1、第二章第二章 穩(wěn)態(tài)熱傳導穩(wěn)態(tài)熱傳導2-1 導熱導熱基本定律基本定律一、溫度場（一、溫度場（Temperature field） 穩(wěn)態(tài)溫度場穩(wěn)態(tài)溫度場Steady-state conduction）非穩(wěn)態(tài)溫度場非穩(wěn)態(tài)溫度場（Transient conduction）t = f ( r, )t0( )( ,)tfrtfrW ddxtA某時刻空間所有各點溫度分布的總稱，溫度場是時間和空某時刻空間所有各點溫度分布的總稱，溫度場是時間和空間的函數(shù)間的函數(shù).等溫面與等溫線等溫面與等溫線(1) (1) 溫度不同的等溫面或等溫線彼此不能相交溫度不同的等溫面或等溫線彼此不能相交 等溫面：等溫面：同一時刻、溫度場

2、中所有溫度相同的點連接起來同一時刻、溫度場中所有溫度相同的點連接起來 所構成的面所構成的面 等溫線：等溫線：用一個平面與各等溫面相交，在這個平面上得到用一個平面與各等溫面相交，在這個平面上得到 一個等溫線簇一個等溫線簇等溫面與等溫線的特點：等溫面與等溫線的特點：(2) (2) 在連續(xù)的溫度場中，等溫面或等溫線不會中斷，它們或在連續(xù)的溫度場中，等溫面或等溫線不會中斷，它們或 者是物體中完全封閉的曲面（曲線），或者就終止與物者是物體中完全封閉的曲面（曲線），或者就終止與物 體的邊界上體的邊界上物體的溫度場通常用等溫面或等溫線表示物體的溫度場通常用等溫面或等溫線表示等溫面上沒有溫差，不會有熱量傳遞等

3、溫面上沒有溫差，不會有熱量傳遞 溫度梯度溫度梯度 (Temperature gradient ）不同的等溫面之間，有溫差，有熱不同的等溫面之間，有溫差，有熱量傳遞量傳遞 ttns溫度梯度溫度梯度：沿等溫面法線方向上的溫度增量與法向沿等溫面法線方向上的溫度增量與法向 距離比值的極限，距離比值的極限，gradt直角坐標系直角坐標系：（Cartesian coordinates）注：溫度梯度是向量；正向朝著溫度增加的方向注：溫度梯度是向量；正向朝著溫度增加的方向g ra d ttttijkxyzntnntngradtnlim0熱流密度矢量熱流密度矢量熱流密度：熱流密度：單位時間、單位面積上所傳遞的熱

4、量；單位時間、單位面積上所傳遞的熱量；直角坐標系中：直角坐標系中：熱流密度矢量：熱流密度矢量：等溫面上某點，以通過該點處最大熱流密度的等溫面上某點，以通過該點處最大熱流密度的 方向為方向、數(shù)值上正好等于沿該方向的熱方向為方向、數(shù)值上正好等于沿該方向的熱 流密度流密度不同方向上的熱流密度的大小不同不同方向上的熱流密度的大小不同qq（Heat flux） xyzqq iqjq k qc o sqq2 W mq二、導熱、導熱基本定律基本定律(Fouriers law）1822年，法國數(shù)學家傅里葉（年，法國數(shù)學家傅里葉（Fourier）在在實驗研究基礎上，實驗研究基礎上，發(fā)現(xiàn)導熱基本規(guī)律發(fā)現(xiàn)導熱基本規(guī)

5、律 傅里葉定律傅里葉定律導熱基本定律：導熱基本定律：垂直導過等溫面的熱流密度，正比于該處的溫垂直導過等溫面的熱流密度，正比于該處的溫度梯度，方向與溫度梯度相反度梯度，方向與溫度梯度相反熱導率（導熱系數(shù)）熱導率（導熱系數(shù)）直角坐標系中：直角坐標系中：注：傅里葉定律只適用于各向同性材料注：傅里葉定律只適用于各向同性材料各向同性材料：各向同性材料：熱導率在各個方向是相同的熱導率在各個方向是相同的（Thermal conductivity）2 -grad WmqtW (mC): xyztttqq iq jq kijkxyz ; ; xyztttqqqxyz 有些天然和人造材料，如：石英、木材、疊層塑料

6、板、疊層有些天然和人造材料，如：石英、木材、疊層塑料板、疊層金屬板，其導熱系數(shù)隨方向而變化金屬板，其導熱系數(shù)隨方向而變化 各向異性材料各向異性材料各向異性材料中：各向異性材料中：xxxxyxzyyxyyyzzzxzyzztttqxyztttqxyztttqxyz三三、熱導率、熱導率（ Thermal conductivity ）熱導率的數(shù)值：就是物體中單位溫度梯度、單位時間、通過熱導率的數(shù)值：就是物體中單位溫度梯度、單位時間、通過 單位面積的導熱量單位面積的導熱量 物質的重要熱物性參數(shù)物質的重要熱物性參數(shù)影響熱導率的因素：影響熱導率的因素：物質的種類、材料成分、溫度、濕度、物質的種類、材料成分

7、、溫度、濕度、 壓力、密度等壓力、密度等熱導率的數(shù)值表征物質導熱能力大小。熱導率的數(shù)值表征物質導熱能力大小。實驗測定實驗測定 -g r a d qt; 金屬非金屬固相液相氣相W (mC)不同物質熱導率的差異：構造差別、導熱機理不同不同物質熱導率的差異：構造差別、導熱機理不同1、氣體的熱導率、氣體的熱導率氣體的導熱氣體的導熱：由于分子的熱運動和相互碰撞時發(fā)生的能量傳遞：由于分子的熱運動和相互碰撞時發(fā)生的能量傳遞0.0060.6W (m C)氣體0: 0.0244W (m C) ;C空氣20: 0.026W (m C) C空氣氣體分子運動理論：常溫常壓下氣體熱導率可表示為：氣體分子運動理論：常溫常

8、壓下氣體熱導率可表示為：除非壓力很低或很高，在除非壓力很低或很高，在2.67*10-3MPa 2.0*103MPa范圍內(nèi)，范圍內(nèi)，氣體的熱導率基本不氣體的熱導率基本不隨壓力變化。隨壓力變化。：氣體分子運動的均方根速度氣體分子運動的均方根速度氣體的溫度升高時：氣體的溫度升高時：氣體分子運動速度和定容比熱隨氣體分子運動速度和定容比熱隨T升高升高而增大。而增大。 氣體的熱導率隨溫度升高而增大氣體的熱導率隨溫度升高而增大：氣體分子在兩次碰撞間平均自由行程氣體分子在兩次碰撞間平均自由行程：氣體的密度；氣體的密度；：氣體的定容比熱：氣體的定容比熱氣體的壓力升高時：氣體的壓力升高時：氣體的密度增大、平均自由

9、行程氣體的密度增大、平均自由行程減小、而兩者的乘積保持不變。減小、而兩者的乘積保持不變?；旌蠚怏w熱導率不能用部分求和的方法求；只能靠實驗測定混合氣體熱導率不能用部分求和的方法求；只能靠實驗測定13vulculvc分子質量小的氣體（分子質量小的氣體（H2、He）熱導率較大）熱導率較大 分子運動速度高分子運動速度高2、液體的熱導率、液體的熱導率液體的導熱：主要依靠晶格的振動液體的導熱：主要依靠晶格的振動晶格：理想的晶體中分子在無限大空間里排列成周期性點晶格：理想的晶體中分子在無限大空間里排列成周期性點 陣，即所謂晶格陣，即所謂晶格大多數(shù)液體（分子量大多數(shù)液體（分子量M不變）：不變）：水和甘油等強締

10、合液體，分子量變化，并隨溫度而變水和甘油等強締合液體，分子量變化，并隨溫度而變化。在不同溫度下，熱導率隨溫度的變化規(guī)律不一樣化。在不同溫度下，熱導率隨溫度的變化規(guī)律不一樣液體的熱導率隨壓力液體的熱導率隨壓力p的升高而增大的升高而增大0.070.7 W (m C)液體20: 0.6 W (m C)C水Tp 3、固體的熱導率、固體的熱導率純金屬的導熱：純金屬的導熱：依靠自由電子的遷移和晶格的振動依靠自由電子的遷移和晶格的振動 主要依靠前者主要依靠前者金屬導熱與導電機理一致；良導電體為良導熱體：金屬導熱與導電機理一致；良導電體為良導熱體：(1) 金屬的熱導率：金屬的熱導率： 晶格振動的加強干擾自由電

11、子運動晶格振動的加強干擾自由電子運動12418W (m C)金屬銀銅鋁金TCuCu10K:12000W (m C)15K :7000W (m C)合金：合金：金屬中摻入任何雜質將破壞晶格的完整性，金屬中摻入任何雜質將破壞晶格的完整性， 干擾自由電子的運動干擾自由電子的運動金屬的加工過程也會造成晶格的缺陷金屬的加工過程也會造成晶格的缺陷合金的導熱：合金的導熱：依靠自由電子的遷移和晶格的振動；依靠自由電子的遷移和晶格的振動； 主要依靠后者主要依靠后者溫度升高、晶格振動加強、導熱增強溫度升高、晶格振動加強、導熱增強合 金純 金 屬T如常溫下：如常溫下：0398w/m. c純銅0109w/m. c黃銅

12、黃銅：黃銅：70%Cu, 30%Zn非金屬的導熱：非金屬的導熱：依靠晶格的振動傳遞熱量；比較小依靠晶格的振動傳遞熱量；比較小建筑隔熱保溫材料：建筑隔熱保溫材料：(2) 非金屬的熱導率：非金屬的熱導率：大多數(shù)建筑材料和絕熱材料具有多孔或纖維結構大多數(shù)建筑材料和絕熱材料具有多孔或纖維結構多孔材料的熱導率與密度和濕度有關多孔材料的熱導率與密度和濕度有關保溫材料：保溫材料：國家標準規(guī)定，溫度低于國家標準規(guī)定，溫度低于350度時熱導率小于度時熱導率小于 0.12W/(mK) 的材料（絕熱材料）的材料（絕熱材料）0.0253W (m C)T 、濕度2-2 導熱微分方程式導熱微分方程式（Heat Diffu

13、sion Equation）確定導熱體內(nèi)的溫度分布是導熱理論的首要任務確定導熱體內(nèi)的溫度分布是導熱理論的首要任務傅里葉定律：傅里葉定律：確定熱流密度的大小，應知道物體內(nèi)的溫度場確定熱流密度的大小，應知道物體內(nèi)的溫度場:理論基礎：傅里葉定律理論基礎：傅里葉定律 + 熱力學第一定律熱力學第一定律假設：假設：(1) 所研究的物體是各向同性的連續(xù)介質所研究的物體是各向同性的連續(xù)介質 (2) 熱導率、比熱容和密度均為已知熱導率、比熱容和密度均為已知 (3) 物體內(nèi)具有內(nèi)熱源；強度物體內(nèi)具有內(nèi)熱源；強度 qv W/m3; 內(nèi)熱源均勻分布；內(nèi)熱源均勻分布；qv 表示單位體積的導熱表示單位體積的導熱 體在單位

14、時間內(nèi)放出的熱量體在單位時間內(nèi)放出的熱量化學反應化學反應發(fā)射藥熔發(fā)射藥熔化過程化過程一、導熱微分方程式一、導熱微分方程式2 - grad W m qt( , , , )tfxyz0E RTVqAQ e在導熱體中取一微元體在導熱體中取一微元體熱力學第一定律：熱力學第一定律： d 時間內(nèi)微元體中：時間內(nèi)微元體中：導入與導出凈熱量導入與導出凈熱量+ 內(nèi)熱源發(fā)熱量內(nèi)熱源發(fā)熱量= 熱力學能的增加熱力學能的增加1、導入與導出微元體的凈熱量、導入與導出微元體的凈熱量d 時間內(nèi)、沿時間內(nèi)、沿 x 軸方向、經(jīng)軸方向、經(jīng) x 表面導入的熱量：表面導入的熱量： JxxdQqdydz dQUW 0, WQU d 時間

15、內(nèi)、沿時間內(nèi)、沿 x 軸方向、經(jīng)軸方向、經(jīng) x+dx 表面導出的熱量：表面導出的熱量：d 時間內(nèi)、沿時間內(nèi)、沿 x 軸方向導入與導出微元體凈熱量：軸方向導入與導出微元體凈熱量： JxdxxdxdQqdydz dxxdxxqqqdxx JxxxdxqdQdQdxdydz dx d 時間內(nèi)、沿時間內(nèi)、沿 z 軸方向導入與導出微元體凈熱量：軸方向導入與導出微元體凈熱量：d 時間內(nèi)、沿時間內(nèi)、沿 y 軸方向導入與導出微元體凈熱量：軸方向導入與導出微元體凈熱量： Jyyy dyqdQdQdxdydz dy Jzzz dzqdQdQdxdydz dz導入與導出凈熱量導入與導出凈熱量:傅里葉定律：傅里葉定律

16、：1() Jyxzqqqdxdydzdxyz ; ; xyztttqqqxyz 1()()() Jtttdxdydzdxxyyzz1xxdxyydyzzdzdQdQdQdQdQdQ2、微元體中內(nèi)熱源的發(fā)熱量、微元體中內(nèi)熱源的發(fā)熱量d 時間內(nèi)微元體中內(nèi)熱源的發(fā)熱量：時間內(nèi)微元體中內(nèi)熱源的發(fā)熱量：3、微元體熱力學能的增量、微元體熱力學能的增量d 時間內(nèi)微元體中熱力學能的增量：時間內(nèi)微元體中熱力學能的增量：由由 1+ 2= 3：導熱微分方程式、導熱過程的能量方程導熱微分方程式、導熱過程的能量方程2 Jvqdxdydz d3 Jtcdxdydz d()()()vttttcqxxyyzz(d )tmc

17、tdxdydzcd若物性參數(shù)若物性參數(shù) 、c 和和 均為常數(shù)：均為常數(shù)：熱擴散率熱擴散率 反映了導熱過程中材料的導熱能力（反映了導熱過程中材料的導熱能力（ ）與沿途物質儲熱能力（與沿途物質儲熱能力（ c ）之間的關系）之間的關系 值大，即值大，即 值大或值大或 c 值小，說明物體的某一部分值小，說明物體的某一部分一旦獲得熱量，該熱量能在整個物體中很快擴散一旦獲得熱量，該熱量能在整個物體中很快擴散熱擴散率表征物體被加熱或冷卻時，物體內(nèi)各部分熱擴散率表征物體被加熱或冷卻時，物體內(nèi)各部分溫度趨向于均勻一致的能力溫度趨向于均勻一致的能力（Thermal diffusivity）2222222(); o

18、r vvqqtttttaatxyzcc 2 m sac 熱擴散率（導溫系數(shù)）2 拉 普 拉 斯 算 子aa在同樣加熱條件下，物體的熱擴散率越大，物體內(nèi)部各處在同樣加熱條件下，物體的熱擴散率越大，物體內(nèi)部各處的溫度差別越小。的溫度差別越小。a反應導熱過程動態(tài)特性，研究不穩(wěn)態(tài)導熱重要物理量反應導熱過程動態(tài)特性，研究不穩(wěn)態(tài)導熱重要物理量若物性參數(shù)為常數(shù)且無內(nèi)熱源：若物性參數(shù)為常數(shù)且無內(nèi)熱源：若物性參數(shù)為常數(shù)、無內(nèi)熱源穩(wěn)態(tài)導熱：若物性參數(shù)為常數(shù)、無內(nèi)熱源穩(wěn)態(tài)導熱：72521.5 10 m9.45 10 masas鋁木材，1 600aa鋁木材2222222(); or tttttaatxyz222222

19、20ttttxyz圓柱坐標系圓柱坐標系（r, , z）zzryrx ;sin ;cos1rztqrtqrtqz 1gradtttttrrz qijk211()()()vttttcrqrrrrzz 球坐標系球坐標系（r, ， ）11sinrtqrtqrtqr sincos ; sinsin ; cosxryrzr11gradsintttttrrr qijk22222111()( sin)()sinsinvttttcrqrrrrr 導熱微分方程式導熱微分方程式的不適應范圍: 非傅里葉傅里葉導熱過程v極短時間極短時間( (如如10)10)產(chǎn)生極大的熱流密度的熱量傳遞現(xiàn)象，產(chǎn)生極大的熱流密度的熱量傳遞

20、現(xiàn)象， 如如激光加工過程。激光加工過程。v極低溫度極低溫度( (接近于接近于0 K)0 K)時的導熱問題。時的導熱問題。導熱過程的單值性條件導熱過程的單值性條件導熱微分方程式的理論基礎：傅里葉定律導熱微分方程式的理論基礎：傅里葉定律 + 熱力學第一定律熱力學第一定律它描寫物體的溫度隨時間和空間變化的關系；它描寫物體的溫度隨時間和空間變化的關系；它沒有涉及具體、特定的導熱過程。通用表達式。它沒有涉及具體、特定的導熱過程。通用表達式。對特定的導熱過程：需要得到滿足該過程的補充對特定的導熱過程：需要得到滿足該過程的補充 說明條件的唯一解說明條件的唯一解單值性條件：單值性條件：確定唯一解的附加補充說明

21、條件確定唯一解的附加補充說明條件單值性條件包括四項：單值性條件包括四項：幾何、物理、時間、邊界幾何、物理、時間、邊界完整數(shù)學描述：完整數(shù)學描述：導熱微分方程導熱微分方程 + 單值性條件單值性條件1、幾何條件、幾何條件如：平壁或圓筒壁；厚度、直徑等如：平壁或圓筒壁；厚度、直徑等說明導熱體的幾何形狀和大小說明導熱體的幾何形狀和大小2、物理條件、物理條件如：物性參數(shù)如：物性參數(shù) 、c 和和 的數(shù)值，是否隨溫度變化；的數(shù)值，是否隨溫度變化；有無內(nèi)熱源、大小和分布；是否各向同性有無內(nèi)熱源、大小和分布；是否各向同性說明導熱體的物理特征說明導熱體的物理特征3、時間條件、時間條件穩(wěn)態(tài)導熱過程不需要時間條件穩(wěn)態(tài)

22、導熱過程不需要時間條件 與時間無關與時間無關說明在時間上導熱過程進行的特點說明在時間上導熱過程進行的特點對非穩(wěn)態(tài)導熱過程應給出過程開始時刻導熱體內(nèi)的對非穩(wěn)態(tài)導熱過程應給出過程開始時刻導熱體內(nèi)的溫度分布溫度分布時間條件又稱為時間條件又稱為初始條件初始條件（Initial conditions）0()tfr、邊界條件、邊界條件說明導熱體邊界上過程進行的特點說明導熱體邊界上過程進行的特點反映過程與周圍環(huán)境相互作用的條件反映過程與周圍環(huán)境相互作用的條件邊界條件一般可分為三類：邊界條件一般可分為三類：第一類、第二類、第三類邊界條件第一類、第二類、第三類邊界條件（）第一類邊界條件（）第一類邊界條件s 邊界

23、面邊界面; tw = f (x,y,z) 邊界面上的溫度邊界面上的溫度已知任一瞬間導熱體邊界上已知任一瞬間導熱體邊界上溫度值：溫度值：穩(wěn)態(tài)導熱：穩(wěn)態(tài)導熱： tw = const非穩(wěn)態(tài)導熱：非穩(wěn)態(tài)導熱： tw = f ( )oxtw1tw2例：例：（Boundary conditions）wstt120, , wwxttxtt（2）第二類邊界條件）第二類邊界條件根據(jù)傅里葉定律：根據(jù)傅里葉定律：已知物體邊界上已知物體邊界上熱流密度熱流密度的分布及變化規(guī)律：的分布及變化規(guī)律：第二類邊界條件相當于已知任何時刻物體邊界第二類邊界條件相當于已知任何時刻物體邊界面法向的溫度梯度值面法向的溫度梯度值穩(wěn)態(tài)導熱：

24、穩(wěn)態(tài)導熱：qw非穩(wěn)態(tài)導熱：非穩(wěn)態(tài)導熱：特例：絕熱邊界面：特例：絕熱邊界面：( ,)wsqqfrwqconst()wqf0 0wwwttqnn()wntqn ()wnqtn（3）第三類邊界條件）第三類邊界條件傅里葉定律：傅里葉定律：當物體壁面與流體相接觸進行對流換熱時，已知當物體壁面與流體相接觸進行對流換熱時，已知任一時刻邊界面任一時刻邊界面周圍流體的溫度周圍流體的溫度和和表面?zhèn)鳠嵯禂?shù)表面?zhèn)鳠嵯禂?shù)導熱微分方程式的求解方法導熱微分方程式的求解方法導熱微分方程單值性條件求解方法導熱微分方程單值性條件求解方法 溫度場溫度場積分法積分法、杜哈美爾法、格林函數(shù)法、拉普拉斯杜哈美爾法、格林函數(shù)法、拉普拉斯變換法變換法 、分離變量法、分離變量法、積分變換法、數(shù)值計算法積分變換法、數(shù)值計算法tf, hqw牛頓冷卻定律：牛頓冷卻定律：()wwfqh ttwwqtn ()wfwtnh tt2-3 通過平壁，圓筒壁，球殼和其它通過平壁，圓筒壁，球殼和其它 變截面物體的導熱變截面物體的導熱本節(jié)將針對一維、穩(wěn)態(tài)、常物性、無內(nèi)熱源情況，考察平本節(jié)將針對一維、穩(wěn)