1、9.3 曲面及其方程 定義定義1. 0),(zyxFSzyxo如果曲面 S 與方程 F( x, y, z ) = 0 有下述關(guān)系:(1) 曲面 S 上的任意點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足此方程;則 F( x, y, z ) = 0 叫做曲面曲面 S 的的方程方程, 曲面 S 叫做方程 F( x, y, z ) = 0 的圖形圖形.兩個(gè)基本問(wèn)題兩個(gè)基本問(wèn)題 : :(1) 已知?jiǎng)狱c(diǎn)按照某種規(guī)律運(yùn)動(dòng), 求運(yùn)動(dòng)(2) 坐標(biāo)滿足方程的點(diǎn)都在曲面 S 上,軌跡所產(chǎn)生的曲面方程.(2) 已知方程時(shí) , 研究它所表示的幾何圖形( 必要時(shí)需作圖 ). 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 故所求方程為例例1. 求動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)),(

2、zyxM),(0000zyxM方程. 特別,當(dāng)M0在原點(diǎn)時(shí),球面方程為解解: 設(shè)軌跡上動(dòng)點(diǎn)為RMM0即依題意距離為 R 的軌跡xyzoM0M222yxRz表示上(下)球面 .Rzzyyxx202020)()()(2202020)()()(Rzzyyxx2222Rzyx機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 一、球面及其方程一、球面及其方程例例2. 研究方程042222yxzyx解解: : 配方得5, )0, 2, 1(0M此方程表示:說(shuō)明說(shuō)明: : 如下形式的三元二次方程 ( A 0 )都可通過(guò)配方研究它的圖形.其圖形可能是的曲面. . 表示怎樣半徑為的球面.0)(222GFzEyDxzyxA球心

3、為 一個(gè)球面球面, 或點(diǎn)點(diǎn) , 或虛軌跡虛軌跡.5)2() 1(222zyx機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 xyz二、柱面二、柱面引例引例. 分析方程表示怎樣的曲面 .的坐標(biāo)也滿足方程222Ryx解解: :在 xoy 面上，表示圓C, 222Ryx222Ryx沿曲線C平行于 z 軸的一切直線所形成的曲面稱為圓圓故在空間222Ryx過(guò)此點(diǎn)作柱面柱面. .對(duì)任意 z ,平行 z 軸的直線 l ,表示圓柱面圓柱面oC在圓C上任取一點(diǎn) , )0 ,(1yxMlM1M),(zyxM點(diǎn)其上所有點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足此方程,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 xyzxyzol定義定義2. 平行定直線并沿定曲線

4、C 移動(dòng)的直線 l 形成的軌跡叫做柱面柱面. 表示拋物柱面拋物柱面,母線平行于 z 軸;準(zhǔn)線為xoy 面上的拋物線. z 軸的橢圓柱面橢圓柱面.xy2212222byaxz 軸的平面平面.0 yx表示母線平行于 C(且 z 軸在平面上)表示母線平行于C 叫做準(zhǔn)線準(zhǔn)線, l 叫做母線母線.xyzoo機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 xzy2l一般地,在三維空間柱面,柱面,平行于 x 軸;平行于 y 軸;平行于 z 軸;準(zhǔn)線 xoz 面上的曲線 l3.母線柱面,準(zhǔn)線 xoy 面上的曲線 l1.母線準(zhǔn)線 yoz 面上的曲線 l2. 母線表示方程0),(yxF表示方程0),(zyG表示方程0),(x

5、zHxyz3l機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 xyz1l定義定義3. . 一條平面曲線三、旋轉(zhuǎn)面三、旋轉(zhuǎn)面 繞其平面上一條定直線定直線旋轉(zhuǎn)一周所形成的曲面叫做旋轉(zhuǎn)面旋轉(zhuǎn)面.該定直線稱為旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn)軸，曲線成為旋轉(zhuǎn)面的母線軸，曲線成為旋轉(zhuǎn)面的母線例如例如 :機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 建立yoz面上曲線C 繞 z 軸旋轉(zhuǎn)所成曲面的方程:故旋轉(zhuǎn)曲面方程為, ),(zyxM當(dāng)繞 z 軸旋轉(zhuǎn)時(shí),0),(11zyf,), 0(111CzyM若點(diǎn)給定 yoz 面上曲線 C: ), 0(111zyM),(zyxM1221,yyxzz則有0),(22zyxf則有該點(diǎn)轉(zhuǎn)到0),(zyfozyxC機(jī)動(dòng) 目

6、錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 思考：思考：當(dāng)曲線 C 繞 y 軸旋轉(zhuǎn)時(shí)，方程如何？0),(:zyfCoyxz0),(22zxyf機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例3. 試建立頂點(diǎn)在原點(diǎn), 旋轉(zhuǎn)軸為z 軸, 半頂角為的圓錐面方程. 解解: 在yoz面上直線L 的方程為cotyz 繞z 軸旋轉(zhuǎn)時(shí),圓錐面的方程為cot22yxz)(2222yxazcota令xyz兩邊平方L), 0(zyM機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 xy例例4. 求坐標(biāo)面 xoz 上的雙曲線12222czax分別繞 x軸和 z 軸旋轉(zhuǎn)一周所生成的旋轉(zhuǎn)曲面方程. 解解: :繞 x 軸旋轉(zhuǎn)122222czyax繞 z 軸旋轉(zhuǎn)

7、122222czayx這兩種曲面都叫做旋轉(zhuǎn)雙曲面.所成曲面方程為所成曲面方程為z機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 總結(jié)總結(jié)(1) 面上的曲線 和 面上的曲線 繞 軸旋轉(zhuǎn)所形成的旋轉(zhuǎn)面方程均為Oxy( , )0f x y Oxz( , )0f x z x22( ,)0f xyz(2) 面上的曲線 和 面上的曲線 繞 軸旋轉(zhuǎn)所形成的旋轉(zhuǎn)面方程均為Oxz( , )0f x z Oyz( , )0f y z z22(, )0fxyz(3) 面上的曲線 和 面上的曲線 繞 軸旋轉(zhuǎn)所形成的旋轉(zhuǎn)面方程均為Oyz( , )0f z y Oxy( , )0f x y y22(, )0fxzy四、空間曲線的一般

8、方程四、空間曲線的一般方程空間曲線可視為兩曲面的交線,其一般方程為方程組0),(0),(zyxGzyxF2SL0),(zyxF0),(zyxG1S例如例如,方程組632122zxyx表示圓柱面與平面的交線 C. xzy1oC2機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 又如又如,方程組表示上半球面與圓柱面的交線C. 022222xayxyxazyxzao機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 空間曲線在坐標(biāo)面上的投影空間曲線在坐標(biāo)面上的投影設(shè)空間曲線 C 的一般方程為消去 z 得投影柱面則C 在xoy 面上的投影曲線 C為消去 x 得C 在yoz 面上的投影曲線方程消去y 得C 在zox 面上的投影曲線方

9、程0),(0),(zyxGzyxF,0),(yxH00),(zyxH00),(xzyR00),(yzxTzyxCC機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 zyxC1o例如例如, ,在xoy 面上的投影曲線方程為002222zyyx1) 1() 1(1:222222zyxzyxC機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 zxyo1C又如又如, ,所圍的立體在 xoy 面上的投影區(qū)域?yàn)?上半球面和錐面224yxz)(322yxz0122zyx在 xoy 面上的投影曲線)(34:2222yxzyxzC二者交線.0, 122zyx所圍圓域:二者交線在xoy 面上的投影曲線所圍之域 .機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回

10、 結(jié)束 9.4 二次曲面 二次曲面二次曲面三元二次方程 適當(dāng)選取直角坐標(biāo)系可得它們的標(biāo)準(zhǔn)方程,下面僅 就幾種常見標(biāo)準(zhǔn)型的特點(diǎn)進(jìn)行介紹 .研究二次曲面特性的基本方法: 截痕法截痕法 其基本類型有: 橢球面、拋物面、雙曲面、錐面的圖形通常為二次曲面二次曲面. FzxEyxDxyCzByAx2220JIzHyGx(二次項(xiàng)系數(shù)不全為 0 )機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 zyx1 1. 橢球面橢球面),(1222222為正數(shù)cbaczbyax(1)范圍：czbyax,(2)與坐標(biāo)面的交線：橢圓,012222zbyax,012222xczby 012222yczax機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束

11、 與)(11czzz的交線為橢圓：1zz (4) 當(dāng) ab 時(shí)為旋轉(zhuǎn)橢球面;同樣)(11byyy的截痕）（axxx11及也為橢圓.當(dāng)abc 時(shí)為球面.(3) 截痕:1)()(212221222222zcyzcxcbca機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 z2. 橢圓錐面橢圓錐面( (二次錐面二次錐面) ),(22222為正數(shù)bazbyax上的截痕為在平面tz 橢圓在平面 x0 或 y0 上的截痕為過(guò)原點(diǎn)的兩直線 .zxyo1)()(2222t byt axtz ,xyz機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 3. 雙曲面雙曲面(1)(1)單葉雙曲面單葉雙曲面by 1) 1上的截痕為平面1zz 橢圓

12、.時(shí), 截痕為22122221byczax(實(shí)軸平行于x 軸；虛軸平行于z 軸）1yy zxy),(1222222為正數(shù)cbaczbyax1yy 平面 上的截痕情況:機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 雙曲線: 虛軸平行于x 軸）by 1)2時(shí), 截痕為0czax)(bby或by 1)3時(shí), 截痕為22122221byczax(實(shí)軸平行于z 軸;1yy zxyzxy機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 相交直線: 雙曲線: 0(2) 雙葉雙曲面雙葉雙曲面),(1222222為正數(shù)cbaczbyax上的截痕為平面1yy 雙曲線上的截痕為平面1xx 上的截痕為平面)(11czzz橢圓注意單葉雙曲面與

13、雙葉雙曲面的區(qū)別: 雙曲線zxyo222222czbyax單葉雙曲面11雙葉雙曲面P18 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 圖形圖形4. 拋物面拋物面(1) 橢圓拋物面( p , q 同號(hào))(2) 雙曲拋物面（鞍形曲面）zqypx2222zyx特別,當(dāng) p = q 時(shí)為繞 z 軸的旋轉(zhuǎn)拋物面.( p , q 同號(hào))zyx機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 zqypx2222總結(jié). 二次曲面三元二次方程),(同號(hào)qp 橢球面1222222czbyax 拋物面:橢圓拋物面雙曲拋物面zqypx2222zqypx2222 雙曲面: 單葉雙曲面2222byax22cz1雙葉雙曲面2222byax22cz1 橢圓錐面: 22222zbyax機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 5. 化簡(jiǎn)二次方程判斷曲面類型設(shè)三元二次方程的一般形式為2221122331213231232220a xa ya za xya xza yzb xb yb zc 令3 3123(),( , , ) ,( ,)TTTijAAaux y zbb b b則上面方程可寫為0TTu Aub uc因?yàn)锳是實(shí)對(duì)稱矩陣，所以存在正交陣Q，使得123(,)TQ AQdiag 作正交變換u=Qv，則123(,)0TTv diagvb Qvc 即2221 12