1、2022-6-1第七章 離散化控制系統(tǒng)1作者： 浙江大學(xué) 鄒伯敏 教授 2022-6-1第七章 離散化控制系統(tǒng)2第一節(jié) 引言 如果在系統(tǒng)中一次或幾次的信號(hào)不是連續(xù)的模擬信號(hào)，而是在時(shí)間上離散的脈沖或數(shù)碼信號(hào)，這種系統(tǒng)稱(chēng)為離散化控制系統(tǒng)。 由于這些離散信號(hào)是連續(xù)函數(shù)經(jīng)采樣后形成的，故又稱(chēng)這類(lèi)系統(tǒng)為采樣控制系統(tǒng)。圖7-1 計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)方框圖2022-6-1第七章 離散化控制系統(tǒng)3 從A/D和D/A轉(zhuǎn)換器看模擬量與數(shù)字量之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系，且兩者有著確定的比例關(guān)系，因而圖7-1可以簡(jiǎn)化為圖7-2圖7-2 計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng) 圖7-3計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng) 2022-6-1第七章 離散化控制系統(tǒng)4 采取分時(shí)處理方式

2、，用一臺(tái)計(jì)算機(jī)控制多個(gè)被控對(duì)象。圖7-4 計(jì)算機(jī)多路控制系統(tǒng)2022-6-1第七章 離散化控制系統(tǒng)51）有利于系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)高精度2）有效地抑制噪聲，提高了系統(tǒng)抗擾動(dòng)的能力3）不僅能完成復(fù)雜的控制任務(wù)，而且易于實(shí)現(xiàn)修改控制器的參數(shù)4）有顯示、報(bào)警等多種功能計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)的優(yōu)點(diǎn)計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)的優(yōu)點(diǎn)分析離散系統(tǒng)的常用方法有兩種：Z變換法和狀態(tài)空間分析法。2022-6-1第七章 離散化控制系統(tǒng)6第二節(jié) 信號(hào)的采樣與復(fù)現(xiàn) 把連續(xù)信號(hào)變成脈沖或數(shù)字序列的過(guò)程叫做采樣，把采樣后的離散信號(hào)恢復(fù)為連續(xù)信號(hào)的過(guò)程稱(chēng)為信號(hào)的復(fù)現(xiàn)。一、采樣過(guò)程一、采樣過(guò)程)(kTf圖7-信號(hào)的采樣2022-6-1第七章 離散化控制系統(tǒng)7

3、式中： *( )( )( )Tftf tt*( )() ()kftf kTtkT，KT 脈沖出現(xiàn)時(shí)刻（7-2）（7-1）圖7- 理想脈沖序列kTkTtt)()(2022-6-1第七章 離散化控制系統(tǒng)8*0( )() ()kftf kTtkT2022-6-1第七章 離散化控制系統(tǒng)9)(kTt )(kTfktjkkTseatP)(脈沖產(chǎn)生的時(shí)刻；KT時(shí)刻的脈沖強(qiáng)度；把窄脈沖信號(hào)當(dāng)理想脈沖信號(hào)處理是近似的，也是有條件的。二、采樣定理二、采樣定理 設(shè)用于調(diào)制器載波的窄脈沖信號(hào)為 ；如圖7-8所示。用傅立葉級(jí)數(shù)表示為22sin111jktsTeTkkTaedtkTTT（7-4）（7-5）( )TP t2

4、022-6-1第七章 離散化控制系統(tǒng)10其中,Ta10Tak1Ta984. 01Ta935. 02101T若令則圖7- 矩形窄脈沖序列2022-6-1第七章 離散化控制系統(tǒng)11圖7- 連續(xù)信號(hào)f*(t)與采樣后離散信號(hào)f*s(t)ktjkkTsseatfttftf)()()()(*ktjkktjseadejF)(212022-6-1第七章 離散化控制系統(tǒng)12()1()2sjktkka F jeduks*1( ) ()2jutskskfta F j ukedu*1( ) ()2j tskskfta F jked*() ()SkskFja F jk若令則或2022-6-1第七章 離散化控制系統(tǒng)13

5、圖7-10 f(t)及f*s(t)的頻譜圖圖7-11 理想濾波器特性2022-6-1第七章 離散化控制系統(tǒng)14圖7-可知，相鄰兩頻譜不重疊交叉的條件是max2smax2ssmax2s香農(nóng)采樣定理圖7-12 時(shí)的頻譜圖香農(nóng)定理的物理意義是：采樣角頻率若滿(mǎn)足，則就含有連續(xù)信號(hào)f(t)的全部信息，通過(guò)圖7-11所示的理想濾波器，則可把原信號(hào)f(t)不失真的復(fù)現(xiàn)。s)(*tfsmax2s2022-6-1第七章 離散化控制系統(tǒng)15如用理想脈沖序列采樣的離散化信號(hào)，其傅氏變換表達(dá)式*1() ()skFjF jkT二、零階保持器二、零階保持器 把采樣值按常數(shù)、線(xiàn)形函數(shù)和拋物線(xiàn)函數(shù)外推的保持器分別稱(chēng)為零階、一

6、階和二階保持器。圖7-13 零階保持器的輸出特性2022-6-1第七章 離散化控制系統(tǒng)16零階保持器( )是把kT時(shí)刻的采樣值恒值地保持到下一采樣時(shí)刻（K+1）T。ZOH由圖7-13(b)得脈沖響應(yīng)傳遞函數(shù)頻率特性)( 1)( 1)(TtttghsesGTsh1)(22)2sin(1)(TjTjheTTTjejGST2()sin()2()SjShSSGje把代入上式，得2022-6-1第七章 離散化控制系統(tǒng)17圖7-15 由ZOH恢復(fù)的fh(t)信號(hào)圖7-14 ZOH的幅頻和相頻特性)(tfh2T 是一種近似的帶通濾波器由 恢復(fù)的函數(shù)比原函數(shù)在相位上要平均滯后ZOH)(tfZOH2022-6-

7、1第七章 離散化控制系統(tǒng)18設(shè)離散化信號(hào)*0( )() ()kftf kTtkT0*)()()(kkTsekTftfLsFTSez 0ln1*)()()(kkzTszkTfsFzF0*)()()(kkzkTftfZzF令，則定義：變換的三種求法：2022-6-1第七章 離散化控制系統(tǒng)191( )Zt1)(kTf0k120( )1( )1.kkF zZtzzz 解：例7-1 求：、級(jí)數(shù)求和法、級(jí)數(shù)求和法當(dāng)時(shí)，則有如果 ,則上式可寫(xiě)為：1z111)(1zzzzFateZ0a11zeaT.1)(2210zezezezFaTaTkkakT例7-2 求：，解：如果 ,則：aTaTezzzezF111)(

8、2022-6-1第七章 離散化控制系統(tǒng)202 2、部分分式法、部分分式法例7-3 求 的Z變換 解：)1)(1 ()1 (1111)()(11111zezzezeztfZzFaTaTaTaTetf1)(asssF11)()(sinatZjasjjasjasasF2121)(2221111)cos2(1)(sin121121)(zzaTzaTzejzejzFjaTjaT)()(assasF例7-4 求 解：2022-6-1第七章 離散化控制系統(tǒng)213 3、留數(shù)計(jì)算法、留數(shù)計(jì)算法 設(shè) 的拉氏變換為 ，且其為真有理式，令 為 的極點(diǎn)，則Z變換用下式求得)(tf)(sFKPnkkPsnkTsRezzs

9、FreszFK11)()(KPsTskezzsFresR)(TSezzsF)(KPSPS)()(limTspsezzsFpsR)()(lim)!1(111TSqpsqqezzsFpsdsdqR)(sF為 在 上的留數(shù)。)(sF若 含有 的一階極點(diǎn)時(shí)，對(duì)應(yīng)的留數(shù)為：PS)(sF若 含有 的q階重極點(diǎn)時(shí)，對(duì)應(yīng)的留數(shù)為：2022-6-1第七章 離散化控制系統(tǒng)22)(zF3( )(1)(2)sF sss123( )(1)(1)()3()(1)()2sTSsTSTqTszF zsssq zeszsqssq zezzzeze21)(ssF2220) 1(1limzTzezzssdsdRTSs例7-5 已知

10、求解例7-6 試求 的Z變換解二、變換的基本性質(zhì)二、變換的基本性質(zhì)2022-6-1第七章 離散化控制系統(tǒng)23)()()()(22112211zFazFatfatfaZ)()()()( )()()()(2211022011022112211zFazFaZkTfaZkTfaZkTfakTfatfatfaZkkkkkk、線(xiàn)性定理、線(xiàn)性定理0)(tf)()(zFtfZ)()(zFZkTtfZk.)(.)()0(.)()()()()()1(1001nkkknkZnTfZTfZfZkTTfZkTfZkTnTfkTtfZ證：2 2、滯后定理、滯后定理設(shè)t0 時(shí), ； 則：式中k、T均為常量。證：2022-6

11、-1第七章 離散化控制系統(tǒng)240)(kTnTf.)2()()0()(21ZTfZTffzkTtfZk)(zFzk考慮到nk， 則有 ：kz延遲環(huán)節(jié)圖7-17 的滯后特性kz2022-6-1第七章 離散化控制系統(tǒng)2510)()()(kknkkznTfZzFZkTtfZ10)1(1)1(1)1(0)(0)()() 1(.)()0(.) 1()(.)()0(.)()()()()(kknkkkkkkkkkkknkkknznTfzzFzzTkfZTffzzTkfzkTfzTffzzkTTfzkTfzzkTnTfzzkTnTfkTtfZ3 3、超前定理、超前定理證：0) 1()()0(TkfTff)()(

12、ZFzkTtfZk如果，則2022-6-1第七章 離散化控制系統(tǒng)26)() 1(lim)(lim)(lim1zFznTftfzntmkkmzzmkkmmkkmzkTfTkffzFzzkTfTkfzFzfzzFzkTfTkfkTfTkfZ01100)() 1(limlim)0()() 1(lim)() 1(lim)()0()()() 1(lim)() 1()()() 1(lim)0(0fzkTfTkffmkkm)()(aTatzeFetfZ4 4、終值定理、終值定理設(shè)f(t)的Z變換為F(z)，且F(z) 不含有z的二重及以上的極點(diǎn)和單位圓外的極點(diǎn)，則F(t)的終值為證：、復(fù)數(shù)移位定理、復(fù)數(shù)移位

13、定理2022-6-1第七章 離散化控制系統(tǒng)270)()()(kkTasatekTfetfZaTTaszeez)(1)()()()(101aTkkatzeFzFzkTfetfZ證：令，則：6 6、卷積定理、卷積定理 設(shè) , , 的Z變換分別為 , , 且當(dāng)t0時(shí), 0)()()(trtgtc)(zC)(zG)(zR)()()(0nTrTnkgkTckn)()()(zRzGzC000)()()()(kkknkkznTrTnkgzkTczC)(tc)(tg)(tr已知?jiǎng)t證：2022-6-1第七章 離散化控制系統(tǒng)28nk 0)(Tnkg00)()()(kknznTrTnkgzCjnknj)()()()

14、()()()(000)(zRzGzjTgznTrzjTgnTrzCjjnnnnjnj考慮到：時(shí)則：令：當(dāng)k=0時(shí),三、反變換三、反變換)(zF)(*tf)(1zFZ把 反變換為 的過(guò)程叫Z的反變換，記為1 1、長(zhǎng)除法、長(zhǎng)除法2022-6-1第七章 離散化控制系統(tǒng)2912)(22zzzzzF)(*tf)(zF.97531211)(4321211zzzzzzzzF*1( ) ( )( )3 ()5 (2 )7 (3 ).ftZF zttTtTtTzzF)()(1()1 ()(aTaTezzezzF例7-8,求 的反變換解2 2、部分分式法、部分分式法步驟:將分母 的多項(xiàng)式分解為因式把 展開(kāi)為部分分

15、式求各部分分式項(xiàng)的Z變換之和例7-9,已知 求)(*tf2022-6-1第七章 離散化控制系統(tǒng)30aTezzaTaTezzezzF111)(1(1)(aTezzzzzF1)(akTekTf1)(1( )( ) ( )kF zf tres F z z的所有極點(diǎn))2)(1(10)(zzzzF或k=0，1，20*)()1 ()(kakTkTtetf3 3、反演公式、反演公式例8-10,求 的Z反變換2022-6-1第七章 離散化控制系統(tǒng)31kzkzkkkzzzzzzzzzzzreszzzzreskTf21010)2()2)(1(10) 1()2)(1(10)2)(1(10)2)(1(10)(211解

16、或0*)()21010()(kkkTttf)(zC)(zR脈沖傳遞函數(shù)定義：在零初始條件下，輸出離散化信號(hào)的Z變換 與輸入離散化信號(hào)的Z變換 之比，即2022-6-1第七章 離散化控制系統(tǒng)32)()()(zGzRzC)()()()(11*zRzGzzCztC圖7-18 脈沖傳遞函數(shù)令.)2()2()()()()0()()()(0*TtTrTtTrtrnTtnTrtrn.)()(.)2()2()()()()0()(nTtgnTrTtgTrTtgTrtgrtC則2022-6-1第七章 離散化控制系統(tǒng)33)()()0()(.) 1()()()0()(0nTrTnkggkTrTkgTrktgrkTCk

17、n當(dāng) t=kT 時(shí)，0)(tg)()()(0nTrTnkgkTCn)()()(zRzGzCnnznTgzG0)()(考慮到 t 0, 0 k 0.866 采樣具有降低系統(tǒng)穩(wěn)定性作用。二、閉環(huán)極點(diǎn)與瞬態(tài)響應(yīng)的關(guān)系二、閉環(huán)極點(diǎn)與瞬態(tài)響應(yīng)的關(guān)系2022-6-1第七章 離散化控制系統(tǒng)57)()()()()(zVzUzTzRzC1)(zzzR1)()()(zzzVzUzC)(zTniiipzAzAzzC101)(niiipzzAzzAzC101)(nikiipAAkC10)()(設(shè)令則假設(shè) 無(wú)重極點(diǎn),則2022-6-1第七章 離散化控制系統(tǒng)581 1、實(shí)數(shù)極點(diǎn)、實(shí)數(shù)極點(diǎn) 位于單位圓內(nèi)正實(shí)軸上極點(diǎn)對(duì)應(yīng)的瞬

18、態(tài)分量是一個(gè)單調(diào)的衰減過(guò)程，而位于圓內(nèi)負(fù)實(shí)軸上極點(diǎn)對(duì)應(yīng)的瞬態(tài)分量是正負(fù)交替變化的衰減過(guò)程。2 2、共軛極點(diǎn)、共軛極點(diǎn)設(shè)一對(duì)共額極點(diǎn)為ijiieppijiieppiijkkiijkkiikiikiiiepAepApApAkc)(ijiieAAijiieAA）（）（）（iikiikjkiikjkiiikpAepAepAkciiiicos2)(令2022-6-1第七章 離散化控制系統(tǒng)59圖7-33 s、z平面上的極點(diǎn)分布及其對(duì)應(yīng)的脈沖響應(yīng)2022-6-1第七章 離散化控制系統(tǒng)60下面分析S平面上不同閉環(huán)極點(diǎn)與其脈沖響應(yīng)間的對(duì)應(yīng)關(guān)系。sjssTs22TTSeezsjs21圖7-33a中示出了實(shí)部不同，

19、虛部均為 的4對(duì)共軛極點(diǎn)和4個(gè)實(shí)極點(diǎn)。圖7-33a中所示的極點(diǎn)均映射到Z平面的正實(shí)軸上，為圖7-33b所示。在一個(gè)完整的振蕩周期內(nèi)只采一次，因而采樣后的脈沖序列不能反映原有脈沖響應(yīng)的變化規(guī)律。2022-6-1第七章 離散化控制系統(tǒng)61圖7-34 s、z平面上的極點(diǎn)分布及其對(duì)應(yīng)的脈沖響應(yīng)由于s21TTeTez2s即2022-6-1第七章 離散化控制系統(tǒng)62 在一個(gè)完整的振蕩周期內(nèi)，每隔180采一次，采樣后的輸出為正負(fù)交替的脈沖序列。sAjS81sjS41BsCjS31sDjS812022-6-1第七章 離散化控制系統(tǒng)63圖7-35 s、z平面上的極點(diǎn)分布與其脈沖響應(yīng)的對(duì)應(yīng)關(guān)系2022-6-1第七

20、章 離散化控制系統(tǒng)64在一個(gè)完整的振蕩周期內(nèi)，采樣的次數(shù)分別為8次，4次和3次，閉環(huán)極點(diǎn)盡可能配置在Z平面上單位圓內(nèi)正實(shí)軸的附近，且距坐標(biāo)原點(diǎn)的距離越小越好。2022-6-1第七章 離散化控制系統(tǒng)65三、離散系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差三、離散系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差圖7-36 離散控制系統(tǒng) )()(11)(zRzGHzE)(1)() 1(lim)() 1(lim)(lim11zGHzRzzEzkeezzkss2022-6-1第七章 離散化控制系統(tǒng)66 條件：系統(tǒng)穩(wěn)定，且 不含Z=1的二重及二重以上極點(diǎn)。 )(zE1)(0zzRzRpzzsskRzzRzGHze1lim1)(11) 1(lim0101)(lim1zG

21、Hkzdefp)( 1)(0tRtr1、階躍輸入 靜態(tài)位置誤差系數(shù) 0 型系統(tǒng)： psskRe100sse其中 為常數(shù) pk 型和型系統(tǒng)： 2022-6-1第七章 離散化控制系統(tǒng)67tvtr021)(常量0v2、斜坡輸入 20) 1()(zTzvzR)() 1(lim1) 1()(11) 1(lim10201zGHzTvzTzvzGHzezzssvkv0)() 1(lim11zGHzTkzdefv0vksse常量vkvsskve0靜態(tài)位置誤差系數(shù) 其中 0 型系統(tǒng)： 型系統(tǒng)： 2022-6-1第七章 離散化控制系統(tǒng)68vk0sse2021)(tatr 型系統(tǒng)： 3、拋物線(xiàn)函數(shù)輸入 ， 320)

22、 1(2) 1()(zzTazR)() 1(lim1) 1(2) 1()(11) 1(lim21203201zGHzTazzTazGHzezzssaka0)() 1(lim1212zGHzTkzdefa常量0a靜態(tài)加速度誤差系數(shù) 其中 型系統(tǒng)： 0 型、 型系統(tǒng)： 0aksse常量akasskae02022-6-1第七章 離散化控制系統(tǒng)69第七節(jié)第七節(jié) 離散控制系統(tǒng)的數(shù)字校正離散控制系統(tǒng)的數(shù)字校正數(shù)字控制器脈沖函數(shù)數(shù)字控制器脈沖函數(shù)D(z)D(z) 設(shè)一離散控制系統(tǒng)如圖7-37所示。圖中，D(z)為數(shù)字控制器的脈沖傳遞函數(shù)，G(s)為零階保持器與被控對(duì)象的廣義傳遞函數(shù)。由圖7-37求得該系統(tǒng)的

23、閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)。圖7-37 離散控制系統(tǒng) 69-7 11 68-7 1 zGzDzRzEzzGzDzGzDzRzCzTTe和2022-6-1第七章 離散化控制系統(tǒng)70 根據(jù)式（7-68）和式（7-69），求得數(shù)字控制器脈沖傳遞函數(shù)D（z）的兩種表示形式： 71-7 1 70-7 1 zzGzzDzTzGzTzDTTee或由式（7-68）和式（7-69）可知 72-7 1 zTzTe由此得出離散系統(tǒng)數(shù)字控制器的設(shè)計(jì)步驟是: 根據(jù)對(duì)離散系統(tǒng)性能指標(biāo)的要求,確定閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)T（z）和Te（Z） 按式（7-70）或式（7-71）設(shè)計(jì)數(shù)字控制器D（z） 上述僅是從理論上導(dǎo)求數(shù)字控制器，要使所求的D

24、（z）能在實(shí)際中能付諸實(shí)施，還必須滿(mǎn)足下列條件：2022-6-1第七章 離散化控制系統(tǒng)71 D（z）必須是穩(wěn)定的。 D（z）必須滿(mǎn)足物理上可實(shí)現(xiàn)的條件。最少拍系統(tǒng)的基本概念最少拍系統(tǒng)的基本概念 最少拍系統(tǒng)是指在典型輸入信號(hào)作用下,能以有限拍的時(shí)間結(jié)束其響應(yīng)過(guò)程。并在采樣點(diǎn)上實(shí)現(xiàn)無(wú)穩(wěn)態(tài)誤差。圖7-38 s平面與z平面的映射關(guān)系由S平面與Z平面間的映射關(guān)系可知：S平面虛軸左方的等線(xiàn)，映射到Z平面上是一半徑為 ，圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)的圓，如圖7-38所示。當(dāng) 時(shí), ，即閉環(huán)極點(diǎn)位于Z平面的坐標(biāo)原點(diǎn)1 Te0 Te處，相當(dāng)于連續(xù)系統(tǒng)的極點(diǎn)位于S平面左半平面的無(wú)窮遠(yuǎn)處，這種系統(tǒng)能以最短的時(shí)間到達(dá)穩(wěn)態(tài)值，故稱(chēng)其

25、為最少拍控制系統(tǒng)。2022-6-1第七章 離散化控制系統(tǒng)72設(shè)離散控制系統(tǒng)的閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)為nnnnnnnnnnazazazazbzbzbzbzbzT12211122110.)( 當(dāng)T(z)所有的極點(diǎn)均位于z平面的坐標(biāo)原點(diǎn)處，則系統(tǒng)的閉環(huán)特征多項(xiàng)式為nzzV)(（7-73）這樣式（7-73）就簡(jiǎn)化為nnnnnnnnnzbzbzbzbbzbzbzbzbzT11221101110 .)(（7-74）對(duì)式(7-74)取z的反變換，求得系統(tǒng)脈沖響應(yīng)的序列。 nTtbTtbTtbtbtgn2210（7-75）2022-6-1第七章 離散化控制系統(tǒng)73 這表示其單位脈沖響應(yīng)的瞬態(tài)過(guò)程式能以n拍有限時(shí)間結(jié)

26、束。其中，n為閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)的極點(diǎn)數(shù)。 最少拍系統(tǒng)的設(shè)計(jì)單位階躍函數(shù)，單位斜坡函數(shù)和單位加速度函數(shù)的z變換表達(dá)式分別為 31311122211111121211111zzAz R zzzTt Z zTzt Z zt Z 一般形式為典型輸入信號(hào)z變換的（7-76）2022-6-1第七章 離散化控制系統(tǒng)74 式中，A（z）為不含有（1-z-1）因子的z-1的多項(xiàng)式，m為正整數(shù)。最少拍系統(tǒng)的數(shù)字控制器D（z）是在滿(mǎn)足下列條件下求得： 1） 系統(tǒng)的廣義被控對(duì)象G（z）中不含有延遲因子z-1，且在z平面的單位圓上和圓外均無(wú)零、極點(diǎn)。 2） 要求所選擇的閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)T（z）能滿(mǎn)足系統(tǒng)在典型輸入信號(hào)作

27、用下，經(jīng)過(guò)有限個(gè)采樣周期后，系統(tǒng)的輸出就能以無(wú)穩(wěn)態(tài)誤差跟蹤輸入信號(hào)。由式（7-69）可知 meezzAzTzRzTzE11（7-77）根據(jù)終值定理，得 meemzzzzTzTzzAzzEze11111 11lim 1lim 具有如下的形式z即要求T,z1中必須要含有z則T0,要使eem1e（7-78）2022-6-1第七章 離散化控制系統(tǒng)75 .021 20 210nTkTtTkeTkekTezTezTeezkTezEskk間即其調(diào)整時(shí)在tkT時(shí)刻結(jié)束，這表示系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)過(guò)程n時(shí))有某個(gè)k值開(kāi)始(即當(dāng)k最少拍系統(tǒng)要求上式自 下面具體討論在3種典型輸入信號(hào)作用下的最少拍系統(tǒng)設(shè)計(jì)。 11e1,1T

28、7277871, 1767,11 zzTzzzAmzzR可知和式.由式中的即式（1）單位階躍函數(shù)輸入于是由式（7-70）求得 zGzzzD111系統(tǒng)的輸出響應(yīng)為2022-6-1第七章 離散化控制系統(tǒng)76 TtTtTttzzzzzRzTzC32c z 11 321 -11即圖7-39a為最少拍系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)曲線(xiàn)。（2）單位斜坡函數(shù)輸入據(jù)此，求得系統(tǒng)對(duì)應(yīng)的D（z）為 72)得78)和式(7(7 。由式TzzA2,76)中的m因而式(7,t基于r1-2-1z-zTe(z)-1T(z)22-1e)z-(1(z)T)()1 ()2()()()(2zGzGzTzTe-2-2-2zzzD(z)系統(tǒng)的輸出

29、2)1 ()2()()(-2-1-21-zTzzzC(z)zRzT2022-6-1第七章 離散化控制系統(tǒng)77.3232nnTzTzTz或?qū)懽?)3(3)2(2)(*TtTTtTtC圖3-39b為最少拍系統(tǒng)的單位斜坡響應(yīng)序列（3）單位加速度函數(shù)輸入 zAmttr, 3)767(,212中的因而式由于得和式由式)727(_)787(_.121112zzT 311zzTe 321331zzzzTzTe據(jù)此，求得系統(tǒng)對(duì)應(yīng)的D(z)為 zGzzzzzGzTzTzDe31211133系統(tǒng)的輸出2022-6-1第七章 離散化控制系統(tǒng)78 TtTTtTTTtczTnzTzTzTzzzTzzzzRzTzCn48

30、35 . 422322162923 1121332222242322231112321圖7-39c為最少拍系統(tǒng)單位加速度函數(shù)的響應(yīng)序列圖7-39 最少拍系統(tǒng)的響應(yīng)曲線(xiàn)2022-6-1第七章 離散化控制系統(tǒng)79 最少拍系統(tǒng)對(duì)于不同的典型輸入信號(hào)，對(duì)其閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)和相應(yīng)的數(shù)字控制器的要求見(jiàn)表7-5表7-5 最少拍系統(tǒng)設(shè)計(jì)的總結(jié) trT3 t1t221t zR111 z2111 zTz31112121zzzT zTe11 z211 z311 z zT1z212 zz32133zzz zGzz111 zGzzz2111112 zGzzzz31211133TT2典型輸入閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)數(shù)字控制器的脈

31、沖傳遞函數(shù)D(s)調(diào)節(jié)時(shí)間ts2022-6-1第七章 離散化控制系統(tǒng)80結(jié)論： 最少拍系統(tǒng)不僅動(dòng)態(tài)響應(yīng)快，而且無(wú)穩(wěn)態(tài)誤差，其設(shè)計(jì)方法簡(jiǎn)單，所求的數(shù)字控制器D（z）易于在計(jì)算機(jī)上實(shí)現(xiàn)。最少拍系統(tǒng)是針對(duì)某一典型輸入信號(hào)而設(shè)計(jì)，因而所求的數(shù)字控制器D（z）只適用于該輸入信號(hào)，對(duì)于其他的輸入信號(hào)，系統(tǒng)就不再具有最少拍系統(tǒng)的特性，因而這種設(shè)計(jì)方法對(duì)輸入信號(hào)的適應(yīng)性較差。例7-20 現(xiàn)有一按單位斜坡輸入設(shè)計(jì)的最少拍系統(tǒng)，由表7-5可知，其閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)為 212zzzT檢驗(yàn)該系統(tǒng)在單位階躍和單位加速度信號(hào)輸入時(shí)的響應(yīng)特性。解 單位階躍輸入為 32112112 12 11 zzzzzzzRzTzCzzR2

32、022-6-1第七章 離散化控制系統(tǒng)81即 TtTtTt tc 31212系統(tǒng)的輸出為 )2(1212131112zzzzzTzC654322342314722zzzzzT 31112121zzzTzR單位加速度輸入為即 TtTTtT TtTTtTTt Ttc 61755 .114735 . 3222222圖7-40和圖7-41所示分別為單位階段躍和單位加速度函數(shù)輸入時(shí)的系統(tǒng)輸出響應(yīng)序列自動(dòng)控制理論2022-6-1第七章 離散化控制系統(tǒng)82圖7-41圖7-40（3）最少拍系統(tǒng)對(duì)參數(shù)的變化很敏感，另導(dǎo)致系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)偏離z平面的坐標(biāo)原點(diǎn)，使系統(tǒng)的性能變壞。（4）最少拍系統(tǒng)的設(shè)計(jì)只能保證在采樣點(diǎn)上

33、的誤差為零，但不能使采樣點(diǎn)間的誤差為零，即系統(tǒng)存在著紋波。圖7-42中的虛線(xiàn)為在單位斜坡輸入下最少拍系統(tǒng)的實(shí)際響應(yīng)曲線(xiàn)。圖7-42例7-21已知一離散控制系統(tǒng)如圖7-43所示。其中K=10，Tm=1s,采樣周期T=1s。要求該系統(tǒng)在r(t)=t輸入時(shí)，實(shí)現(xiàn)最少拍控制。自動(dòng)控制理論2022-6-1第七章 離散化控制系統(tǒng)83求數(shù)字控制器D（z）；分析該系統(tǒng)輸出信號(hào)中有紋波的原因。圖7-43 例7-21中的離散控制系統(tǒng)解（1）由表7-5可知，系統(tǒng)的閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)應(yīng)為 212zzzT而 110121ssZzzG1101010121sssZz1111368. 011717. 0168. 3zzzz20

34、22-6-1第七章 離散化控制系統(tǒng)84則由工（7-70）得 1111717. 011368. 015 . 01543. 0zzzzzD（2）因?yàn)?121121111TzzTzzzRzTzEe所以零階保持器的輸入為 1111112717. 0115 . 01368. 01543. 0zzzzTzzEzDzE54321255. 0114. 04 . 0317. 0543. 0TzTzTzTzTz876008. 021. 001. 0TzTzTz即 TtT TtT TtT TtT TtT TtT te601. 05255. 0 4114. 034 . 02317. 0543. 022022-6-1第

35、七章 離散化控制系統(tǒng)85該系統(tǒng)相關(guān)點(diǎn)的波形如圖7-44圖7-46所示。數(shù)字控制器數(shù)字控制器D D（z z）的實(shí)現(xiàn)）的實(shí)現(xiàn) 最少拍控制系統(tǒng)的設(shè)計(jì)是與輸入信號(hào)R(z)的形式、廣義對(duì)象的脈沖傳遞函數(shù)G(z)以及對(duì)輸出有無(wú)紋波的要求有關(guān)。為了能設(shè)計(jì)出穩(wěn)定的物理上可實(shí)現(xiàn)的最少拍控制系統(tǒng)的數(shù)字控制器D(z)必須按如下提出的要求去選擇T(z)和Te(z)由式（7-70）得 zTzGzDzTe（7-79）根據(jù)式（7-79），提出下列要求：1）為了保證系統(tǒng)穩(wěn)定，T(z)和Te(z)不能含有z平面上單位圓上和單位圓外的極點(diǎn)。2）若G(z)中含有延遲因子z-r，則需選擇T(z)的分子部分要含有與G(z)完全相同的延

36、遲因子z-r。3） T(z)需把G(z)在單位圓上和單位圓外的零點(diǎn)作為自己的零點(diǎn)。2022-6-1第七章 離散化控制系統(tǒng)864） D(z)的極點(diǎn)數(shù)必須大于或等于其零點(diǎn)數(shù)。圖7-45圖7-462022-6-1第七章 離散化控制系統(tǒng)87第八節(jié)第八節(jié) MATLABMATLAB在離散控制系統(tǒng)中的應(yīng)用在離散控制系統(tǒng)中的應(yīng)用用MATLAB對(duì)離散系統(tǒng)進(jìn)行分析與設(shè)計(jì)，有如下的優(yōu)點(diǎn)： 1）離散系統(tǒng)穩(wěn)定性的判別可由MATLAB直接求出閉環(huán)系統(tǒng)特征方程式的根，或在z平面上直接畫(huà)出閉環(huán)極點(diǎn)來(lái)回答。 2）應(yīng)用Simulink直接對(duì)離散系統(tǒng)進(jìn)行參數(shù)的調(diào)整與仿真，通過(guò)輸出響應(yīng)曲線(xiàn)可直觀地看到系統(tǒng)校正前后性能的變化。顯然，用

37、這種方法有利于設(shè)計(jì)出性能優(yōu)良的離散系統(tǒng)。一、數(shù)學(xué)模型的處理一、數(shù)學(xué)模型的處理1. 求z變換和z反變換 MATLAB Toolbox工具箱中的指令ztrans和iztrans分別用于求取時(shí)間函數(shù)的z變換和z反變換。求取時(shí)間函數(shù)f(t)的z變換可用指令F=ztrans(f)2022-6-1第七章 離散化控制系統(tǒng)88求取F(z)的z反變換的指令為F=iztrans(F)例7-22 （1）求單位斜坡函數(shù)f(t)=t的z變換（2）求F(z)=z/3z2-4z+1的z反變換解 1）在MATLAB命令窗口中鍵入指令：Syms t T;Ztrans(t*T);運(yùn)行結(jié)果為Ans=T*z/(z-1)22）在MAT

38、LAB命令窗口中鍵入指令：Syms z;F=z/(3*z2-4*z+1);f=iztrans(F);2022-6-1第七章 離散化控制系統(tǒng)89運(yùn)行結(jié)果為Ans=1/2-1/2*（1/3）n2. 模型轉(zhuǎn)換 將連續(xù)系統(tǒng)模型G(s)轉(zhuǎn)換為離散系統(tǒng)的模型G(z)，可用指令c2d來(lái)實(shí)現(xiàn)，其格式為 sysd=c2d(sys,T)或 sysd=c2d(sys,T,method) 前一種格式表示對(duì)連續(xù)對(duì)象sys離散化，且有零階保持器，采樣周期為T(mén)。后一種格式比前一種格式多了用“method”定義離散化的方法?！癿ethod”可為以下字符串之一：zoh零階保持器; “foh”一階保持器;tustin雙線(xiàn)性逼近（

39、tusin）方法;prewarp采用改進(jìn)fusin方法;2022-6-1第七章 離散化控制系統(tǒng)90 反之，要實(shí)現(xiàn)由離散系統(tǒng)模型轉(zhuǎn)換為連續(xù)系統(tǒng)的模型，可以使用指令d2c，其格式為 sys=d2c(sysd,T,method)例7-23 已知G(s)=1/s(s+1)，T=1s，求G（z）。Sys=tf(1,1 1 0);C2d(sys,1)運(yùn)行結(jié)果略。二、離散系統(tǒng)的輸出響應(yīng)二、離散系統(tǒng)的輸出響應(yīng)1. 輸入函數(shù)的MATLAB表示1）單位階躍輸入,.2 , 1 , 0; 1)(kku若令k=100，T=1s，則在MATLAB中表示為)101, 1 ();100, 1 (, 1 )(onesuones

40、ku或或2022-6-1第七章 離散化控制系統(tǒng)912）單位斜坡輸入,.2 , 1 , 0;)(kkTku若取k=50，則在MATLAB中表示為T(mén)kuk*;50:03）單位加速度函數(shù)輸入,.2 , 1 , 0;)(2/1)(2kkTku若取k=10，T=0.2s，則在MATLAB中表示為2)*2 . 0(*5 . 0;10:0kuk2. 求離散系統(tǒng)的輸出響應(yīng)設(shè)離散系統(tǒng)的閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)為)()()()(zdenznumzRzC令輸入信號(hào)為r，則可用指令Y=filter(num,den,r)求取系統(tǒng)的輸出響應(yīng)。2022-6-1第七章 離散化控制系統(tǒng)92例7-24 已知一離散控制系統(tǒng)如圖7-47所示。若令K=1，T=1s，r(t)=1(t)，求系統(tǒng)的輸出響應(yīng)。圖7-47 例7-24中的離散控制系統(tǒng)解 由傳遞函數(shù)G(s)的z變換G(z)，求得該