1、2022-5-27Tianjin University of Technology1 本章討論受控機械系統(tǒng)的動態(tài)模型。本章討論受控機械系統(tǒng)的動態(tài)模型。受控機械可以有各種各樣的結(jié)構(gòu)形式。受控機械可以有各種各樣的結(jié)構(gòu)形式。如果抽象為力學(xué)模型，可以分別表示為如果抽象為力學(xué)模型，可以分別表示為質(zhì)點平移系統(tǒng)質(zhì)點平移系統(tǒng)定軸旋轉(zhuǎn)系統(tǒng)定軸旋轉(zhuǎn)系統(tǒng)機械傳動系統(tǒng)機械傳動系統(tǒng)定點旋轉(zhuǎn)系統(tǒng)定點旋轉(zhuǎn)系統(tǒng)多剛體系統(tǒng)多剛體系統(tǒng)2022-5-27Tianjin University of Technology2 位移機械系統(tǒng)的基本元件是質(zhì)量、阻尼及彈簧。這位移機械系統(tǒng)的基本元件是質(zhì)量、阻尼及彈簧。這些元件的符號如圖些元件的

2、符號如圖2-12-1所示。所示。 注意，圖注意，圖2-12-1只是機械元件的數(shù)學(xué)模型，它們不只是機械元件的數(shù)學(xué)模型，它們不一定是具體物理裝置的精確表示。因此，在應(yīng)用這些一定是具體物理裝置的精確表示。因此，在應(yīng)用這些定義時，必須是實際物理系統(tǒng)的合理抽象。定義時，必須是實際物理系統(tǒng)的合理抽象。 圖圖2-2-l l 機械直線位移元件機械直線位移元件 ( (a)a) 質(zhì)量；質(zhì)量；( (b)b)阻尼；阻尼；( (c)c)彈簧彈簧2022-5-27Tianjin University of Technology3彈簧彈簧質(zhì)量質(zhì)量(2-1)(2-2) (2-3) 阻尼阻尼 方程方程(2-1)(2-1)(2-

3、3)(2-3)應(yīng)用了圖示箭頭方向的力和位移。如應(yīng)用了圖示箭頭方向的力和位移。如果其中任何一個方向相反，則方程中的那一項必須變號。果其中任何一個方向相反，則方程中的那一項必須變號。 2022-5-27Tianjin University of Technology4 在這些機械元件中，阻尼耗散能量但不能儲存能量，而質(zhì)量在這些機械元件中，阻尼耗散能量但不能儲存能量，而質(zhì)量和彈簧能儲存能量但不消耗能量。和彈簧能儲存能量但不消耗能量。當(dāng)我們列寫由這些機械元當(dāng)我們列寫由這些機械元件通過內(nèi)部連結(jié)而形成系統(tǒng)的方程時，通常需要應(yīng)用牛件通過內(nèi)部連結(jié)而形成系統(tǒng)的方程時，通常需要應(yīng)用牛頓定律，即作用于物體上的外力之

4、和等于物體的質(zhì)量與頓定律，即作用于物體上的外力之和等于物體的質(zhì)量與它的加速度之乘積。它的加速度之乘積。 在建立由質(zhì)點在建立由質(zhì)點- -彈簧彈簧- -阻尼器組成的質(zhì)點平移系統(tǒng)的動阻尼器組成的質(zhì)點平移系統(tǒng)的動態(tài)數(shù)學(xué)模型時，一般利用牛頓第二定律列寫該系統(tǒng)的動態(tài)數(shù)學(xué)模型時，一般利用牛頓第二定律列寫該系統(tǒng)的動力學(xué)微分方程。力學(xué)微分方程。具體方法是：具體方法是： 第三第三，注意彈簧力和阻尼力都是起阻止質(zhì)點運動的，應(yīng)按照，注意彈簧力和阻尼力都是起阻止質(zhì)點運動的，應(yīng)按照這一物理原理決定這兩個作用力的符號。這一物理原理決定這兩個作用力的符號。 首先首先，系統(tǒng)中的每一個質(zhì)點必須列寫一個微分方程；，系統(tǒng)中的每一個質(zhì)

5、點必須列寫一個微分方程； 其次其次，每一個微分方程的左邊為該質(zhì)點的慣性力，每一個微分方程的左邊為該質(zhì)點的慣性力( (即質(zhì)量與加即質(zhì)量與加速度的乘積速度的乘積) )，右邊等于與該質(zhì)點相連結(jié)的彈簧力和阻尼力以及外，右邊等于與該質(zhì)點相連結(jié)的彈簧力和阻尼力以及外作用力之和；作用力之和；2022-5-27Tianjin University of Technology5例例2-12-1 考慮單自由度質(zhì)量考慮單自由度質(zhì)量- -彈簧系統(tǒng)，質(zhì)量為彈簧系統(tǒng)，質(zhì)量為m m的質(zhì)點通的質(zhì)點通過剛度為過剛度為K K的彈簧和阻尼系數(shù)為的彈簧和阻尼系數(shù)為b b的阻尼器懸掛在機殼上，的阻尼器懸掛在機殼上，如圖如圖2-22-2

6、所示。試用牛頓定律建立質(zhì)點平移系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型。所示。試用牛頓定律建立質(zhì)點平移系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型。 圖圖2-2 2-2 單自由度質(zhì)量單自由度質(zhì)量- -彈簧系統(tǒng)彈簧系統(tǒng) 2022-5-27Tianjin University of Technology6將式將式(2-5)(2-5)代入代入(2-4)(2-4)，移項合并后，可得，移項合并后，可得 或者表示為或者表示為(2-4) (2-5) (2-6) (2-7) 2022-5-27Tianjin University of Technology7 拉氏變換后，可得拉氏變換后，可得 因此，系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為因此，系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為 式式(2-9)(2-9)表明，

7、只有一個質(zhì)點的單自由度平移系統(tǒng)是表明，只有一個質(zhì)點的單自由度平移系統(tǒng)是一個二階系統(tǒng)。實際上，系統(tǒng)中有一個具有獨立位移的質(zhì)一個二階系統(tǒng)。實際上，系統(tǒng)中有一個具有獨立位移的質(zhì)點應(yīng)列寫一個二階微分方程，有點應(yīng)列寫一個二階微分方程，有n n個質(zhì)點應(yīng)列寫個質(zhì)點應(yīng)列寫n n個二階微個二階微分方程，因此，由分方程，因此，由n n個質(zhì)點組成的系統(tǒng)應(yīng)是個質(zhì)點組成的系統(tǒng)應(yīng)是2 2n n階系統(tǒng)。階系統(tǒng)。(2-8) (2-9) 2022-5-27Tianjin University of Technology8 線性轉(zhuǎn)動系統(tǒng)與線性移動系統(tǒng)是類似的，列寫線線性轉(zhuǎn)動系統(tǒng)與線性移動系統(tǒng)是類似的，列寫線性移動方程的方法同樣可

8、適用于線性轉(zhuǎn)動系統(tǒng)。線性性移動方程的方法同樣可適用于線性轉(zhuǎn)動系統(tǒng)。線性轉(zhuǎn)動系統(tǒng)的三個元件如圖轉(zhuǎn)動系統(tǒng)的三個元件如圖2-32-3所示。所示。 圖圖2-3 2-3 機械轉(zhuǎn)動元件機械轉(zhuǎn)動元件( (a)a)轉(zhuǎn)動慣量；轉(zhuǎn)動慣量；( (b)b)阻尼；阻尼；( (c)c)彈簧彈簧2022-5-27Tianjin University of Technology9扭轉(zhuǎn)彈簧扭轉(zhuǎn)彈簧 轉(zhuǎn)動慣量轉(zhuǎn)動慣量 (2-10)(2-11) (2-12) 黏性阻尼器黏性阻尼器 在方程在方程(2-11)(2-11)和和(2-12)(2-12)中中，假設(shè)了轉(zhuǎn)動元件具有零轉(zhuǎn)動慣量。假設(shè)了轉(zhuǎn)動元件具有零轉(zhuǎn)動慣量。 2022-5-27T

9、ianjin University of Technology10 根據(jù)旋轉(zhuǎn)機械元件的定義方程根據(jù)旋轉(zhuǎn)機械元件的定義方程(2-10)(2-10)(2-12)(2-12)，利用繞旋轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)矩之和必須等于轉(zhuǎn)動慣量與角利用繞旋轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)矩之和必須等于轉(zhuǎn)動慣量與角加速度乘積的原理，可以建立機械旋轉(zhuǎn)系統(tǒng)的動加速度乘積的原理，可以建立機械旋轉(zhuǎn)系統(tǒng)的動態(tài)模型。具體建模做法與質(zhì)點平移系統(tǒng)完全類似，態(tài)模型。具體建模做法與質(zhì)點平移系統(tǒng)完全類似，只是將平移系統(tǒng)的質(zhì)量只是將平移系統(tǒng)的質(zhì)量m m改為旋轉(zhuǎn)系統(tǒng)的轉(zhuǎn)動慣改為旋轉(zhuǎn)系統(tǒng)的轉(zhuǎn)動慣量量J J，平移系統(tǒng)的線位移平移系統(tǒng)的線位移x x、線速度及線加速度改線速度及線加速度改

10、為旋轉(zhuǎn)系統(tǒng)的角位移為旋轉(zhuǎn)系統(tǒng)的角位移、角速度及角加速度以及角速度及角加速度以及平移系統(tǒng)的力平移系統(tǒng)的力f f改為旋轉(zhuǎn)系統(tǒng)的力矩改為旋轉(zhuǎn)系統(tǒng)的力矩M M。 2022-5-27Tianjin University of Technology11圖圖2-4 2-4 步進電動機步進電動機同步齒形帶驅(qū)動裝置同步齒形帶驅(qū)動裝置2022-5-27Tianjin University of Technology12解解 本系統(tǒng)有兩個轉(zhuǎn)動自由度本系統(tǒng)有兩個轉(zhuǎn)動自由度i i和和o o，因此，因此，必須列兩個轉(zhuǎn)矩平衡方程。必須列兩個轉(zhuǎn)矩平衡方程。 (2-13)(2-14)(2-15)(2-16) 根據(jù)方程根據(jù)方程(

11、2-15)(2-15)和方程和方程(2-16)(2-16)，可畫出系統(tǒng)傳遞函，可畫出系統(tǒng)傳遞函數(shù)方塊圖如圖數(shù)方塊圖如圖2-5(2-5(a)a)所示。所示。 輸入軸輸入軸輸出軸輸出軸取拉氏變換，可得取拉氏變換，可得2022-5-27Tianjin University of Technology13圖圖2-5 2-5 例例2-32-3驅(qū)動裝置的傳遞函數(shù)方塊圖及其簡化驅(qū)動裝置的傳遞函數(shù)方塊圖及其簡化 2022-5-27Tianjin University of Technology14 這是一個低通濾波器特性，對步進電動機的震動具有隔這是一個低通濾波器特性，對步進電動機的震動具有隔離作用。離作用。

12、 (2-17) 方程方程(2-17)(2-17)表明，采用同步齒形帶傳動，系統(tǒng)增加了表明，采用同步齒形帶傳動，系統(tǒng)增加了一個自由度，附加了傳遞函數(shù)一個自由度，附加了傳遞函數(shù) 2022-5-27Tianjin University of Technology15 機械傳動裝置是許多伺服系統(tǒng)不可缺少的一個重要機機械傳動裝置是許多伺服系統(tǒng)不可缺少的一個重要機械部件，通常具有各種形式械部件，通常具有各種形式 ：齒輪系齒輪系齒輪齒條副齒輪齒條副絲杠螺母副絲杠螺母副蝸輪蝸桿副蝸輪蝸桿副諧波齒輪諧波齒輪 2022-5-27Tianjin University of Technology16 在運動控制問題中

13、，經(jīng)常需要將旋轉(zhuǎn)運動轉(zhuǎn)換為在運動控制問題中，經(jīng)常需要將旋轉(zhuǎn)運動轉(zhuǎn)換為平移運動。例如，通過絲杠螺母副、小齒輪齒條副以平移運動。例如，通過絲杠螺母副、小齒輪齒條副以及同步齒形帶，由旋轉(zhuǎn)的主動軸控制負(fù)載的直線運動，及同步齒形帶，由旋轉(zhuǎn)的主動軸控制負(fù)載的直線運動，如圖如圖2-62-6所示。所示。 圖2-6 由旋轉(zhuǎn)到直線運動的控制 2022-5-27Tianjin University of Technology17l（b b）小齒輪齒條傳動小齒輪齒條傳動 l（c c）同步齒形帶傳動同步齒形帶傳動 (2-18)(2-19)(2-20)（a a）絲杠螺母副絲杠螺母副 2022-5-27Tianjin Un

14、iversity of Technology18 討論齒輪傳動系統(tǒng)。參考圖討論齒輪傳動系統(tǒng)。參考圖2-72-7的一對齒輪的傳動的一對齒輪的傳動系統(tǒng)，主動輪系統(tǒng)，主動輪1 1與從動輪與從動輪2 2的轉(zhuǎn)角分別為的轉(zhuǎn)角分別為1 1和和2 2，轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)動慣量分別為慣量分別為J J1 1和和J J2 2，黏性阻尼系數(shù)分別為黏性阻尼系數(shù)分別為B B1 1和和B B2 2，主動主動軸上的驅(qū)動力矩為軸上的驅(qū)動力矩為M Mi i，從動軸上的負(fù)載力矩為從動軸上的負(fù)載力矩為M Mo o。 圖圖2-7 2-7 齒輪傳動及其簡化齒輪傳動及其簡化 ( (a)a)原傳動系統(tǒng)；原傳動系統(tǒng)；( (b)b)向主動軸簡化；向主動軸簡

15、化；( (c)c)向從動軸簡化向從動軸簡化 2022-5-27Tianjin University of Technology19(2-21)(2-22)(2-23)(2-24)(2-25)(2-26)解下列各式聯(lián)立的方程組：解下列各式聯(lián)立的方程組：(2-27)傳動系統(tǒng)向主動軸簡化傳動系統(tǒng)向主動軸簡化可得可得2022-5-27Tianjin University of Technology20傳動系統(tǒng)向傳動系統(tǒng)向從動從動軸簡化軸簡化(2-28) 由從動軸由從動軸2 2向主動軸向主動軸1 1折合，從動軸上的轉(zhuǎn)動慣折合，從動軸上的轉(zhuǎn)動慣量、阻尼系數(shù)都要乘以由軸量、阻尼系數(shù)都要乘以由軸1 1到軸到軸

16、2 2的傳動比的二次的傳動比的二次方，而轉(zhuǎn)矩只乘以傳動比的一次方。反之亦然。方，而轉(zhuǎn)矩只乘以傳動比的一次方。反之亦然。 根據(jù)以上推算，可得結(jié)論如下：根據(jù)以上推算，可得結(jié)論如下：同理，可得同理，可得2022-5-27Tianjin University of Technology21 考慮轉(zhuǎn)軸為非剛性的情況。如圖考慮轉(zhuǎn)軸為非剛性的情況。如圖2-82-8所示，所示，z z2 2，z z3 3為一對為一對嚙合齒輪，轉(zhuǎn)動慣量分別為嚙合齒輪，轉(zhuǎn)動慣量分別為J J2 2，J J3 3，飛輪飛輪J J1 1，J J4 4分別通過軸分別通過軸1 1及軸及軸2 2與齒輪與齒輪z z2 2，z z3 3 相連，軸

17、相連，軸1 1和軸和軸2 2的扭轉(zhuǎn)剛度分別為的扭轉(zhuǎn)剛度分別為K K1 1，K K2 2，輸入轉(zhuǎn)矩為輸入轉(zhuǎn)矩為M Mi i，齒輪齒輪z z2 2，z z3 3傳遞的轉(zhuǎn)矩為傳遞的轉(zhuǎn)矩為M M2 2，M M3 3。 圖圖2-8 2-8 帶非剛性軸的齒輪傳動帶非剛性軸的齒輪傳動 2022-5-27Tianjin University of Technology22解下列各式聯(lián)立的方程組：解下列各式聯(lián)立的方程組：(2-29)(2-30)(2-31)(2-32)(2-33)2022-5-27Tianjin University of Technology23可得該傳動系統(tǒng)的等效系統(tǒng)，如圖可得該傳動系統(tǒng)的等

18、效系統(tǒng)，如圖2-92-9所示。所示。 圖圖2-9 2-9 帶非剛性軸的齒輪傳動的簡化圖帶非剛性軸的齒輪傳動的簡化圖 (2-34)(2-35)(2-36)2022-5-27Tianjin University of Technology24 由此可得系統(tǒng)傳遞函數(shù)如下：由此可得系統(tǒng)傳遞函數(shù)如下：(2-37)(2-38)(2-39)(2-40)2022-5-27Tianjin University of Technology25綜合以上討論結(jié)果，可得結(jié)論如下： 對于一個無功率消耗的傳動系統(tǒng)，從動軸上對于一個無功率消耗的傳動系統(tǒng)，從動軸上的轉(zhuǎn)動慣量的轉(zhuǎn)動慣量J J、黏性阻尼系數(shù)黏性阻尼系數(shù)B B以及彈

19、性系數(shù)以及彈性系數(shù)K K折合折合到主動軸上，都必須乘以由主動軸到從動軸的傳到主動軸上，都必須乘以由主動軸到從動軸的傳動比的二次方動比的二次方n n2 2，才能得到等效的轉(zhuǎn)動慣量才能得到等效的轉(zhuǎn)動慣量n n2 2J J、等效的黏性阻尼系數(shù)等效的黏性阻尼系數(shù)n n2 2B B以及等效的彈性系數(shù)以及等效的彈性系數(shù)n n2 2K K。而從動軸的轉(zhuǎn)角而從動軸的轉(zhuǎn)角和作用在從動軸上的轉(zhuǎn)矩和作用在從動軸上的轉(zhuǎn)矩M M折合折合到主動軸上，則必須分別除以和乘以傳動比到主動軸上，則必須分別除以和乘以傳動比n n。這這樣，主動軸和等效的從動軸可以串接起來，作為樣，主動軸和等效的從動軸可以串接起來，作為單軸的機械轉(zhuǎn)動

20、系統(tǒng)處理。單軸的機械轉(zhuǎn)動系統(tǒng)處理。2022-5-27Tianjin University of Technology26 在控制系統(tǒng)應(yīng)用中，往往最感興趣的是關(guān)于在控制系統(tǒng)應(yīng)用中，往往最感興趣的是關(guān)于傳動裝置的主諧振頻率。因此，將齒輪等效轉(zhuǎn)動傳動裝置的主諧振頻率。因此，將齒輪等效轉(zhuǎn)動慣量分別與主動軸和從動軸的飛輪慣量合并。從慣量分別與主動軸和從動軸的飛輪慣量合并。從而，圖而，圖2-92-9的等效系統(tǒng)可以進一步簡化為圖的等效系統(tǒng)可以進一步簡化為圖2-102-10。 圖圖2-10 2-10 齒輪傳動系統(tǒng)的近似簡化齒輪傳動系統(tǒng)的近似簡化2022-5-27Tianjin University of Te

21、chnology27 根據(jù)圖根據(jù)圖2-102-10，可列寫出如下方程：，可列寫出如下方程：經(jīng)拉氏變換后，可得簡化系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為：經(jīng)拉氏變換后，可得簡化系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為：(2-41)2022-5-27Tianjin University of Technology28 因此，該齒輪傳動系統(tǒng)的主諧振頻率近似為因此，該齒輪傳動系統(tǒng)的主諧振頻率近似為(2-42)2022-5-27Tianjin University of Technology29 例例2-42-4 考慮圖考慮圖2-112-11（a a）所示的機床進給系統(tǒng)。它由所示的機床進給系統(tǒng)。它由齒輪、軸、絲杠螺母副及直線運動工作臺等組成。圖中，

22、齒輪、軸、絲杠螺母副及直線運動工作臺等組成。圖中， Mi Mi驅(qū)動電動機輸入轉(zhuǎn)矩；驅(qū)動電動機輸入轉(zhuǎn)矩； x x0 0(t)(t)工作臺位移；工作臺位移；z z1 1，z z2 2，z z3 3，z z4 4齒輪齒數(shù)；齒輪齒數(shù)； J J1 1，J J2 2，J J3 3I I軸、軸、IIII軸、軸、IIIIII軸上的轉(zhuǎn)動慣量；軸上的轉(zhuǎn)動慣量； K K1 1，K K2 2，K K3 3I I軸、軸、IIII軸、軸、IIIIII軸的扭轉(zhuǎn)剛度；軸的扭轉(zhuǎn)剛度； K K4 4絲杠螺母副及螺母座部分的軸向剛度系數(shù)；絲杠螺母副及螺母座部分的軸向剛度系數(shù)； m m工作臺直線運動部分的質(zhì)量；工作臺直線運動部分的質(zhì)

23、量； B B工作臺直線運動速度阻尼系數(shù)；工作臺直線運動速度阻尼系數(shù)； L L絲杠導(dǎo)程。絲杠導(dǎo)程。 2022-5-27Tianjin University of Technology30 解解 根據(jù)傳動比轉(zhuǎn)換關(guān)系，折合到主動軸的等效傳動系統(tǒng)如根據(jù)傳動比轉(zhuǎn)換關(guān)系，折合到主動軸的等效傳動系統(tǒng)如圖圖2-112-11（b b）所示。并且進一步將所示。并且進一步將、軸的等效轉(zhuǎn)動慣量軸的等效轉(zhuǎn)動慣量合并到輸出軸，從而得到簡化系統(tǒng)如圖合并到輸出軸，從而得到簡化系統(tǒng)如圖2-112-11（c c）所示。所示。圖圖2-11 2-11 機床進給系統(tǒng)及其簡化機床進給系統(tǒng)及其簡化 2022-5-27Tianjin Uni

24、versity of Technology31圖中，圖中，簡化系統(tǒng)的微分方程為簡化系統(tǒng)的微分方程為2022-5-27Tianjin University of Technology32拉氏變換以后，可得拉氏變換以后，可得(2-43) 解此方程組，可得機床進給系統(tǒng)的簡化傳遞函數(shù)為解此方程組，可得機床進給系統(tǒng)的簡化傳遞函數(shù)為 (2-44) 圖圖2-12 2-12 機床進給系統(tǒng)傳遞函數(shù)方塊圖機床進給系統(tǒng)傳遞函數(shù)方塊圖2022-5-27Tianjin University of Technology33 由式由式(2-45)(2-45)很容易看出，簡化系統(tǒng)的主諧振頻率為很容易看出，簡化系統(tǒng)的主諧振頻率

25、為 (2-45)2022-5-27Tianjin University of Technology34 在分析定點旋轉(zhuǎn)機械系統(tǒng)時，所依據(jù)的動力學(xué)定理主要在分析定點旋轉(zhuǎn)機械系統(tǒng)時，所依據(jù)的動力學(xué)定理主要是歐拉動力學(xué)方程。在動坐標(biāo)系是歐拉動力學(xué)方程。在動坐標(biāo)系oxyzoxyz中，歐拉動力學(xué)方程可中，歐拉動力學(xué)方程可以表示為以表示為 (2-46)2022-5-27Tianjin University of Technology35 下面，我們利用動量矩定理，集中研究三軸萬下面，我們利用動量矩定理，集中研究三軸萬向框架系統(tǒng)的動態(tài)模型。向框架系統(tǒng)的動態(tài)模型。圖圖2-13(2-13(a)a)是三軸萬向環(huán)是

26、三軸萬向環(huán)架幾何結(jié)構(gòu)示意圖。架幾何結(jié)構(gòu)示意圖。 圖圖2-13 2-13 三軸萬向框架系統(tǒng)三軸萬向框架系統(tǒng) 2022-5-27Tianjin University of Technology36l l l (2-47)(2-48)(2-49)定點旋轉(zhuǎn)的萬向環(huán)架的動力學(xué)模型定點旋轉(zhuǎn)的萬向環(huán)架的動力學(xué)模型 這一動態(tài)模型也適用于一般的三軸定點旋轉(zhuǎn)系統(tǒng)。當(dāng)這一動態(tài)模型也適用于一般的三軸定點旋轉(zhuǎn)系統(tǒng)。當(dāng)系統(tǒng)處于大角度運行狀態(tài)時，系統(tǒng)模型是三個互相交鏈的系統(tǒng)處于大角度運行狀態(tài)時，系統(tǒng)模型是三個互相交鏈的二階非線性微分方程組。只有當(dāng)系統(tǒng)處于初始位置附近時，二階非線性微分方程組。只有當(dāng)系統(tǒng)處于初始位置附近時，A

27、 A和和P P角很小，取角很小，取sinPsinPP P，sinAsinAA A以及以及cosPcosPcosAcosA1 1，并并假設(shè)假設(shè)J JixixJ Jiyiy，那么，定點旋轉(zhuǎn)系統(tǒng)動力學(xué)方程才可以線性那么，定點旋轉(zhuǎn)系統(tǒng)動力學(xué)方程才可以線性化為化為2022-5-27Tianjin University of Technology37(2-50) 這樣，互相耦合的三根軸完全解耦，分別由互這樣，互相耦合的三根軸完全解耦，分別由互相獨立的三個二階線性微分方程建模，即，將定點相獨立的三個二階線性微分方程建模，即，將定點旋轉(zhuǎn)系統(tǒng)分解為三個定軸旋轉(zhuǎn)系統(tǒng)處理。在初步分旋轉(zhuǎn)系統(tǒng)分解為三個定軸旋轉(zhuǎn)系統(tǒng)處理

28、。在初步分析設(shè)計時，這樣做可以使問題得到極大的簡化。但析設(shè)計時，這樣做可以使問題得到極大的簡化。但是，在計算各軸上的伺服電動機轉(zhuǎn)矩時，則必須使是，在計算各軸上的伺服電動機轉(zhuǎn)矩時，則必須使用完整的動態(tài)模型，以獲得精確的反饋控制系統(tǒng)的用完整的動態(tài)模型，以獲得精確的反饋控制系統(tǒng)的設(shè)計。設(shè)計。2022-5-27Tianjin University of Technology38 建立多剛體系統(tǒng)的動態(tài)模型一般采用拉格朗日方程建立多剛體系統(tǒng)的動態(tài)模型一般采用拉格朗日方程 (2-50) 一個具有質(zhì)量一個具有質(zhì)量m mq q的剛體在三維空間的動能是一個的剛體在三維空間的動能是一個標(biāo)量，它可以由下列關(guān)系式確定：

29、標(biāo)量，它可以由下列關(guān)系式確定：(2-51) 其中，三維向量其中，三維向量V Vq q表示剛體質(zhì)心相對基座的線速度，三維向量表示剛體質(zhì)心相對基座的線速度，三維向量q q表示剛體相對基座的旋轉(zhuǎn)角速度。它們都在坐標(biāo)系表示剛體相對基座的旋轉(zhuǎn)角速度。它們都在坐標(biāo)系q q中表示。并且，中表示。并且，3 33 3矩陣矩陣J Jq q表示剛體相對坐標(biāo)系表示剛體相對坐標(biāo)系q(q(當(dāng)坐標(biāo)系原點移到剛體質(zhì)心時當(dāng)坐標(biāo)系原點移到剛體質(zhì)心時) )的的慣性矩慣性矩( (或慣性張量或慣性張量) )。2022-5-27Tianjin University of Technology39 球坐標(biāo)工業(yè)機器人的前三個連桿的原理結(jié)構(gòu)如

30、圖球坐標(biāo)工業(yè)機器人的前三個連桿的原理結(jié)構(gòu)如圖2-2-14(14(a)a)所示。選擇廣義坐標(biāo)所示。選擇廣義坐標(biāo)2 2=和和3 3=h =h ，如圖如圖2-14(2-14(b)b)所示。所示。 圖圖2-2-l4 l4 球坐標(biāo)結(jié)構(gòu)工業(yè)機器人球坐標(biāo)結(jié)構(gòu)工業(yè)機器人 2022-5-27Tianjin University of Technology40l系統(tǒng)的動能系統(tǒng)的動能 (2-52)(2-53)(2-54) 因為系統(tǒng)的總動能和廣義力因為系統(tǒng)的總動能和廣義力( (矩矩) )f fq q(q(q2 2，3)3)已經(jīng)確定，所以可以直接利用拉格朗日方程已經(jīng)確定，所以可以直接利用拉格朗日方程(2-50)(2-5

31、0)來建立系統(tǒng)動態(tài)模型。來建立系統(tǒng)動態(tài)模型。 廣義力廣義力( (矩矩) )2022-5-27Tianjin University of Technology41lq q2 2 解聯(lián)立方程組解聯(lián)立方程組得得(2-55)2022-5-27Tianjin University of Technology42lq q3 3 解聯(lián)立方程組解聯(lián)立方程組得得(2-56)2022-5-27Tianjin University of Technology43 對于實際的工業(yè)機器人，其工作速度一般對于實際的工業(yè)機器人，其工作速度一般都比較低，加速度的影響很小，通常可以忽略都比較低，加速度的影響很小，通?？梢院雎圆?/p>

32、計。若考慮原點附近的運動，令不計。若考慮原點附近的運動，令coscos11和和sinsin，以及以及h h為小量。那么，在略去二階為小量。那么，在略去二階小量后，方程小量后，方程(2-55)(2-55)和和(2-56)(2-56)可簡為下列線性可簡為下列線性模型模型：(2-57)2022-5-27Tianjin University of Technology44 具有旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)的工業(yè)機器人的原理結(jié)構(gòu)如圖具有旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)的工業(yè)機器人的原理結(jié)構(gòu)如圖2-152-15所所示。第示。第l l連桿為立柱，第連桿為立柱，第2 2連桿為大臂，第連桿為大臂，第3 3連桿為小臂。連桿為小臂。 圖圖2-15 2-15

33、旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)結(jié)構(gòu)工業(yè)機器人旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)結(jié)構(gòu)工業(yè)機器人 2022-5-27Tianjin University of Technology45l第第3 3連桿的動能為連桿的動能為(2-58)(2-59)(2-60)第第1 1連桿的旋轉(zhuǎn)動能為連桿的旋轉(zhuǎn)動能為 第第2 2連桿的旋轉(zhuǎn)動能為連桿的旋轉(zhuǎn)動能為2022-5-27Tianjin University of Technology46對于式對于式(2-60)，2022-5-27Tianjin University of Technology47(2-61)2022-5-27Tianjin University of Technology48l三連桿旋轉(zhuǎn)坐

34、標(biāo)工業(yè)機器人的總動能三連桿旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)工業(yè)機器人的總動能 (2-62)2022-5-27Tianjin University of Technology49 另外，作用于各個連桿的廣義力在平衡位置附近可近似另外，作用于各個連桿的廣義力在平衡位置附近可近似地表示為地表示為(2-63) 將以上結(jié)果代入拉格朗日方程將以上結(jié)果代入拉格朗日方程(2-62)(2-62)，直接可得三連，直接可得三連桿旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)工業(yè)機器人的動態(tài)模型如下：桿旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)工業(yè)機器人的動態(tài)模型如下：(2-64) 由以上方程組可看出，在平衡位置附近，當(dāng)機器人的由以上方程組可看出，在平衡位置附近，當(dāng)機器人的工作速度比較低時，三連桿旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)工業(yè)機

35、器人的動態(tài)模工作速度比較低時，三連桿旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)工業(yè)機器人的動態(tài)模型是三個二階線性微分方程，其中，第型是三個二階線性微分方程，其中，第1 1連桿的運動是獨立連桿的運動是獨立的。這種簡化的線性模型可以應(yīng)用于初步分析和設(shè)計。的。這種簡化的線性模型可以應(yīng)用于初步分析和設(shè)計。2022-5-27Tianjin University of Technology50 微型機電系統(tǒng)微型機電系統(tǒng)( (MEMS)MEMS) 通常采用微梁或膜通常采用微梁或膜片支承的試驗質(zhì)量作為敏感元件。為了定量分片支承的試驗質(zhì)量作為敏感元件。為了定量分析和設(shè)計這類析和設(shè)計這類MEMSMEMS器件，必須建立它們的動力器件，必須建立它們的

36、動力學(xué)模型。本節(jié)基于學(xué)模型。本節(jié)基于耦合靜電場的兩端點對耦合靜電場的兩端點對模型模型和和微結(jié)構(gòu)的主振動模態(tài)微結(jié)構(gòu)的主振動模態(tài)，建立靜電場，建立靜電場耦合耦合MEMSMEMS傳感器動態(tài)模型。傳感器動態(tài)模型。 2022-5-27Tianjin University of Technology51 靜電場耦合微機電系統(tǒng)靜電場耦合微機電系統(tǒng)( (MEMS)MEMS)方塊圖如圖方塊圖如圖2-162-16所示。所示。 圖圖2-16 2-16 靜電場耦合微機電系統(tǒng)靜電場耦合微機電系統(tǒng) 耦合靜電場的兩個端點變量對具有兩個獨立變量，耦合靜電場的兩個端點變量對具有兩個獨立變量，另外兩個變量可以通過靜電場表達(dá)式求取

37、。獨立變量另外兩個變量可以通過靜電場表達(dá)式求取。獨立變量對有兩種選取方法。對有兩種選取方法。2022-5-27Tianjin University of Technology52 選取獨立變量對選取獨立變量對( (q q，x)x) 選取獨立變量對選取獨立變量對( (u u，x)x) (2-65)(2-66)(2-67)(2-68) 以上各式表明，當(dāng)靜電場能量已知為獨立變量的函數(shù)時，則所以上各式表明，當(dāng)靜電場能量已知為獨立變量的函數(shù)時，則所有端點的變量都可確定，并且，由此可以計算所有端點電路與機械有端點的變量都可確定，并且，由此可以計算所有端點電路與機械系統(tǒng)的相互關(guān)系。靜電場儲能系統(tǒng)的相互關(guān)系。

38、靜電場儲能WeWe采用獨立變量采用獨立變量(q(q，x)x)，需要尋找，需要尋找函數(shù)函數(shù)u(qu(q，x)x)；而靜電場同等能量采用獨立變量；而靜電場同等能量采用獨立變量(u(u，x)x)，則需要尋，則需要尋找函數(shù)找函數(shù)q(uq(u，x)x)。工程上經(jīng)常采用后一種方法，因為計算函數(shù)。工程上經(jīng)常采用后一種方法，因為計算函數(shù)q(uq(u，x)x)比較方便。比較方便。2022-5-27Tianjin University of Technology53 在力在力( (壓力壓力) )和或加速度作用下，試驗質(zhì)量產(chǎn)生的和或加速度作用下，試驗質(zhì)量產(chǎn)生的微小位移由其與基片電極或定齒之間形成的差動電容電微小位移

39、由其與基片電極或定齒之間形成的差動電容電橋檢測，并轉(zhuǎn)換為與位移成比例的電信號輸出。電的輸橋檢測，并轉(zhuǎn)換為與位移成比例的電信號輸出。電的輸出信號經(jīng)過交流前置放大、同步解調(diào)、校正及直流功率出信號經(jīng)過交流前置放大、同步解調(diào)、校正及直流功率放大等處理后，又加給試驗質(zhì)量與基片電極或定齒之間放大等處理后，又加給試驗質(zhì)量與基片電極或定齒之間形成的另一組加力電容，組成靜電力反饋回路。平衡時，形成的另一組加力電容，組成靜電力反饋回路。平衡時，反饋的靜電力等于作用于試驗質(zhì)量的輸入外力反饋的靜電力等于作用于試驗質(zhì)量的輸入外力( (壓力壓力) )，或加速度引起的慣性力。這樣，反饋的靜電力就可以作或加速度引起的慣性力。這樣，反饋的靜電力就可以作為被測量的度量。為被測量的度量。2022-5-27Tianjin University of Technology54 設(shè)試驗總質(zhì)量為設(shè)試驗總質(zhì)量為m m，彈性梁的剛度為彈性梁的剛度為K K，等效黏性阻等效黏性阻尼系數(shù)為尼系數(shù)為b b，慣性力慣性力mama或者其他外作用力或者其他外作用力f fd d作為被測量，作為被測量，那么，根據(jù)傳感器的基本作用原理，可以畫出那