121212221LLLLLLLLL式中前三項(xiàng)反映剛體位移，次三項(xiàng)對(duì)應(yīng)于常應(yīng)變。二次項(xiàng)只取了后三項(xiàng)是為了用結(jié)點(diǎn)位移表示參數(shù) 時(shí)考慮計(jì)算上的方便。同理，三次項(xiàng)不取前三項(xiàng)，剩下六個(gè)，只能挑選三個(gè)或進(jìn)行某種線性組

22、合。為了考慮每項(xiàng)面積坐標(biāo)對(duì)稱地出現(xiàn)，作出了如上的最簡(jiǎn)單可行的線性組合。組合未取“+”號(hào)，是由于 所以使用加號(hào)的最簡(jiǎn)單線性組合是不合宜的。1,1LwwL2,2LwwL 為了將位移模式寫成標(biāo)準(zhǔn)形式，就需要求得形函數(shù)。為了方便起見，求形函數(shù)的工作可以分成兩步進(jìn)行。第一步是選取w、 、作為結(jié)點(diǎn)自由度，求得對(duì)于它們的形函數(shù)，在這里把L3 = 1L1L2看作是L1和L2的函數(shù)。第二步是利用關(guān)系式40yxyxcbywbxwcLwcbyyywxxxwLyywLxxwLw11112223131111)()( 將第一步中所用的結(jié)點(diǎn)自由度變換成(7-38)式所指定的結(jié)點(diǎn)位移，再通過合并整理就很容易地得到形函數(shù)。式中

23、b1 = y2 y3，c1 = x3 x1。對(duì)于b2、c2的值可以用下標(biāo)輪換定出。 (7-26)4119112233www，1,Lw2,Lw)2()2()4()()2()4()2()(21219213183223227161523432,21229232131832227261352431,21LLLLLLLLLLLLLLwwwLLLLLLLLLLLLLLwwwLL 現(xiàn)在來決定參數(shù) 到 。將三角形單元的三個(gè)結(jié)點(diǎn)的面積坐標(biāo)代入(7-25)式，立即得到 ， ， 。利用(7-25)式計(jì)算 和 ，得到42 (7-27) 將結(jié)點(diǎn)的面積坐標(biāo)代入上式，得六個(gè)方程如下7432,8531,7432,976431

24、,986532,8531,231322122111wwwwwwwwwwwwwwwwwwLLLLLL43 (7-28)ijLw,)(21)(21)(21)(21)(21)(2122211211131123222221121113112322,219,318,327,6,5,4LLLLLLLLLLLLLLLLwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww式中表示對(duì)Li的偏導(dǎo)數(shù)在j點(diǎn)的值。從上式解得4411,1,Lww21,Lw)(2121)(21)(212121)()(212221212123121321222113211123121321222111LLLLLLNLLLLLLLLLLLLNLLLL

25、LLLLLN將上式代入(7-25)式，并歸并 和 前的各項(xiàng)，就可以得到對(duì)應(yīng)于它們的形函數(shù)。11,Lw21,Lw1x1y1x1y1xN1yN21111212111121,NcNcNNbNbNyx 利用(7-26)式，將 和 變換為 和 ，于是得到相應(yīng)于 和 的形函數(shù) 和 的計(jì)算公式。45 最后得如下形式的形函數(shù)為)(21)(212121)(21)(212121)()(21222132312132213132121222132312132213132121222123121311LLLLcLLLLcLLcLLcNLLLLbLLLLbLLbLLbNLLLLLLLLLNyx(d)46) 3 , 2 ,

26、 1( iALNii212221231213223232211332321LLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLNNNNyixiii用下標(biāo)輪換可得結(jié)點(diǎn)2和3的形函數(shù)，將上式寫成矩陣形式其中 (7-29)iA )(21)(21)(21)(21)(21)(21000)(21)(21)(21)(21)(21)(21000000321321321321iiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiTiccccccbbbbbbA而 是一個(gè)的系數(shù)矩陣，它是47 100010001333222111 31ieiieNNw式中它們分別是結(jié)點(diǎn)1、2和3的面積坐標(biāo)。位移模式可寫成如下的標(biāo)

27、準(zhǔn)形式48sw nw 可以驗(yàn)證在相鄰單元間的撓度是連續(xù)的，但它的法向斜率仍不連續(xù)。事實(shí)上，在任何一條邊上，撓度可表達(dá)成邊線方向s的三次式，并且不包含與此邊相對(duì)結(jié)點(diǎn)的結(jié)點(diǎn)位移（因?yàn)榕c它相對(duì)應(yīng)的形函數(shù)在此邊上等于零）。也就是說，一條邊上的撓度可以由端部?jī)蓚€(gè)結(jié)點(diǎn)處的w和 所完全決定，而對(duì)于 則不然。因此這個(gè)三角形單元是一個(gè)完備的非協(xié)調(diào)單元。4922xw22ywyxw2212222212222222121212412,21LLLLTyxyxLLccbbyx在推導(dǎo)剛度矩陣和彎矩公式時(shí)，要計(jì)算 、 和 由于形函數(shù)是用面積坐標(biāo)表示的，因此必須寫出兩個(gè)坐標(biāo)系中的偏導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系。仍然取L1、L2作為獨(dú)立坐標(biāo)，

28、而L3 = 1L1L2作為L(zhǎng)1和L2的函數(shù)，根據(jù)復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)數(shù)規(guī)則，并且利用坐標(biāo)變換公式，可以得到下列兩個(gè)關(guān)系式。2三角形單元的剛度矩陣50A)(2222212212211212221212221cbcbcbcbccccbbbbT 31321ieiieeBBBBB式中 是三角形的面積，而 將w的標(biāo)準(zhǔn)式代入幾何方程，得單元應(yīng)變列陣51,11,222,12(1,2,3)4Ai xxiii yyii xyiNNzBzNTNiNN ,112,22,124AiiLzBTLAL 式中記號(hào) N i,11等表示 N i對(duì)于L1的兩次偏導(dǎo)數(shù)等。將(7-29)式代入上式，得到52由于 L 是面積坐標(biāo)的三次函數(shù)，

29、它的三個(gè)對(duì)L1和L2的二階偏導(dǎo)數(shù)將是面積坐標(biāo)的一次函數(shù)。把這三個(gè)偏導(dǎo)數(shù)算出后，容易把上式寫成如下形式24AiizBTCA其中00000053022111000204111000240111000006002000006002000220002000060020000202020000060020000C(7-30)54 321LLL TiiiiiGGGACG321)2(2)2(2)(6)2(2)2(2)(626)2(2)2(2)(626)2(2)2(2)(611113123122221231231221iiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiicbcbcccbbbG

30、cbcccbbbcbG而可以將 C Ai 乘出并記作矩陣 Gi ，于是式中(7-39)55)23(21)32(21)23(21)32(2126)32(21)32(21)32(21)32(2162)23(21)32(21)23(21)32(21622121212121213iiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiccbbccbbccbbG 333231232221131211kkkkkkkkkk 若將單元?jiǎng)偠染仃噷懗扇缦滦问?6 dxdyGTDTGhdxdydzBDBkjTTTijTiij43192TTHHHHHHHHHHT2100010133323123

31、2221131211其中子矩陣若令(7-40)57 iTTiijGdxdyHGDk416 333231232221131211HHHHHHHHHHT于是得式中D是平板的彎曲剛度。 注意到(7-38)式，上式的積分是容易計(jì)算的。實(shí)際上(7-42) (7-41)58 233231322221312121LLLLLLLLLLLLLLLTPdxdy12211121112P式中它的積分是而59 把(7-39)和(7-42)式代入(7-41)式并把它展開，可得單元?jiǎng)偠染仃嚨淖泳仃?3332321313323222121231321211113192jjjTijjjTijjjTiijGHGHGHPGGHGH

32、GHPGGHGHGHPGDk) 3 , 2 , 1,(ji60式中 H 的所有元素，按(7-40)式展開21221221212222212133222222212122223223212121213113212212212121122212111)(2)(2)( )(2)()( )(2)( )(2)()()(cbcbccbbcbcbHcbHccbbcbHHccbbcbHHcbcbccbbHHcbH進(jìn)行計(jì)算。61 如果平板單元受有分布橫向載荷q的作用，于是等效結(jié)點(diǎn)力是)3 , 2 , 1( idxdyNqMMWQTiyixiiei這里以使用(d)式所示的形函數(shù)較為方便。3三角形單元的等效結(jié)點(diǎn)力和

33、內(nèi)力矩的計(jì)算62 當(dāng)q = q0是常量時(shí)，將(d)式代入上式，并積分得0213021301320132032103210321)(241,)(241)(241,)(241)(241,)(24131qccMqbbMqccMqbbMqccMqbbMqWWWyxyxyx63 iiiiiiGRGTDhM31312348)( )1()1()1()(2)(2)1(4848122122112121222221212121222221212333323123222113121123cbcbcbcbccbbcbcbccbbcbcbhERRRRRRRRRhR 對(duì)于內(nèi)力矩陣，按下式計(jì)算式中(7-43)6431iii

34、SM)()()(333232131323222121313212111iiiiiiiiiiGRGRGRGRGRGRGRGRGRS把上式代入(7-43)式并進(jìn)行一系列運(yùn)算之后，可以得到內(nèi)力矩列陣式中sn 對(duì)于任意形狀平板，它的邊界條件可能是指定為沿著曲線邊界切線方向的彎矩Ms或轉(zhuǎn)角 和沿著法線方向的扭矩Mn或轉(zhuǎn)角 ，這里所用的記號(hào)與一般平板理論書中的記號(hào)恰好相反。這里取邊界的外法線方向n為正方向，而使用右手坐標(biāo)系定出切線s的正方向。于是，有下列關(guān)系式存在65snyxsnyxMMcsscMMcssc,式中c、s是外法線n方向?qū)τ趚和y軸的方向余弦。 利用上式可以對(duì)剛度矩陣作某種變動(dòng)，使之達(dá)到結(jié)點(diǎn)位

35、移和結(jié)點(diǎn)力的變換，從而直接利用曲線邊界上的邊界條件。這種變動(dòng)可以在單元?jiǎng)偠染仃囍羞M(jìn)行，也可以在整體剛度矩陣中進(jìn)行。66nwyxw222xw 上述矩形單元和三角形薄板單元都是非協(xié)調(diào)元，且都會(huì)產(chǎn)生在單元公共邊上的法線轉(zhuǎn)角 （或法向斜率 ）不連續(xù)問題。為了實(shí)現(xiàn)薄板單元的協(xié)調(diào)性（協(xié)調(diào)板元或保續(xù)板元），完善板元的計(jì)算理論和提高計(jì)算精度，人們做了大量研究，提出了很多方法。其中一種方法是增加單元結(jié)點(diǎn)自由度數(shù)目，例如在矩形板元的每個(gè)結(jié)點(diǎn)上增加一個(gè)扭率 ，使單元變成16個(gè)自由度的協(xié)調(diào)板單元；在三角形板單元中每個(gè)結(jié)點(diǎn)上增加 、 、 做為結(jié)點(diǎn)自由度，且在每邊中點(diǎn)取其法線斜率 做為結(jié)點(diǎn)自由度、而構(gòu)造出21個(gè)自由度的協(xié)

36、調(diào)三角形板單元。 22ywyxw2nw677.3 考慮橫向剪切變形影響的平板彎曲單元 另一種方法，是將三角形（或四邊形）板單元?jiǎng)澐譃?個(gè)子三角形，把每個(gè)三角形各邊中點(diǎn)的法線斜率 做為自由度，每個(gè)子三角形都有12個(gè)自由度，使各子三角形板元之間協(xié)調(diào)，然后再根據(jù)原三角形板元內(nèi)部的連續(xù)性和限制條件，利用“凝聚法”消去內(nèi)自由度，從而構(gòu)造出協(xié)調(diào)的三角形板元 （12個(gè)外自由度，3個(gè)內(nèi)自由度）或協(xié)調(diào)的四邊形板元。nw68 第一種方法的明顯缺點(diǎn)：在實(shí)際應(yīng)用時(shí)涉及到高階導(dǎo)數(shù)的自由度的邊界條件，難以處理；它不是一種普遍適用的方法，在某些板問題中，曲率或扭率在結(jié)點(diǎn)上不一定連續(xù)，在有限元計(jì)算中強(qiáng)令其連續(xù)，當(dāng)然會(huì)使所得結(jié)

37、果不可能收斂到精確解。 第二種方法在SAP-5程序中得到應(yīng)用。但該法的計(jì)算公式比較復(fù)雜，消去每個(gè)單元的內(nèi)自由度的凝聚過程所耗計(jì)算時(shí)間比較長(zhǎng)。 在板彎曲問題的有限元法中，構(gòu)造協(xié)調(diào)元的困難是單元公共邊上的法向轉(zhuǎn)角 的連續(xù)性難以滿足，如果考慮板橫向剪切變形的影響，放棄經(jīng)典薄板理論中的中面法線n-n始終保持為直線的假設(shè)，就可以繞開這個(gè)困難，而使板問題的有限元分析前進(jìn)一步。nw69xyxwywyx, 一般來說，板變形前的中面法線n-n，在變形后將變成一條曲線，但可以近似地用一條直線n2-n2表示，n2-n2線已不是經(jīng)典薄板理論中變形后的中面法線n-n。此時(shí)，n2-n2線繞x軸和y軸的轉(zhuǎn)角仍用 和 表示，

38、但 。 經(jīng)典薄板理論中的其它兩個(gè)假設(shè)，仍然有效。70),(,yxwwzvzuxy yxxyxxyyyxxyzxyzxyyxwwzzzzuxwzvywxvyuyvxu,)( 根據(jù)上述假定，板內(nèi)任意點(diǎn)的3 個(gè)位移分量具有如下形式把上式代入幾何方程式，可以得到平板應(yīng)變列陣是(7-45)(7-44)71 DTzxyzxyyx2100EED2100211,2100010112221EEEE 通過應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系，可以得到應(yīng)力列陣如下式中彈性矩陣是而它的子矩陣(a) (7-46) (7-47)72xy 由(7-46)式看到，平板的變形完全是由中面撓度w及其法線繞x軸和y軸兩個(gè)轉(zhuǎn)角 和 所決定。在每個(gè)結(jié)點(diǎn)上取它

39、們作為自由度，構(gòu)造一個(gè)八結(jié)點(diǎn)平板單元，它與第三章的八結(jié)點(diǎn)等參元密切相關(guān)。 對(duì)于八結(jié)點(diǎn)平板單元，要確定它的形狀除了單元中面的形狀外，還需要知道單元厚度h。中面的形狀可以通過坐標(biāo)變換式(3-2)由八個(gè)結(jié)點(diǎn)坐標(biāo)來確定，而單元的厚度可以利用形函數(shù)表達(dá)式(3-1)通過八個(gè)結(jié)點(diǎn)處的厚度近似地用插入法確定出。顯然，自然坐標(biāo)系是位于板中面內(nèi)的一種曲線坐標(biāo)。73xy818181,iyiiyixiixiiiNNwNwyixiiiiiiwNzNzNwvu81000000 中面上任意點(diǎn)的撓度w以及法線轉(zhuǎn)角 和 ，同樣可以利用(3-1)式所表示的形函數(shù)由結(jié)點(diǎn)值進(jìn)行插值得到，即代入(7-44)式，于是得到位移模式如下容易

40、看出單元是協(xié)調(diào)的。這里沒有必要引進(jìn)第三個(gè)自然坐標(biāo) ，因?yàn)橐M(jìn)它并沒有帶來任何方便，顯然 = 2z/h。 (b)74 eiiiBB81 21821iiiTTTTeTyixiiiBBzBw 將(b)式代入(7-45)式。可以得到用結(jié)點(diǎn)位移列陣表示的應(yīng)變分量式中(7-50)(7-49)75而ixiiyiiyixiyixiiNNNNBNNNNB0000000,2,1 (7-51)76 eSD 821SSSS 2211iiiiBEBEzBDS 將(7-49)式代入(7-46)式，可以作出用結(jié)點(diǎn)位移列陣表示的應(yīng)力分量式中而77由此按定義可以計(jì)算內(nèi)力，它的表達(dá)式如下81,42281,42281,32281,

41、2,12281,1,222)()()()()(iyiiixihhzxxixiiiyihhyzyiyiyixixihhxyxyiyixixiyihhyyiyixixiyihhxxNwNDdzQNwNDdzQNNDdzzMNDNDdzzMNDNDdzzM78式中)1(2,)1(24,)1(1243312231hEDhEDDDhED (7-52) 將單元?jiǎng)偠染仃噷懗扇缡降男问剑渲凶泳仃嚳梢园聪率接?jì)算 dxdyBEBhBEBhdxdydzBDBkjTijTijTiij222111312(7-53)79若命 222111333323123222113121112jTijTiBEBhBEBhHHHHHH

42、HHHH于是，(5-64)式可以寫成)8 , 2 , 1,(1111 jiddJHkij80JjiyjyixjxixjyiyjxixjxixjyiixjjxiiyjjyijixjxiyjyixjxiyjyiNNDNNDNNDHNNDNNDHNNDNNDHNNDHNNDHNNDHNNDHNNDNNDNNDHNNNNDH4,3,133,3,232,3,223,431,413,421,4124,3,122,411,)(式中 是雅可比行列式，它可以按照(3-8)式計(jì)算。對(duì)于矩陣 H 中的元素81)8 , 2 , 1,(1111 jiddJNqWii)8 , 2 , 1()()(idxmdymNMdxm

43、dymNMsniyisnixi 對(duì)于等效結(jié)點(diǎn)力的計(jì)算，如果平板表面作用著橫向分布載荷q(x,y)，于是對(duì)應(yīng)的等效結(jié)點(diǎn)力是 當(dāng)平板邊緣作用著分布的彎矩和扭矩時(shí)，可以仿照3-1中的處理邊界分布力的方法進(jìn)行，得到等效結(jié)點(diǎn)力的計(jì)算公式 式中mn和ms分別表示邊緣分布扭矩和彎矩。mn的旋轉(zhuǎn)矢量方向是邊緣外法線方向，而ms的旋轉(zhuǎn)矢量方向是邊緣的切線方向。坐標(biāo)onsz是右手坐標(biāo)系。82)8 , 2 , 1,(jidspNWiinsn 如果在平板邊緣作用著分布剪力p，它的等效結(jié)點(diǎn)力是 對(duì)于典型邊界條件 簡(jiǎn)支邊，w = 0，Ms = 0， = 0； 固支邊，w = 0， = 0， = 0；式中Ms表示旋轉(zhuǎn)矢量方向沿邊緣切線的力矩，Mn表示旋轉(zhuǎn)矢量方向沿邊緣外法線方向的力矩。W表示沿z方向的橫向剪力。 應(yīng)該指出，上面方法可用于計(jì)算厚板彎曲，也可用于薄板。用于計(jì)算薄板彎曲時(shí)，求單元?jiǎng)偠汝囁婕暗母咚狗e分的階數(shù)可取為2。自由邊，Ms = 0，Mn = 0，W = 0。簡(jiǎn)支固支自由8302ThzT 2hz TeeDhzTSDSD000112)(000 對(duì)于變溫應(yīng)力問題，假設(shè)溫度變化沿板厚為線性分布其中T0是平板上表面 處的溫度。 其應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系應(yīng)改寫成84式中 D 由公式(7-56)所確定； S 仍由公式(d)計(jì)算。關(guān)于內(nèi)力的表達(dá)式應(yīng)改寫為81,481,481,321081,2,12108