1、.中考總復(fù)習(xí)-幾何綜合 幾何綜合題常研究以下幾個(gè)方面的問(wèn)題：1.證明線段、角的數(shù)量關(guān)系（包括相等、和差、倍、分關(guān)系以及比例關(guān)系）；2.證明圖形的位置關(guān)系（如點(diǎn)與線、線與線、線與圓等）；3.面積計(jì)算問(wèn)題；4.動(dòng)態(tài)幾何問(wèn)題在解幾何綜合問(wèn)題時(shí)，常要分解基本圖形，挖掘隱含的數(shù)量關(guān)系，另外，也需要注意使用數(shù)形結(jié)合、方程、分類討論等數(shù)學(xué)思想方法來(lái)解決問(wèn)題。借助變換的觀點(diǎn)也能幫助我們找到更有效的解決問(wèn)題的思路。解幾何綜合題，要充分利用綜合與分析的思維方法。當(dāng)思維受阻時(shí)要及時(shí)改變方向;要熟悉常用的輔助線添法;強(qiáng)化變換的意識(shí);從特殊或極端位置探究結(jié)論。第一課時(shí)：基本證明與計(jì)算：例1.直線CF垂直且平分AD于點(diǎn)E

2、，四邊形ABCD是菱形，BA的延長(zhǎng)線交CF于點(diǎn)F，連接AC。（1）寫出圖中兩對(duì)全等三角形。（2）求證：ABC是正三角形。例2、在平行四邊形ABCD中，E、F分別為邊AB、CD的中點(diǎn)，BD是對(duì)角線，AGDB交CB的延長(zhǎng)線于G.（1） 求證：ADECBF（2） 若四邊形BEDF是菱形，則四邊形AGBD是什么特殊四邊形？并證明你的結(jié)論。例3、如圖1，在四邊形ABCD中，已知AB=BCCD，BAD和CDA均為銳角，點(diǎn)P是對(duì)角線BD上的一點(diǎn)，PQBA交AD于點(diǎn)Q，PSBC交DC于點(diǎn)S，四邊形PQRS是平行四邊形。（1）當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)B重合時(shí)，圖1變?yōu)閳D2，若ABD90°，求證：ABRCRD；（2）

3、對(duì)于圖1，若四邊形PRDS也是平行四邊形，此時(shí)，你能推出四邊形ABCD還應(yīng)滿足什么條件？ 練習(xí)：1在梯形中，（1）求的長(zhǎng)；（2）為梯形內(nèi)一點(diǎn)，為梯形外一點(diǎn)，若，試判斷的形狀，并說(shuō)明理由（3）在（2）的條件下，若，求的長(zhǎng)2.如圖，四邊形ABCD為一梯形紙片，AB/CD，AD=BC翻折紙片ABCD，使點(diǎn)A與點(diǎn)C重合，折痕為EF已知CEAB（1）求證：EF/BD；（2）若AB=7，CD=3，求線段EF的長(zhǎng)3.已知：在中，D為AB邊上一點(diǎn)，（1）試說(shuō)明：和都是等腰三角形；（2）若，求的值；（3）請(qǐng)你構(gòu)造一個(gè)等腰梯形，使得該梯形連同它的兩條對(duì)角線得到8個(gè)等腰三角形（標(biāo)明各角的度數(shù)）4.如圖，ABBC，D

4、CBC，垂足分別為B、C。（1） 當(dāng)AB=4，DC=1，BC=4時(shí)，在線段BC上是否存在點(diǎn)P，使APPD？如果存在，求BP的長(zhǎng)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。（2） 設(shè)AB=a,DC=b,AD=c,那么當(dāng)a,b,c滿足什么條件時(shí)，直線BC上存在點(diǎn)P，使得APPD？5.如圖，梯形ABCD中，ADBC，ABC=90°，AD=9，BC=12，AB=，在線段BC上取一點(diǎn)P，連結(jié)DP，作射線PEDP，PE與直線AB交于點(diǎn)E.（1）試確定CP=3時(shí)，點(diǎn)E的位置；（2）若設(shè)CP=x，BE=y，試寫出y關(guān)于自變量x的函數(shù)關(guān)系式；（3）若在線段BC上找到一點(diǎn)P，使上述作法得到的點(diǎn)E與點(diǎn)A重合，試求出此時(shí)的值

5、.6.已知：如圖，點(diǎn)O是四邊形BCED外接圓的圓心，點(diǎn)O在BC上，點(diǎn)A在CB的延長(zhǎng)線上，且ADB=DEB，EFBC于點(diǎn)F，交O于點(diǎn)M，EM= （1）求證：AD是O的切線；（2）若弧BM上有一動(dòng)點(diǎn)P，且sinCPM=，求O直徑的長(zhǎng)；（3）在(2)的條件下，如果DE=，求tanDBE的值7.已知：如圖，Rt中，點(diǎn)在上，以為圓心、OC為半徑的圓與AB相切于點(diǎn)，交AC于點(diǎn)E（1）求證：DEOB；（2）若O的半徑為2，求CD的長(zhǎng)8.已知：如圖，在O中，弦CD垂直直徑AB，垂足為M，AB=4，CD=，點(diǎn)E在AB的延長(zhǎng)線上，且。（1）求證：DE是O的切線（2）將ODE平移，平移后所得的三角形記為ODE，求當(dāng)

6、點(diǎn)E與點(diǎn)C重合時(shí)，ODE與O重合部分的面積。第二課時(shí) 線段、角的數(shù)量關(guān)系（包括相等、和差、倍、分關(guān)系）例1如圖，在四邊形ABCD中，ADBC，點(diǎn)E是AB上一動(dòng)點(diǎn)，若B=60°，AB=BC，且DEC=60°，判斷AD+AE與BC的關(guān)系并證明你的結(jié)論。例2.如圖1，在正方形中，對(duì)角線與相交于點(diǎn)，平分，交于點(diǎn)（1）求證：；（2）點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿著線段向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)（不與點(diǎn)重合），同時(shí)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿著的延長(zhǎng)線運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)與的運(yùn)動(dòng)速度相同，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)時(shí)，另一動(dòng)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)如圖2，平分，交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作，垂足為，請(qǐng)猜想，與三者之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想；（3）在（2）的條件下，當(dāng)，時(shí)，求

7、的長(zhǎng)圖1圖2例3.如圖，放置兩個(gè)全等的直角三角形ABC和EDA，點(diǎn)B、A、D在同一條直線上， 操作：在圖中，作ABC的平分線BF，過(guò)點(diǎn)D作DFBF，垂足為F，連結(jié)CE。 探究：線段BF、CE的關(guān)系，并證明你的結(jié)論。練習(xí)：1.如圖，在ABC中，AB=AC，AE=CF。求證：2.過(guò)正方形ABCD的點(diǎn)A作任意直線交CD和BC邊的延長(zhǎng)線于P和Q。求證：AP+AQ2AC。（選作）3.如圖，在正方形ABCD中，E是AB邊上任意一點(diǎn)，BGCE，垂足為點(diǎn)O,交AC于點(diǎn)F，交AD于點(diǎn)G。EBAOFGCD（1） 證明：BE=AG ；（2） 點(diǎn)E位于什么位置時(shí)，AEF=CEB，說(shuō)明理由.4. 如圖，在直角梯形紙片A

8、BCD中，將紙片沿過(guò)點(diǎn)D的直線折疊，使點(diǎn)A落在邊CD上的點(diǎn)E處，折痕為連接EF并展開(kāi)紙片（1）求證：四邊形ADEF是正方形；（2）取線段AF的中點(diǎn)G，連接，如果，試說(shuō)明四邊形GBCE是等腰梯形ECBDAGF第三課時(shí)：面積問(wèn)題面積問(wèn)題主要包括直接用基本公式求面積；證明所給出的圖形是特殊圖形，然后利用基本公式求面積；通過(guò)圖形的剪拼（或幾何變換）把不規(guī)則圖形轉(zhuǎn)化為基本圖形；利用等積轉(zhuǎn)化求面積；利用比例求面積。例1.已知，如圖，正方形的邊長(zhǎng)為6，菱形的三個(gè)頂點(diǎn)分別在正方形邊上，連接（1）當(dāng)時(shí)，求的面積；（2）設(shè)，用含的代數(shù)式表示的面積；（3）判斷的面積能否等于，并說(shuō)明理由例2如圖，四邊形ABCD的對(duì)角

9、線AC、BD交于點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)P作直線交AD于點(diǎn)E，交BC于點(diǎn)F。若PE=PF，且AP+AE=CP+CF。（1） 求證：PA=PC（2） 若AD=12，AB=15，DAB=60°，求四邊形ABCD的面積。例3已知：如圖，在邊長(zhǎng)為2的菱形ANCD中，B=45°，AE為BC邊上的高，將ABE沿AE所在直線翻折后得到。求與四邊形ABCD重疊部分面積。例4.如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線分別交x軸、y軸于C、A兩點(diǎn).將射線AM繞著點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°得到射線AN.點(diǎn)D為AM上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)B為AN上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)C在MAN的內(nèi)部.（1） 求線段AC的長(zhǎng)；（2） 當(dāng)AMx軸，且四

10、邊形ABCD為梯形時(shí)，求BCD的面積；（3） 求BCD周長(zhǎng)的最小值；（4） 當(dāng)BCD的周長(zhǎng)取得最小值，且BD=時(shí),BCD的面積為 .練習(xí)：1.ABC中，AB=AC，M、N分別是AB、AC的中點(diǎn)，D、E為BC上的點(diǎn)，連結(jié)DN、EM。若AB=13cm， BC=10cm，AMNBDECDE=5cm，則圖中陰影部分的面積為多少平方厘米？2.已知：拋物線y=x2+mx+2m2(m0)與x軸交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)A在點(diǎn)B的左邊，C是拋物線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)C與點(diǎn)A、B不重合)，D是OC的中點(diǎn)，連結(jié)BD并延長(zhǎng)，交AC于點(diǎn)E。（1）用含m的代數(shù)式表示點(diǎn)A、B的坐標(biāo)；（2）求的值；（3）當(dāng)C、A兩點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離相等，且

11、時(shí)，求拋物線和直線BE的解析式。3.已知，在RtABC中，C=90°，A=30°，CD是AB邊的中線，若將ABC沿CD折疊，使CA到的位置，連結(jié)B（1）求證：四邊形是菱形；（2）若BC2，試求四邊形是菱形的面積. 4.已知平行四邊形，點(diǎn)為線段上一點(diǎn)（端點(diǎn)除外），連結(jié)，連結(jié)，并延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，連結(jié)（1）當(dāng)為的中點(diǎn)時(shí)，求證與的面積相等；（2）當(dāng)為上任意一點(diǎn)時(shí)，與的面積還相等嗎？說(shuō)明理由5.如圖，BC是O的直徑，點(diǎn)A在圓上，且AB=AC=4P為AB上一點(diǎn)，過(guò)P作PEAB分別BC、OA于E、F (1)設(shè)AP=1，求OEF的面積 (2)設(shè)AP=a (0a2)，APF、OEF的面積

12、分別記為S1、S2。若S1=S2，求a的值；若S= S1+S2，是否存在一個(gè)實(shí)數(shù)a，使S?若存在，求出一個(gè)a的值；若不存在，說(shuō)明理由第四課時(shí)：動(dòng)態(tài)幾何動(dòng)態(tài)問(wèn)題一般分兩類，一類是代數(shù)綜合方面，在坐標(biāo)系中有動(dòng)點(diǎn)，動(dòng)直線，一般是利用多種函數(shù)交叉求解。另一類就是幾何綜合題，在梯形，矩形，三角形中設(shè)立動(dòng)點(diǎn)、線以及整體平移翻轉(zhuǎn)，對(duì)綜合分析能力進(jìn)行考察。例1（2010，密云，一模）如圖，在梯形中，梯形的高為動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)沿線段以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向終點(diǎn)運(yùn)動(dòng)；動(dòng)點(diǎn)同時(shí)從點(diǎn)出發(fā)沿線段以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向終點(diǎn)運(yùn)動(dòng)設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為（秒）（1）當(dāng)時(shí)，求的值；（2）試探究：為何值時(shí)，為等腰三角形例2（2010，崇

13、文，一模）在ABC中，ACB=45º點(diǎn)D（與點(diǎn)B、C不重合）為射線BC上一動(dòng)點(diǎn)，連接AD，以AD為一邊且在AD的右側(cè)作正方形ADEF（1）如果AB=AC如圖，且點(diǎn)D在線段BC上運(yùn)動(dòng)試判斷線段CF與BD之間的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論（2）如果ABAC，如圖，且點(diǎn)D在線段BC上運(yùn)動(dòng)（1）中結(jié)論是否成立，為什么？（3）若正方形ADEF的邊DE所在直線與線段CF所在直線相交于點(diǎn)P，設(shè)AC，CD=，求線段CP的長(zhǎng)（用含的式子表示） 例3（2010，懷柔，一模）已知如圖，在梯形中，點(diǎn)是的中點(diǎn)，是等邊三角形（1）求證：梯形是等腰梯形；（2）動(dòng)點(diǎn)、分別在線段和上運(yùn)動(dòng)，且保持不變?cè)O(shè)求與的函數(shù)關(guān)系式；（

14、3）在（2）中，當(dāng)取最小值時(shí)，判斷的形狀，并說(shuō)明理由ADCBPMQ60°例4.（2009，石景山一模）已知：如圖（1），射線射線，是它們的公垂線，點(diǎn)、分別在、上運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)與點(diǎn)不重合、點(diǎn)與點(diǎn)不重合），是邊上的動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)與、不重合），在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中始終保持，且（1）求證：；（2）如圖（2），當(dāng)點(diǎn)為邊的中點(diǎn)時(shí)，求證：；（3）設(shè)，請(qǐng)?zhí)骄浚旱闹荛L(zhǎng)是否與值有關(guān)？若有關(guān)，請(qǐng)用含有的代數(shù)式表示的周長(zhǎng)；若無(wú)關(guān)，請(qǐng)說(shuō)明理由 練習(xí)：1.在直角梯形COAB中，CBOA,以O(shè)為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，A、B、C的坐標(biāo)分別為A(10,0)、B(4,8)、C(0,8)，D為OA的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P自點(diǎn)A出發(fā)沿ABCO的路線移

15、動(dòng)，速度為每秒1個(gè)單位，移動(dòng)時(shí)間記為t秒（1）動(dòng)點(diǎn)P在從A到B的移動(dòng)過(guò)程中，設(shè)APD的面積為S，試寫出S與t的函數(shù)關(guān)系式，指出自變量的取值范圍，并寫出S的最大值；（2）動(dòng)點(diǎn)P從A出發(fā)，幾秒鐘后線段PD將梯形COAB的面積分成1:3兩部分？求出此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)。OACBPD2.在矩形ABCD中，AB=20cm，BC=4cm，點(diǎn)P從A開(kāi)始沿折線ABCD以4cm/s的速度移動(dòng)，點(diǎn)Q從C開(kāi)始沿CD邊以1cm/s的速度移動(dòng)，如果點(diǎn)P、Q分別從A、C同時(shí)出發(fā)，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)D時(shí)，另一點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t(s)（1）t為何值時(shí)，四邊形APQD為矩形？（2）如果P和Q都是半徑為2cm的圓，那么t為何

16、值時(shí)，P和Q外切？3、直線，垂足為點(diǎn)O，A、B是直線上的兩個(gè)點(diǎn)，且OB=2，AB=，直線繞點(diǎn)O按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)的角度為（）。（1） 當(dāng)時(shí)，在直線上找點(diǎn)P，使得BPA是以B為頂角的等腰三角形，此時(shí)OP= （2） 當(dāng)在什么范圍內(nèi)變化時(shí)，直線上存在點(diǎn)P，使得BPA是以B為頂角的等腰三角形，請(qǐng)用不等式表示的取值范圍？4已知：如圖等邊三角形ABC的邊長(zhǎng)為6，點(diǎn)D、E分別在邊AB、AC上，且AD=AE=2。若點(diǎn)F從點(diǎn)B開(kāi)始以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)的速度沿射線BC方向運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒。當(dāng)時(shí)，直線FD與過(guò)點(diǎn)A且平行于BC的直線相交于點(diǎn)O。（1） 設(shè)EGA的面積為S，寫出S與t的函數(shù)關(guān)系式；（2） 當(dāng)

17、t為何值時(shí)，ABGH（3） 請(qǐng)你證明GFH的面積為定值；當(dāng)t為何值時(shí)，點(diǎn)F和點(diǎn)C是線段BH的三等分5如圖，直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A(2，4)，B(5，0)，動(dòng)點(diǎn)P從B點(diǎn)出發(fā)沿BO向終點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)O從A點(diǎn)出發(fā)沿AB向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，速度均為每秒1個(gè)單位，設(shè)從出發(fā)起運(yùn)動(dòng)了s(1)Q點(diǎn)的坐標(biāo)為(，)（用含x的代數(shù)式表示）(2)當(dāng)x為何值時(shí)，APQ是一個(gè)以AP為腰的等腰三角形? (3)記PQ的中點(diǎn)為G請(qǐng)你探求點(diǎn)G隨點(diǎn)P，Q運(yùn)動(dòng)所形成的圖形，并說(shuō)明理由.第五課時(shí)：課題學(xué)習(xí)例1 如果一個(gè)三角形和一個(gè)矩形滿足條件：三角形的一邊與矩形的一邊重合，且三角形的這邊所對(duì)的頂點(diǎn)在矩形這邊的對(duì)邊上，則稱這樣的矩

18、形為三角形的“友好矩形”. 如圖8所示，矩形ABEF即為ABC的“友好矩形”. 顯然，當(dāng)ABC是鈍角三角形時(shí)，其“友好矩形”只有一個(gè) .(1) 仿照以上敘述，說(shuō)明什么是一個(gè)三角形的“友好平行四邊形”；(2) 如圖8，若ABC為直角三角形，且C=90°，在圖8中畫(huà)出ABC的所有“友好矩形”，并比較這些矩形面積的大??；(3) 若ABC是銳角三角形，且BC>AC>AB，在圖8中畫(huà)出ABC的所有“友好矩形”，指出其中周長(zhǎng)最小的矩形并加以證明. 例2.在中，點(diǎn)為所在平面內(nèi)一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)分別作交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)若點(diǎn)在邊上（如圖1），此時(shí)，可得結(jié)論：請(qǐng)直接應(yīng)用上述信息解決下列問(wèn)題：圖1

19、圖2圖3當(dāng)點(diǎn)分別在內(nèi)（如圖2），外（如圖3）時(shí)，上述結(jié)論是否成立？若成立，請(qǐng)給予證明；若不成立，與之間又有怎樣的數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)寫出你的猜想，不需要證明例3問(wèn)題背景 某課外學(xué)習(xí)小組在一次學(xué)習(xí)研討中，得到如下兩命題：如圖1，在正三角形ABC中，M、N分別是AC、AB上的點(diǎn)，BM與CN相交于點(diǎn)O，若BON = 60°，則BM = CN. 如圖2，在正方形ABCD中，M、N分別是CD、AD上的點(diǎn)，BM與CN相交于點(diǎn)O，若BON = 90°,則BM = CN.然后運(yùn)用類比的思想提出了如下的命題：如圖3，在正五邊形ABCDE中，M、N分別是CD、DE上的點(diǎn)，BM與CN相交于點(diǎn)O，若BON = 108°，則BM = CN.任務(wù)要求：（1）請(qǐng)你從、三個(gè)命題中選擇一個(gè)進(jìn)行證明；（2）請(qǐng)你繼續(xù)完成下面的探索： 如圖3中，畫(huà)出一條與CN相等的線段DH，使點(diǎn)H在正五邊形ABCDE的邊上，且與CN相交所成的一個(gè)角是108°，這樣的線段有幾條？（不必寫出畫(huà)法，不要求證明） 如圖5，在五邊形ABCDE中，M、N分別是DE、AE上的點(diǎn)，BM與CN相交于點(diǎn)O，當(dāng)BON = 108°時(shí)，請(qǐng)問(wèn)結(jié)論BM = CN是否還成立？若成立，請(qǐng)給予證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由練習(xí)：1.我們給出如下定義：如果三角形的一個(gè)內(nèi)角等于另一個(gè)內(nèi)角的2倍，我們稱這樣的