1、目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 f(x)是偶函數(shù)，且(0)f 存在，證明(0)0.f 證明證明:0limx( )(0)0f xfx(0)f 0limx( )(0)f xfx0limx()(0)fxfx0limx ()(0)fxfx0limh( )(0)f hfh(0)f hx 設(shè)2(0)0,f 故故(0)0,f 11:P84目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 )(xf在1x 處連續(xù),且1( )lim21xf xx求:(1).f 證證：1lim( )xf x又)(xf在1x 處連續(xù),(1)0.f所以1( )lim1xf xx故(1)2.f 設(shè)1( )(1)lim1xf xfx(1)f 故1( )lim(

2、1)2 01xf xxx0.練習(xí)練習(xí). 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第二節(jié)二、反函數(shù)的求導(dǎo)法則二、反函數(shù)的求導(dǎo)法則 三、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則三、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則 四、初等函數(shù)的求導(dǎo)問題四、初等函數(shù)的求導(dǎo)問題 一、四則運算求導(dǎo)法則一、四則運算求導(dǎo)法則 函數(shù)的求導(dǎo)法則 第二章目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 解決求導(dǎo)問題的思路解決求導(dǎo)問題的思路:xxfxxfxfx)()(lim)(0(構(gòu)造性定義)求導(dǎo)法則求導(dǎo)法則其他基本初等其他基本初等函數(shù)求導(dǎo)公式函數(shù)求導(dǎo)公式0 xcosx1 )(C )sin(x )ln(x證明中利用了兩個重要極限初等函數(shù)求導(dǎo)問題初等函數(shù)求導(dǎo)問題本節(jié)內(nèi)容目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 一

3、、四則運算求導(dǎo)法則一、四則運算求導(dǎo)法則定理定理1.的和、 差、 積、 商(除分母為0的點外)都在點x可導(dǎo), 且可導(dǎo)都在點及函數(shù)xxvvxuu)()()()(xvxu及)()( )()() 1 (xvxuxvxu此法則可推廣到任意有限項的情形.例如,wvuwvu)(例如,()12cos .xxx2lnsin10 xxx目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 (2)vuvuvu )(證證:設(shè), )()()(xvxuxf則有hxfhxfxfh)()(lim)(0hxvxuhxvhxuh)()()()(lim0故結(jié)論成立.)()()()(xvxuxvxuhhxuh)(lim0)(xu)(hxvhxv)()(xu

4、)(hxv )() 1uC )()2wvuuC wvuwvuwvu )log()3xaaxlnlnaxln1(C為常數(shù))推論推論:logloglogabaNNb 因為可導(dǎo)必連續(xù)因為可導(dǎo)必連續(xù), , 所以所以0 ()( )hv xhv x時 ，.目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例1. 解解:xsin41(21)1sin, )1sincos4(3xxxy.1xyy 及求 y)(xx)1sincos4(213xxx23( xx)1xy1cos4)1sin43( 1cos21sin2727)1sincos4(3xx)1sincos4(3xx目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 4.設(shè)),99()2)(1()(

5、xxxxxf).0(f 求解解: 方法方法1 利用導(dǎo)數(shù)定義.0)0()(lim)0(0 xfxffx)99()2)(1(lim0 xxxx!99方法方法2 利用求導(dǎo)公式.)(xf)(xx )99()2)(1(xxx)99()2)(1(xxx!99)0(f目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2CCvvv(C為常數(shù))2( )( ) ( )( ) ( )(3)( )( )u xu x v xu x v xv xvx)0)(xv注意注意: : ( )( )( )( );u xv xu xv x ( )( ).( )( )u xu xv xv x 推論推論:目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 )(cscxxsin1

6、x2sin)(sinxx2sin例例2.求證,sec)(tan2xx證證: .cotcsc)(cscxxxxxxcossin)(tanx2cosxx cos)(sin)(cossinxxx2cosx2cosx2sinx2secxcosxxcotcsc類似可證:,csc)(cot2xx.tansec)(secxxx2uu vuvvv 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 練習(xí)練習(xí)1：P94 2(3,5,7,9)口算口算23. 2secsectan ;xxx 5. 2 ln;xxx 21ln7.;xx 29. 2 lncoscoslnsin .xxxxxxxx目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 )( xf二、反

7、函數(shù)的求導(dǎo)法則二、反函數(shù)的求導(dǎo)法則 定理定理2. y 的某鄰域內(nèi)單調(diào)可導(dǎo),)()(1的反函數(shù)為設(shè)yfxxfy在)(1yf0 )(1yf且ddxy或yxdd1 )(1yf1即即 反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于直接函數(shù)導(dǎo)數(shù)的倒數(shù)反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于直接函數(shù)導(dǎo)數(shù)的倒數(shù). .證證:xyxfx0lim)(lim0yyx1 )(1yf1 該定理說明：一個函數(shù)單調(diào)、連續(xù)、可導(dǎo)該定理說明：一個函數(shù)單調(diào)、連續(xù)、可導(dǎo), , 則它的反函數(shù)存在則它的反函數(shù)存在, , 且單調(diào)、連續(xù)、可導(dǎo)且單調(diào)、連續(xù)、可導(dǎo). .目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 1例例3.求反三角函數(shù)及指數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù).解解:1)設(shè),arcsin

8、xy 則,sin yx , )2,2(y)(arcsinx)(sinyycos1y2sin11211x類似可求得?)(arccosx211xxxarcsin2arccos利用0cosy,則,11)(arctan2xx211)arccot(xx目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 12)設(shè)arctan,yx則tan,xy, )2,2(y(arctan ) x (tan )y 21sec y211tan y211x類似可求得,11)(arctan2xx211)arccot(xxarccotarctan2xx利用2sec0y,則目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 3)設(shè), )1,0(aaayx則),0(,logy

9、yxa)(xa)(log1ya 1ayln1aylnaaxlnxxe)e( )arcsin(x211x )arccos(x211x )arctan(x211x )cotarc(x211xaaaxxln)(xxe)e(特別當(dāng)ea時,小結(jié)小結(jié):目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 練習(xí)練習(xí)2：P95 8(7)arcsin()arccosxyx 22211arccosarcsin ()11arccosxxxxx 22arccosarcsin1arccosxxxx 222 1arccosxx 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 在點x可導(dǎo),lim0 xxuxuuf)(xyxyx0limdd三、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則三、復(fù)

10、合函數(shù)求導(dǎo)法則定理定理3.)(xgu )(ufy 在點)(xgu 可導(dǎo)復(fù)合函數(shù)fy )(xg且)()(ddxgufxy在點x可導(dǎo),證證:)(ufy 在點 u 可導(dǎo), 故)(lim0ufuyuuuufy)(（當(dāng)時)0u0故有)()(xgufuy)(uf)0()(xxuxuufxydydydudxdu dx或或目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 在點x可導(dǎo),三、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則三、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則dydydudxdu dx或或定理定理3.)(xgu )(ufy 在點)(xgu 可導(dǎo)復(fù)合函數(shù)fy )(xg且)()(ddxgufxy在點x可導(dǎo),即：因變量對自變量求導(dǎo)即：因變量對自變量求導(dǎo), ,等于因變量對中

11、間變量求導(dǎo)等于因變量對中間變量求導(dǎo), ,乘以中間變量對自變量求導(dǎo)乘以中間變量對自變量求導(dǎo).(.(鏈式法則鏈式法則) )( )( )yxfug xg xx復(fù)合函數(shù) 關(guān)于 求導(dǎo)相當(dāng)于先對外層函數(shù)關(guān)于中間變量 求導(dǎo)(把內(nèi)層函數(shù)看成一個整體）再乘以內(nèi)層函數(shù)關(guān)于 求導(dǎo)。fg是外層函數(shù)， 是內(nèi)層函數(shù)目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例如,)(, )(, )(xvvuufyxydd)()()(xvufyuvxuyddvuddxvdd推廣推廣：此法則可推廣到多個中間變量的情形. ( )( )yxfxxx 復(fù)合函數(shù) 關(guān)于 求導(dǎo)相當(dāng)于外層函數(shù) 求導(dǎo)(把中間層函數(shù)看成一個整體）再乘以關(guān)于中間層函數(shù) 求導(dǎo)（把內(nèi)層函數(shù)看成

12、一個整體），最后乘以內(nèi)層函數(shù) 關(guān)于 求導(dǎo)。f是外層函數(shù)， 是中間層函數(shù)， 是內(nèi)層函數(shù)關(guān)鍵:搞清復(fù)合函數(shù)結(jié)構(gòu),由外向內(nèi)逐層求導(dǎo).沿線相乘目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 關(guān)鍵:搞清復(fù)合函數(shù)結(jié)構(gòu),由外向內(nèi)逐層求導(dǎo).例例4.(),.dyyxdx2101求解：解：2910(1)2xx2920 (1) .x xdddy dudu dxyx102,1.yuux設(shè)910u2(1)x例例5.,.xdyyedx3求 解：解：3,.uyeux設(shè)dddy dudu dxyxue3()x 323xex323.xx e目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 求求22sin,1xyx.dydx設(shè)設(shè)22sin ,1xyu uxcos ,

13、 dyudu說明：注意函數(shù)的復(fù)合過程說明：注意函數(shù)的復(fù)合過程,合理分解，正確使合理分解，正確使用鏈式法則用鏈式法則;22222(1)2cos(1)1dyxxdxxx 例例6.解：解：22222222(1)(2 )2(1)(1)(1)duxxxdxxx目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例7.解：解：關(guān)鍵:搞清復(fù)合函數(shù)結(jié)構(gòu),由外向內(nèi)逐層求導(dǎo).dddy dudu dxyx例例8.(arctan) ,.dyyxdx31求 解：解：3,arctan ,yuuv設(shè)1.vxddyxuyddvuddddvx23u211v21()x212113(arctan )1 ( )xxarcsin,yx.y求21()1 (

14、)xx1112xx212 xxarcsin ,.yu ux設(shè)()x 211 u21213(arctan )1xx21()x目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例9.求下列導(dǎo)數(shù):(1) () ;(2) (sh ) .xxx解解:)(e)(lnxxxxxx lne)ln(xxxx)1ln(x(2)(3)2ee)(shxxx2xexexch說明說明:類似可得;sh)(chxxaxxalne)(thx)(xaxxxchshth2eeshxxx;ch12x.lnaax目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例10. 設(shè), )cos(elnxy 求.ddxy解解:xydd)cos(e1x)sin(e(xxe)tan(

15、eexx1sin1(sin)xyex1sin11cos( )xexx1sin211cos.xexx 例例11.設(shè)1sine,xy 求.ddxy解解:目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 練習(xí)練習(xí)3：P94 6(3, 4，6，8) 2214.(1)1xx8. (arctan()xe 2.1()xxee 222216.()2axax 2222xax 22;xax 21()1()xxee 3226;xx e 3233.( 2)xex 22;1xx 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 四、初等函數(shù)的求導(dǎo)問題四、初等函數(shù)的求導(dǎo)問題 1.常數(shù)和基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(P92) )(C0 )(x1x )(sin xxcos

16、)(cosxxsin )(tan xx2sec )(cot xx2csc )(secxxxtansec )(cscxxxcotcsc )(xaaaxln )(exxe )(log xaaxln1 )(ln xx1 )(arcsin x211x )(arccosx211x )(arctan x211x )cot(arcx211x目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2.有限次四則運算的求導(dǎo)法則 )(vuvu )( uCuC )( vuvuvuvu2vvuvu(C為常數(shù))0( v3.復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則)(, )(xuufyxydd)()(xuf4. 初等函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)初等函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)可導(dǎo), )(C

17、0 )(sin xxcos )(ln xx1由定義證,說明說明: 最基本的公式uyddxudd其他公式用求導(dǎo)法則推出.且導(dǎo)數(shù)仍為初等函數(shù)且導(dǎo)數(shù)仍為初等函數(shù)目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 ( ( ) ( )( )fxfxx ( ( ) ( )fxfx與之間的區(qū)別: ( )( ( );dfxfxxdx 表示復(fù)合函數(shù)對自變量 的導(dǎo)數(shù)可以看成是把中間變量的函數(shù)代入，變?yōu)樽宰兞縳x為 函數(shù)，然后再對求導(dǎo).注意注意( )( )( )fxf x fx22 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2 . 設(shè),)(xfffy 解解:)(fy)(xff)(f )(xf)(xf 其中)(xf可導(dǎo),求.y練習(xí)練習(xí)4：P98 10

18、21. 2();xfx 222. sin2 (sin)(cos).x fxfx 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例11. 求解解:,1111xxxxy.y21222xxy12xx1 y1212x)2( x112xx先化簡后求導(dǎo)目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例12. 設(shè), )1(ln2xxy.y求解解:112xxy11212xx22221111xxxxx.x211目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例12. 設(shè)1arctan,1xyx.y求解解:2111()1yxx 1()1xx2(1) (1)(1)(1)(1)xxx xx222(1)x222(1)(1)(1)xxx2(1)(1)(1)xxx22

19、(1)22xx211x 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例13. 求解解:,1arctane2sin2xyx.y1arctan)(2xy ) (e2sin x2sinex2cosxx221x1212xx2x21arctan2x2sinex2cosx2sinex112xx關(guān)鍵關(guān)鍵:搞清復(fù)合函數(shù)結(jié)構(gòu)由外向內(nèi)逐層求導(dǎo)目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例14. 設(shè)求,1111ln411arctan21222xxxy.y解解: y22)1(1121x21xx) 11ln() 11ln(22xx111412x21xx1112x21xx2121xx221x21x231)2(1xxx目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束

20、 練習(xí)練習(xí)5：P95 11(5, 8, 9)2215. ()1ttee 8. ()xx 2224;(1)ttee 1()2xxxx 11(1)22xxx 214xxxx 2215.1ttee 8.xx 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 9.求的導(dǎo)數(shù)2arcsin4.2xyxx解解21arcsin221()2xxx 222 4xx arcsin.2x 2arcsin24xxx 24xx y目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)求導(dǎo)公式及求導(dǎo)法則(見P95P96)注意注意: 1),)(vuuvvuvu2)搞清復(fù)合函數(shù)結(jié)構(gòu),由外向內(nèi)逐層求導(dǎo).41143x1.xx1431x思考與練習(xí)思考與練習(xí)對嗎

21、?2114341xx目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 作業(yè)作業(yè)P942(3、5、7);6(3、6);7(7、8)；8(3、6);第三節(jié) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2.設(shè), )()()(xaxxf其中)(x在ax 因)()()()(xaxxxf故)()(aafaxafxfafax)()(lim)(axxaxax)()(lim)(limxax)(a正確解法:)(af 時,下列做法是否正確?在求處連續(xù),由于f (a)=0，故目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 3.求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)解解:(1)1bxaby2xa1bbxba(2) y)(x(1);(2).bxaayyxbxbabalnxabbaln或xaby

22、ababxln目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 備用題備用題 1. 設(shè) yxxxx2sec12csc41232,2tan2cotxxy解：解：2csc2xx2sec2x2121)121(23x求.y目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例8. 設(shè)),0( aaaxyxaaaxa解解:1aaaxayaaaxln1axaaaxaln求.yaaxln目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 此法則可推廣到任意有限項的情形.證證: 設(shè)則vuvu )() 1 (故結(jié)論成立.例如, )()()(xvxuxfhxfhxfxfh)()(lim)(0hxvxuhxvhxuh)()()()(lim0hxuhxuh)()(lim0hxvhxvh)()(lim0)()(xvxuwvuwvu)(目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 (2)vuvuvu )(證證:設(shè), )()()(xvxuxf則有hxfhxfxfh)()(lim)(0hxvxuhxvhxuh)()()()(lim0故結(jié)論成立.)()()()(xvxuxvxuhhxuh)(lim0)(xu)(hxvhxv)()(xu)(hxv推論推論: )() 1uC )()2wvuuC wvuwvuwvu )log()3xaaxlnlnaxln1(C為常數(shù))目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 )( xf二、反函數(shù)的求導(dǎo)法則二、反函數(shù)的求