1、第一講：中值定理和有關方程根的問題中值定理在競賽中具有特殊的地位，它是高數(shù)中不多的一種邏輯證明類的問題，分析味道足，綜合性強，對數(shù)學邏輯推理能力要求較高，很多同學對此比較畏懼，主要是因為我們平時學習中沒有引起足夠重視，訓練不夠。主要內(nèi)容：1、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質（有界性，最值性、零點定理、介值定理）2、微分中值定理（羅爾定理，拉格朗日，柯西中值定理，泰勒中值定理（公式）方程根的問題，屬于微積分應用的范疇。1.1基本理論綜述一、涉及函數(shù)( )f x的中值定理設( )f x 在a,b上連續(xù)，則定理1、有界性( ),(0)f xkk定理2、最值性( )mf xM定理3、介值定理：當 , ,( )m

2、uMa bfu 時，使得定理4、零點定理：當( ). ( )0( , ),( )0f a f ba bf 時，使得二、涉及導數(shù)（微分）( )fx的中值定理定理5、費馬定理( )f x設滿足在0 x處(1)可導，（2）取極值，則0()0fx可導點為極值點的必要條件 拉格朗日中值定理 )()(bfaf 羅爾定理 0)(fxyoab)(xfy )()()()()()(FfaFbFafbfabafbff)()()()()()(bfafxxF10) 1(! ) 1(1)(nnnxxf 柯西中值定理 xxF)(xyoab)(xfy 泰勒中值定理 )()()(000 xxxfxfxfnnnxxxf)(00)

3、(!10n定理6-9羅爾，拉氏，柯西，泰勒共有條件：閉區(qū)間連續(xù)，開區(qū)間可導補充：導數(shù)零點定理，導數(shù)介值定理定理10、設( ) , f xa b在上可導，當( ).( )0( , ),( )0fa fba bf 時，使定理11、設( ) , f xa b在上可導，當( )( )( )( )( , ),( )fafbfafba bf ，介于與之間，則使三、涉及積分( )baf x dx的中值定理定理12則至少存在一點, ,ba)(d)(abfxxfba( ) , f xa b在上連續(xù)1.2思路與例題解析一、有關思路總結1、根據(jù)欲證結論的形式大致確定需要用哪一個或哪幾個定理，一般來說（1）如果結論中

4、的中值屬于閉區(qū)間，則優(yōu)先考慮介值定理（2）若結論中的中值屬于開區(qū)間，則優(yōu)先考慮微分中值定理（比如拉氏定理）等（3）若結論比較簡單，如( )( )0nF，則優(yōu)先考慮羅爾定理,或利用費爾馬定理（都是對n-1階導數(shù)用）（4）若結論中有兩個中值，則優(yōu)先考慮應該大區(qū)間分為若干小區(qū)間，在各個小區(qū)間多次使用拉氏定理，或者直接考慮柯西中值定理（5）若結論中含有高階導數(shù)，則優(yōu)先考慮泰勒公式（6）若結論中含有函數(shù)及其各階導數(shù)，則優(yōu)先考慮拉格中值定理或者泰勒公式將其聯(lián)系起來若不滿足，則（2）改令*( )( )F xFx一次積分0c 令( )F x，驗證( )F x是否滿足羅爾定理，若不滿足，則（3）改令*( )(

5、)FxFx兩次積分0,0cd令( )F x，將大區(qū)間分為小區(qū)間各個小區(qū)間多次使用中值定理，二、例題解析2、若結論中的中值屬于開區(qū)間，且需要做輔助函數(shù)，（1）將結論中的中值改寫為x，通過整理使等式一端為0，另一端記為*( )Fx，令*( )( )F xFx驗證( )F x是否滿足零點定理，滿足則命題成立，分析: 所給條件可寫為1)3(, 13)2() 1 ()0(ffff想到找一點 c , 使3)2() 1 ()0()(fffcf證證: 因 f (x) 在0, 3上連續(xù), 所以在0, 2上連續(xù), 且在0, 2上有最大值 M 與最小值 m, 故Mfffm)2(),1 (),0(Mmfff3)2()

6、 1 ()0(由介值定理, 至少存在一點 使, 2, 0c3)2() 1 ()0()(fffcf1, 1)3()( fcf,)3,(,3,)(內(nèi)可導在上連續(xù)在且ccxf由羅爾定理知, 必存在 . 0)(, )3, 0()3,(fc使設函數(shù) f (x) 在0, 3 上連續(xù), 在(0, 3) 內(nèi)可導, 且 , 1)3(, 3)2() 1 ()0(ffff使, )3, 0(. 0)(f例8、證明存在例9、設( )f x 在0,1上具有一階連續(xù)導數(shù)，且(0)0f證明，至少存在一點0,1，使得10( )2( )ff x dx分析，本題結論中的中值屬于閉區(qū)間，優(yōu)先考慮介值th(1)由于( )fx在0,1上

7、連續(xù)，故( )fx在0,1上必取最大值M,和最小值m，則對0,1,( )xmfxM （2）建立( )( )fxf x與的關系，用拉氏定理( )(0)( )(0)(0)( )( )f xffxxf xxf于是，111111000000( )( )( )22( )2mfMmxxfMxmxdxf x dxMxdxmxdxf x dxMxdx即，10112 .2( )2.22mmf x dxMM由介值定理，至少存在一點0,1，使得10( )2( )ff x dx例10、 設上有連續(xù)的二階導函數(shù)，(0)0f，證存在一點分析（1）閉區(qū)間，優(yōu)先用介值定理（2）, f f 可考慮用泰勒公式2( )( )(0)

8、(0).2!ff xffxx對展開式兩端積分得22( )( )(0)(0)2!( )2!aaaaaaaaaaff x dxfdxfxdxx dxfx dx,)(aaxf在 aadxxfafaa)(3)(,3有由于( ), fxa a在上連續(xù)，故( ),mfxM則mf ( )M2223( )3( )2!2!2!aaaaaaaamfMx dxx dxx dxmf x dxMa由介值定理，存在33 ,( )( )aaaaff x dxa有例11、已知( )0,1f x 在上連續(xù)，(0,1)內(nèi)可導，且(0)0,(1)1ff證明：（1）(0,1),( )1f 使（2）兩個不同的, ,( )( )1ff

9、使證明(1)( )( ) 1,F xf xx (0)(0) 1 010(1)(1) 1 110FfFf 所以有(0). (1)0FF，由零點定理即證（2）用把0,1分成兩個小區(qū)間，0, , ,1并分別用拉氏定理有，( )(0)( )(0),(0, )(1)( )( )(1),( ,1)ffffff ( )(0)1(1)( )( ),( )11ffffff所以，( )( )1ff例12，設函數(shù))(xf 1 , 0) 1 , 0 (在上連續(xù)，在內(nèi)可導，且1) 1 (, 0)0(ff證明：存在2)(1)(1),1 , 0(,2121ff使得證明：用將 1 , 0劃分為 1 , 0，在這兩個區(qū)間上分別

10、對)(xf使用拉格朗日中值定理，得)()(1)0)()0()(11fffff)(11)(1)1)()() 1 (22fffff和要證的等式比較，得2)(11)(ff即可于是取21)(f，命題得證注意：本題采用了反推思想，1.3泰勒中值定理（公式） 應用用多項式近似表示函數(shù)理論分析近似計算泰勒中值定理泰勒中值定理 :內(nèi)具有的某開區(qū)間在包含若),()(0baxxf1n直到階的導數(shù) ,),(bax時, 有)(xf)(0 xf)(00 xxxf200)(!2)(xxxf nnxxnxf)(!)(00)()(xRn其中10)1()(! ) 1()()(nnnxxnfxR則當)0(之間與在xx公式 稱為

11、的 n 階泰勒公式階泰勒公式 .)(xf公式 稱為n 階泰勒公式的拉格朗日余項拉格朗日余項 .公式 稱為n 階泰勒公式的佩亞諾佩亞諾(Peano) 余項余項 .在不需要余項的精確表達式時 , 泰勒公式可寫為)(xf)(0 xf)(00 xxxf200)(!2)(xxxf nnxxnxf)(!)(00)()(0nxxo)()(0nnxxoxR注意到稱為麥克勞林（麥克勞林（ Maclaurin ）公式）公式 ., ) 10(,00 xx則有)(xf)0(fxf)0( 1) 1(! ) 1()(nnxnxf2!2)0(xf nnxnf!)0()(在泰勒公式中若取)(xf)(0 xf)(00 xxxf

12、10)1()(! ) 1()(nnxxnf200)(!2)(xxxf nnxxnxf)(!)(00)()0(之間與在xx)(xf)0(fxf)0( ,)()1(Mxfn則有誤差估計式1! ) 1()(nnxnMxR2!2)0(xf nnxnf!)0()(若在公式成立的區(qū)間上由此得近似公式二、幾個初等函數(shù)的麥克勞林公式二、幾個初等函數(shù)的麥克勞林公式xexf)() 1 (,)()(xkexf),2, 1(1)0()(kfkxe1x!33x!nxn)(xRn!22x其中)(xRn! ) 1( n) 10(1nxxe)sin( xxxfsin)()2()()(xfkxsinx!33x!55x! ) 1

13、2(12mxm)(2xRm其中)(2xRm)sin(212mx2k2sin)0()(kfkmk2,012 mk,) 1(1m),2, 1(m1) 1(m) 10(12mx! ) 12(m)cos() 1(xm! )2(2mxmxxfcos)()3(類似可得xcos1!22x!44x)(12xRm其中)(12xRm! )22(m)cos() 1(1xm) 10(m) 1(22mx) 1()1 ()()4(xxxf)()(xfk)1 (x1x2xnx)(xRnkxk)1)(1() 1() 1() 1()0()(kfk),2, 1(k!2 ) 1(! n) 1() 1(n特別地（5）211()1nn

14、xxxo xx 佩亞諾余項（6）211( 1)()1nnnxxxo xx ) 1()1ln()()5(xxxf已知)1ln(xx22x33xnxn)(xRn其中)(xRn11)1 (1) 1(nnnxxn) 10(1) 1(n類似可得)()(xfkkkxk)1 (! ) 1() 1(1),2, 1(k三、泰勒公式的應用三、泰勒公式的應用1. 在近似計算中的應用在近似計算中的應用 誤差1! ) 1()(nnxnMxRM 為)() 1(xfn在包含 0 , x 的某區(qū)間上的上界.)(xf)0(fxf)0( 2!2)0(xf nnxnf!)0()(常用的泰勒展開式33sin()3!xxxo x33t

15、an()3xxxo x33arcsin()3!xxxo x33arctan()3xxxo x22ln(1)()2xxxo x2331()2!3!xxxexo x 22(1)(1)1()2!aa axaxxo x 由此，可得333tansin(tansin()22xxxxxxo x333sin,tan,arcsin636xxxxxxxxx)(! 4! 21cos442xoxxx2. 利用泰勒公式求極限利用泰勒公式求極限解解:由于x431243 x21)1 (243x 2)(14321x!21) 1(2121243)( x)(2xo2x用泰勒公式將分子展到項,x3421)1 (243x220 li

16、mxx 原式)(2216921xox 329x43)(2216941xox 2x43)(2216941xox 例例1. 求.43443lim20 xxxx用洛必塔法則不方便 !32arctan,ln(1)32xxxxxx例2、求0arcsinarctanlimsintanxxxxx分析，0 x 時，3333111arcsinarctan()()()632xxxo xxo x故31arcsinarctan2xxx同理31sintan2xxx所以原極限=30312lim112xxx 例30,( )(sin )cosxf xxaxbxx當與3x是等價無窮小，求常數(shù)a,b分析，33sin()3!xxx

17、o x22cos1()2xxo x 33223311( )()(1()3!22(1 ()()()32f xxaxb xxo xxo xbaab xxo x由題設，21 ()0,1,32baab于是2,3ab 問題：用泰勒公式究竟要展開到幾階？注意一個要點就可以，叫做上下同階例4、求2240coslimxxxex分析：分母是4次的，所以用泰勒公式時分子只需要展開到4階就可以了22424442cos(1()(1()2!4!22!4xxxxxxeo xo x所以24244001cos112limlim12xxxxxexx 例1、設3sinyxx，求(6)(0)y分析：所求階數(shù)不高，可以直接求，但是如

18、果將sin x展開至3階，設( )3334660(0)11,()()!66nnnyyxyxxxo xxxo xn故(6)(6)(0)16!,(0)1206!66yy 例2、設2(2012)cos2 ,(0)yxxy求析：20cos( 1)()(2 )!nnnxxxn 3、利用泰勒公式計算函數(shù)的高階導數(shù)2222200(2 )2( 1)( 1)(2 )!(2 )!nnnnnnnxyxxnn又由麥克勞林公式( )0(0)!nnnyyxn令2220121005nn(2012)20101005(2012)20102010(0)22012!( 1)(0)( 1).2.2012!2010!2010!2.20

19、12.2011yy 4、用于邏輯推理證明問題例1、設( )f x 在0,1上具有二階導數(shù)，且滿足條件( ),( ), ,f xa fxb a b為非負常數(shù)，證明，對任意的(0,1),( )22bxfxa有證明：( )f x 在0,1上有二階導數(shù)，展開為泰勒公式為2( )( )( )( )()() ,2!ff uf xfx uxuxxu在 與 之間分別令0,1uu得211222( )(0)( )( )()() ,012!()(1)( )( )(1)(1) ,012!fff xfxxxxfff xfxxxx兩式相減得，22211( ) (1)(0)()(1)()2fxfffxfx上式兩端取絕對值，并放大22212211( )(1)(0)() (1)( )221(1)2fxfffxfxaabxx在01x 時，有22(1)1,( )22bxxfxa故例2，若,)(limAxfx)(lim, 0)(limxfxfxx 求0 x其中A為非零任意常數(shù)，且解：由題設知，存在足夠大,使得) (xf在),(0 x內(nèi)存在二階導數(shù)，由于結論要求是帶自變量x的)