1、? ?數學物理方法數學物理方法? ?第九章第九章 定解問題定解問題2l第第9章章 討論定解問題，是將物理問題轉化為數學上的討論定解問題，是將物理問題轉化為數學上的定解問題，即建立有關物理量遵守的泛定方程和定解定解問題，即建立有關物理量遵守的泛定方程和定解條件條件l第第10章章 介紹行波法和平均值法，行波法是先求出偏介紹行波法和平均值法，行波法是先求出偏微分方程的通解，然后用定解條件確定定解問題的解；微分方程的通解，然后用定解條件確定定解問題的解；平均值法是將行波法一維的結果推廣到三維平均值法是將行波法一維的結果推廣到三維l第第11章章 介紹別離變量法，它是先求出具有變量別離形介紹別離變量法，它

2、是先求出具有變量別離形式且滿足邊界條件的特解，然后將這些特解進行線性式且滿足邊界條件的特解，然后將這些特解進行線性疊加，最后由其余定解條件求出待定系數而得解疊加，最后由其余定解條件求出待定系數而得解l第第12章章 介紹積分變換法，它是通過方程的積分變換，介紹積分變換法，它是通過方程的積分變換，減少自變量的個數，直至化為常微分方程來求解減少自變量的個數，直至化為常微分方程來求解 59.1 波動問題本節(jié)首先介紹支配波動現(xiàn)象的假設干物理定律，隨后導出桿的縱振動方程和弦的橫振動方程，最后介紹波動問題的定解條件69.1.1 支配波動現(xiàn)象的假設干物理定律支配波動現(xiàn)象的假設干物理定律l設設u(x,t)是桿是

3、桿(或弦或弦)上平衡時坐標為上平衡時坐標為x的點在的點在t時時刻的位移因此，桿刻的位移因此，桿(或弦或弦)上任一小段上任一小段 (x,x+ +dx) 的伸長為的伸長為u(x+ +dx,t)- -u(x,t)，相對伸長，相對伸長為為 本節(jié)著重討論本節(jié)著重討論一維波動現(xiàn)象一維波動現(xiàn)象71.胡克胡克(Hooke)定律定律l在彈性限度內，作用于物體的應力在彈性限度內，作用于物體的應力(單位橫截單位橫截面上的內力面上的內力)與應變與應變(物體的相對伸長物體的相對伸長)成正比，成正比，即即l比例系數比例系數Y稱為楊氏模量稱為楊氏模量82.牛頓牛頓(Newton)第二定律第二定律l在慣性參考系中，作用于物體

4、的合外力平比在慣性參考系中，作用于物體的合外力平比于物體動量的時間變化率，即于物體動量的時間變化率，即l對于一維運動對于一維運動, 上式可改寫為標量形式上式可改寫為標量形式l如果物體的質量如果物體的質量m不隨時間變化，動量不隨時間變化，動量p=mut中的中的m可提出微商號外由此得可提出微商號外由此得99.1.2 桿的縱振動方程桿的縱振動方程l考慮一均勻細桿沿考慮一均勻細桿沿桿長方向的微小振桿長方向的微小振動，見圖動，見圖9.1.現(xiàn)在尋現(xiàn)在尋找細桿上各點的運找細桿上各點的運動規(guī)律動規(guī)律l為此，研究桿的一小段為此，研究桿的一小段(x,x+dx)與外界的相互與外界的相互作用來建立方程由于小段兩側都受

5、到應力作用來建立方程由于小段兩側都受到應力的作用，根據胡克足律，作用于該小段的合的作用，根據胡克足律，作用于該小段的合外力為外力為1011l設細桿的密度為設細桿的密度為r,那么那么(x,x+dx)小段的質量為小段的質量為lm=rdV=rSdx (9.1.6)l將式將式(9.1.5)和式和式(9.1.6)代入牛頓定律，即有代入牛頓定律，即有l(wèi) (9.1.7) l引入常數，并采用簡寫記號引入常數，并采用簡寫記號l那么上式可簡寫為那么上式可簡寫為l utt-a2uxx = 0 (9.1.8)l這是細桿作自由振動時各點的運動規(guī)律，稱這是細桿作自由振動時各點的運動規(guī)律，稱為桿的縱振動方程，又稱一維波動方

6、程為桿的縱振動方程，又稱一維波動方程129.1.3 弦的橫振動方程弦的橫振動方程l考慮一均勻柔軟的細弦沿考慮一均勻柔軟的細弦沿x軸繃緊，在平衡位置附軸繃緊，在平衡位置附近產生振幅極小的橫振動，如圖近產生振幅極小的橫振動，如圖9. 2所示設所示設u(x,t)是平衡時坐標為是平衡時坐標為x的點在的點在t 時刻沿時刻沿y方向的位移方向的位移(為為了繪圖方便，圖中夸大了這個位移了繪圖方便，圖中夸大了這個位移)，現(xiàn)在求細弦，現(xiàn)在求細弦上各點的運動規(guī)律上各點的運動規(guī)律l同樣，研究一小段同樣，研究一小段(x, x+dx)與外界的相互作用來建立與外界的相互作用來建立方程方程l為簡單起見，我們作出如為簡單起見，

7、我們作出如下簡化假設：下簡化假設：13弦橫振動方程推導的簡化假設弦橫振動方程推導的簡化假設l(1)、弦是柔軟的，弦上的任一點的張力沿弦、弦是柔軟的，弦上的任一點的張力沿弦的切線方向的切線方向l(2)、由于振動的振幅是極小的，因此張力與、由于振動的振幅是極小的，因此張力與水平方向的夾角水平方向的夾角a a1與與a a2也很小，僅考慮也很小，僅考慮a a1與與a a2的一階小量，略去二階小量，即的一階小量，略去二階小量，即14由此可見，在整個振動過程中，弦的長度也近由此可見，在整個振動過程中，弦的長度也近似不變：似不變：由胡克定律可知，弦上各點的張力與時間無關由胡克定律可知，弦上各點的張力與時間無

8、關l(3)弦的質量與張力相比很小，可忽略不計弦的質量與張力相比很小，可忽略不計l這樣，應用牛頓第二定律于水平方向，可以這樣，應用牛頓第二定律于水平方向，可以證明張力與證明張力與x無關實際上，既然弦只作橫振無關實際上，既然弦只作橫振動，故弦沿水平方向的加速度為零，牛頓第動，故弦沿水平方向的加速度為零，牛頓第二定律在水平方向的投影為二定律在水平方向的投影為 T(x+dx)cosa a1x T(x)cosa a20l將將cosa a1x及及cosa a2代入，便有代入，便有 T(x+dx)T(x) ()15l應用牛頓第二定律于豎直方向，可以得到弦振動方應用牛頓第二定律于豎直方向，可以得到弦振動方程，

9、設程，設r r為為單位長度弦的質量，單位長度弦的質量，F(xiàn)(x, t)為單位長度弦為單位長度弦所受的強迫力牛頓第二定律在豎直方向的投影為所受的強迫力牛頓第二定律在豎直方向的投影為l利用第利用第2個簡化假設及個簡化假設及tana a是曲線的斜率，因而是曲線的斜率，因而 l將上兩式代入式將上兩式代入式(9.1.10)，得，得16l這就是當弦在強迫力作用下各點的運動方程，這就是當弦在強迫力作用下各點的運動方程，稱為弦的強迫振動方程稱為弦的強迫振動方程 。17utt a2uxx f(x) (9.1.12)l假設弦不受外力作用，即假設弦不受外力作用，即F(x)0, 那么式那么式(9.1.12)化為化為lu

10、tt a2uxx 0 (9.1.13)l這就是弦的橫振動方程，又稱為一維波動方這就是弦的橫振動方程，又稱為一維波動方程程18l上述討論說明，一個是桿，一個是弦；一個上述討論說明，一個是桿，一個是弦；一個是縱振動，一個是橫振動；但它們遵守完全是縱振動，一個是橫振動；但它們遵守完全相同的運動方程相同的運動方程波動方程；波動方程；l這兩個例子都屬于一維空間的機械運動實這兩個例子都屬于一維空間的機械運動實際上，二維空間、三維空間的機械運動將遵際上，二維空間、三維空間的機械運動將遵守二維、三維的波動方程；守二維、三維的波動方程；l而且，聲波的傳播，電磁場的運動這些物理而且，聲波的傳播，電磁場的運動這些物

11、理本質完全不同的過程也都遵守三維波動方程；本質完全不同的過程也都遵守三維波動方程；19l前面已指出，為了完全弄清楚一個物理過程，前面已指出，為了完全弄清楚一個物理過程，還要給出定解條件還要給出定解條件209.1.4 波動問題的定解條件波動問題的定解條件1.初始條件初始條件l初始條件初始條件: 描述所研究系統(tǒng)的初始狀態(tài)。描述所研究系統(tǒng)的初始狀態(tài)。l由于波動方程含有由于波動方程含有對時間對時間的的二階偏導數二階偏導數，因，因此，要給出此，要給出兩個初始條件兩個初始條件即要給出系統(tǒng)各即要給出系統(tǒng)各點的初位移和初速度點的初位移和初速度u(x,0) j j (x,0) (9.1.14) ut(x,0)

12、y y (x,0) (9.1.15)21【9.1.1】一根長為一根長為l , 兩端固定的弦，用手把它兩端固定的弦，用手把它的中點橫向拉開距離的中點橫向拉開距離b(圖圖9.3), 然后放手任其自然后放手任其自由振動由振動, 寫出它的初始條件寫出它的初始條件l解解 t = 0時，各點的位移時，各點的位移由圖中折線確定；由圖中折線確定； t = 0時，即放手那一瞬間各時，即放手那一瞬間各點的速度為零，故點的速度為零，故22l邊界條件描述系統(tǒng)在邊界上的狀況，從數邊界條件描述系統(tǒng)在邊界上的狀況，從數學上歸結為三類邊界條件學上歸結為三類邊界條件(1)、第一類邊界條件：、第一類邊界條件：給出未知函數給出未知

13、函數u在在邊界上的值邊界上的值 如在弦的橫振動中，弦的兩端固定，其邊如在弦的橫振動中，弦的兩端固定，其邊界條件為界條件為 u(0, t)0 (9.1.16) u (l, t)0 (9.1.17)23(2)、第二類邊界條件：、第二類邊界條件：給定未知函數給定未知函數u在邊界在邊界上的法向導數值上的法向導數值 如桿在如桿在x=0端固定，在端固定，在x=l端受外力端受外力F(t)的作用的作用(圖圖9.4)，其邊界條件為，其邊界條件為 u(0, t) 0 (第一類第一類)； ux(l, t) (第二類第二類)24l證明證明 考慮細桿考慮細桿x = l端的一小段端的一小段( l-e, l)，由牛，由牛頓

14、第二定律，胡克定律及頓第二定律，胡克定律及 m = reS 可得可得l mutt=F(t) -SP(l-e,t)l即即 reSutt=F(t) -SYux(l-e,t)l令令e0，因，因utt有限，故等式左端為零因而有限，故等式左端為零因而0=F(t) -SYux(l,t) ，即，即l假設端點自由假設端點自由(既不固定，又不受既不固定，又不受F(t)作用作用)，將將F(t) =0代入上式，仍得第二類邊界條件代入上式，仍得第二類邊界條件lux(l, t) 0 (9.1.19)25(3)第三類邊界條件：第三類邊界條件：l給出邊界上給出邊界上u及其法向導數及其法向導數ux之間的線性關系之間的線性關系

15、如桿在如桿在x=0端固定，在端固定，在 x=l 端受彈性系數為端受彈性系數為k的彈簧的拉力的彈簧的拉力(圖圖9.5)，其邊界條件為，其邊界條件為 u(0, t) = 0 (第一類第一類)ux(l,t)+hu(l, t) = 0 (第三類第三類) 26 u(0, t) = 0 (第一類第一類)ux(l,t)+hu(l, t) = 0 (第三類第三類) l證明證明 將將F(t) = ku(l, t) 代入式代入式(9.1.8)，得，得273.街接條件街接條件l在研究具有不同介質的問題中，在不同介質在研究具有不同介質的問題中，在不同介質的分界面處有銜接條件例如，在用兩根不的分界面處有銜接條件例如，在

16、用兩根不同介質的桿連接成一根桿的縱振動問題中，同介質的桿連接成一根桿的縱振動問題中，在連接處的位移相等，應力也相等因此在在連接處的位移相等，應力也相等因此在連接點連接點x=x0處有下述銜接條件處有下述銜接條件l其中其中u1(l,t)和和u2(l,t)分別代表兩根不同介質的分別代表兩根不同介質的桿的位移，桿的位移，Y1和和Y2分別是它們的楊氏模量分別是它們的楊氏模量28l 除了上述三種定解條件之外，還有除了上述三種定解條件之外，還有l(wèi)有限性條件、有限性條件、l周期性條件等周期性條件等l后兩者在穩(wěn)定場問題中用得比較多，在后兩者在穩(wěn)定場問題中用得比較多，在節(jié)將作更詳盡的介紹節(jié)將作更詳盡的介紹 29l

17、【例例9.1.2】長為長為 l 的弦兩端固定，線密度為的弦兩端固定，線密度為r r，開始時在開始時在|x- -c|e e處受到沖量處受到沖量I的作用。的作用。l寫出定解條件。寫出定解條件。l解解 (1) 初始條件初始條件初位移初位移t=0時弦來不及振動，故時弦來不及振動，故u(x,0) =0.初速度初速度 在在 |x- -c|e e 段，由動量定律段，由動量定律 而動量的變化為而動量的變化為 兩式聯(lián)立，即有兩式聯(lián)立，即有 30在在 |x- -c|0)q-k-ku (9.2.1)l熱流強度熱流強度q的大小是單位時間內垂直通過等溫的大小是單位時間內垂直通過等溫面單位面積的熱量，即面單位面積的熱量，

18、即lq的方向是等溫面的法線方向的方向是等溫面的法線方向(由高溫指向低由高溫指向低溫溫)34 2. 能量守恒與轉化定律能量守恒與轉化定律l自然界一切物體都具有能量，能量有各種不自然界一切物體都具有能量，能量有各種不同形式，它能從一種形式轉化為另一種形式，同形式，它能從一種形式轉化為另一種形式，從一個物體傳遞給另一個物體，在轉化和傳從一個物體傳遞給另一個物體，在轉化和傳遞的過程中能量的數量保持不變。遞的過程中能量的數量保持不變。353. 牛頓冷卻定律牛頓冷卻定律l單位時間從物體內部通過單位外表積流到周單位時間從物體內部通過單位外表積流到周圍介質的熱量，跟物體外表與外界的溫差成圍介質的熱量，跟物體外

19、表與外界的溫差成正比，即正比，即lq(S,t)Hu(x, y, z, t)|s-u1 (9.2.2)l式中式中H0是熱交換系數，是熱交換系數，u1是周圍介質的溫是周圍介質的溫度度364. 斯特藩斯特藩-玻爾茲曼玻爾茲曼(Stefan-Boltzmann)定律定律l假設物體外表的絕對溫度為假設物體外表的絕對溫度為u,那么它在那么它在dt時時間內通過間內通過dS面向外輻射的熱量為面向外輻射的熱量為ldQsu4dSdt (9.2.3)l式中式中s 為斯特藩為斯特藩-玻爾茲曼常量玻爾茲曼常量379.2.2 熱傳導方程熱傳導方程l考察介質中任一小體積考察介質中任一小體積D DV，其邊界面為，其邊界面為S

20、，介質的比熱為介質的比熱為c，質量密度為，質量密度為r r介質中的熱源介質中的熱源,在單位時間、單位體積中放出的熱量用熱源在單位時間、單位體積中放出的熱量用熱源密度密度F(x,y,z,t)表示表示l現(xiàn)在求現(xiàn)在求t 時刻介質內各點溫度時刻介質內各點溫度 u(x,y,z,t) 應遵守應遵守的規(guī)律的規(guī)律l首先，位于首先，位于D DV內的介質吸收的熱量來自熱傳內的介質吸收的熱量來自熱傳導和熱源導和熱源38根據傅里葉定律，單位時間流入根據傅里葉定律，單位時間流入D DV的總的總熱量為熱量為(參看附錄參看附錄A)l單位時間內，在體積單位時間內，在體積D DV中熱源釋放的熱量為中熱源釋放的熱量為l單位時間內

21、，在體積單位時間內，在體積D DV中介質溫度升高所需中介質溫度升高所需要的熱量是要的熱量是(9.2.4)39由能量守恒定律可知由能量守恒定律可知Q3=Q1Q2，即，即l由于由于D DV是任意的，故有是任意的，故有l(wèi)假設介質均勻假設介質均勻(k為常數為常數), 可提到微分算符之外，可提到微分算符之外，引入引入 ， 那么式那么式(9.2.7)可簡寫可簡寫為為l這就是非齊次熱傳導方程，它給出介質中各這就是非齊次熱傳導方程，它給出介質中各點溫度點溫度u(x,y,z,t)所遵守的規(guī)律。所遵守的規(guī)律。40l非齊次熱傳導方程中，如果在非齊次熱傳導方程中，如果在DV內沒有熱源，內沒有熱源，即熱源密度即熱源密度

22、 f(x,y,z,t) = 0,l那么得齊次熱傳導方程那么得齊次熱傳導方程l ut(x,y,z,t) = a22u(x,y,z,t) (9.2.9)41l擴散方程具有相同的形式，見習題擴散方程具有相同的形式，見習題l盡管熱傳導現(xiàn)象與擴散現(xiàn)象的物理本質不同，盡管熱傳導現(xiàn)象與擴散現(xiàn)象的物理本質不同，一個是熱量的傳遞，一個是粒子的運動，但一個是熱量的傳遞，一個是粒子的運動，但它們都滿足同一偏微分方程，都遵守輸運過它們都滿足同一偏微分方程，都遵守輸運過程的共同規(guī)律程的共同規(guī)律 。42l【例例9.2.1】勻質導線的橫截面積為勻質導線的橫截面積為S，電阻率為，電阻率為h h，通有均勻分布的直流電電流密度為

23、通有均勻分布的直流電電流密度為j，試導出導線內，試導出導線內的熱傳導方程。的熱傳導方程。l解解 首先計算位于首先計算位于(x,x+dx)的小體積元在的小體積元在dt時間內凈時間內凈增加的熱量根據傅里葉定律，在增加的熱量根據傅里葉定律，在dt時間內，由左時間內，由左邊通過邊通過x橫截面沿橫截面沿ex方向方向流入流入dV的熱量是的熱量是l從右邊通過從右邊通過x+dx截面截面流出流出dV的熱量是的熱量是(圖圖9. 6) - -kux(x+dx,t)Sdt43故在故在dt時間內流入時間內流入dV的凈熱量為的凈熱量為l 根據焦耳一楞次根據焦耳一楞次(Joule-Lenz)定律，電流定律，電流I在在電阻為

24、電阻為R的導線上產生的焦耳熱為的導線上產生的焦耳熱為Q=I2Rt.因因此，在此，在dt時間內，電流密度時間內，電流密度j在電阻率為小體在電阻率為小體積為積為dV=Sdx的導線中產生的焦耳熱為的導線中產生的焦耳熱為?44l根據能量守恒定律，流入根據能量守恒定律，流入dV中的凈熱量中的凈熱量Q：與熱源在與熱源在dV中產生的熱量之和等于體積元中產生的熱量之和等于體積元dV內導體溫度升高內導體溫度升高du所需要的熱量所需要的熱量cr rdVdu,其中其中c為導體的比熱為導體的比熱, r r為導體的密度，因此為導體的密度，因此l整理后可得整理后可得l這就是導線內的熱傳導方程這就是導線內的熱傳導方程459

25、.2.3 熱傳導問題的定解條件熱傳導問題的定解條件l 1.初始條件初始條件l熱傳導方程含有對時間的一階偏導數，故只熱傳導方程含有對時間的一階偏導數，故只要一個初始條件要一個初始條件-初始時刻的溫度分布初始時刻的溫度分布u(x,y,z,t)|t=0=j j (x,y,z) (9.2.10)46(1) 第一類邊界條件：給定溫度在邊界上的值第一類邊界條件：給定溫度在邊界上的值在一維問題中，假設導熱桿在在一維問題中，假設導熱桿在x=0端保持為零端保持為零度，度，x=l端保持為端保持為T度，那么有度，那么有u(0,t) 0，u(l,t)T (9. 2. 11)在三維問題中，給定區(qū)域在三維問題中，給定區(qū)域

26、V的邊界面的邊界面S上的溫度上的溫度分布為分布為j (x,y,z, t)，那么，那么u(x,y,z,t)|S=j (x,y,z,t) (9.2.12)47(2) 第二類邊界條件：給定溫度在邊界上的法第二類邊界條件：給定溫度在邊界上的法向導數值向導數值l設單位時間內通過邊界面單位面積沿外法線方向流設單位時間內通過邊界面單位面積沿外法線方向流出的熱量為出的熱量為q(t).l在一維問題中，在導熱桿的兩端取在一維問題中，在導熱桿的兩端取0,e或或l-e,l)薄層當薄層當e0時，薄層介層的質量和熱容量趨于零，時，薄層介層的質量和熱容量趨于零，薄層介質升溫所需要的熱量也就趨于零；根據能量薄層介質升溫所需要

27、的熱量也就趨于零；根據能量守恒定律，從邊界面守恒定律，從邊界面x=0(x=l)流出的熱量應等于通流出的熱量應等于通過過x=e面面(或或x=l-e面面)流入薄層的熱量流入薄層的熱量l因此，可以根據傅里葉定律因此，可以根據傅里葉定律(q=-ku)計算從邊界流計算從邊界流出的熱量出的熱量48首先，在首先，在x=0處，在邊界面單位面積上單位時處，在邊界面單位面積上單位時間沿邊界外法線間沿邊界外法線(- -ex)方向流出的熱量為方向流出的熱量為l這說明，假設這說明，假設ux(0,t)0，即，即x=0處溫度隨處溫度隨x增增大而增大時，那么桿通過大而增大時，那么桿通過x=0面流出的熱量面流出的熱量q(0,t

28、)0；反之亦然；反之亦然l式式(9.2. 13)可改寫為可改寫為x=0端的邊界條件端的邊界條件49其次，在其次，在x=l處，在邊界面單位面積上，單位處，在邊界面單位面積上，單位時間沿界面外法線方向時間沿界面外法線方向ex流出的熱量為流出的熱量為l由此得由此得x=l端的邊界條件端的邊界條件l注意注意x=0與與x=l處邊界面外法線方向相反，使處邊界面外法線方向相反，使式式(9.2.14)與式與式(9.2.16)相差一負號相差一負號50在三維問題中；設在三維問題中；設n為邊界面為邊界面S的外法線方向，在邊界的外法線方向，在邊界面單位面積上單位時間沿外法線方向面單位面積上單位時間沿外法線方向n流出的熱

29、量為流出的熱量為l如果邊界絕熱，那么式如果邊界絕熱，那么式9.2.14)，式，式9.2. 16)和式和式9.2.18)分別改寫為分別改寫為 51(3) 第三類邊界條件：給定邊界溫度與邊界溫第三類邊界條件：給定邊界溫度與邊界溫度法向導數的線性關系度法向導數的線性關系l根據能量守恒定律，略去邊界薄層溫升所需根據能量守恒定律，略去邊界薄層溫升所需熱量將式熱量將式(9. 2. 2 )與式與式(9. 2. 17)聯(lián)立，即有聯(lián)立，即有l(wèi)令令h=H/k，那么有，那么有l(wèi)一維的情形為注意，在一維的情形為注意，在x=0處，處，ex為邊界面為邊界面的內法線方向，故的內法線方向，故un = - ux)52作業(yè)作業(yè)-

30、 9.2 第第193頁頁1組組2組組3組組9.2.19.2.59.2.19.2.39.2.29.2.453 9.3 穩(wěn)定場問題最常見的穩(wěn)定場問題是靜電場問題和穩(wěn)定溫度場問題我們著重討論靜電場問題，即給定電荷分布、介質分布和邊界條件，求靜電場分布本節(jié)首先介紹支配靜電場的假設干物理定律，隨后導出靜電場的泊松(Poisson)方程與拉普拉斯(Laplace)方程，最后介紹靜電場的定解條件549.3.1 支配靜電現(xiàn)象的假設干物理規(guī)律支配靜電現(xiàn)象的假設干物理規(guī)律l在介電常數為在介電常數為e的介質中，電荷分布為的介質中，電荷分布為r(x,y,z)，那么靜電場的場強那么靜電場的場強E(x,y,z)遵守方程：

31、遵守方程：l1.電場的散度方程電場的散度方程l證明證明 電磁學已證明了高斯定理電磁學已證明了高斯定理l將面積分換成體積分，可得將面積分換成體積分，可得l由體積由體積V的任意性可得，的任意性可得， 即靜電場是有源場即靜電場是有源場55l證明證明 當電荷在靜電場中沿閉合回路走一圈，當電荷在靜電場中沿閉合回路走一圈，靜電場對電荷沒做功，即靜電場對電荷沒做功，即l 將線積分換成面積分，可得將線積分換成面積分，可得l由面積由面積S的任意性可得的任意性可得X XE=0，即靜電場是，即靜電場是無旋場無旋場56l式中式中D=e eE為電位移矢量，為電位移矢量，q為高斯面為高斯面S內內的自由電荷總電量的自由電荷

32、總電量579.3.2 泊松方程與拉普拉斯方程泊松方程與拉普拉斯方程l由于靜電場是無旋場，利用由于靜電場是無旋場，利用Xu=0,可引入靜電可引入靜電勢勢u表示靜電場表示靜電場lE=-u (9.3.8)l將式將式(9.3.8)代入式代入式(9.3.1)，即得靜電勢滿足的泊松方，即得靜電勢滿足的泊松方程程l2u = -rf/e 9.3.9)l在沒有電荷分布的地方，將在沒有電荷分布的地方，將rf (x,y,z)=0代入，即得代入，即得拉普拉斯方程拉普拉斯方程l2u = 09.3.10)l穩(wěn)定溫度場遵守泊松方程，在沒有熱源的地方，遵穩(wěn)定溫度場遵守泊松方程，在沒有熱源的地方，遵守拉普拉斯方程，見習題。守拉

33、普拉斯方程，見習題。589.3.3 穩(wěn)定場問題的定解條件穩(wěn)定場問題的定解條件l 拉普拉斯方程和泊松方程不含對時間導數項，拉普拉斯方程和泊松方程不含對時間導數項，故穩(wěn)定場問題的定解條件不含初始條件，只故穩(wěn)定場問題的定解條件不含初始條件，只含邊界條件或其他條件含邊界條件或其他條件1邊界條件邊界條件l和前兩節(jié)相同，共分三類第一、二、三類和前兩節(jié)相同，共分三類第一、二、三類邊界條件也是分別給出邊界上未知數值，未邊界條件也是分別給出邊界上未知數值，未知函數的法向導數值或兩者的線性關系，如知函數的法向導數值或兩者的線性關系，如表表9-1所示所示 5960l在兩種介質的分界面上，靜電場電勢在兩種介質的分界面

34、上，靜電場電勢u的邊值關的邊值關系為系為l其中其中u1 , u2與與e e 1 , e e 2 分別為界分別為界面兩側介質的電勢和介電常面兩側介質的電勢和介電常數數, n是界面上由介質是界面上由介質1指向介指向介質質2的法向單位矢量，的法向單位矢量，s s是界是界面上的自由電荷面密度面上的自由電荷面密度61證明證明l(1) 設設P1與與P2分別是介質分別是介質1與介質邊界兩側無限靠近的與介質邊界兩側無限靠近的兩點兩點(圖圖9. 7)，兩點間距離，兩點間距離，l上式的上式的En可理解為電場強度在可理解為電場強度在P1P2上法向分量的平上法向分量的平均值均值. 考慮到考慮到En為有限量，當為有限量

35、，當D Dn 0時，上式必為零時，上式必為零. 故故u1= u2 ，這就是式，這就是式(9.3.11)62(2) 有介質時的高斯定理為有介質時的高斯定理為l現(xiàn)在取高斯面為邊界現(xiàn)在取高斯面為邊界上的一個扁平盒上的一個扁平盒(圖圖9.8),盒的上、下底平盒的上、下底平行于介質行于介質1、2分界面分界面的小面元的小面元Sl盒的高為盒的高為Dh，且，且Dh相對相對DS的線度是高級小的線度是高級小量因此，計算通過盒外表的電位移通量時量因此，計算通過盒外表的電位移通量時略去通過側面的通量由此得略去通過側面的通量由此得63利用面電荷密度的利用面電荷密度的 定義，可得定義，可得l將將D = e eE = -

36、- u 代入上式，即有代入上式，即有 l這就是式這就是式(9.3.12)(見附錄見附錄A)64在導體與介質分界面上電勢在導體與介質分界面上電勢u的邊值關系為的邊值關系為 u1 = u2 其中其中u1為導體的電勢，為導體的電勢，u2為絕緣介質的電勢，為絕緣介質的電勢，Qf為封閉面為封閉面S所包圍的電量的代數和所包圍的電量的代數和 由于導體是等勢體，由于導體是等勢體， 代入式代入式(9.3.12)可得式可得式(9.3.14).在式在式(9.3.14)的兩的兩邊作面積分即得式邊作面積分即得式(9.3.15) 65l3.有限性條件有限性條件 例如：例如：u在靜電場中常利用在坐標原點電勢有在靜電場中常利

37、用在坐標原點電勢有限的條件限的條件(當原點無點電荷時當原點無點電荷時)；u勒朗德方程的解在勒朗德方程的解在(+/-1)處有限的條處有限的條件。件。66l 4.周期性條件周期性條件u 由于物理量在同一點在同一時刻有確定值，由于物理量在同一點在同一時刻有確定值，在采用球坐標系在采用球坐標系(或柱坐標系或柱坐標系)時，就必然導時，就必然導致周期性條件；致周期性條件；u因為因為(r, q, j+2p, q, j+2p)與與(r, q, j, q, j)均表示空間同一均表示空間同一點，由電勢的唯一性可得點，由電勢的唯一性可得 u (r, q, j+2p, q, j+2p) = u (r, q, j, q

38、, j)u這就是周期性條件這就是周期性條件67l以上以靜電場為例，列舉了電勢的一些定以上以靜電場為例，列舉了電勢的一些定解條件，在其他問題中也會有類似的定解解條件，在其他問題中也會有類似的定解條件，在學習有關學科時將會具體給出。條件，在學習有關學科時將會具體給出。68【例【例9.3.1】在均勻外電場】在均勻外電場E0中置入半徑為中置入半徑為R0的導的導體球，假設導體球接有電池，使球與地保持電體球，假設導體球接有電池，使球與地保持電勢差勢差u0。試寫出電勢。試寫出電勢u滿足的泛定方程與定解滿足的泛定方程與定解條件條件設導體置入前球心位置的電勢設導體置入前球心位置的電勢u(0)=069l解解 選選

39、z軸沿均勻外電場軸沿均勻外電場E0的方向，見圖的方向，見圖9. 9.設設球內外電勢分別用球內外電勢分別用u1表示表示(1) 泛定方程因為除球面上泛定方程因為除球面上(R=R0)有自由電荷有自由電荷分布外，球內外的分布外，球內外的r rf=0，故，故 2 2u1 = 0 R R0 (9.3.17)70(2) 定解條件定解條件l 因為導體外表有限的電荷分布對無窮遠處因為導體外表有限的電荷分布對無窮遠處電勢的奉獻可以忽略不計，故無窮遠處的電電勢的奉獻可以忽略不計，故無窮遠處的電勢與導體置入前相同勢與導體置入前相同l當導體球不存在時，由矢量分析可知當導體球不存在時，由矢量分析可知 l現(xiàn)在計算上式從現(xiàn)在

40、計算上式從R=0到到的積分，由于在靜電的積分，由于在靜電場中，上式的積分與積分的路線無關，故可場中，上式的積分與積分的路線無關，故可取積分路線為直線，如圖取積分路線為直線，如圖9. 9(b)所示將所示將E0cosq作為常數提出積分號外，并將作為常數提出積分號外，并將u(0)=0代入，便有代入，便有71(2) 定解條件定解條件l球面上電勢連續(xù)，即球面上電勢連續(xù)，即lu1(R0) u2(R0) u0 (9.3.20)l因為此題比較簡單，有些條件因為此題比較簡單，有些條件(如周期性條件如周期性條件等等)不需要列出也可求出結果，就不用列出了。不需要列出也可求出結果，就不用列出了。72作業(yè)作業(yè)- 9.3

41、 第第197頁頁1組組2組組3組組9.3.29.3.39.3.4739.4 定解問題小結本節(jié)先對定解問題作一小結；隨后介紹定解問題的適定性；最后提出求解定解問題的五種常用方法。749.4.1 定解問題小結定解問題小結l科學技術中大量的物理問題，是要研究物理量科學技術中大量的物理問題，是要研究物理量(如位移、溫度、濃度、電勢等如位移、溫度、濃度、電勢等)在空間各點隨在空間各點隨時間變化的規(guī)律。為此要建立一個數學模型：時間變化的規(guī)律。為此要建立一個數學模型：u一方面要用數學語言描述該物理量的變化規(guī)律一方面要用數學語言描述該物理量的變化規(guī)律(通常是偏微分方程，稱為通常是偏微分方程，稱為泛定方程泛定方

42、程)；u另一方面要描述該物理量在研究區(qū)域邊界上和另一方面要描述該物理量在研究區(qū)域邊界上和初始時刻的情形初始時刻的情形(即邊界條件和初始條件即邊界條件和初始條件, 合稱合稱定解條件定解條件)；u泛定方程泛定方程和和定解條件定解條件就就構成構成了了定解問題定解問題75現(xiàn)在評述一下前面三節(jié)的主要結果現(xiàn)在評述一下前面三節(jié)的主要結果l1三類典型方程三類典型方程n波動方程波動方程n輸運方程輸運方程n穩(wěn)定場方程穩(wěn)定場方程l從數學觀點看，它們正好是二階線性偏微從數學觀點看，它們正好是二階線性偏微分方程的三類典型方程：雙曲型方程、拋分方程的三類典型方程：雙曲型方程、拋物型方程以及橢圓型方程。物型方程以及橢圓型方

43、程。76 從物理觀點看，它們反映三類不同本質的物從物理觀點看，它們反映三類不同本質的物理現(xiàn)象，正好是對時間理現(xiàn)象，正好是對時間 可逆過程可逆過程(波動過程波動過程) 不可逆過程不可逆過程(輸運過程輸運過程) 與時間無關的過程與時間無關的過程(穩(wěn)定過程穩(wěn)定過程)。 這只要在方程中用這只要在方程中用-t代替代替t后，視方程是否不后，視方程是否不變便可知道變便可知道 假設假設0稱為非齊次方程稱為非齊次方程(有源有源)，假設，假設f = 0稱為齊次方程稱為齊次方程(無源無源)。772. 三類方程對初始條件的要求三類方程對初始條件的要求l波動方程含有對時間的二階偏導，故要求波動方程含有對時間的二階偏導，

44、故要求兩個初始條件，即要給出兩個初始條件，即要給出ut(x,y,z,0) 及及u(x,y,z,0)的值；的值；l輸運方程含有對時間的一階偏導，故要求輸運方程含有對時間的一階偏導，故要求一個初始條件，即要給出一個初始條件，即要給出u(x,y,z,0)的值；的值；l穩(wěn)定場方一程與時間無關，不需要初始條穩(wěn)定場方一程與時間無關，不需要初始條件。件。783. 三類邊界條件三類邊界條件無論波動過程、輸運過程、穩(wěn)定過程都有三類邊無論波動過程、輸運過程、穩(wěn)定過程都有三類邊界條件。界條件。第一類邊界條件第一類邊界條件第二類邊界條件第二類邊界條件第三類邊界條件第三類邊界條件假設假設(x, y, z, t)0，稱為非齊次邊界條件；，稱為非齊