1、第三章第三章 靜態(tài)最優(yōu)化問題靜態(tài)最優(yōu)化問題 的最優(yōu)控制的最優(yōu)控制 靜態(tài)最優(yōu)化問題的目標(biāo)函數(shù)是一個(gè)多元普通靜態(tài)最優(yōu)化問題的目標(biāo)函數(shù)是一個(gè)多元普通函數(shù)，其最優(yōu)解可以通過古典微分法對(duì)普通函數(shù)函數(shù)，其最優(yōu)解可以通過古典微分法對(duì)普通函數(shù)求極值的途徑解決。求極值的途徑解決。 動(dòng)態(tài)最優(yōu)化問題的目標(biāo)函數(shù)是一個(gè)泛函數(shù)，動(dòng)態(tài)最優(yōu)化問題的目標(biāo)函數(shù)是一個(gè)泛函數(shù)，確定其最優(yōu)解要涉及古典變分法求泛函極值的問確定其最優(yōu)解要涉及古典變分法求泛函極值的問題。題。 1 這門課的重點(diǎn)在后邊，但考慮到變分法與微分這門課的重點(diǎn)在后邊，但考慮到變分法與微分法在求極值問題上有相似之處，為收到觸類旁通的法在求極值問題上有相似之處，為收到觸類

2、旁通的功效，這章對(duì)較熟悉的普通函數(shù)求極值問題作一回功效，這章對(duì)較熟悉的普通函數(shù)求極值問題作一回顧。顧。 2一、一元函數(shù)的極值一、一元函數(shù)的極值 設(shè)設(shè)J=f(u)為定義在閉區(qū)間為定義在閉區(qū)間a,b上的單值連續(xù)可上的單值連續(xù)可微函數(shù)，則存在極值點(diǎn)微函數(shù)，則存在極值點(diǎn)u*的必要條件是的必要條件是 0*uuuf(3-1)3 u*為極小值點(diǎn)充要條件是為極小值點(diǎn)充要條件是 f (u)=0, f (u)0 (3-2) u*為極大值點(diǎn)充要條件是為極大值點(diǎn)充要條件是 f (u)=0, f (u)0 (3-3) 因?yàn)橐驗(yàn)閒(u)的極小值和的極小值和-f(u)的極大值等效，所以今的極大值等效，所以今后所有推倒和結(jié)論

3、，均以極小值為準(zhǔn)。后所有推倒和結(jié)論，均以極小值為準(zhǔn)。 4 由式由式(3-1)求得的極值點(diǎn)求得的極值點(diǎn)u*為駐點(diǎn)，其性質(zhì)是：為駐點(diǎn)，其性質(zhì)是： 當(dāng)當(dāng)f (u*)0，u*為為極小值點(diǎn)極小值點(diǎn)。 而且，這些極值而且，這些極值f (u*)只是相對(duì)于只是相對(duì)于u*左右鄰近左右鄰近的的f(u)而言的，故具有局部性質(zhì)，稱為而言的，故具有局部性質(zhì)，稱為相對(duì)極值相對(duì)極值。5 它在定義域上可以不止一個(gè)，如果將整個(gè)定義它在定義域上可以不止一個(gè)，如果將整個(gè)定義域域a,b上所有的極小值進(jìn)行比較，找出最小的極小上所有的極小值進(jìn)行比較，找出最小的極小值，稱為值，稱為最小值最小值。它具有全局性質(zhì)，而且是唯一。它具有全局性質(zhì)，

4、而且是唯一的。一般地記為的。一般地記為(3-4) ufufJvumin*60uf021Tnuufufuff二、多元函數(shù)的極值二、多元函數(shù)的極值 設(shè)設(shè)n元函數(shù)元函數(shù)f = f(u)，這里，這里u = u1 u2 unT為為n維列向量。它取極值的必要條件是維列向量。它取極值的必要條件是 或函數(shù)的梯度為零矢量?；蚝瘮?shù)的梯度為零矢量。(3-5)(3-6)7 至于取極小值的充要條件，尚需滿足至于取極小值的充要條件，尚需滿足022uf即下列海賽矩陣為正定矩陣。即下列海賽矩陣為正定矩陣。 (3-7)2222122222212212212212222nnnnnuufuufuufuufufuufuufuufuf

5、uff(3-8) 8 36225221332232221xxxxxxxxxff0 xf024311xxxf06210322xxxf02223213xxxxf例例1：設(shè)：設(shè)試求的極值點(diǎn)及其極小值點(diǎn)。試求的極值點(diǎn)及其極小值點(diǎn)。解：由極值必要條件解：由極值必要條件 得得9 222xffx222210020422xf 聯(lián)立解得極值點(diǎn)為聯(lián)立解得極值點(diǎn)為x* = 1 1 -2T。 又從又從 得海賽矩陣得海賽矩陣 故故x = 1 1 -2T為極小值點(diǎn)為極小值點(diǎn)x*，f的極小值的極小值f * = f(x*) = 0。 正定正定10三、具有等式約束條件的極值三、具有等式約束條件的極值 上面講的是無約束條件極值問

6、題的求解方法。上面講的是無約束條件極值問題的求解方法。對(duì)于具有等式約束條件的極值問題，則要通過等效對(duì)于具有等式約束條件的極值問題，則要通過等效變換，化為無約束條件的極值問題來求解。變換，化為無約束條件的極值問題來求解。 11 例如用一定面積的鐵皮作罐頭桶，要求罐頭例如用一定面積的鐵皮作罐頭桶，要求罐頭桶容積為最大幾何尺寸的問題，就是個(gè)具有等式桶容積為最大幾何尺寸的問題，就是個(gè)具有等式約束的極值問題。約束的極值問題。 設(shè)罐頭桶的幾何尺寸：高為設(shè)罐頭桶的幾何尺寸：高為l，半徑為，半徑為r，則，則容積為容積為 J = v(r,l) =r2l (3-9) 給定鐵皮面積常量。要使罐頭桶容積為最大，給定鐵

7、皮面積常量。要使罐頭桶容積為最大，必然要受條件必然要受條件 g(r,l) = (2r2+2rl)-A = 0 (3-10)的約束。的約束。 解此類問題的方法有多種，如解此類問題的方法有多種，如嵌入法嵌入法(消元法消元法)和和拉格朗日乘子法拉格朗日乘子法(增元法增元法)等。等。12rrAl22232,rArlrvJ(1) 嵌入法嵌入法 先從約束條件式先從約束條件式(3-10)解出一個(gè)變量，例如解出一個(gè)變量，例如然后代入目標(biāo)函數(shù)式然后代入目標(biāo)函數(shù)式(3-9)這樣就變成一個(gè)沒有約束條件的函數(shù)式。這樣就變成一個(gè)沒有約束條件的函數(shù)式。 (3-11)13 032dd2rArrv32,6*AlAr顯然，式顯

8、然，式(3-11)取極值的條件為取極值的條件為可解出極值點(diǎn)：可解出極值點(diǎn)：(3-12)(3-13)14 06dd22rrrv2121*0768. 0362,AAlrvJ故上述極值點(diǎn)為極大值點(diǎn)。罐頭桶的最大容積為故上述極值點(diǎn)為極大值點(diǎn)。罐頭桶的最大容積為(3-14) 又因?yàn)橛忠驗(yàn)?5 (2) 拉格朗日乘子法拉格朗日乘子法 將約束條件式將約束條件式(3-10)乘以乘子乘以乘子，與目標(biāo)函數(shù)，與目標(biāo)函數(shù)式式(3-9)相加，構(gòu)成一個(gè)新的可調(diào)整函數(shù)相加，構(gòu)成一個(gè)新的可調(diào)整函數(shù)H ArlrlrlrgJH22,22這是一個(gè)沒有約束條件的三元函數(shù)。這是一個(gè)沒有約束條件的三元函數(shù)。 (3-15)16 它的極值條件

9、為它的極值條件為(3-16) 022rrlH0242lrrlrH0222ArlrH17 聯(lián)解上式的極值點(diǎn)：聯(lián)解上式的極值點(diǎn)：24,32,6*AAlAr結(jié)構(gòu)與嵌入法相同。結(jié)構(gòu)與嵌入法相同。 將式將式(3-17)代入式代入式(3-15)，容易確認(rèn)，容易確認(rèn)g(r,l)=0，故新函數(shù)的極值就是目標(biāo)函數(shù)故新函數(shù)的極值就是目標(biāo)函數(shù)J的極值。的極值。 (3-17)18 嵌入法只適用于簡(jiǎn)單情況，而拉格朗日乘子嵌入法只適用于簡(jiǎn)單情況，而拉格朗日乘子法具有普遍意義?，F(xiàn)把式法具有普遍意義?，F(xiàn)把式(3-15)寫成更為一般的形寫成更為一般的形式。式。 設(shè)連續(xù)可微的設(shè)連續(xù)可微的目標(biāo)函數(shù)目標(biāo)函數(shù)為為 J = f(x,u)

10、 (3-18) 等式約束條件等式約束條件為為 g(x,u) = 0 (3-19)式中式中xn維列矢量；維列矢量； ur維列矢量；維列矢量； gn維矢量函數(shù)。維矢量函數(shù)。 19 在拉格朗日乘子法中，用乘子矢量在拉格朗日乘子法中，用乘子矢量乘等式乘等式約束條件并與目標(biāo)函數(shù)相加，構(gòu)造約束條件并與目標(biāo)函數(shù)相加，構(gòu)造拉格朗日函數(shù)拉格朗日函數(shù) uxguxfgJHTT, 式中式中與與g同維的列矢量。同維的列矢量。 這樣，就可按無約束條件的多元函數(shù)極值的這樣，就可按無約束條件的多元函數(shù)極值的方法求解。方法求解。 (3-20)200, 0, 0HuHxH0,00uxgugufxgxfTT目標(biāo)函數(shù)存在極值的必要條件是目標(biāo)函數(shù)存在極值的必要條件是(3-21)(3-22) 21 即：即：式中式中nnnnnTnTxgxgxgxgxgxgxgxgxg21112111(3-23) 22uQuxQxuxfJTT212121,0,dFuxuxg例例2：求使：求使取極值的取極值的x*和和u*。它滿足約束條件。它滿足約束條件其中其中Q1、Q2均為正定矩陣，均為正定矩陣，F(xiàn)為任意矩陣。為任意矩陣。 23 dFuxuQuxQxHTTT21212101xQxH02FuQuH0d