1、第 7 章 位 移 法7-2 等截面直桿的剛度方程7-3 無側移剛架的計算7-4 有側移剛架的計算7-5 位移法的基本體系7-6 對稱性的應用7-7 支座移動和溫度改變時的計算7-8 小結7-1 位移法的基本概念 7-1 位移法的基本概念1 關于位移法的簡例 對稱結構承受對稱荷載，結點對稱結構承受對稱荷載，結點B只發(fā)生豎向位移只發(fā)生豎向位移。 若求出位移若求出位移，則各桿件的變形和內力都可求出。，則各桿件的變形和內力都可求出。 取位移取位移作為位移法基本未知量。作為位移法基本未知量。7-1 位移法的基本概念NiiiiEAFul 第一步，從結構中取第一步，從結構中取出一個桿件出一個桿件 進行分析

2、。進行分析。桿件的剛度方程桿件的剛度方程第二步，把各桿綜合成結構。第二步，把各桿綜合成結構。 各桿的桿端位移與基本各桿的桿端位移與基本位置量的關系為位置量的關系為siniiu變形協(xié)調條件變形協(xié)調條件7-1 位移法的基本概念考慮結點考慮結點B的平衡條件的平衡條件位移法的基本方程位移法的基本方程5NP1siniiiFF52P1siniiiiEAFl P521Psin0.637iiiiFEAlF aEA解方程，得解方程，得N1N5PN2N4PN3P0.1590.2250.319FFFFFFFF7-1 位移法的基本概念位移法的要點位移法的要點 （2 2）位移法的基本方程位移法的基本方程平衡方程。平衡方

3、程。（1 1）位移法的基本未知量位移法的基本未知量結點位移。結點位移。 （3 3）建立基本方程的過程分為兩步：）建立基本方程的過程分為兩步： 結構結構拆拆成桿件，進行桿件分析，得出桿件的剛度方程。成桿件，進行桿件分析，得出桿件的剛度方程。 再把桿件綜再把桿件綜合合成結構，進行整體分析，得出位移法基本成結構，進行整體分析，得出位移法基本方程。方程。 （4 4）桿件分析是結構分析的基礎，）桿件分析是結構分析的基礎，桿件的剛度方程桿件的剛度方程是位是位移法基本方程的基礎。因此位移法也叫做剛度法。位移法計移法基本方程的基礎。因此位移法也叫做剛度法。位移法計算時，計算方法并不因結構的靜定或超靜定而有所不

4、同。算時，計算方法并不因結構的靜定或超靜定而有所不同。7-1 位移法的基本概念 （2）建立位移法）建立位移法基本方程基本方程（1）基本未知量）基本未知量 A 和和 。2位移法計算剛架的基本思路 剛架剛架拆拆成桿件，得出桿件的成桿件，得出桿件的剛度方程。剛度方程。 桿件桿件合合成剛架，利用剛架平衡條件，建立成剛架，利用剛架平衡條件，建立位移法基本方程位移法基本方程。正負號規(guī)正負號規(guī)則則7 2 等截面直桿的剛度方程桿端剪力桿端剪力（桿端橫向力桿端橫向力）FQAB、FQBA 繞繞桿端順時針轉向為桿端順時針轉向為正。正。結點轉角結點轉角 A 、 B 、弦轉角弦轉角 （ = / l ) 和和桿端彎矩桿端

5、彎矩（桿桿端力矩端力矩）M AB 、M BA一律以順時針轉向為正；一律以順時針轉向為正；7-2 等截面桿件的剛度方程11361163AABBABABBAMMiiMMii 1 由桿端位移求桿端彎矩若若桿件的線剛度桿件的線剛度EIilABl11361163AABBABABBAMMiilMMiil 7-2 等截面桿件的剛度方程統(tǒng)稱彎曲桿件的剛度方程彎曲桿件的剛度方程轉角位移方程轉角位移方程426246ABABBAABMiiilMiiilDqqDqq=+-=+- QQ216612ABBAABBAABFFMMliiilll 7-2 等截面桿件的剛度方程（1）B端為固定支座端為固定支座（2）B端為鉸支座端

6、為鉸支座426246ABABBAABMiiilMiiil4626ABABAAMiilMiil0BQQ26612ABBAABFFiiilll 0BAM33ABAMiil7-2 等截面桿件的剛度方程426246ABABBAABMiiilMiiilQQ26612ABBAABFFiiilll （3）B端為滑動支座端為滑動支座QQ00BABBAFFABABAAMiMi 12Al7-2 等截面桿件的剛度方程7-2 等截面桿件的剛度方程載常數：載常數：荷載作用下的荷載作用下的固端彎矩固端彎矩和和固端剪力固端剪力。2由荷載求固端彎矩三種基本桿件三種基本桿件 （1 1）兩端固定的梁；）兩端固定的梁； （2 2）

7、一端固定、另一端簡支的梁；）一端固定、另一端簡支的梁； （3 3）一端固定、另一端滑動支承的梁。）一端固定、另一端滑動支承的梁。7-2 等截面桿件的剛度方程7-2 等截面桿件的剛度方程7-2 等截面桿件的剛度方程如果等截面桿件既有已知荷載作用，又有已知的端點如果等截面桿件既有已知荷載作用，又有已知的端點位移，根據疊加原理，桿端彎矩及剪力為：位移，根據疊加原理，桿端彎矩及剪力為：FF426246ABABABBAABBAMiiiMlMiiiMlQQFQ2FQ266126612ABBAABABBAABiiiFFllliiiFFlll 如果剛架的各結點（不包括支座）只有角位移而沒有線如果剛架的各結點（

8、不包括支座）只有角位移而沒有線位移，這種剛架叫做無側移剛架。位移，這種剛架叫做無側移剛架。 解解 （1）基本未知量）基本未知量 B桿端彎矩計算式為：桿端彎矩計算式為： （2）固端彎矩為：）固端彎矩為：FF20 615kN m8ABBAMM 39BCBMi73 無側移剛架的計算連續(xù)梁的計算也屬于無側移問題。連續(xù)梁的計算也屬于無側移問題。例例22 69kN m8BCFM AB桿桿BC桿桿AB桿桿215415ABBBABMiMiBC桿桿7-3 無側移剛架的計算（4 4）求出基本未知量：）求出基本未知量：（5 5）求出各桿最終桿端彎矩：）求出各桿最終桿端彎矩：（3 3）建立位移法基本方程）建立位移法基

9、本方程位移法的基本方程：位移法的基本方程：6215716.72kN mABMii 0,0BBABCMMM760Bi67Bi 列列B點力矩平衡方程：點力矩平衡方程：6415711.57kN mBAMii639711.57kN mBCMii 7-3 無側移剛架的計算小結：位移法的基本作法是先拆散，后組裝。組裝的原則小結：位移法的基本作法是先拆散，后組裝。組裝的原則有二：首先，在結點處各個桿件的變形要協(xié)調一致；其次有二：首先，在結點處各個桿件的變形要協(xié)調一致；其次，裝配好的結點要滿足平衡條件。，裝配好的結點要滿足平衡條件。 （6 6）作彎矩圖。）作彎矩圖。7-3 無側移剛架的計算 解（2 2）固端彎

10、矩為：）固端彎矩為：例 7-1 7-1 作圖示剛架彎矩圖。作圖示剛架彎矩圖。22F22FF20 440kN m8820 5121241.7kN m41.7kN mBABCCBqlMqlMM B、C（1 1）基本未知量）基本未知量7-3 無側移剛架的計算各桿剛度取相對值計算，設各桿剛度取相對值計算，設EI0=1，則，則000004541,1,14543331,4462BABCCDBECFEIEIEIiiiEIEIii7-3 無側移剛架的計算桿端彎矩計算桿端彎矩計算式為：式為： FFF3340424241.7242441.73343,21.542,2BABABABBBCBCBBCCBCBCCBBC

11、BBCCCBBCCDCDCCBEBEBBEBBEBBCFCFCCFCCFCCMiMMiiMMiiMMiMiMiMiMi7-3 無側移剛架的計算（3）建立位移法基本方程）建立位移法基本方程 結點結點C力矩平衡：力矩平衡：結點結點B力矩平衡：力矩平衡：（4）求出基本未知量）求出基本未知量0BABCBEMMM1021.70BC0CBCDCFMMM2941.70BC1.15,4.89BC （5）求出各桿最終桿端彎矩：）求出各桿最終桿端彎矩：31.154043.5kN.m41.1524.8941.746.9kN.mBABCMM 7-3 無側移剛架的計算（6）作彎矩圖。）作彎矩圖。1.51.151.73k

12、N.m24.899.78kN.m4.89kN.mEBCFFCMMM 21.1544.8941.724.5kN.m34.8914.7kN.m 31.153.4kN.mCBCDBEMMM 剛架分為無側移和有側移兩類。剛架分為無側移和有側移兩類。有側移剛架除有結點轉角外，還有結點線位移。有側移剛架除有結點轉角外，還有結點線位移。74 有側移剛架的計算1 基本未知量的選取計算有側移剛架的基本思路與無側移相同，具體做法上計算有側移剛架的基本思路與無側移相同，具體做法上增加了一些新內容：增加了一些新內容：（1 1）在基本未知量中，要包括結點線位移；）在基本未知量中，要包括結點線位移；（2 2）在桿件計算中

13、，要考慮線位移的影響；）在桿件計算中，要考慮線位移的影響；（3 3）在建立基本方程時，要增加與結點線位移對應的方程。）在建立基本方程時，要增加與結點線位移對應的方程。結點角位移結點角位移：剛結點、剛絞結點的剛結點部分。：剛結點、剛絞結點的剛結點部分。 結點線位移結點線位移：位移法中忽略軸力對變形的影響。：位移法中忽略軸力對變形的影響。7-4 有側移剛架的計算觀察法觀察法如何確定獨立線位移？如何確定獨立線位移？只有一個線位移，只有一個線位移，全部未知量有三個全部未知量有三個只有一個線位移，只有一個線位移，全部未知量有一個全部未知量有一個有兩個線位移，有兩個線位移，全部未知量有兩個全部未知量有兩個

14、7-4 有側移剛架的計算鉸結體系法鉸結體系法 原結構的獨立結點線位移的數目原結構的獨立結點線位移的數目= =鉸結體系的自由度數鉸結體系的自由度數= =為了使此鉸結體系成為幾何不變而需添加的鏈桿數。為了使此鉸結體系成為幾何不變而需添加的鏈桿數。 7-4 有側移剛架的計算小結：小結：1 1、用位移法計算有側移剛架時，基本未知量包括結點轉角、用位移法計算有側移剛架時，基本未知量包括結點轉角和獨立結點線位移。和獨立結點線位移。2 2、結點轉角的數目等于剛結點的數目，獨立結點線位移的、結點轉角的數目等于剛結點的數目，獨立結點線位移的數目等于鉸結體系的自由度的數目。數目等于鉸結體系的自由度的數目。3 3、

15、在選取基本未知量時，由于既保證了剛結點處各桿桿端、在選取基本未知量時，由于既保證了剛結點處各桿桿端轉角彼此相等，又保證了各桿桿端距離保持不變，滿足轉角彼此相等，又保證了各桿桿端距離保持不變，滿足變形連續(xù)條件變形連續(xù)條件。 7-4 有側移剛架的計算（2 2）桿端彎矩：）桿端彎矩：（1）基本未知量）基本未知量21263 4412ABBMii 2 基本方程的建立B、 21463 4412BABMii 3 2BCBMi34DCMi 7-4 有側移剛架的計算（3）建立基本方程：）建立基本方程：0,0BBABCMMM101.540BiiQQ0,0 xBACDFFFQ10,()64ABAABBAMFMM Q

16、10,4DBADCMFM 1()604ABBADCMMM1.50.937560Bii7-4 有側移剛架的計算 小結：位移法的基本方程都是根據平衡方程得出的?；〗Y：位移法的基本方程都是根據平衡方程得出的?；疚粗恐忻恳粋€轉角有一個相應的結點力矩平衡方程，本未知量中每一個轉角有一個相應的結點力矩平衡方程，每一個獨立結點線位移有一個相應的截面平衡方程。平衡每一個獨立結點線位移有一個相應的截面平衡方程。平衡方程的個數與基本未知量的個數彼此相等，正好解出全部方程的個數與基本未知量的個數彼此相等，正好解出全部基本未知量基本未知量。（4）解方程組）解方程組得得（6）作彎矩圖（略）作彎矩圖（略）101.5

17、40Bii1.50.937560Bii B= 0.737/i = 7.58/i（5）各桿最終桿端彎矩（略）各桿最終桿端彎矩（略）7-4 有側移剛架的計算 例例7-2 7-2 作圖示剛架彎矩圖。忽作圖示剛架彎矩圖。忽略橫梁的軸向變形。略橫梁的軸向變形。 解解: :（1 1）基本未知量：各柱頂水平）基本未知量：各柱頂水平位移相等，只有一個獨立線位移位移相等，只有一個獨立線位移。（2 2）各柱的桿端彎矩和剪力為：）各柱的桿端彎矩和剪力為： 111222333EIihEIihEIih1Q12Q222Q323333ABCDEFFihFihFih112233333BADCFEMihMihMih 7-4 有

18、側移剛架的計算與橫梁水平位移與橫梁水平位移 對應，對應，取柱頂以上橫梁為隔離體取柱頂以上橫梁為隔離體（3）建立位移法基本方程：）建立位移法基本方程：PQQQEF0BACDFFFF312P22212330iiiFhhhPP312222212333FFiiiihhhh列出水平投影方程：列出水平投影方程：0X 7-4 有側移剛架的計算（4 4）各柱最終桿端彎矩，畫彎矩圖：）各柱最終桿端彎矩，畫彎矩圖： 221221PP22323P2BADCFEiihhMFMFiihhihMFih 7-4 有側移剛架的計算（6）討論）討論側移剛度側移剛度（5）各柱的剪力為：）各柱的剪力為： 223122231QAPQ

19、PQP222333,333BCDEFiiihhhFFFFFFiiihhh2333(1,2,3)iiiiiiEIkihh312QAPQPQP,BCDEFkkkFF FF FFkkk 荷載荷載FP （=總剪力）按側移剛度分配給各柱，得各柱剪力，總剪力）按側移剛度分配給各柱，得各柱剪力，可畫彎矩圖?？僧嫃澗貓D。-剪力分配法剪力分配法7-4 有側移剛架的計算例例 7-3 作圖示剛架內力圖。作圖示剛架內力圖。 解解（2）固端彎矩）固端彎矩 各桿剛度取相對值計算，設各桿剛度取相對值計算，設EI0=1，則，則22FF20 541.7kN m41.7kN m1212BCCBqlMM 000004541,1,1

20、,4543331,4462BABCCDBECFEIEIEIiiiEIEIii（1）基本未知量）基本未知量剛結點剛結點B、C的轉角的轉角 B、 C柱頂的水平位移柱頂的水平位移 。22F20 440kN m88BAqlM7-4 有側移剛架的計算桿端彎矩計算式為：桿端彎矩計算式為： F3340BABABABBMiM33CDCDCCMiF424241.7BCBCBBCCBCBCMiiMF242441.7CBBCBBCCCBBCMiiM4631.125BEBEBEBBEBiMil1.51.125EBBM20.5CFCM0.5FCCM7-4 有側移剛架的計算結點結點C力矩平衡：力矩平衡：結點結點B力矩平衡

21、：力矩平衡：00BBABCBEMMMM1021.1251.70BC00CCBCDCFMMMM290.541.70BC（3）建立位移法基本方程）建立位移法基本方程 7-4 有側移剛架的計算（4 4）解方程組）解方程組得得QQ0,0 xBECFFFFQ10,()4EBEEBBEMFMM Q10,6FCFFCCFMFMM 11()046EBBEFCCFMMMM1.1250.50.7280BC1021.1251.70290.541.701.1250.50.7280BCBCBCB= 0.94 C= -4.94 = -1.947-4 有側移剛架的計算（5 5）最終桿端彎矩為：）最終桿端彎矩為：42.82k

22、N m,47.82kN m,23.82kN m,14.8kN m,BABCCBCDMMMM 5.0kN m,3.59kN m,8.91kN m,3.97kN mBEEBCFFCMMMM （6 6）作內力圖）作內力圖由桿端彎矩作由桿端彎矩作M圖。圖。由每個桿件的隔離體圖，用平衡方程求剪力，作由每個桿件的隔離體圖，用平衡方程求剪力，作FQ圖。圖。由結點的平衡方程求軸力，作由結點的平衡方程求軸力，作FN圖。圖。7-4 有側移剛架的計算7-4 有側移剛架的計算（7 7）校核）校核在位移法中，一般以校核平衡條件為主。在位移法中，一般以校核平衡條件為主。0,2.15kN 2.15kN00,29.3kN 1

23、05.5kN 48.9kN20kN/m 9m 3.7kN0 xyFF 75 位移法的基本體系統(tǒng)一用統(tǒng)一用 表示位移法的基本未知量；表示位移法的基本未知量；位移法基本體系位移法基本體系：在原結構上增加與基本未知量相應的人在原結構上增加與基本未知量相應的人為約束，從而使基本未知量由被動的位移變成受人工控制的為約束，從而使基本未知量由被動的位移變成受人工控制的主動的位移。主動的位移。位移法基本結構位移法基本結構：在原結構上增加與基本未知量相應的可在原結構上增加與基本未知量相應的可控而得到的結構?？囟玫降慕Y構。如果基本體系與原結構發(fā)生相同的結點位移，如果基本體系與原結構發(fā)生相同的結點位移，則附加約束

24、上的約束反力一定等于零。則附加約束上的約束反力一定等于零。 0021FF7-5 位移法的基本體系（1 1） 1 1=1=1單獨作用時，附加約束的反力單獨作用時，附加約束的反力k k1111、k k2121。k k1111=6=6i i+4+4i=i=1010i ik k2121=-6=-6i i/ /h h=-1.5=-1.5i i 附加剛臂上的約束力以附加剛臂上的約束力以順時針為正。順時針為正。 附加支桿上的約束力以附加支桿上的約束力以讀者規(guī)定的線位移方向為正讀者規(guī)定的線位移方向為正7-5 位移法的基本體系（2） 2=1單獨作用時，附加約束的反力單獨作用時，附加約束的反力k12、k22。k1

25、2=-1.5ik22=3i /4+ 3i /16 =15i/167-5 位移法的基本體系（3） 荷載單獨作用時，附加約束的反力荷載單獨作用時，附加約束的反力F1P、F2P。F1P= qh2/12=4F2P=- qh/2=-67-5 位移法的基本體系將三種情況下的附加約束反力疊加，得將三種情況下的附加約束反力疊加，得11111221P22112222PFkkFFkkF 位移法方程為位移法方程為1111221P2112222P00kkFkkF 位移法典型方程位移法典型方程的物理意義的物理意義 基本結構在荷載和結點位移作用下，總附加約束反力等基本結構在荷載和結點位移作用下，總附加約束反力等于零于零將

26、求得的系數和自由項代入方程，求解得將求得的系數和自由項代入方程，求解得1212101.54 0151.56 016iii 120.737/7.58/ii 系系數數自由自由項項7-5 位移法的基本體系將三種情況下的彎矩圖疊加將三種情況下的彎矩圖疊加1122PMMMM7-5 位移法的基本體系對于對于n個基本未知量問題，位移法方程為個基本未知量問題，位移法方程為11112211P21122222P1122P000nnnnnnnnnnkkkFkkkFkkkF位移法典型方程位移法典型方程111212122212nnnnnnkkkkkkkkk 結構的剛度矩陣結構的剛度矩陣kii主系數，恒大于零；主系數，恒

27、大于零；kij=kji副系數，可正、可負、可為零；副系數，可正、可負、可為零；作用在對稱結構上的任意荷載，可以分為對稱荷載和反作用在對稱結構上的任意荷載，可以分為對稱荷載和反對稱荷載；對稱荷載；在對稱荷載作用下，變形是對稱的，彎矩圖和軸力圖是在對稱荷載作用下，變形是對稱的，彎矩圖和軸力圖是對稱的，而剪力圖是反對稱的；對稱的，而剪力圖是反對稱的；在反對稱荷載作用下，變形是反對稱的，彎矩圖和軸力在反對稱荷載作用下，變形是反對稱的，彎矩圖和軸力圖是反對稱的，而剪力圖是對稱的。圖是反對稱的，而剪力圖是對稱的。利用這些規(guī)則，計算對稱結構時，可只取半邊結構。利用這些規(guī)則，計算對稱結構時，可只取半邊結構。7

28、6 對稱性的應用7-6 對稱結構的計算(1)對稱荷載對稱荷載1 奇數跨對稱結構在對稱軸截面上，沒有在對稱軸截面上，沒有轉角和水平位移，可有豎轉角和水平位移，可有豎向位移。向位移。(2)反對稱荷載反對稱荷載在對稱軸截面上，沒有豎向在對稱軸截面上，沒有豎向位移，可有轉角和水平位移。位移，可有轉角和水平位移。7-6 對稱結構的計算2 偶數跨對稱結構(1) 對稱荷載對稱荷載在對稱軸截面上，沒有轉在對稱軸截面上，沒有轉角和水平位移，由于不計軸角和水平位移，由于不計軸向變形，也沒有豎向位移。向變形，也沒有豎向位移。(2)反對稱荷載反對稱荷載柱柱CD只有彎曲變形，可按只有彎曲變形，可按抗彎剛度分成兩個柱子。

29、抗彎剛度分成兩個柱子。C處的支桿對處的支桿對彎矩不起作用。彎矩不起作用。7-6 對稱結構的計算例 7-4 作圖示結構作圖示結構內內力圖。吊桿的力圖。吊桿的EA等于橫梁等于橫梁EI的的1/20m2。 解解 （2）基本未知量）基本未知量 取結點取結點B的轉角的轉角和豎和豎向位移向位移 為為基本未知量。基本未知量。（1）半邊結構）半邊結構（3）固端力）固端力22F22F10 10333kN m3310 10167kN m66BCCBqlMqlM 基本體系半邊結構FQFQ10 10100kN0BCCBFqlF7-6 對稱結構的計算（4）求桿端力）求桿端力桿桿AB22Q23626220206464202

30、06122020ABABABBAABABABABBAEIEIMiilEIEIMiilMMEIEIFl 桿桿BCQFFFQ3331016710100BCBCABBCCBABCBBCEIMiMEIMiMFF 7-6 對稱結構的計算桿桿BDBD（5）列位移法方程）列位移法方程考慮考慮B點平衡點平衡N33205255335 20 252500BDEIEAFlEIEI 0,0BBABCMMMNQQ30,05yBdBABcFFFF7-6 對稱結構的計算（5）最終桿端力）最終桿端力3330.30.0151000.0150.00222EIEI508079400EIEI22Q2326508079400682kN

31、 m202046508079400174kN m202061250807940042.8kN2020ABBABCMMF 7-6 對稱結構的計算（7 7）作）作內內力圖力圖N m1015080167675kN m10100kNBCBABCMMF N37940095.2kN2500BDF 超靜定結構當支座產生位移時，結構中一般會引起內力。超靜定結構當支座產生位移時，結構中一般會引起內力。用位移法計算時，基本未知量和基本方程以及作題步驟都與荷用位移法計算時，基本未知量和基本方程以及作題步驟都與荷載作用時一樣，不同的只有固端力一項，載作用時一樣，不同的只有固端力一項，例如由荷

32、載作用產生例如由荷載作用產生的固端彎矩改變成由已知位移作用產生的的固端彎矩改變成由已知位移作用產生的“固端彎矩固端彎矩”。*77 支座移動和溫度改變時的計算1 支座位移時的計算例例 7-5 作圖示連續(xù)梁支座作圖示連續(xù)梁支座C下沉下沉C時的彎矩圖。時的彎矩圖。解解（1）基本未知量）基本未知量B（2）求桿端彎矩）求桿端彎矩333CBABBCBMiMiil*7-7 支座位移和溫度改變時的計算（3）列位移法方程）列位移法方程（4）最終桿端彎矩）最終桿端彎矩00BBABCMMM630CBiil12CBl131.521331.52CCBACCCBCMiillMiiilll *7-7 支座位移和溫度改變時的計算溫度改變時的計算，與支座位移時的計算基本相同。溫度改變時的計算，與支座位移時的計算基本相同。桿件桿件內外溫差內外溫差使桿件彎曲，產生固端彎矩。使桿件彎曲，產生固端彎矩。溫度改變時桿件的溫度改變時桿件的軸向變形軸向變形使結點產生已知位移，使桿端使結點產生已知位移，使桿端產生相對橫向位移又產生另一部分產生相對橫向位移又產生另一部分“固端彎矩固端彎矩”。例例 7- 6 排架由于排架由于 溫度均勻升高溫度均勻升高 t 所產生的彎矩。所產生的彎矩。解L為結點到對稱為結點到對稱軸距離軸距離tL33tLMiihh 2 溫度改變時的計算*7-7 支座位