1、2022年6月2日振動(dòng)力學(xué)2實(shí)際振動(dòng)系統(tǒng)都是連續(xù)體，具有連續(xù)分布的質(zhì)量與彈性，實(shí)際振動(dòng)系統(tǒng)都是連續(xù)體，具有連續(xù)分布的質(zhì)量與彈性，又稱又稱連續(xù)系統(tǒng)連續(xù)系統(tǒng)或或分布參數(shù)系統(tǒng)分布參數(shù)系統(tǒng)確定連續(xù)體上無(wú)數(shù)質(zhì)點(diǎn)的位置需要無(wú)限多個(gè)坐標(biāo)，因此確定連續(xù)體上無(wú)數(shù)質(zhì)點(diǎn)的位置需要無(wú)限多個(gè)坐標(biāo)，因此連續(xù)體是具有無(wú)限多自由度的系統(tǒng)連續(xù)體是具有無(wú)限多自由度的系統(tǒng)連續(xù)體的振動(dòng)要用時(shí)間和空間坐標(biāo)的函數(shù)來(lái)描述，其運(yùn)連續(xù)體的振動(dòng)要用時(shí)間和空間坐標(biāo)的函數(shù)來(lái)描述，其運(yùn)動(dòng)方程不再像有限多自由度系統(tǒng)那樣是動(dòng)方程不再像有限多自由度系統(tǒng)那樣是二階常微分方程二階常微分方程組組，它是，它是偏微分方程偏微分方程在物理本質(zhì)上，連續(xù)體系統(tǒng)和多自由度系

2、統(tǒng)沒(méi)有什么差在物理本質(zhì)上，連續(xù)體系統(tǒng)和多自由度系統(tǒng)沒(méi)有什么差別，別，連續(xù)體振動(dòng)的基本概念與分析方法與有限多自由度連續(xù)體振動(dòng)的基本概念與分析方法與有限多自由度系統(tǒng)是完全類似的系統(tǒng)是完全類似的2022年6月2日振動(dòng)力學(xué)32022年6月2日振動(dòng)力學(xué)4（1）本章討論的連續(xù)體都假定為線性彈性）本章討論的連續(xù)體都假定為線性彈性體，即在彈性范圍內(nèi)服從虎克定律體，即在彈性范圍內(nèi)服從虎克定律（2）材料均勻連續(xù)；各向同性）材料均勻連續(xù)；各向同性（3）振動(dòng)為微振）振動(dòng)為微振 2022年6月2日振動(dòng)力學(xué)5連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng) / 一維波動(dòng)方程一維波動(dòng)方程2022年6月2日振動(dòng)力學(xué)6 動(dòng)力學(xué)方程動(dòng)力學(xué)方程（1）

3、桿的縱向振動(dòng)）桿的縱向振動(dòng) 等截面細(xì)直桿的縱向振動(dòng)等截面細(xì)直桿的縱向振動(dòng) 桿長(zhǎng)桿長(zhǎng) l假定振動(dòng)過(guò)程中各橫截面仍保持為平面假定振動(dòng)過(guò)程中各橫截面仍保持為平面截面積截面積 S材料密度材料密度彈性模量彈性模量 E忽略由縱向振動(dòng)引起的橫向變形忽略由縱向振動(dòng)引起的橫向變形),(txplx0),(txp：?jiǎn)挝婚L(zhǎng)度桿上分布的縱向作用力：?jiǎn)挝婚L(zhǎng)度桿上分布的縱向作用力 連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng) / 一維波動(dòng)方程一維波動(dòng)方程2022年6月2日振動(dòng)力學(xué)7),(txu：桿上距原點(diǎn)：桿上距原點(diǎn) x 處截面處截面 t 時(shí)刻的縱向位移時(shí)刻的縱向位移微段分析微段分析 ),(txplx0dxtxp),(dxudxxuu22

4、xuSdxdxxFFF微段應(yīng)變：微段應(yīng)變： dxudxxuu)(橫截面上內(nèi)力：橫截面上內(nèi)力：ESF 達(dá)朗貝爾原理：達(dá)朗貝爾原理： dxtxpFdxxFFtuSdx),()(22xdx達(dá)朗貝爾達(dá)朗貝爾慣性力慣性力 xuxuES連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng) / 一維波動(dòng)方程一維波動(dòng)方程2022年6月2日振動(dòng)力學(xué)8),(txu桿上距原點(diǎn)桿上距原點(diǎn) x 處截面處截面在時(shí)刻在時(shí)刻 t 的縱向位移的縱向位移橫截面上的內(nèi)力：橫截面上的內(nèi)力：xuESESF達(dá)朗貝爾原理：達(dá)朗貝爾原理： dxtxpFdxxFFtuSdx),()(22),()(22txpxuESxtuS桿的縱向強(qiáng)迫振動(dòng)方程桿的縱向強(qiáng)迫振動(dòng)方程 等

5、直桿等直桿ES 為常數(shù)為常數(shù) ),(1222022txpSxuatu/0Ea 彈性縱波沿桿的縱向傳播速度彈性縱波沿桿的縱向傳播速度 ),(txplx0 xdx連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng) / 一維波動(dòng)方程一維波動(dòng)方程2022年6月2日振動(dòng)力學(xué)9（2）弦的橫向振動(dòng)）弦的橫向振動(dòng)弦兩端固定，以張力弦兩端固定，以張力 F 拉緊拉緊在分布力作用下作橫向振動(dòng)在分布力作用下作橫向振動(dòng) 建立坐標(biāo)系建立坐標(biāo)系xoy),(txy：弦上：弦上 x 處橫截面處橫截面 t 時(shí)刻的橫向位移時(shí)刻的橫向位移 ),(txp：?jiǎn)挝婚L(zhǎng)度弦上分布的作用力：?jiǎn)挝婚L(zhǎng)度弦上分布的作用力 ：?jiǎn)挝婚L(zhǎng)度弦質(zhì)量：?jiǎn)挝婚L(zhǎng)度弦質(zhì)量 微段受力情況微段

6、受力情況 達(dá)朗貝爾原理：達(dá)朗貝爾原理： 22d(d )( , )dyA xFxFp x txtx弦的橫向強(qiáng)迫振動(dòng)方程弦的橫向強(qiáng)迫振動(dòng)方程0aF / A令：令：xy并考慮到：并考慮到：),(1222022txpxyaty彈性橫波的縱向傳播速度彈性橫波的縱向傳播速度0a),(txpdxx),(txypdx22dyA xtdxxdxFFsin微振微振達(dá)朗貝爾達(dá)朗貝爾慣性力慣性力 弦的定義弦的定義: 很細(xì)長(zhǎng)很細(xì)長(zhǎng)振動(dòng)中認(rèn)為張力不變振動(dòng)中認(rèn)為張力不變 FFyxo連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng) / 一維波動(dòng)方程一維波動(dòng)方程2022年6月2日振動(dòng)力學(xué)10（3）軸的扭轉(zhuǎn)振動(dòng)）軸的扭轉(zhuǎn)振動(dòng)細(xì)長(zhǎng)圓截面等直桿在分布細(xì)

7、長(zhǎng)圓截面等直桿在分布扭矩作用下作扭轉(zhuǎn)振動(dòng)扭矩作用下作扭轉(zhuǎn)振動(dòng) 假定振動(dòng)過(guò)程中各橫截面仍保持為平面假定振動(dòng)過(guò)程中各橫截面仍保持為平面截面的極慣性矩截面的極慣性矩 Ip材料密度材料密度切變模量切變模量 G),(txp：?jiǎn)挝婚L(zhǎng)度桿上分布的外力偶矩單位長(zhǎng)度桿上分布的外力偶矩 桿參數(shù)：桿參數(shù)：),(tx：桿上距離原點(diǎn)桿上距離原點(diǎn) x 處的截面在時(shí)處的截面在時(shí) 刻刻 t 的角位移的角位移截面處扭矩截面處扭矩 T微段微段 dx 受力受力),(txpx0 xdxpdxTdxxTT 22tdxIp dxIp：微段繞軸線的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量微段繞軸線的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量達(dá)朗貝爾達(dá)朗貝爾慣性力偶慣性力偶 連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)

8、/ 一維波動(dòng)方程一維波動(dòng)方程2022年6月2日振動(dòng)力學(xué)11微段微段 dx 受力受力),(txpx0 xdxpdxTdxxTT 22tdxIp 達(dá)朗貝爾原理：達(dá)朗貝爾原理：pdxTdxxTTtdxIp )(22材料力學(xué)：材料力學(xué)：xGITp ),(22txpxTtIp ),()(22txpxGIxtIpp 圓截面桿的扭轉(zhuǎn)振動(dòng)強(qiáng)迫振動(dòng)方程圓截面桿的扭轉(zhuǎn)振動(dòng)強(qiáng)迫振動(dòng)方程等直桿，抗扭轉(zhuǎn)剛度等直桿，抗扭轉(zhuǎn)剛度 GIp 為常數(shù)為常數(shù)),(1222022txpIxatp Ga 0剪切彈性波的剪切彈性波的縱向傳播速度縱向傳播速度連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng) / 一維波動(dòng)方程一維波動(dòng)方程2022年6月2日振動(dòng)力

9、學(xué)12小結(jié)：小結(jié)：（1）桿的縱向振動(dòng)）桿的縱向振動(dòng) ),(1222022txpSxuatu（2）弦的橫向振動(dòng)）弦的橫向振動(dòng)),(1222022txpxyaty雖然它們?cè)谶\(yùn)動(dòng)表現(xiàn)形式上并不相同，但它們的運(yùn)動(dòng)微雖然它們?cè)谶\(yùn)動(dòng)表現(xiàn)形式上并不相同，但它們的運(yùn)動(dòng)微分方程是類同的，都屬于分方程是類同的，都屬于一維波動(dòng)方程一維波動(dòng)方程（3）軸的扭轉(zhuǎn)振動(dòng)）軸的扭轉(zhuǎn)振動(dòng)2220221( , )pap x tItx連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng) / 一維波動(dòng)方程一維波動(dòng)方程2022年6月2日振動(dòng)力學(xué)13222022xuatu 固有頻率和模態(tài)函數(shù)固有頻率和模態(tài)函數(shù)以等直桿的縱向振動(dòng)為對(duì)象以等直桿的縱向振動(dòng)為對(duì)象 ),

10、(1222022txpSxuatu自由振動(dòng)自由振動(dòng)/0Ea 假設(shè)桿的各點(diǎn)作同步運(yùn)動(dòng)：假設(shè)桿的各點(diǎn)作同步運(yùn)動(dòng)：)()(),(tqxtxuq(t) ：運(yùn)動(dòng)規(guī)律的時(shí)間函數(shù)：運(yùn)動(dòng)規(guī)律的時(shí)間函數(shù) )(x：桿上距原點(diǎn)：桿上距原點(diǎn) x 處的截面的縱向振動(dòng)振幅處的截面的縱向振動(dòng)振幅 )()()()(20 xxatqtq ),(txplx0連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng) / 桿的縱向振動(dòng)桿的縱向振動(dòng)（常數(shù)）（常數(shù)）2022年6月2日振動(dòng)力學(xué)14)()()()( 20 xxatqtq 記：記：2 0)()()(0)()(202xaxtqtq )sin()(tatq0201cossin)(axcaxcx通解：通解：（

11、確定桿縱向振動(dòng)的形態(tài)，稱為（確定桿縱向振動(dòng)的形態(tài)，稱為模態(tài)模態(tài) ）,21cc由桿的邊界條件確定由桿的邊界條件確定 與有限自由度系統(tǒng)不同，連續(xù)系統(tǒng)的模態(tài)為坐標(biāo)的連續(xù)函與有限自由度系統(tǒng)不同，連續(xù)系統(tǒng)的模態(tài)為坐標(biāo)的連續(xù)函數(shù)數(shù) ，表示各坐標(biāo)振幅的相對(duì)比值表示各坐標(biāo)振幅的相對(duì)比值 由頻率方程確定的固有頻率由頻率方程確定的固有頻率 有無(wú)窮多個(gè)有無(wú)窮多個(gè) i（下面講述）（下面講述）（桿的邊界條件確定（桿的邊界條件確定固有頻率固有頻率）連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng) / 桿的縱向振動(dòng)桿的縱向振動(dòng)2022年6月2日振動(dòng)力學(xué)15第第 i 階主振動(dòng)：階主振動(dòng)：)sin()(tatq0201cossin)(axcaxc

12、x222022xuatu)()(),(tqxtxui)(xi一一對(duì)應(yīng)一一對(duì)應(yīng))2 , 1(),sin()(),()( itxatxuiiiii系統(tǒng)的自由振動(dòng)是無(wú)窮多個(gè)主振動(dòng)的疊加：系統(tǒng)的自由振動(dòng)是無(wú)窮多個(gè)主振動(dòng)的疊加： 1)sin(),(iiiiitatxu連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng) / 桿的縱向振動(dòng)桿的縱向振動(dòng)2022年6月2日振動(dòng)力學(xué)16幾種常見(jiàn)邊界條件下的固有頻率和模態(tài)函數(shù)幾種常見(jiàn)邊界條件下的固有頻率和模態(tài)函數(shù) （1）兩端固定）兩端固定邊界條件：邊界條件： 0)()0(), 0(tqtu0)()(),(tqltlu不能恒為零不能恒為零 )(tq0)0(0)(l0201cossin)(a

13、xcaxcx02c0sin0al頻率方程頻率方程固有頻率：固有頻率：), 2 , 1 , 0(0ilaii由于零固有頻率對(duì)應(yīng)的模態(tài)函數(shù)為零，因此零固有頻率除去由于零固有頻率對(duì)應(yīng)的模態(tài)函數(shù)為零，因此零固有頻率除去 特征：兩端位移為零特征：兩端位移為零模態(tài)函數(shù)：模態(tài)函數(shù)：lxicxiisin)(), 2 , 1 , 0(ilx0無(wú)窮多個(gè)無(wú)窮多個(gè)連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng) / 桿的縱向振動(dòng)桿的縱向振動(dòng)2022年6月2日振動(dòng)力學(xué)17（2）兩端自由）兩端自由特征：自由端的軸向力為零特征：自由端的軸向力為零 邊界條件邊界條件 ：0), 0(xtuES0),(xtluES)()(),(tqxtxu 0)0

14、(0)( llxicxiicos)(零固有頻率對(duì)應(yīng)的常值模態(tài)為桿的縱向剛性位移零固有頻率對(duì)應(yīng)的常值模態(tài)為桿的縱向剛性位移0201cossin)(axcaxcx頻率方程和固有頻率兩端固定桿的情況相同頻率方程和固有頻率兩端固定桿的情況相同), 2 , 1 , 0(i固有頻率：固有頻率：), 2 , 1 , 0(0ilaii模態(tài)函數(shù)：模態(tài)函數(shù)：lx0頻率方程頻率方程01c0cos0al連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng) / 桿的縱向振動(dòng)桿的縱向振動(dòng)2022年6月2日振動(dòng)力學(xué)18（3）一端固定，一端自由）一端固定，一端自由特征：固定端位移為零特征：固定端位移為零 自由端軸向力為零自由端軸向力為零 邊界條件邊

15、界條件 ：0),(xtluES)()(),(tqxtxu 0)0(0)( l0cos0al02c0201cossin)(axcaxcx固有頻率：固有頻率：0), 0(tu模態(tài)函數(shù)：模態(tài)函數(shù)：,.2 , 1,)212(ilaii,.2 , 1),212sin()(ixlicxiilx0或：或：,.5 , 3 , 1,2ilaii,.5 , 3 , 1),2sin()(ixlicxii頻率方程頻率方程連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng) / 桿的縱向振動(dòng)桿的縱向振動(dòng)2022年6月2日振動(dòng)力學(xué)19左端自由，右端固定左端自由，右端固定特征：固定端位移為零特征：固定端位移為零 自由端軸向力為零自由端軸向力為零

16、邊界條件邊界條件 ：0), 0(xtuES)()(),(tqxtxu 0)(l0)0(0cos0al01c0201cossin)(axcaxcx固有頻率：固有頻率：0),(tlu模態(tài)函數(shù)：模態(tài)函數(shù)：lx0,.5 , 3 , 1,2ilaii,.5 , 3 , 1),2sin()(ixlicxii頻率方程頻率方程連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng) / 桿的縱向振動(dòng)桿的縱向振動(dòng)2022年6月2日振動(dòng)力學(xué)20邊界條件邊界條件0)(l0)0(0cos0al模態(tài)函數(shù)模態(tài)函數(shù)lx0,.5 , 3 , 1,2ilaii,.5 , 3 , 1),2sin()(ixlicxiilx00)0(0)( l0cos0al頻

17、率方程頻率方程固有頻率固有頻率,.5 , 3 , 1,2ilaii,.5 , 3 , 1),2sin()(ixlicxii連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng) / 桿的縱向振動(dòng)桿的縱向振動(dòng)2022年6月2日振動(dòng)力學(xué)21例：例：一均質(zhì)桿，左端固一均質(zhì)桿，左端固定，右端與一彈簧定，右端與一彈簧連接連接推導(dǎo)系統(tǒng)的頻率方程推導(dǎo)系統(tǒng)的頻率方程lx0k連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng) / 桿的縱向振動(dòng)桿的縱向振動(dòng)2022年6月2日振動(dòng)力學(xué)22解：解：邊界條件：邊界條件：lx0k0), 0(tu),(),(tlxuEStlku)()(),(tqxtxu 0201cossin)(axcaxcx0)0(),()(tlxES

18、lk02c000cossinalaESalk常數(shù)klESalaltg00/)/(頻率方程頻率方程振型函數(shù)：振型函數(shù)：xacxii0sin)(連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng) / 桿的縱向振動(dòng)桿的縱向振動(dòng)2022年6月2日振動(dòng)力學(xué)23例：例：一均質(zhì)桿，左端固一均質(zhì)桿，左端固定，右端與一集中定，右端與一集中質(zhì)量質(zhì)量M固結(jié)固結(jié)推導(dǎo)系統(tǒng)的頻率方程推導(dǎo)系統(tǒng)的頻率方程Mlx0邊界條件：邊界條件：0), 0(tu),(),(22tlxuEStltuM自己推導(dǎo)！自己推導(dǎo)！連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng) / 桿的縱向振動(dòng)桿的縱向振動(dòng)2022年6月2日振動(dòng)力學(xué)24主振型的正交性主振型的正交性只對(duì)具有簡(jiǎn)單邊界條件的桿討論

19、主振型的正交性只對(duì)具有簡(jiǎn)單邊界條件的桿討論主振型的正交性 桿可以是變截面或等截面桿可以是變截面或等截面 質(zhì)量密度及截面積質(zhì)量密度及截面積 S 等都可以是等都可以是 x 的函數(shù)的函數(shù) 動(dòng)力方程動(dòng)力方程 ：),()(22txpxuESxtuS 自由振動(dòng)：自由振動(dòng)：)(22xuESxtuS 主振動(dòng)主振動(dòng) ：)sin()(),( taxtxuSES2)(連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng) / 桿的縱向振動(dòng)桿的縱向振動(dòng)2022年6月2日振動(dòng)力學(xué)25SES2)(桿的簡(jiǎn)單邊界桿的簡(jiǎn)單邊界 ：固定端固定端0)( xx = 0 或或 l 0)( xES自由端自由端x = 0 或或 l )(xii)(xjjiiiSES

20、2)( jjjSES2)( )(xj乘乘 并沿桿長(zhǎng)積分：并沿桿長(zhǎng)積分： lljiiijdxSdxES002)(分部積分：分部積分： dxESESdxESjllilijij 000)()(00任一端上總有任一端上總有或或成立成立 ljiiljidxSdxES020連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng) / 桿的縱向振動(dòng)桿的縱向振動(dòng)2022年6月2日振動(dòng)力學(xué)26)(xi乘乘 并沿桿長(zhǎng)積分：并沿桿長(zhǎng)積分： iiiSES2)( jjjSES2)( 同理同理)(xj乘乘 并沿桿長(zhǎng)：并沿桿長(zhǎng)： lljiiijdxSdxES002)( lljijjidxSdxES002)( ljijljidxSdxES020相減相減

21、 ljiiljidxSdxES0200)(022ljijidxSjiji 時(shí)時(shí)桿的主振型關(guān)于質(zhì)量的正交性桿的主振型關(guān)于質(zhì)量的正交性 00ljidxS lijljidxESdxES000)()(ji 桿的主振型關(guān)于剛度的正交性桿的主振型關(guān)于剛度的正交性 連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng) / 桿的縱向振動(dòng)桿的縱向振動(dòng)2022年6月2日振動(dòng)力學(xué)270)(022ljijidxS關(guān)于質(zhì)量的正交性關(guān)于質(zhì)量的正交性 00ljidxS)(ji )(ji 關(guān)于剛度的正交性關(guān)于剛度的正交性 當(dāng)當(dāng)ji 時(shí)時(shí) 恒成立恒成立令：令：pilimdxS 02第第 i 階模態(tài)主質(zhì)量階模態(tài)主質(zhì)量 piliilikdxESdxES

22、020)()(第第 i 階模態(tài)主剛度階模態(tài)主剛度 pipiimk/2 lijljidxESdxES000)(第第 i 階固有頻率：階固有頻率：主振型歸一化：主振型歸一化： 102 pilimdxS正則振型正則振型 2ipik 則第則第 i 階主剛度：階主剛度：ijljidxS0ijijlidxES20 ijiljidxES20)( 合寫(xiě)為：合寫(xiě)為： jijiij01連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng) / 桿的縱向振動(dòng)桿的縱向振動(dòng)2022年6月2日振動(dòng)力學(xué)28桿的縱向強(qiáng)迫振動(dòng)桿的縱向強(qiáng)迫振動(dòng) 采用振型疊加法進(jìn)行求解采用振型疊加法進(jìn)行求解 ),()(22txpxuESxtuS 強(qiáng)迫振動(dòng)方程：強(qiáng)迫振動(dòng)方程

23、：初始條件：初始條件： )()0 ,(1xfxu)(|20 xftut假定假定 ，i)2 , 1 i（i已經(jīng)得出已經(jīng)得出令：令：)()(),(1tqxtxuiii正則坐標(biāo)正則坐標(biāo) ),()(11txpqESqSiiiii 兩邊乘兩邊乘j并沿桿長(zhǎng)對(duì)并沿桿長(zhǎng)對(duì) x 積分積分 ljilijiljiiidxtxpdxESqdxSq01001),()( 利用正交性條件利用正交性條件)(2tQqqjjjj 第第 j 個(gè)正則坐標(biāo)的廣義力個(gè)正則坐標(biāo)的廣義力 jq jjq2)(tQj連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng) / 桿的縱向振動(dòng)桿的縱向振動(dòng)2022年6月2日振動(dòng)力學(xué)29),()(22txpxuESxtuS )(

24、)0 ,(1xfxu)(|20 xftut)()(),(1tqxtxuiii)(2tQqqjjjj ljjdxtxptQ0),()(模態(tài)初始條件的求解模態(tài)初始條件的求解 12011)0()()()0()()()0 ,(iiitiiiqxxftuqxxfxu乘乘)(xSj并沿桿長(zhǎng)對(duì)并沿桿長(zhǎng)對(duì) x 積分，由正交性條件：積分，由正交性條件： ljjljjdxxxSfqdxxxSfq0201)()()0()()()0( ljjjjjjjjjdttQtqtqtq0)(sin)(1sin)0(cos)0()()(tqj求得求得 后后可得可得),(txu連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng) / 桿的縱向振動(dòng)桿的縱向

25、振動(dòng)2022年6月2日振動(dòng)力學(xué)30),()(22txpxuESxtuS )()0 ,(1xfxu)(|20 xftut)()(),(1tqxtxuiii)(2tQqqjjjj dxtxptQjlj),()(0集中力集中力 可表達(dá)成分布力形式：可表達(dá)成分布力形式：)()(),( xtPtxp正則坐標(biāo)廣義力：正則坐標(biāo)廣義力： ljjdxxxtPtQ0)()()()(分布力分布力lx0)(tP)()(jtP連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng) / 桿的縱向振動(dòng)桿的縱向振動(dòng)2022年6月2日振動(dòng)力學(xué)31例：等直桿例：等直桿自由端作用有：自由端作用有： tPtPsin)(0 為常數(shù)為常數(shù)0P求：桿的縱向穩(wěn)態(tài)響應(yīng)

26、求：桿的縱向穩(wěn)態(tài)響應(yīng) lx0)(tP連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng) / 桿的縱向振動(dòng)桿的縱向振動(dòng)2022年6月2日振動(dòng)力學(xué)32解：解：一端固定，一端自由一端固定，一端自由 邊界條件：邊界條件：固有頻率：固有頻率：), 5 , 3 , 1(20 ilaii), 5 , 3 , 1(2sin)( ilxicxii模態(tài)函數(shù)：模態(tài)函數(shù)：歸一化條件：歸一化條件： 102 dxSli12)2sin(220 ilicSldxlxicSSlci2 ), 5 , 3 , 1(sin2sin)(0 itiPctQii)()()(iitPtQ 模態(tài)廣義力：模態(tài)廣義力：正則方程正則方程 ：tiPctqtqiiiisin

27、2sin)()(02 tiPctqiiisin2sin1)(022 穩(wěn)態(tài)振動(dòng)穩(wěn)態(tài)振動(dòng) ：)()(),(5 , 3 , 1tqxtxuiii 當(dāng)外部力頻率等于桿的任一階固有頻率時(shí)都會(huì)發(fā)生共振現(xiàn)象當(dāng)外部力頻率等于桿的任一階固有頻率時(shí)都會(huì)發(fā)生共振現(xiàn)象 lx0)(tPlxiisltPii2sin2sin1sin23 , 1220 連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng) / 桿的縱向振動(dòng)桿的縱向振動(dòng)2022年6月2日振動(dòng)力學(xué)334/ lx04/ l2/ l0P0P例：例：一均質(zhì)桿兩端固定。假一均質(zhì)桿兩端固定。假定在桿上作用有兩個(gè)集定在桿上作用有兩個(gè)集中力，如圖所示中力，如圖所示試問(wèn)：當(dāng)這些力突然移去時(shí)，桿將產(chǎn)生甚

28、么樣的試問(wèn)：當(dāng)這些力突然移去時(shí)，桿將產(chǎn)生甚么樣的振動(dòng)？振動(dòng)？連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng) / 桿的縱向振動(dòng)桿的縱向振動(dòng)2022年6月2日振動(dòng)力學(xué)34邊界條件：兩端固定邊界條件：兩端固定0)()0(), 0(tqtu0)()(),(tqltlu初始條件：初始條件：), 2 , 1(,0ilaii模態(tài)函數(shù)模態(tài)函數(shù) ：,.)2 , 1(,sin)(ilxicxii4/ lx04/ l2/ l0P0P解：解：自由振動(dòng)方程：自由振動(dòng)方程：222022xuatuEa 0固有頻率：固有頻率：0)()()0 ,(0ttuxfxulxlxllxlxllxxxf43 )(434 )2(40 )(000ESP400

29、連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng) / 桿的縱向振動(dòng)桿的縱向振動(dòng)2022年6月2日振動(dòng)力學(xué)354/ lx04/ l2/ l0P0P系統(tǒng)的自由振動(dòng)是無(wú)窮多個(gè)主振動(dòng)的疊加：系統(tǒng)的自由振動(dòng)是無(wú)窮多個(gè)主振動(dòng)的疊加： 1)sin(),(iiiiitatxu10201sincossiniiitlaiBtlaiBlxi), 2 , 1(,0ilaii,.)2 , 1(,sin)(ilxicxii連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng) / 桿的縱向振動(dòng)桿的縱向振動(dòng)2022年6月2日振動(dòng)力學(xué)364/ lx04/ l2/ l0P0P10201sincossin),(iiitlaiBtlaiBlxitxu初始條件：初始條件：0)(

30、)()0 ,(0ttuxfxu應(yīng)用位移初始條件：應(yīng)用位移初始條件：11sin)(iilxiBxf兩邊乘兩邊乘)(xSj并沿桿長(zhǎng)積分，然后利用正交性條件：并沿桿長(zhǎng)積分，然后利用正交性條件：lidxlxixflB01sin)(2應(yīng)用速度初始條件：應(yīng)用速度初始條件：02iB連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng) / 桿的縱向振動(dòng)桿的縱向振動(dòng)2022年6月2日振動(dòng)力學(xué)374/ lx04/ l2/ l0P0PlidxlxixflB01sin)(2lxlxllxlxllxxxf43 )(434 )2(40 )(000ESP40002iBllllldxlxixldxlxixldxlxixl4/34/04/34/0si

31、n)( sin)2(sin24/ )2(220) 1(iESilP,.)10, 6 , 2( i連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng) / 桿的縱向振動(dòng)桿的縱向振動(dòng)2022年6月2日振動(dòng)力學(xué)384/ lx04/ l2/ l0P0P10201sincossin),(iiitlaiBtlaiBlxitxu02iB,.)10, 6 , 2() 1(4/ )2(2201iESilPBii系統(tǒng)響應(yīng)：系統(tǒng)響應(yīng)：,.10, 6, 2024/ )2(20cossin) 1(iitlailxiiESlP連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng) / 桿的縱向振動(dòng)桿的縱向振動(dòng)2022年6月2日振動(dòng)力學(xué)39例：例：有一根有一根 x=0 端

32、為自由端為自由, x=l 端處為固定的直桿，固定端處為固定的直桿，固定端承受支撐運(yùn)動(dòng)端承受支撐運(yùn)動(dòng)tdtugsin)(d為振動(dòng)的幅值為振動(dòng)的幅值試求桿的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)試求桿的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)lx0)(tug連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng) / 桿的縱向振動(dòng)桿的縱向振動(dòng)2022年6月2日振動(dòng)力學(xué)40解：解：lx0tdtugsin)(建立方程建立方程dxudxxuuug)(22xuSdxdxxFFF微段分析微段分析應(yīng)變：應(yīng)變： xuudxudxxuuugg)()(內(nèi)力：內(nèi)力：xuuESESFg)(達(dá)朗貝爾原理：達(dá)朗貝爾原理： FdxxFFtuSdx)(22),(txu桿上距原點(diǎn)桿上距原點(diǎn) x 處截面處截面在時(shí)刻在時(shí)刻 t 的縱向位移的縱向位移2222)(xuuEStuSg連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng) / 桿的縱向振動(dòng)桿的縱向振動(dòng)2022年6月2日振動(dòng)力學(xué)41lx0tdtugsin)(令：令：代入方程：代入方程： 2222)(xuuEStuSgguuu*guuu*即：即：guSESuuS *tSdsin2設(shè)解為：設(shè)解為： 1*)()(iiitqxu)(xi為歸一化的正則模態(tài)為歸一化的正則模態(tài),.5 , 3 , 1,2cos2)(ixlilxi代入方程，得：代入方程，