1、數(shù)學(xué)游戲數(shù)學(xué)游戲吳小蘭吳小蘭上一頁上一頁下一頁下一頁首頁首頁1. 1. 抓堆抓堆： 有一堆谷粒（例如有一堆谷粒（例如100100粒），甲、乙輪流抓，每次可抓粒），甲、乙輪流抓，每次可抓1 15 5粒，甲先抓，規(guī)定誰抓到最后一把誰粒，甲先抓，規(guī)定誰抓到最后一把誰贏。問：甲應(yīng)該如何抓？為什么？贏。問：甲應(yīng)該如何抓？為什么？上一頁上一頁下一頁下一頁首頁首頁數(shù)學(xué)思想：問題一般化；問題一般化；問題特殊化；問題特殊化；歸納總結(jié)，找出規(guī)律；歸納總結(jié)，找出規(guī)律；證明規(guī)律，得到結(jié)論。證明規(guī)律，得到結(jié)論。上一頁上一頁下一頁下一頁首頁首頁問題一般化問題一般化 抓堆抓堆： 有一堆谷粒（例如有一堆谷粒（例如 n 粒），

2、甲、乙輪流抓，每次可抓粒），甲、乙輪流抓，每次可抓15粒，甲先抓，規(guī)定誰抓到最后一把誰粒，甲先抓，規(guī)定誰抓到最后一把誰贏。問：甲應(yīng)該如何抓？為什么？贏。問：甲應(yīng)該如何抓？為什么？問問題特殊化題特殊化n = 1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，上一頁上一頁下一頁下一頁首頁首頁“抓堆抓堆”游戲的結(jié)論游戲的結(jié)論 把把“6的倍數(shù)的倍數(shù)”留給對(duì)方，自己可以取留給對(duì)方，自己可以取勝。勝。 （“反面說法反面說法”） 在在 n = 100 時(shí)，甲抓時(shí)，甲抓 4 ?？梢匀?。粒可以取勝。上一頁上一頁下一頁下一頁首頁首頁2. 抓三堆抓三堆： 有三堆谷粒（例如有三堆谷粒（例如100粒、粒、2

3、00粒、粒、 300粒），甲、粒），甲、乙輪流抓，每次只能從一堆乙輪流抓，每次只能從一堆 中抓，中抓，最少抓最少抓1粒，可抓任意多粒；甲先粒，可抓任意多粒；甲先抓，規(guī)定誰抓到最后一把誰贏。問：抓，規(guī)定誰抓到最后一把誰贏。問：甲應(yīng)該如何抓？為什么？甲應(yīng)該如何抓？為什么？上一頁上一頁下一頁下一頁首頁首頁從簡單的情形入手從簡單的情形入手 有三堆谷粒（例如有三堆谷粒（例如4粒、粒、5粒、粒、 6粒），甲、乙輪流抓，每次只能從一粒），甲、乙輪流抓，每次只能從一堆中抓，最少抓堆中抓，最少抓1粒，可抓任意多粒。粒，可抓任意多粒。 甲先抓，規(guī)定甲先抓，規(guī)定“誰抓到最后一把誰誰抓到最后一把誰贏贏”。問：甲應(yīng)該如

4、何抓？為什么？。問：甲應(yīng)該如何抓？為什么？上一頁上一頁下一頁下一頁首頁首頁 抓三堆：抓三堆：有三堆谷粒（例如有三堆谷粒（例如100粒、粒、200粒、粒、300粒），甲、乙輪流抓，每次只能從一堆粒），甲、乙輪流抓，每次只能從一堆中抓，最少抓中抓，最少抓1粒，可抓任意多粒；甲先抓，粒，可抓任意多粒；甲先抓，規(guī)定誰抓到最后一把誰贏。問：甲應(yīng)該如何規(guī)定誰抓到最后一把誰贏。問：甲應(yīng)該如何抓？為什么？抓？為什么？ 解：解： 問題一般化問題一般化 記號(hào)：將三堆谷粒的狀況記為（記號(hào)：將三堆谷粒的狀況記為（a , b , ca , b , c）, , 例如（例如（100 , 200 , 300100 , 200

5、 , 300）。）。 這樣，誰抓為（這樣，誰抓為（0 , 0 , 00 , 0 , 0），誰贏。），誰贏。上一頁上一頁下一頁下一頁首頁首頁 分析：分析： 問題特殊化問題特殊化 1 1）只有一堆時(shí)）只有一堆時(shí)，即狀況為（，即狀況為（a , 0 , 0a , 0 , 0）, ,此時(shí)此時(shí)先抓者必勝。先抓者必勝。上一頁上一頁下一頁下一頁首頁首頁 2 2）只有兩堆時(shí)）只有兩堆時(shí)，即狀況為（，即狀況為（a , b , 0a , b , 0） （1 1）若）若b = a , b = a , 即狀況為（即狀況為（a , a , 0a , a , 0）, ,此時(shí)后抓者必勝。因?yàn)榇藭r(shí)后抓者必勝。因?yàn)?對(duì)方先抓后，

6、結(jié)果或剩一堆，成為（對(duì)方先抓后，結(jié)果或剩一堆，成為（a , 0 , 0a , 0 , 0）的狀況，）的狀況， 一把可抓完；或剩兩堆，你抓后，又成為新的（一把可抓完；或剩兩堆，你抓后，又成為新的（d , d , 0d , d , 0） 的狀況，且的狀況，且d a , d a ,b a ,即狀況為（即狀況為（a , b , 0a , b , 0）, , 此時(shí)先抓此時(shí)先抓 者必勝。因?yàn)橄茸フ呖梢园训诙炎サ粽弑貏佟Ｒ驗(yàn)橄茸フ呖梢园训诙炎サ鬮 ab a個(gè)，使?fàn)顩r個(gè)，使?fàn)顩r 轉(zhuǎn)化為（轉(zhuǎn)化為（a , a , 0a , a , 0）, , 成為新的成為新的“狀況（狀況（1 1）”。上一頁上一頁下一頁下一頁

7、首頁首頁3 3）三堆都有，且其中兩堆相等三堆都有，且其中兩堆相等，即狀況為，即狀況為（a , a , ca , a , c）, ,此時(shí)先抓者必勝。因?yàn)橄茸フ呖梢园汛藭r(shí)先抓者必勝。因?yàn)橄茸フ呖梢园训谌讶ネ?，使?fàn)顩r轉(zhuǎn)化為（第三堆全抓完，使?fàn)顩r轉(zhuǎn)化為（a , a , 0a , a , 0）, ,成為新成為新的的“狀況狀況 2) 2)（1 1）”。4 4）三堆都有，且其中任意兩堆都不相等三堆都有，且其中任意兩堆都不相等， 即狀況為（即狀況為（a , b , ca , b , c）, , 且不妨設(shè)且不妨設(shè)a b c ,a b c ,此時(shí)情此時(shí)情況比較復(fù)雜。況比較復(fù)雜。上一頁上一頁下一頁下一頁首頁首頁

8、 為了下面表述得清楚，我們把前面為了下面表述得清楚，我們把前面的一個(gè)結(jié)論用的一個(gè)結(jié)論用“反面說法反面說法”，總結(jié)為，總結(jié)為 “把兩堆相等的狀況留給對(duì)方，自己把兩堆相等的狀況留給對(duì)方，自己可以取勝?？梢匀佟！?然后再討論然后再討論 a a、b b、c c 的不同情況。以的不同情況。以其中最小的其中最小的a a為為“主要線索主要線索”分情況討論。分情況討論。上一頁上一頁下一頁下一頁首頁首頁 （1 1）a a 1 1 時(shí)，即狀況為（時(shí)，即狀況為（1 , b , c1 , b , c）。）。 下面再下面再 對(duì)對(duì) b b 分情況討論。分情況討論。 （2 2）a a 2 2 時(shí)，即狀況為（時(shí)，即狀況為（

9、2 , b , c2 , b , c）。）。 下面再下面再 對(duì)對(duì) b b 分情況討論。分情況討論。 （3 3）a a 3 3 時(shí)，即狀況為（時(shí)，即狀況為（3 , b , c3 , b , c）。）。 下面再下面再 對(duì)對(duì) b b 分情況討論。分情況討論。 （4 4）a a 4 4 時(shí)，即狀況為（時(shí)，即狀況為（4 , b , c4 , b , c）。）。 下面再下面再 對(duì)對(duì) b b 分情況討論。分情況討論。 等等，等等。等等，等等。上一頁上一頁下一頁下一頁首頁首頁在一個(gè)漆黑的夜晚，小明一家在野外要過在一個(gè)漆黑的夜晚，小明一家在野外要過一座橋，他們只帶了一只手電筒，過橋有以下一座橋，他們只帶了一只手

10、電筒，過橋有以下要求：要求：必須借助手電筒。必須借助手電筒。每次此橋最多可過兩人，每次此橋最多可過兩人，走得快的要等走得慢的，走得快的要等走得慢的，問如何設(shè)計(jì)一個(gè)方案，讓小明一家盡快過河？問如何設(shè)計(jì)一個(gè)方案，讓小明一家盡快過河？分分甲甲2分分乙乙5分分丙丙8分分丁丁上一頁上一頁下一頁下一頁首頁首頁分析：第一種辦法是：第一種辦法是： 甲乙過去（甲乙過去（2分鐘），分鐘）， 甲回來（甲回來（1分鐘），分鐘）， 甲丙過去（甲丙過去（5分鐘），分鐘）， 甲回來（甲回來（1分鐘），分鐘）， 甲丁再過去（甲丁再過去（8分鐘），分鐘）， 總共需要總共需要17分鐘就可以讓四個(gè)人都過去。分鐘就可以讓四個(gè)人都過去

11、。上一頁上一頁下一頁下一頁首頁首頁而正確答案是第二種方法：而正確答案是第二種方法：甲乙過去（甲乙過去（2分鐘），分鐘），甲回來（甲回來（1分鐘），分鐘），丙丁過去（丙丁過去（8分鐘），分鐘），乙回來（乙回來（2分鐘），分鐘），甲乙再過去（甲乙再過去（2分鐘），分鐘），總共需要總共需要15分鐘就可以讓四個(gè)人都過去。分鐘就可以讓四個(gè)人都過去。 這里的一個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)，是讓兩個(gè)最慢的人這里的一個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)，是讓兩個(gè)最慢的人同時(shí)過橋。同時(shí)過橋。上一頁上一頁下一頁下一頁首頁首頁如果把四人所需要的時(shí)間，改變一下分別，是如果把四人所需要的時(shí)間，改變一下分別，是1、4、5、8分鐘。分鐘。 第一種方法：先甲乙過去（第一種

12、方法：先甲乙過去（4分鐘），甲回來分鐘），甲回來（1分鐘），甲丙過去（分鐘），甲丙過去（5分鐘），甲回來（分鐘），甲回來（1分鐘），分鐘），甲丁再過去（甲丁再過去（8分鐘），總共需要分鐘），總共需要19分鐘就可以讓四分鐘就可以讓四個(gè)人都過去。個(gè)人都過去。 第二種方法：先讓甲乙過去（第二種方法：先讓甲乙過去（4分鐘），甲回分鐘），甲回來（來（1分鐘），丙丁過去（分鐘），丙丁過去（8分鐘），乙回來（分鐘），乙回來（4分分鐘），甲乙再過去（鐘），甲乙再過去（4分鐘），總共需要分鐘），總共需要21分鐘就可分鐘就可以讓四個(gè)人都過去。以讓四個(gè)人都過去。 這一次，兩個(gè)最慢的人一起過去反而更慢了。這一次，兩個(gè)

13、最慢的人一起過去反而更慢了。上一頁上一頁下一頁下一頁首頁首頁總結(jié)：總結(jié)：假定四個(gè)人過河時(shí)間是假定四個(gè)人過河時(shí)間是T1,T2,T3,T4且且T1T2T3T4，如何選擇過橋方案。如何選擇過橋方案。 第一種過河方法的總時(shí)間為：第一種過河方法的總時(shí)間為：T2T1T3T1T4 第二種過河方法的總時(shí)間為：第二種過河方法的總時(shí)間為：T2T1T4T2T2 二者之差為：（二者之差為：（T1T3）-2T2。 結(jié)論是：如果（結(jié)論是：如果（T1T3）大于）大于2T2，第二種方法優(yōu)；，第二種方法優(yōu)；如果（如果（T1T3）小于）小于2T2，第一種方法優(yōu)；如果（，第一種方法優(yōu)；如果（T1T3）等于）等于2T2，兩種方法無差異。，兩種方法無差異。上一頁上一頁下一頁下一頁首頁首頁可這沙漠哪來吸管??？！對(duì)了，用石占水積法上一頁上一頁下一頁下一頁首頁首頁哈哈，這水真甜，想知道為什么我能喝到水嗎？那就讓我這聰明又可愛的烏鴉來告訴你吧！上一頁上一頁下一頁下一頁首頁首頁 投進(jìn)瓶中的石頭的體積占據(jù)了瓶中水的體積，使得水面上升，升到瓶口處，使得烏鴉能夠喝到水，這就是所謂的石占水積法！上一頁上一頁下一頁下一頁首頁首頁如果我喝到