1、3.5 洛朗洛朗( (Laurent) )級(jí)數(shù)展開(kāi)級(jí)數(shù)展開(kāi)已知：已知：當(dāng)當(dāng)f( (z z) )在圓在圓| |z z- -z z0| |R內(nèi)解析時(shí)，內(nèi)解析時(shí)，Taylor定理告訴我們，定理告訴我們， f( (z z) )可展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)?？烧归_(kāi)成冪級(jí)數(shù)。問(wèn)題的提出問(wèn)題的提出為了研究函數(shù)在奇點(diǎn)附近的性質(zhì)，需要函數(shù)在為了研究函數(shù)在奇點(diǎn)附近的性質(zhì)，需要函數(shù)在孤立奇點(diǎn)孤立奇點(diǎn)z z0鄰域上的展開(kāi)式。鄰域上的展開(kāi)式?？紤]：考慮：當(dāng)當(dāng)f( (z z) )在圓在圓| |z z- -z z0| |R內(nèi)有奇點(diǎn)時(shí)，能否內(nèi)有奇點(diǎn)時(shí)，能否展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)或展開(kāi)成類似于冪級(jí)數(shù)的形式。展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)或展開(kāi)成類似于冪級(jí)數(shù)的形式。教學(xué)

2、目的與要求: 了解雙邊冪級(jí)數(shù),了解洛朗級(jí)數(shù)與泰勒級(jí)數(shù)的關(guān)系,掌握解析函數(shù)在孤立奇點(diǎn)鄰域內(nèi)的洛朗展式的求法.重點(diǎn): 解析函數(shù)的洛朗展式;解析函數(shù)在孤立奇點(diǎn)鄰域內(nèi)的洛朗展式的求法.難點(diǎn)：解析函數(shù)的洛朗展式的證明.一、雙邊冪級(jí)數(shù)一、雙邊冪級(jí)數(shù)( (含有正、負(fù)冪項(xiàng)含有正、負(fù)冪項(xiàng)) )00)(kkkzza.)(.)()( )()(.)(.)(020201010120200kkkkkkkzzazzazzaazzazzazzazza其中其中正冪部分稱為正冪部分稱為 解解析析( (正則正則) )部分部分，負(fù)冪部分稱為負(fù)冪部分稱為 主主要要( (無(wú)限無(wú)限) )部分部分。10)(kkkzza收斂區(qū)域收斂區(qū)域( (

3、環(huán)環(huán)) )的確定：的確定：正則部分正則部分 收斂收斂( (圓圓) )區(qū)域?yàn)椋簠^(qū)域?yàn)椋贺?fù)冪部分負(fù)冪部分 令令 則則設(shè)設(shè) 即負(fù)冪部分在即負(fù)冪部分在| |z z- -z z0| |=R2的圓外收斂。的圓外收斂。00)(kkkzza )(10kkkzza)0( |110RRzz01zz .33221aaa21|RR 0|220RRzz，由此，我們可以用它的正冪項(xiàng)級(jí)數(shù)和負(fù)冪項(xiàng)級(jí)數(shù)由此，我們可以用它的正冪項(xiàng)級(jí)數(shù)和負(fù)冪項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性來(lái)定義原級(jí)數(shù)的斂散性。的斂散性來(lái)定義原級(jí)數(shù)的斂散性。規(guī)定：規(guī)定：當(dāng)且僅當(dāng)正冪項(xiàng)級(jí)數(shù)和負(fù)冪項(xiàng)級(jí)數(shù)都收斂當(dāng)且僅當(dāng)正冪項(xiàng)級(jí)數(shù)和負(fù)冪項(xiàng)級(jí)數(shù)都收斂時(shí)，原級(jí)數(shù)收斂，并且把原級(jí)數(shù)看成是正冪項(xiàng)級(jí)

4、時(shí)，原級(jí)數(shù)收斂，并且把原級(jí)數(shù)看成是正冪項(xiàng)級(jí)數(shù)與負(fù)冪項(xiàng)級(jí)數(shù)的和數(shù)與負(fù)冪項(xiàng)級(jí)數(shù)的和。討論：討論：( (1) )若若R1R2，則雙邊冪級(jí)數(shù)就在，則雙邊冪級(jí)數(shù)就在R2| |z z- -z z0| |R1環(huán)環(huán)狀區(qū)域內(nèi)收斂，環(huán)狀收斂域稱為狀區(qū)域內(nèi)收斂，環(huán)狀收斂域稱為收斂環(huán)。收斂環(huán)。雙邊冪級(jí)數(shù)在收斂環(huán)內(nèi)絕對(duì)且一致收斂，在環(huán)外雙邊冪級(jí)數(shù)在收斂環(huán)內(nèi)絕對(duì)且一致收斂，在環(huán)外發(fā)散，在環(huán)上斂散性不定。發(fā)散，在環(huán)上斂散性不定。正則部分正則部分 主要部分主要部分00)(kkkzza10)(kkkzza01zz 收斂環(huán)收斂環(huán)R2|z z- -z z0|R1雙邊冪級(jí)數(shù)的性質(zhì)雙邊冪級(jí)數(shù)的性質(zhì)定理定理1：雙邊冪級(jí)數(shù)雙邊冪級(jí)數(shù) 在收

5、斂環(huán)上的和函數(shù)是一在收斂環(huán)上的和函數(shù)是一解析函解析函數(shù)數(shù)，并且在任意較小的閉圓環(huán)上，并且在任意較小的閉圓環(huán)上 一致收斂。一致收斂。kkkzza)(011022|RRzzRR定理定理2：設(shè)雙邊冪級(jí)數(shù)設(shè)雙邊冪級(jí)數(shù) 的收斂環(huán)的收斂環(huán)B為為R2| |z z- -z z0| |R1，則，則f( (z z) )( (1) ) 在在B內(nèi)連續(xù)；內(nèi)連續(xù)；( (2) ) 在在B內(nèi)解析，且逐項(xiàng)可導(dǎo)；內(nèi)解析，且逐項(xiàng)可導(dǎo)；( (3) ) 在在B內(nèi)可逐項(xiàng)積分。內(nèi)可逐項(xiàng)積分。kkkzzazf)()(0定理定理3：設(shè)函數(shù)：設(shè)函數(shù)f( (z z) )在環(huán)狀區(qū)域在環(huán)狀區(qū)域R2| |z z- -z z0| |R1的內(nèi)的內(nèi) 部單值解

6、析，則對(duì)于環(huán)內(nèi)任一點(diǎn)部單值解析，則對(duì)于環(huán)內(nèi)任一點(diǎn)z z，f( (z z) ) 必可展開(kāi)成必可展開(kāi)成 ，其中，其中kkkzzazf)()(0Ckkdzfia10)()(21稱為洛朗系數(shù)，稱為洛朗系數(shù)，C為環(huán)域?yàn)榄h(huán)域內(nèi)按逆時(shí)針?lè)较蚶@內(nèi)圓內(nèi)按逆時(shí)針?lè)较蚶@內(nèi)圓一周的任一閉合曲線一周的任一閉合曲線( (也也可取圓周可取圓周) )幾點(diǎn)說(shuō)明：幾點(diǎn)說(shuō)明：( (1) ) z z=z z0( (即展開(kāi)中心即展開(kāi)中心) )可能不是可能不是f( (z z) )的奇點(diǎn)，但的奇點(diǎn)，但 在在| |z z- -z z0| |R2上，存在奇點(diǎn)上，存在奇點(diǎn)( (即內(nèi)圓以內(nèi)存在即內(nèi)圓以內(nèi)存在 奇點(diǎn)奇點(diǎn)) )；( (2) ) 洛朗系

7、數(shù)洛朗系數(shù) ，因?yàn)橐驗(yàn)?成立的條件是成立的條件是f( (z z) )在在C內(nèi)解析；內(nèi)解析；( (3) ) 洛朗展開(kāi)的唯一性；洛朗展開(kāi)的唯一性；!)(0)(kzfakkCkkdzfikzf100)()()(2!)( (4) ) 如果只有環(huán)心如果只有環(huán)心z z0是是f( (z z) )的奇點(diǎn)，則內(nèi)圓半徑可的奇點(diǎn)，則內(nèi)圓半徑可以任意小，同時(shí)以任意小，同時(shí)z z可以無(wú)限地接近可以無(wú)限地接近z z0點(diǎn)，這時(shí)就稱點(diǎn)，這時(shí)就稱 為為f( (z z) )在它的在它的孤立奇點(diǎn)孤立奇點(diǎn)z z0的鄰域內(nèi)的洛的鄰域內(nèi)的洛朗展開(kāi)式。朗展開(kāi)式。若若f( (z z) )在在z z0不解析不解析( (不可微或無(wú)意義不可微或無(wú)

8、意義) )，而在去心鄰域而在去心鄰域0| |z z- -z z0| |內(nèi)解析，則稱內(nèi)解析，則稱z z=z z0是是f( (z z) )的的孤立奇點(diǎn)孤立奇點(diǎn)。若在。若在z z0無(wú)論多么小的鄰域內(nèi)，總有除無(wú)論多么小的鄰域內(nèi)，總有除z z0外的奇點(diǎn)，則稱外的奇點(diǎn)，則稱z z0為為f( (z z) )的的非孤立奇點(diǎn)非孤立奇點(diǎn)。泰勒級(jí)數(shù)在其收斂圓內(nèi)具有的許多性質(zhì)在收斂圓環(huán)泰勒級(jí)數(shù)在其收斂圓內(nèi)具有的許多性質(zhì)在收斂圓環(huán)域域R2|z z- -z z0|R1內(nèi)的洛朗級(jí)數(shù)也具有。內(nèi)的洛朗級(jí)數(shù)也具有。在收斂圓環(huán)域內(nèi)的洛朗級(jí)數(shù)可以在收斂圓環(huán)域內(nèi)的洛朗級(jí)數(shù)可以逐項(xiàng)求導(dǎo)逐項(xiàng)求導(dǎo)、逐項(xiàng)積逐項(xiàng)積分分、和函數(shù)是解析函數(shù)和函數(shù)是

9、解析函數(shù)。kkkzza)(0求洛朗展開(kāi)式的系數(shù)求洛朗展開(kāi)式的系數(shù)Cn洛朗展開(kāi)式的系數(shù)洛朗展開(kāi)式的系數(shù)Cn用公式計(jì)算是很麻煩的，用公式計(jì)算是很麻煩的， 由洛朗級(jí)數(shù)的唯一性，我們可用別的方法，特別由洛朗級(jí)數(shù)的唯一性，我們可用別的方法，特別是代數(shù)運(yùn)算、代換、求導(dǎo)和積分等方法展開(kāi)，這是代數(shù)運(yùn)算、代換、求導(dǎo)和積分等方法展開(kāi)，這樣往往更便利樣往往更便利( (即即間接展開(kāi)法間接展開(kāi)法) ) 。同一個(gè)函數(shù)在不同的收斂圓環(huán)域內(nèi)的洛朗級(jí)數(shù)一同一個(gè)函數(shù)在不同的收斂圓環(huán)域內(nèi)的洛朗級(jí)數(shù)一般不同；由洛朗級(jí)數(shù)的唯一性可知，般不同；由洛朗級(jí)數(shù)的唯一性可知，同一個(gè)函數(shù)同一個(gè)函數(shù)在相同的收斂圓環(huán)域內(nèi)的洛朗級(jí)數(shù)一定相同。在相同的收

10、斂圓環(huán)域內(nèi)的洛朗級(jí)數(shù)一定相同。例例1 1 求函數(shù)求函數(shù) 在圓環(huán)在圓環(huán) 的洛的洛朗級(jí)數(shù)。朗級(jí)數(shù)。 2221211212121/21f zzzzzz220012( 1)22nnnnnzz 2225(2)(1)zzf zzz解解1 | 2z2z11|2|1, 12zz在圓環(huán)內(nèi)于是有洛朗級(jí)數(shù)注意注意20112( 1)22nnnnnzz 用到已有的展開(kāi)：01(01)1nnzzz在泰勒展開(kāi)作業(yè)題的錯(cuò)誤集中在后半邊的展開(kāi)，特別是作業(yè)題的錯(cuò)誤集中在后半邊的展開(kāi)，特別是原因應(yīng)該是沒(méi)有熟練掌握已有的展開(kāi)原因應(yīng)該是沒(méi)有熟練掌握已有的展開(kāi)例例2 將函數(shù)在指定去心領(lǐng)域內(nèi)展成洛朗級(jí)數(shù) 并指出收斂范圍 zzez及1,11我

11、們知道我們知道 在原點(diǎn)鄰域上的展開(kāi)式為在原點(diǎn)鄰域上的展開(kāi)式為ze)|.(|! 31! 21! 111!1320zzzzzkekkz把把z全換成全換成1/z,可得到以下結(jié)果可得到以下結(jié)果:1230111 11 11 111.(|)!1!2!3!kzkekzzzzz 用用1-z去換上式中的去換上式中的z得到：得到：112031111111! 11!12!(1)111.(|)3!(1)1kzkekzzzzz 即即11011(0 |1|)!(1)zkkezkz (0 |z1z1)z 既是的去心領(lǐng)域，又是以為中心點(diǎn) 的去心領(lǐng)域）時(shí)當(dāng)（ z110z1可得令則則2(1.111.)2zeee 用到的已知的展開(kāi)

12、：用到的已知的展開(kāi)：01(01)1nnzzz在泰勒展開(kāi)注意注意23011111.!1!2!3!zkkezzzzk 我們知道我們知道 在原點(diǎn)鄰域上的展開(kāi)式為在原點(diǎn)鄰域上的展開(kāi)式為ze232(1.)22234543235*23!4!5!223!5!eeee （1-）*（1-）*（1-）*（1-）*（1-）所以所以注：以上每項(xiàng)分別是注：以上每項(xiàng)分別是232,eee等的展開(kāi)，繼續(xù)計(jì)算展開(kāi)相乘得結(jié)果等的展開(kāi)，繼續(xù)計(jì)算展開(kāi)相乘得結(jié)果2323126111126zzz )z0z1 (的去心領(lǐng)域?yàn)橹行氖且?z 內(nèi)展成洛朗級(jí)數(shù)。在把例 zezzfz013 3zzf 32312111z!z!z z!zzz4131223 解解,根據(jù)定理公式直接求一個(gè)函數(shù)的洛朗級(jí)數(shù)是很困難的根據(jù)定理公式直接求一個(gè)函數(shù)的洛朗級(jí)數(shù)是很困難的必須計(jì)算無(wú)窮多個(gè)積分才能得到必須計(jì)算無(wú)窮多個(gè)積分才能得到,而不能像泰勒級(jí)數(shù)通過(guò)求導(dǎo)得而不能像泰勒級(jí)數(shù)通過(guò)求導(dǎo)得到到,但是根據(jù)洛朗級(jí)數(shù)的唯一性但是根據(jù)洛朗級(jí)數(shù)的唯一性,可以利用已知函數(shù)如可以利用已知函數(shù)如 ) 1(1,1ln,cos,sin,mzzzzemz等的泰勒展開(kāi)式和冪級(jí)數(shù)等的泰勒展開(kāi)式和冪級(jí)數(shù)的運(yùn)算的運(yùn)算,特別是代數(shù)運(yùn)算特別是代數(shù)運(yùn)算,變量代換變量代換,求導(dǎo)和積分等方法求一些求導(dǎo)和積分等方法求一些初等函數(shù)在指定圓環(huán)內(nèi)的洛朗級(jí)數(shù)初等函數(shù)在指