1、高中數(shù)學(xué)第二次作業(yè) 黃夏秋 1梳理高中數(shù)學(xué)課程中“函數(shù)”的結(jié)構(gòu)脈絡(luò)，并進(jìn)行"函數(shù)"概念教學(xué)片段設(shè)計(jì)。答：“函數(shù)”的結(jié)構(gòu)脈絡(luò)：導(dǎo)數(shù)數(shù)學(xué)建模函數(shù)概念背景用函數(shù)圖形看待函數(shù)對應(yīng)的關(guān)系看待函數(shù)變量和變量的關(guān)系具體的函數(shù)模型數(shù)列三角函數(shù)對數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù)實(shí)際函數(shù)模型分段函數(shù)簡單的冪函數(shù)及拓展函數(shù)的應(yīng)用實(shí)際中的應(yīng)用刻畫模型的套用數(shù)學(xué)內(nèi)部的應(yīng)用方程不等式簡單線性規(guī)劃算法隨機(jī)現(xiàn)象研究函數(shù)的思想工具運(yùn)算函數(shù)是數(shù)學(xué)的一個(gè)中心概念，是數(shù)學(xué)里不可缺少的一部分，體會(huì)變量的依賴關(guān)系，會(huì)用映射來刻畫函數(shù)，能結(jié)合函數(shù)圖形來解決問題。中學(xué)階段強(qiáng)化對函數(shù)圖形的認(rèn)識，函數(shù)圖形是一個(gè)整體認(rèn)識，給定一個(gè)函數(shù)圖形就等于

2、給了一個(gè)函數(shù)，相同函數(shù)以為著函數(shù)圖形應(yīng)該是重合的。有很多知識是和函數(shù)密切聯(lián)系的，比如在考慮不等式的時(shí)候，在討論方程的時(shí)候，在討論計(jì)算的時(shí)候，算法里的賦值變量，在概率隨機(jī)變量，線性規(guī)劃這個(gè)多元函數(shù)等等，中學(xué)里涉及到的幾乎都離不開函數(shù)，都和函數(shù)緊密相關(guān)。所以要特別強(qiáng)調(diào)對函數(shù)性質(zhì)的研究，對函數(shù)應(yīng)用的研究，討論函數(shù)定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性、周期性、對稱性等等。微積分里我們開始用導(dǎo)數(shù)方法再來研究函數(shù)本身的變化和性質(zhì)和應(yīng)用。用函數(shù)來研究數(shù)學(xué)內(nèi)部的問題，比如處理一些函數(shù)極值問題，二分法解方程問題，解不等式問題等。在數(shù)學(xué)建模里，函數(shù)的應(yīng)用被放在一個(gè)非常突出的地位，函數(shù)作為一個(gè)模型，一種思想被凸顯出來了。一

3、批模型被放到了學(xué)生的腦子里，這批模型包括一次函數(shù)，二次函數(shù)，反比例函數(shù)，指數(shù)函數(shù)，對數(shù)函數(shù)，冪函數(shù)，三角函數(shù)，分段函數(shù)等等。研究函數(shù)的基本方法有兩種，一種是代數(shù)法，通過運(yùn)算來探索函數(shù)的性質(zhì)和應(yīng)用，這運(yùn)算包括數(shù)的運(yùn)算、多項(xiàng)式的運(yùn)算、指數(shù)運(yùn)算、對數(shù)運(yùn)算、三角運(yùn)算，它在我們研究函數(shù)中都會(huì)發(fā)揮作用，這是一種基本的方法，也是學(xué)生必須認(rèn)真掌握的方法。另外一種方法就是我們通常所說的微積分的方法，利用變化率來認(rèn)識函數(shù)的變化，這是一個(gè)新的角度，也是牛頓微積分一個(gè)核心的內(nèi)容。用函數(shù)解決其他學(xué)科和日常生活中的問題，把實(shí)際問題轉(zhuǎn)變成數(shù)學(xué)函數(shù)模型，然后應(yīng)用函數(shù)知識來解決問題，所以要求學(xué)生具備用函數(shù)的語言去描述實(shí)際問題的

4、能力。"函數(shù)"概念教學(xué)片段設(shè)計(jì)一教學(xué)目標(biāo)： 1通過豐富實(shí)例，體會(huì)函數(shù)是描述變量之間依賴關(guān)系的重要數(shù)學(xué)模型，使學(xué)生正確理解函數(shù)概念，能用集合與對應(yīng)的語言來刻畫函數(shù)，了解構(gòu)成函數(shù)的三要素，初步形成學(xué)生利用函數(shù)的觀點(diǎn)認(rèn)識現(xiàn)實(shí)世界的意識和能力。2通過從實(shí)際問題中抽象概括函數(shù)概念的活動(dòng)，培養(yǎng)學(xué)生的抽象概括能力。教學(xué)重點(diǎn)：體會(huì)函數(shù)是描述變量之間的依賴關(guān)系的重要數(shù)學(xué)模型，正確理解函數(shù)的概念。教學(xué)難點(diǎn)：函數(shù)概念及符號的理解。 3教學(xué)方法：啟發(fā)探究式4教學(xué)過程： 一、創(chuàng)設(shè)情境，觀察發(fā)現(xiàn) 情景一：拍皮球游戲 拍球時(shí)間（）秒5秒12秒20秒25秒30秒拍球個(gè)數(shù)（）個(gè)  

5、60;  游戲規(guī)則：一個(gè)同學(xué)拍皮球并大聲數(shù)數(shù)，另一個(gè)同學(xué)按表格中的時(shí)間報(bào)時(shí)，其余同學(xué)記下報(bào)球時(shí)的個(gè)數(shù)。游戲結(jié)束后填寫上圖中的表格。 思考1：表格中有哪幾個(gè)變量？思考2：當(dāng)給定其中一個(gè)變量的值時(shí)，能確定另一個(gè)變量的值嗎？點(diǎn)評：在這個(gè)變化過程中有兩個(gè)變量和，當(dāng)給定其中一個(gè)變量的值就相應(yīng)的確定了另一個(gè)變量的值。通過拍皮球游戲，讓學(xué)生先參與活動(dòng)，再利用表格讓學(xué)生體會(huì)用表格刻畫兩個(gè)變量之間的對應(yīng)關(guān)系。情景二：圖1的蘭色曲線記錄的是2009年2月20日自上午9：30至下午3：00上海證券交易所的股票指數(shù)的情況股票指數(shù)是時(shí)間的函數(shù)嗎？    

6、60;   圖1思考：你能從圖中看出哪一個(gè)時(shí)刻股票指數(shù)最大嗎？哪一個(gè)時(shí)刻股票指數(shù)最小嗎？其中時(shí)間的取值范圍是多少？點(diǎn)評：老師引導(dǎo)學(xué)生看圖，并啟發(fā)：在的變化范圍內(nèi)，任給一個(gè)，按照給定的圖象，都有唯一的一個(gè)股票指數(shù)與之相對應(yīng)。讓學(xué)生體會(huì)用圖象刻畫變量之間的對應(yīng)關(guān)系，關(guān)注時(shí)間和股票指數(shù)的范圍。情景三：某種型號的汽車緊急剎車后仍將滑行米，一般有經(jīng)驗(yàn)公式，其中表示剎車前汽車的速度（單位：千米/時(shí)）思考： （）在公式中有哪幾個(gè)變量（）計(jì)算當(dāng)分別為50，60，100時(shí)，相應(yīng)的滑行距離是多少？（）給定一個(gè)值，你能求出相應(yīng)的值嗎？點(diǎn)評：在這個(gè)變化過程中，有兩個(gè)變量和，如果給定一個(gè)的值，相應(yīng)的

7、也就確定了的值。本例主要通過關(guān)系式體會(huì)兩個(gè)變量之間的關(guān)系。為了幫助學(xué)生形成積極的學(xué)習(xí)態(tài)度，促進(jìn)學(xué)生發(fā)展，在函數(shù)概念的教學(xué)設(shè)計(jì)中主要突出了以幾點(diǎn)： （）通過生生互動(dòng)，師生互動(dòng)，調(diào)動(dòng)了學(xué)生的求知欲望和學(xué)習(xí)興趣。體會(huì)在解決問題時(shí)與他人合作的重要性。 （）分別以圖像、表格、代數(shù)表達(dá)式三種形式呈現(xiàn)了三個(gè)生活化的場景，引導(dǎo)學(xué)生自主探索，滿足了學(xué)生多樣化的學(xué)習(xí)需求。 （）從生活中的函數(shù)原型出發(fā)，讓學(xué)生明白了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)內(nèi)容應(yīng)當(dāng)是現(xiàn)實(shí)的、有意義的、富有挑戰(zhàn)性的。加強(qiáng)了數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)的聯(lián)系，讓學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)的廣泛應(yīng)用性。 二.概念形成：思考1：分析、歸納以上三個(gè)實(shí)例，想想變量之間的關(guān)系有什么共同點(diǎn)？生：三個(gè)實(shí)例中變量之間

8、的關(guān)系都可以描述為：對于數(shù)集中的每一個(gè)，按照某種對應(yīng)關(guān)系，在數(shù)集中都有唯一確定的和它對應(yīng)，記作：思考2：前面我們學(xué)習(xí)了“集合”，你能用“集合”以及對應(yīng)的語言刻畫函數(shù)概念嗎？設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生把初中學(xué)習(xí)過的函數(shù)概念與高一剛學(xué)習(xí)的過的集合知識聯(lián)系起來，用集合的觀點(diǎn)解釋過去的概念，獲得對函數(shù)概念的新認(rèn)識獲得新的函數(shù)定義方式：設(shè)A，B是兩個(gè)非空數(shù)集如果按照某種確定的對應(yīng)關(guān)系f，使對于集合A中的任意一個(gè)數(shù)x，在集合B中有唯一確定的數(shù)f（x）和它對應(yīng)，那么就稱f：AB為集合A到集合B的一個(gè)函數(shù)，記作yf（x），xA其中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域；與x的值相對應(yīng)的y值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的

9、集合f（x）| xA叫做函數(shù)的值域值域是集合的子集。若Cf（x）| xA，則CB師生共同就每一個(gè)例子，找出集合A，B分別是什么，對應(yīng)關(guān)系f指什么？突出“三要素”思考3：在這個(gè)定義中，你認(rèn)為哪些是關(guān)鍵詞？怎樣理解這個(gè)概念呢？設(shè)計(jì)意圖：促使學(xué)生抓住概念中的關(guān)鍵詞，多方面理解概念，抓住本質(zhì)同時(shí)，指出函數(shù)的三要素為定義域、對應(yīng)關(guān)系、值域由于對于一個(gè)函數(shù)，當(dāng)定義域確定、對應(yīng)關(guān)系確定后，值域也隨之確定，因此，兩個(gè)函數(shù)相等的條件是定義域以及對應(yīng)關(guān)系相同三、概念辨析： 下列圖象中不能作為函數(shù)的圖象的是（ ）（A） （B） （C） （D）設(shè)計(jì)意圖：通過這到題可以了解學(xué)生對函數(shù)概念的掌握情況突出“兩個(gè)變量x，y”

10、，對于變量x的“每一個(gè)”確定的值，另一個(gè)變量y有“唯一”確定的值與x對應(yīng)。2. 梳理高中數(shù)學(xué)課程中“幾何”的結(jié)構(gòu)脈絡(luò)，并設(shè)計(jì)一道立體幾何或解析幾何的應(yīng)用題以評價(jià)學(xué)生建模及綜合應(yīng)用知識解決問題的能力。（注意：題目必須是自編或改編）答：“幾何”的結(jié)構(gòu)脈絡(luò)幾何課程的設(shè)計(jì)由兩部分組成，第一部分是知識部分；第二部分是能力部分，這個(gè)能力體現(xiàn)在空間的想象力，或者叫幾何直觀能力，或者叫數(shù)形結(jié)合能力。這兩部分都是貫穿在我們整個(gè)高中課程中的基本的東西。知識部分分三大塊，一塊是立體幾何，一塊是解析幾何，一塊是向量，這是支撐幾何課程的三個(gè)基點(diǎn)，對向量要有一個(gè)完整的認(rèn)識，向量有兩個(gè)稱號，一個(gè)叫向量代數(shù)，就是我們在代數(shù)里

11、講的；一個(gè)叫向量幾何，所以向量是一個(gè)獨(dú)特的數(shù)學(xué)研究對象。首先， 立體幾何部分，整個(gè)課程分成兩塊，一塊叫立體幾何初步，一塊叫空間向量與立體幾何，支撐空間向量幾何的內(nèi)容除了立體幾何初步之外，還有平面向量 。立體幾何初步的定位是什么？ -它是要培養(yǎng)學(xué)生的空間想象力為主的一個(gè)課程載體。通過這樣一些內(nèi)容，來支撐這樣的一個(gè)載體，第一部分就是要對空間圖形有一個(gè)了解，盡而我們要會(huì)畫空間圖形的直觀圖，在此基礎(chǔ)上我們要建立三視圖的概念，這個(gè)是在義務(wù)教育基礎(chǔ)上的一個(gè)深化，在三視圖中我們要關(guān)注什么問題，我想將來我們再細(xì)化，那么緊接著，我們需要幫助學(xué)習(xí)建立的是點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系，這是必修課程的基本的東西，當(dāng)然還有一些

12、，體積面積的計(jì)算，這個(gè)不是重點(diǎn)。關(guān)于點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系，在立體幾何初步中，幫助學(xué)生形成兩個(gè)角度，一個(gè)是從局部到整體，一個(gè)是從整體到局部，如長方體這個(gè)模型，就能成為貫穿對于點(diǎn)、線、面位置關(guān)系認(rèn)識的一個(gè)基本圖形，這個(gè)圖形不僅在高中階段是基本圖形，在大學(xué)學(xué)習(xí)其他的幾何的時(shí)候，它仍然是很重要的，仍然是最基本的，特別是正交系這都是非?；镜膱D形。立體幾何初步對于邏輯推理的要求，做了一定的控制，大概有 4個(gè)判定定理和 4個(gè)性質(zhì)定理，只要求證明性質(zhì)定理，不要求證明判定定理，在性質(zhì)定理的證明中，要增加更多的空間、圖形來支撐它。要培養(yǎng)邏輯思維能力，不是幾何學(xué)單獨(dú)來培養(yǎng)的，它是所有的數(shù)學(xué)課程共同培養(yǎng)的，對幾何課

13、來說，它的定位就是掌握空間想象能力，或者把握圖形的能力，這是它的本職工作和核心工作，當(dāng)然它也和其他的數(shù)學(xué)一樣，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力，不可本末倒置，好像幾何就培養(yǎng)人的思維能力，所以一定要把這個(gè)定位認(rèn)識清楚，一些證明，比如說判定定理證明，在后面空間向量、立體幾何還可以處理，要把握圖形，培養(yǎng)學(xué)生空間想象能力，這是一個(gè)最核心的問題。對于空間向量與立體幾何。首先，要清楚在立體幾何初步里主要是位置關(guān)系，定性的認(rèn)識位置關(guān)系，實(shí)際上在高中階段，要幫助學(xué)生研究的主要對象有兩個(gè)，一個(gè)是位置關(guān)系，一個(gè)是度量關(guān)系。最主要的位置關(guān)系是兩個(gè)，一個(gè)是平行，一個(gè)是垂直，判定垂直就是看這兩個(gè)平面（要平面就說法向量，要直線就說

14、方向向量），它們的點(diǎn)乘是不是等于零，另外一個(gè)是平行問題，平行問題是共線問題。再說度量問題，度量問題一個(gè)是長度，一個(gè)是角度，距離是屬于長度的范疇，對于面積和體積不是中學(xué)的重點(diǎn)，到大學(xué)會(huì)專門去講，如何利用空間向量來求面積、來確定體積，也就是差乘和混合積的問題，那么用什么樣的向量語言來刻畫長度呢？一個(gè)是向量自己和自己的點(diǎn)乘，是自己這個(gè)向量長度的平方，另一個(gè)就是投影，要特別注意投影是個(gè)數(shù)，距離是個(gè)正數(shù)，因此我們在求投影完了以后要取絕對值，所以在上的投影，是指與的單位向量的點(diǎn)乘，然后取絕對值， 這就是求長度的中心的部分。向量是連接代數(shù)和幾何的一座天然的橋梁，是數(shù)形結(jié)合重要的載體，它的三個(gè)不共面的向量構(gòu)成

15、了基本的框架，特別是正交的框架，有助于我們對幾何空間圖形的把握，這樣一個(gè)框架對培養(yǎng)空間想象能力是非常重要的。解析幾何分為兩個(gè)階段，一個(gè)是解析幾何初步，解析幾何初步是以圓和直線作為載體來建立解析集合初步思想，到了選修1和選修2，我們是以圓錐曲線作為載體，來進(jìn)一步深化我們解析幾何的思想。另一個(gè)是幾何直觀的培養(yǎng)，就是空間想象力的培養(yǎng)。空間想象力和幾何直觀的培養(yǎng)絕不僅僅是幾何的任務(wù)，是我們數(shù)學(xué)的任務(wù)，要幫助學(xué)生學(xué)會(huì)用圖形來描述問題，要幫助學(xué)生學(xué)會(huì)用圖形去發(fā)現(xiàn)解決問題，要幫助學(xué)生學(xué)會(huì)用圖形來記憶和理解我們所得到的結(jié)果。所以圖形能揭示數(shù)學(xué)的本質(zhì)。解析幾何應(yīng)用題艦A在艦B的正東6千米，艦C在艦B的北偏西且與

16、B相距4千米，它們準(zhǔn)備捕海洋動(dòng)物，某時(shí)刻A發(fā)現(xiàn)動(dòng)物信號，4秒后B、C同時(shí)發(fā)現(xiàn)這種信號，A發(fā)射麻醉炮彈，設(shè)艦與動(dòng)物均為靜止的，動(dòng)物信號的傳播速度為1千米/秒，炮彈的速度是千米/秒，其中為重力加速度，若不計(jì)空氣阻力與艦高，問艦A發(fā)射炮彈的方位角和仰角應(yīng)是多少？命題意圖：考察圓錐曲線在實(shí)際問題中的應(yīng)用，及將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題的能力。考察知識：線段垂直平分線的性質(zhì)，雙曲線的定義，兩點(diǎn)間的距離公式，斜拋運(yùn)動(dòng)的曲線方程。錯(cuò)解分析：答好本題，除要準(zhǔn)確地把握好點(diǎn)P的位置（既在線段BC的垂直平分線上，又在以A、B為焦點(diǎn)的拋物線上），還應(yīng)對方位角的概念掌握清楚。技巧與方法：通過建立恰當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，將實(shí)際問題

17、轉(zhuǎn)化成解析幾何問題來求解，對空間物體的定位，一般可利用聲音傳播時(shí)間差來建立方程。解：取AB所在直線為軸，以AB的中點(diǎn)為原點(diǎn)，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系。由題意可知，A、B、C艦的坐標(biāo)為（3，0）、（-3，0）、（-5，），由于B、C同時(shí)發(fā)現(xiàn)動(dòng)物信號，記動(dòng)物所在的位置為P，則，于是P在線段BC的中垂線上，易求得其方程為，又由A、B兩艦發(fā)現(xiàn)動(dòng)物信號的時(shí)間差為4秒，知，故知P在雙曲線的右支上。直線與雙曲線的交點(diǎn)為，此即為動(dòng)物P的位置，利用兩點(diǎn)間距離公式，可得。據(jù)已知兩點(diǎn)的斜率公式，得，所以直線PA的傾斜角為，于是艦A發(fā)射炮彈的方位角是北偏東，設(shè)發(fā)射炮彈的仰角是，初速度，則，仰角3. 

18、0; 請您設(shè)計(jì)一道有關(guān)“統(tǒng)計(jì)與概率”部分的應(yīng)用題：通過設(shè)計(jì)層層遞進(jìn)的“問題串”，評價(jià)學(xué)生建模及綜合應(yīng)用知識解決問題的能力。（注意：題目必須是自編或改編）如圖，在豎直平面內(nèi)有一個(gè)“游戲滑道”，空白部分表示光滑滑道，黑色正方形表示障礙物，自上而下第一行有個(gè)障礙物，第二行有2個(gè)障礙物，依次類推，一個(gè)半徑適當(dāng)?shù)墓饣鶆蛐∏驈娜肟贏投入滑道，小球?qū)⒆杂上侣洌阎∏蛎看斡龅秸叫握系K物上頂點(diǎn)時(shí)，向左、右兩邊下落的概率都是，記小球遇到第n行第m個(gè)障礙物（從左到右）上頂點(diǎn)的概率為。（1） 求，的值，并猜想的表達(dá)式（不必證明）；（2） 已知，設(shè)小球遇到第6行第m個(gè)障礙物（從左到右）上頂點(diǎn)時(shí)，得到的分?jǐn)?shù)為，試求的分布列及數(shù)學(xué)期望。解：（1）第1行 1第2行 1 1第3行 1 2 1第4行 1 3 3 1第5行 1 4 6 4 1第6行 1 5 10 10 5 1第7行 1 6 15 20 15 6 1第8行 1 7 21 35 35 21 7 1第9行 1 8 28 56 70 56 28 8 1概率三角