1、分類號(hào) 單位代碼 10642 密 級(jí) 公開 學(xué) 號(hào)200402044003 重慶文理學(xué)院學(xué)士學(xué)位論文 矩陣在解線性方程組中的作用論文作者：王婷指導(dǎo)教師： 相春環(huán)學(xué)科專業(yè)： 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)研究方向：線性代數(shù)提交論文日期： 2008年 3 月 18日 論文答辯日期： 2008年 4 月 30日 學(xué)位授予單位：重慶文理學(xué)院 中 國(guó) 重 慶2008 年 3月數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)系畢業(yè)論文 目錄目 錄 中文摘要英文摘要1引言1 1.1 問題的提出及研究意1 1.2 國(guó)內(nèi)外研究現(xiàn)狀6 1.3 本文研究的目的和研究?jī)?nèi)容102矩陣在解線性方程組中的作用12 2.1 預(yù)備知識(shí)12 2.2 廣義逆矩陣求解線性12 2

2、.2.1 線性方程組的相容性、通解與廣義逆12 2.2.2相容線性方程組的極小范數(shù)解與廣義逆13 2.2.3 矛盾方程組的最小二乘解與廣義逆14 2.2.4 矛盾方程組的極小范數(shù)最小二乘解與廣義逆矩陣12 2.3 用MATLAB輔助計(jì)算求解線性方程組15 2.3.1 矩陣在MATLAB中的實(shí)現(xiàn)15 2.3.2 MATLAB輔助計(jì)算求解線性方程組163結(jié)論151致謝156參考文獻(xiàn)157I2004級(jí)數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)） 矩陣在解線性方程組中的作用數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)(師范類)四班 王婷 指導(dǎo)教師 相春環(huán) 摘要：在科學(xué)、工程和管理等各個(gè)領(lǐng)域包含的眾多數(shù)學(xué)問題中，大都會(huì)在某個(gè)階段遇到一個(gè)解線性

3、方程組的問題。怎樣判斷這種方程組是否有解？若有解又如何求解呢？矩陣作為一個(gè)重要的數(shù)學(xué)工具，在對(duì)解線性方程組進(jìn)行討論時(shí)，充分體現(xiàn)了它的價(jià)值。尤其是在實(shí)際問題中所遇到的線性方程組的系數(shù)矩陣往往是奇異方陣或長(zhǎng)方陣，并且線性方程組可能是矛盾方程組的這類線性方程組的解法，更能顯現(xiàn)出矩陣的作用。本論文通過在解相容線性方程組和矛盾線性方程組的過程中來體現(xiàn)矩陣在解線性方程組中的作用以及其應(yīng)用價(jià)值，特別是對(duì)解矛盾線性方程組的研究。并在此基礎(chǔ)上，將矩陣應(yīng)用到計(jì)算機(jī)中，在MATLAB軟件的輔助下，通過矩陣來實(shí)現(xiàn)解線性方程組則更具有獨(dú)特的優(yōu)越性。 關(guān)鍵字：矩陣、線性方程組、廣義逆矩陣The solution of l

4、inear differential equation with constant coefficientsMajor: Information and Science Computing or Mathematics and Applied Mathematics(Normal) or Computer Science and Technology Class:4Author: yangmei Supervisor: xiangchunhua Abstract：The passage talks about the method of solving linear differential

5、equation with constant coefficients,the matrix solution.To linear differential equation with constant coefficients,one solution is important.It use matrix as implement.This is not begin from backgroud,but reduces linear differential equation.And this passage starts with the difinition of linear diff

6、erential equation and the general layout,then seeks the definition of linear differential equation with constant coefficients and its general layout.Finally,I use the solution to actual questions.I use bibliographic searching and record searching to go on the passage.Let the coefficient of different

7、ial equation to matrix,then go on the calculation.Keywords：Linear differential equation with constant coefficients；Matrix ；Matrix equation；Reduction1引言線性方程組理論是線性代數(shù)的主要內(nèi)容之一,它在數(shù)學(xué)領(lǐng)域的各個(gè)分支,以及在自然科學(xué)、工程技術(shù)，生產(chǎn)實(shí)際中都有著重要的作用,而求線性方程組的一般解則是所有學(xué)習(xí)線性代數(shù)的人們必須掌握的基本技能。通過矩陣可以使許多抽象的數(shù)學(xué)對(duì)象得到具體的表示，并把相關(guān)的運(yùn)算轉(zhuǎn)化為矩陣的簡(jiǎn)單運(yùn)算，使代數(shù)學(xué)的研究在一定程度上化

8、復(fù)雜為簡(jiǎn)單，變抽象為具體，變散亂為整齊有序，矩陣是線性代數(shù)中不可或缺的處理工具，它在其它的數(shù)學(xué)理論中也有著重要的作用。11問題的提出及研究意義基于線性方程組和矩陣在線性代數(shù)以及在各個(gè)領(lǐng)域的廣泛應(yīng)用，再加上計(jì)算機(jī)和計(jì)算方法的普及發(fā)展,為矩陣的應(yīng)用開辟了廣闊的前景.通過矩陣來解線性方程組大大簡(jiǎn)化了計(jì)算過程,為解決許多數(shù)學(xué)問題提供了一種研究途徑.研究該課題的意義是為了對(duì)矩陣在解線性方程組中的廣泛應(yīng)用有一個(gè)更深的了解與掌握.12國(guó)內(nèi)外研究現(xiàn)狀線性代數(shù)它已面向世界，而矩陣與線性方程組作為其基礎(chǔ)與核心,自然也是被重點(diǎn)研究的對(duì)象。在國(guó)外，美國(guó)的線性代數(shù)教育從1990年開始了一次大的改革，在同年8月，在美國(guó)國(guó)

9、家科學(xué)基金會(huì)資助下，他們和工程界的代表組織了一次大會(huì)，在1992年美國(guó)科學(xué)基金會(huì)又資助了一個(gè)用軟件工具增強(qiáng)線性代數(shù)教學(xué)，強(qiáng)調(diào)了計(jì)算機(jī)對(duì)線性代數(shù)的重要性，并在實(shí)踐中不斷的改革、發(fā)展、完善。在國(guó)內(nèi)，線性代數(shù)也被視為一門重要的學(xué)科，而且滲透到眾多領(lǐng)域中，尤其是對(duì)線性方程組和矩陣的研究，它們是線性代數(shù)的基礎(chǔ)，為線性代數(shù)做深一步的研究奠定了基礎(chǔ)。求解線性方程組是數(shù)學(xué)問題中的重要問題之一,超過75%的科學(xué)研究和工程應(yīng)用中的數(shù)學(xué)問題，在某個(gè)階段都涉及求解線性方程組。利用數(shù)學(xué)方法，通?？蓪⑤^為復(fù)雜的問題化為簡(jiǎn)單的線性方程組，但解線性方程組又是一個(gè)比較繁冗的過程，而矩陣作為一個(gè)重要的數(shù)學(xué)工具，在這里實(shí)現(xiàn)了它應(yīng)有

10、的價(jià)值，通過它計(jì)算來求解線性方程組，不管是用計(jì)算機(jī)來實(shí)現(xiàn)還是通過各種法則來計(jì)算，它都是一個(gè)簡(jiǎn)便且有效的方法。13本文研究的目的和內(nèi)容學(xué)習(xí)和掌握矩陣的一些基本理論和方法對(duì)于我們來說是必不可少的,通過該論文的研究也能使我們對(duì)矩陣有更深一步的了解,從而也能為進(jìn)一步學(xué)習(xí)線性代數(shù)打下基礎(chǔ)本文先從簡(jiǎn)單的基本概念入手,介紹有關(guān)矩陣和線性方程組的相關(guān)知識(shí),然后在從解線性方程組的過程來突出矩陣在解線性方程組中的作用,這一點(diǎn)主要從兩方面來研究,一方面是廣義逆矩陣求解線性方程組,另一方面就是將矩陣應(yīng)用到計(jì)算機(jī)中，在MATLAB階微分方程稱為高階階線性微分方程。階線性微分方程的一般表達(dá)式，即軟件的輔助下，通過矩陣來實(shí)

11、現(xiàn)解線性方程組。2 矩陣在解線性方程組中的作用2.1 預(yù)備知識(shí)在對(duì)問題討論之前,先對(duì)相關(guān)概念進(jìn)行簡(jiǎn)單的介紹一下:定義11由個(gè)數(shù)組成一個(gè)行列的矩形數(shù)表，稱為一個(gè)的矩陣，記作： 其中叫矩陣的第行第列元素。定義21 形如 :的方程組，其中代表個(gè)未知量，是方程的個(gè)數(shù)，稱為方程組的系數(shù)，寫成矩陣形式為，其中，。如果線性方程組有解，則稱該方程組是相容方程組。定義327 設(shè)矩陣，若矩陣滿足如下四個(gè)方程：； ；則稱為的逆，記為。定義427 對(duì)任意，若滿足方程中的等方程，則稱為的逆，記為，其全體記為。2.2 廣義逆矩陣求解線性方程組對(duì)于階矩陣和,若,則,考慮線性方程組，若非奇異，則，方程組有唯一解。現(xiàn)在的問題是

12、如果是奇異的或者不是方陣的情況線性方程組解的情況。關(guān)于一般有如下四個(gè)基本問題需要解決：的特積分。有解的是什么？有解求出其通解。若有無窮多個(gè)解的，求出極小范數(shù)解，即求，使=。若無解,求出最小二乘解,即求向量,使=。若矛盾方程組的最小二乘解有無窮多個(gè),求極小范數(shù)最小二乘解,使=。問題中，當(dāng)矩陣為非奇異矩陣時(shí)不難得出其有解的條件，但如果為奇異矩陣時(shí)，用矩陣的逆就不那么容易得出其解的結(jié)論了。同樣，問題，也是如此，如何來解決這些問題呢這就是下面我們要討論的問題。通過解決這些問題的過程,我們將會(huì)發(fā)現(xiàn)矩陣在當(dāng)中起著具大的作用。2.2.1線性方程組的相容性、通解與廣義逆定義526 設(shè)，如果滿足方程，則稱為的一

13、個(gè)減號(hào)廣義逆或逆。定理 127 設(shè)，且可逆矩陣和使 則 定理227 設(shè)，則線性方程組有解的充分必要條件是 ， 其中是任一固定的矩陣。如果有解，則其通解為 。 證明：（1）若成立，則是的解。反之，若有解，則 ，即成立。 （2）若成立，則的通解由給出。首先，由的定義知，對(duì)由表示的有 ，即由表示的是的解。反之，設(shè)是的任一解，則有。它相當(dāng)于在中取，故給出了的通解。定理用減號(hào)廣義逆給出線性方程有解的充要條件和解的通式，其表達(dá)十分簡(jiǎn)明，充分顯示了廣義逆的優(yōu)越性，用它就能解決之前提出的第一個(gè)問題。下面通過例題來看看減號(hào)廣義逆在解線性方程組中具體作用。例1 求線性方程組 的解。解: 將方程組寫成矩陣方程,其中

14、, , =。于是 , 。所以由(2.1)式可得的減號(hào)廣義逆為, 其中，取,得的逆為 經(jīng)驗(yàn)證:,所以線性方程組有解,且通解為,其中任意。例2 求線性方程組的解,其中, 解:先求出的逆,對(duì)進(jìn)行初等變換可得 所以的標(biāo)準(zhǔn)形為 根據(jù)(2.1.)式, 矩陣的逆為 其中任意，取,得的一個(gè)逆為經(jīng)驗(yàn)證,所以方程組相容,且其通解為 ,其中任意。 通過兩個(gè)例子和(2.2)式我們可以發(fā)現(xiàn)的逆起著類似于非奇異矩陣之逆的作用,而且利用某個(gè)逆就可以解決相容方程組的求解問題。解決了線性方程組的有解的情況,接下來就是要解決在有解的情況下,解會(huì)是一種什么樣的情況.下面將利用廣義逆解決剩余的三個(gè)問題.同樣是圍繞解線性方程組和線性方

15、程組的解來體現(xiàn)矩陣的作用。2.2.2相容線性方程組的極小范數(shù)解與廣義逆引理126 相容方程組的極小范數(shù)解唯一,且這個(gè)唯一解在中.引理226 集合由矩陣方程 的所有解組成,其中。定理326 設(shè)則 。定理426 設(shè),則是相容線性方程組的唯一極小范數(shù)解,其中。2.2.3 矛盾方程組的最小二乘解與廣義逆引理426 設(shè),集合由矩陣方程 的所有解組成,其中.定理526設(shè),則 。定理626 設(shè),.則是方程組的最小二乘解.反之,設(shè),若對(duì)所有 都是方程組的最小二乘解,則。2.2.4 矛盾方程組的極小范數(shù)最小二乘解與廣義逆矩陣定理726 設(shè).則是方程組的唯一極小范數(shù)最小二乘解.反之,設(shè),若對(duì)所有是方程組的極小范數(shù)

16、最小二乘解,則。推論126 設(shè),則當(dāng)時(shí),有 而當(dāng)時(shí),有 .此推論給出了一種求的一種方法.由于的唯一性,它所具有的一些性質(zhì)與通常逆矩陣的性質(zhì)相仿.應(yīng)用舉例:例3 求線性方程組的最小范數(shù)解,其中, , 解:因?yàn)?所以線性方程組是相容的,又由于為行滿秩矩陣,于是因而極小范數(shù)解為 。例4 用廣義逆矩陣方法判斷線性方程組 是否有解?如果有解,求通解和極小范數(shù)解;如果無解,求全部最小二乘解和極小范數(shù)最小二乘解.解：將線性方程組寫成矩陣形式,其中, 。可求得由于 所以方程組無解,全部最小二乘解其中任意.極小范數(shù)最小二乘解為 。2.3 用MATLAB輔助計(jì)算求解線性方程組是美國(guó) 公司出口的計(jì)算機(jī)科學(xué)計(jì)算軟件.

17、在很多領(lǐng)域里,它已成為科技人員首選的計(jì)算機(jī)數(shù)學(xué)語言.。是“矩陣實(shí)驗(yàn)室”的縮寫，它是一種以矩陣運(yùn)算為基礎(chǔ)的交互式程序語言，因此特別適合于線性代數(shù)求解。在線性代數(shù)的計(jì)算方法中，用手工計(jì)算只能解決一些低階變量較少的問題，而在實(shí)際中出現(xiàn)的大量的線性問題，都是高階的和有很多變量，使用語言輔助線性代數(shù)教學(xué)已成為較為流行的教學(xué)模式。本論文將結(jié)合的特點(diǎn)，通過計(jì)算機(jī)語言來解線性方程組，在解的過程中，我們將會(huì)發(fā)現(xiàn)，矩陣起著非常重要的作用，在的輔助下，用矩陣來解線性方程組大大簡(jiǎn)化了我們的計(jì)算過程。2.3.1 矩陣在MATLAB中的實(shí)現(xiàn)矩陣是一個(gè)二維數(shù)組，數(shù)組無需預(yù)先定義維數(shù)，直接輸入數(shù)組的元素，用中括號(hào)“ ”表示，

18、一個(gè)數(shù)組，同行元素間用空格或逗號(hào)分隔，不同行間用分號(hào)或回車分隔。如： clear;a=1,2,3;4,5,6;7,8,9a = 1 2 3 4 5 6 7 8 9或 clear;a=1 2 34 5 67 8 9a = 1 2 3 4 5 6 7 8 9也提供了很多函數(shù)來生成一些特殊的矩陣：生成行列的零矩陣；生成行列的元素全為的矩陣；生成階單位矩陣；生成行列上均勻分布隨機(jī)數(shù)矩陣。在中提供了幾種求解線性方程組的方法，下面對(duì)這幾種方法簡(jiǎn)單介紹一下：相容方程組:調(diào)用函數(shù)來求解代數(shù)方程或代數(shù)方程組。其調(diào)用格式為：變量1，變量2，變量（方程，方程2，方程）其中方程為以符號(hào)表達(dá)式表示的代數(shù)方程，如果是個(gè)方

19、程組成的方程組，則將所有的個(gè)方程全部供稿以求得方程組的解，即滿足方程組的個(gè)變量的值。通過矩陣除法來求解。元線性方程組有唯一解的充分必要條件是；若是階方陣，可用逆陣方法求解：，還可以用矩陣除法求解：，兩種方法都可得到解向量，但使用矩陣除法求解的精度與運(yùn)算埋單都優(yōu)于用逆陣方法求解，兩種方法的比較將會(huì)后面的論述中給出；若不是階方陣，則用的廣義逆矩陣求解，中，的廣義逆矩陣可用函數(shù)得到，鍵入“”便可得到解向量。利用提供的化矩陣為行階梯形形式求解線性方程組。其函數(shù)為，調(diào)用格式為（矩陣）。將構(gòu)成方程組的系數(shù)矩陣作為參數(shù)，可以求得其行階梯形式。矛盾方程組:用最小二乘法求解，其實(shí)最小二乘法求解問題可以化為求解一

20、個(gè)相容方程組的問題。對(duì)于方程的最小二乘解可以用除法運(yùn)算求解，或用廣義逆來求解，求出解后，需要計(jì)算解的誤差向量 。2.3.2輔助計(jì)算求解線性方程組調(diào)用函數(shù)求解線性方程組當(dāng)方程為個(gè)相容方程時(shí)，解的情況有兩種，一種是有唯一解，別一種就是有無窮解。這兩種情況都可用調(diào)用函數(shù)解出。下面通過一些例子來說明:例5 求解線性方程解:編寫一個(gè)函數(shù), 程序及結(jié)果見附錄1.解得原方程組的解為:.這是方程組有唯一解的情況，下面我們來看一下方程組有無窮解的情況：例6 求解線性方程組解: 編寫一個(gè)函數(shù), 程序及結(jié)果見附錄2.解得原方程組的通解為: 調(diào)用函數(shù)求解用此種方法同樣可求得方程組的通解。其具體實(shí)現(xiàn)形式是提供的化矩陣為

21、行階梯形形式求解線性方程組。其得到的結(jié)果與用函數(shù)來求解是一樣的。下面以例6為例求通解，程序編寫及結(jié)果見附錄3，用此種方法求得線性方程組的通解為: 雖然兩種結(jié)果的通解不一樣但其都是線性方程的通解。矩陣求解線性方程組上面介紹了兩種求解線性方程組的方法，都是調(diào)用中提供的相關(guān)函數(shù)來進(jìn)行運(yùn)算求解，雖然該兩種方法都能比較快速的求解出線性方程組的解，但是此兩種都局限在了只對(duì)相容方程組進(jìn)行運(yùn)算，而對(duì)矛盾方程組卻不能求解。用矩陣除法運(yùn)算來求解線性方程組則能解決這個(gè)問題。在前面介紹當(dāng)方程是矛盾方程時(shí)用最小二乘法進(jìn)行編程求解，但其最終實(shí)質(zhì)也是通過矩陣除法這種運(yùn)算方法來進(jìn)行求解的。并且，用此矩陣除法來進(jìn)行編程求解所消

22、耗的時(shí)間也比前兩種要快，下面我們將通過具體的實(shí)例來比較一下，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)矩陣在的輔助求解線性方程組不僅簡(jiǎn)單易行，而且在時(shí)間上也是比較優(yōu)化的。為了更能明確的突出矩陣在解線性方程的優(yōu)勢(shì)，下面將分別對(duì)方程組 在有唯一解、無窮解、無解的情況進(jìn)行討論，對(duì)幾種方法進(jìn)行對(duì)比，比較幾種方法所用的時(shí)間的長(zhǎng)短。 有唯一解例7 求解線性方程組 解: 方法一：編寫一個(gè)函數(shù)，程序及結(jié)果見附錄4。 方法二：編寫一個(gè)函數(shù)，程序及結(jié)果見附錄5。方法三：編寫一個(gè)函數(shù)，程序及結(jié)果見附錄6。對(duì)比三種方法時(shí)間我們可以發(fā)現(xiàn)，方法一運(yùn)用的是調(diào)用函數(shù)，方法二與方法三分別通過矩陣的初等變換與矩陣除法來進(jìn)行編程計(jì)算的，后兩種方法的時(shí)間顯然比第一

23、種方法要快得多，在第三種方法中可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)是階方陣時(shí)，用矩陣除法比用逆陣法解線性方程組要快有無窮解例7 求線性方程組的通解解:方法一：編寫一個(gè)函數(shù)，程序及結(jié)果見附錄7。 方法二：編寫一個(gè)函數(shù)，程序及結(jié)果見附錄8。方法三：編寫一個(gè)函數(shù)，程序及結(jié)果見附錄9。無解線性方程組我解時(shí)，令，即不存在使得。在實(shí)際問題中，常要求向量使得誤差向量的模達(dá)到最小，被稱為最小二乘解。用語句“”或“”求方程組的最小二乘解。 例8 求方程的最小二乘解。其中：， .解: 方法一：編寫一個(gè)函數(shù)，程序見附錄10。方法二：編寫一個(gè)函數(shù)，程序見附錄11。方法三：編寫一個(gè)函數(shù)，程序見附錄12。由程序可知，方法一與方法二都不能得出該矛

24、盾方程組的解。方法三在一個(gè)程序中用兩種方法來解這個(gè)矛盾方程組，在方法三中, 雖然兩種方法的結(jié)果不同，但誤差向量的模是相等的。通過以上的比較，不難看出，即使是在輔助下進(jìn)行求解線性方程組，矩陣仍起著關(guān)鍵作用，不管是在計(jì)算速度還是精度上矩陣都占著絕對(duì)的優(yōu)勢(shì)，這也是矩陣之所運(yùn)用廣泛的原因之一。附錄1:%函數(shù)zero1.msyms x1 x2 x3 x4eq1=sym(x1-2*x2+3*x3-4*x4=4)eq2=sym(x2-x3+x4=-3)eq3=sym(x1+3*x2+x4=1)eq4=sym(-7*x2+3*x3+x4=-3)x1 x2 x3 x4=solve(eq1,eq2,eq3,eq4

25、) 在指令窗口執(zhí)行相應(yīng)指令，并得出運(yùn)行結(jié)果如下： zero1 eq1 = x1-2*x2+3*x3-4*x4=4 eq2 =x2-x3+x4=-3eq3 = x1+3*x2+x4=1 eq4 =-7*x2+3*x3+x4=-3 x1 = -8x2 =3 x3 =6x4 =0即得原方程組的解為：。附錄2: 函數(shù)zero2.msyms x1 x2 x3 x4 x5eq1=sym(x1+3*x2+5*x3-4*x4=1)eq2=sym(x1+3*x2+2*x3-2*x4+x5=-1)eq3=sym(x1-2*x2+x3-x4-x5=3)eq4=sym(x1-4*x2+x3+x4-x5=3)eq5=s

26、ym(x1+2*x2+x3-x4+x5=-1)x1 x2 x3 x4 x5=solve(eq1,eq2,eq3,eq4,eq5)在指令窗口執(zhí)行相應(yīng)指令，并得出運(yùn)行結(jié)果如下： zero2eq1 = x1+3*x2+5*x3-4*x4=1 eq2 = x1+3*x2+2*x3-2*x4+x5=-1 eq3 = x1-2*x2+x3-x4-x5=3 eq4 =x1-4*x2+x3+x4-x5=3 eq5 =x1+2*x2+x3-x4+x5=-1 x1 = 1+x4 x2 = x4 x3 = 0 x4 = x4x5 = -2-2*x4從而原議程組等價(jià)于： 令，則求得通解為：附錄3: 函數(shù)zero3.m

27、a=1 3 5 -4 0;1 3 2 -2 1;1 -2 1 -1 -1;1 -4 1 1 -1;1 2 1 -1 1;b=1;-1;3;3;-1rank(a),rank(a,b)rref(a,b)在指令窗口執(zhí)行相應(yīng)指令，并得出運(yùn)行結(jié)果如下： zero3b = 1 -1 3 3 -1ans = 4 4ans = 1.0000 0 0 0 0.5000 0 0 1.0000 0 0 0.5000 -1.0000 0 0 1.0000 0 0 0 0 0 0 1.0000 0.5000 -1.0000 0 0 0 0 0 0從而原方程組等價(jià)于：令，求得其通解為。附錄4: 函數(shù)zero4.msyms

28、 x1 x2 x3 x4eq1=sym(x1-2*x2+3*x3-4*x4=4)eq2=sym(x2-x3+x4=-3)eq3=sym(x1+3*x2+x4=1)eq4=sym(-7*x2+3*x3+x4=-3)tic語 %計(jì)時(shí)開始x1 x2 x3 x4=solve(eq1,eq2,eq3,eq4)Toc %計(jì)時(shí)結(jié)束在指令窗口執(zhí)行相應(yīng)指令，并得出運(yùn)行結(jié)果如下： zero4 eq1 =x1-2*x2+3*x3-4*x4=4eq2 =x2-x3+x4=-3eq3 =x1+3*x2+x4=1eq4 =-7*x2+3*x3+x4=-3x1 =-8x2 =3x3 =6x4 =0Elapsed time

29、is 0.336909 seconds.附錄5:函數(shù)zero5.ma=1 -2 3 -4;0 1 -1 1;1 3 0 1;0 -7 3 1b=4;-3;1;-3rank(a),rank(a,b)Tic %計(jì)時(shí)開始rref(a,b)toc %計(jì)時(shí)結(jié)束在指令窗口執(zhí)行相應(yīng)指令，并得出運(yùn)行結(jié)果如下： zero5a = 1 -2 3 -4 0 1 -1 1 1 3 0 1 0 -7 3 1b = 4 -3 1 -3ans = 4 4 %滿秩且相等，說明有唯一解ans = 1 0 0 0 -8 0 1 0 0 3 0 0 1 0 6 0 0 0 1 0Elapsed time is 0.002862 s

30、econds.附錄6: 函數(shù)zero6.ma=1 -2 3 -4;0 1 -1 1;1 3 0 1;0 -7 3 1b=4;-3;1;-3rank(a),rank(a,b)ticx1=ab %矩陣除法tocticx2=inv(a)*b %逆陣法toc在指令窗口執(zhí)行相應(yīng)指令，并得出運(yùn)行結(jié)果如下： zero6a = 1 -2 3 -4 0 1 -1 1 1 3 0 1 0 -7 3 1b = 4 -3 1 -3ans = 4 4x 1= -8.0000 3.0000 6.0000 0.0000Elapsed time is 0.099093 seconds.X2 = -8.0000 3.0000

31、6.0000 0.0000Elapsed time is 0.060161 seconds.附錄7:函數(shù)zero7.msyms x1 x2 x3 x4eq1=sym(x1-x2+x3-x4=1)eq2=sym(-x1+x2+x3-x4=1)eq3=sym(2*x1-2*x2-x3+x4=-1)ticx1 x2 x3 x4=solve(eq1,eq2,eq3,eq4)toc在指令窗口執(zhí)行相應(yīng)指令，并得出運(yùn)行結(jié)果如下： zero6 eq1 = x1-x2+x3-x4=1eq2 = -x1+x2+x3-x4=1eq3 =2*x1-2*x2-x3+x4=-1x1 = x2x2 =x2x3 =7/4*x

32、2-1/2x4 =7/4*x2-3/2Elapsed time is 6.785210 seconds.附錄8:函數(shù)zero7.ma=1 -1 1 -1;-1 1 1 -1;2 -2 -1 1b=1;1;-1rank(a),rank(a,b)ticrref(a,b)toc在指令窗口執(zhí)行相應(yīng)指令，并得出運(yùn)行結(jié)果如下： zero7a = 1 -1 1 -1 -1 1 1 -1 2 -2 -1 1b = 1 1 -1ans = 2 2ans = 1 -1 0 0 0 0 0 1 -1 1 0 0 0 0 0Elapsed time is 0.009610 seconds.附錄9:函數(shù)zero8.ma

33、=1 -1 1 -1;-1 1 1 -1;2 -2 -1 1b=1;1;-1rank(a),rank(a,b)ticx=ab,x=null(a)toc在指令窗口執(zhí)行相應(yīng)指令，并得出運(yùn)行結(jié)果如下： zero8a = 1 -1 1 -1 -1 1 1 -1 2 -2 -1 1b = 1 1 -1ans = 2 2Warning: Rank deficient, rank = 2, tol = 2.1756e-015. In zero7 at 5x = 0 0 1 0x = -0.7071 0 -0.7071 0 -0.0000 0.7071 -0.0000 0.7071Elapsed time i

34、s 0.269107 seconds.附錄10: 函數(shù)zero9.msyms x1 x2 x3 x4eq1=sym(x1+2*x2+3*x3+4*x4=1)eq2=sym(x1+4*x2+9*x3+4*x4=2)eq3=sym(x1+2*x2+3*x3+4*x4=3)x1 x2 x3 x4=solve(eq1,eq2,eq3)在指令窗口執(zhí)行相應(yīng)指令，并得出運(yùn)行結(jié)果如下： zero8 eq1 =x1+2*x2+3*x3+4*x4=1eq2 =x1+4*x2+9*x3+4*x4=2eq3 =x1+2*x2+3*x3+4*x4=3Warning: Explicit solution could no

35、t be found. In solve at 140 In sym.solve at 49 In zero8 at 5x1 = empty sym x2 = x3 = x4 = 方程組無解。附錄11:函數(shù)zero10.mA=1 2 3 4;1 4 9 4;1 2 3 4b=1;2;3rank(A),rank(A,b)rref(A,b)在指令窗口執(zhí)行相應(yīng)指令，并得出運(yùn)行結(jié)果如下： zero9A = 1 2 3 4 1 4 9 4 1 2 3 4b = 1 2 3ans = 2 3ans = 1 0 -3 4 0 0 1 3 0 0 0 0 0 0 1附錄12:函數(shù)zero11.mA=1 2 3

36、 4;1 4 9 4;1 2 3 4b=1;2;3ticx1=pinv(A)*b %廣義逆矩陣toce1=A*x1-bm1=norm(e1)ticx2=Ab %矩陣除法toce2=A*x2-bm2=morm(e2)在指令窗口執(zhí)行相應(yīng)指令，并得出運(yùn)行結(jié)果如下： zero11A = 1 2 3 4 1 4 9 4 1 2 3 4b = 1 2 3x1 = 0.1117 0.1006 -0.0335 0.4469Elapsed time is 0.007436 seconds.e1 = 1.0000 -0.0000 -1.0000m1 = 1.4142Warning: Rank deficient,

37、 rank = 2, tol = 8.8373e-015. In zero9 at 9x2 = 0 0 0 0.5000Elapsed time is 0.025049 seconds.e2 = 1.0000 0.0000 -1.00003 結(jié)論通過用廣義逆矩陣來解線性方程組的過程中可以看出,它解決了矛盾方程組無解的情況,這在很多研究領(lǐng)域起著重要的作用.而且通過計(jì)算機(jī)軟件輔助矩陣計(jì)算求解線性方程要比用其它方法快些.因此,矩陣在解線性方程組起著至關(guān)重要的重用.致 謝本文的研究工作是在我的導(dǎo)師相春環(huán)的精心指導(dǎo)和悉心關(guān)懷下完成的，在我的學(xué)業(yè)和論文的研究工作中無不傾注著導(dǎo)師辛勤的汗水和心血。導(dǎo)師的嚴(yán)謹(jǐn)

38、治學(xué)態(tài)度、淵博的知識(shí)、無私的奉獻(xiàn)精神使我深受的啟迪。從尊敬的導(dǎo)師身上，我不僅學(xué)到了扎實(shí)、寬廣的專業(yè)知識(shí)，也學(xué)到了做人的道理。在此我要向我的導(dǎo)師致以最衷心的感謝和深深的敬意。在此，向所有關(guān)心和幫助過我的導(dǎo)師、老師、同學(xué)和朋友表示由衷的謝意！參考文獻(xiàn)1 王萼芳 石生明. 高等代數(shù)M.高等教育出版社,第三版2 金朝嵩 符名培. 線性代數(shù)M. 重慶大學(xué)出版社,第二版3 王篤正線性方程組與矩陣M出版日期: 1980年06月第1版4 周金森廣義逆矩陣與線性方程組的解J漳州職業(yè)技術(shù)學(xué)院學(xué)報(bào)2006年4月,P15P175趙慎行. 線性方程組AX=B幾種解法的比較研究J.科技咨詢導(dǎo)報(bào).2007年,P99P1016 姚金江. 利用矩陣的廣義逆求線性方程組的解J.中國(guó)科技信息2007年第四期,P260P2617鄒國(guó)成. 關(guān)于線性方程組的解的幾個(gè)結(jié)論J. 樂山師范學(xué)院學(xué)報(bào).2005年5月,P16P178毛劍鋒吳又勝. 線性方程組的矩陣解法J. 咸寧師專學(xué)報(bào)