1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上山東專升本高等數(shù)學(xué)習(xí)題解析朱老師：Email： Tel:一、函數(shù)、極限與連續(xù)1.求下列函數(shù)的定義域: (1) =+ ，(2) =.解 (1) 由所給函數(shù)知,要使函數(shù)有定義，必須滿足兩種情況，偶次根式的被開方式大于等于零或?qū)?shù)函數(shù)符號內(nèi)的式子為正，可建立不等式組，并求出聯(lián)立不等式組的解.即 推得這兩個不等式的公共解為 與所以函數(shù)的定義域為.(2) 由所給函數(shù)知，要使函數(shù)有定義，必須分母不為零且偶次根式的被開方式非負；反正弦函數(shù)符號內(nèi)的式子絕對值小于等于1.可建立不等式組，并求出聯(lián)立不等式組的解.即 推得即 , 因此，所給函數(shù)的定義域為 .2.設(shè)的定義域為，求的定義域.解

2、：令, 則的定義域為, （k, k+）, k , 的定義域為 （k, k+）, k .3.設(shè)=，求，.解： = = (1,0),= (0,1).4.求下列極限：（1）, （2）,解：原式= 解: 原式= = =2.（抓大頭） = .（恒等變換之后“能代就代”）（3）, （4）,解：原式= 解：時, = ,=. （恒等變換之后“能代就代”） 原式=.（等價） （5）, （6） ， 解：原式= 解： 原式= =0 + 100 = 100 （無窮小的性質(zhì)） (7) 解 : 原式=（抓大頭）（8） . 解：因為 而，求該式的極限需用無窮小與無窮大關(guān)系定理解決因為，所以當時，是無窮小量，因而它的倒數(shù)是無

3、窮大量，即 （9）解：不能直接運用極限運算法則，因為當時分子，極限不存在，但是有界函數(shù)，即而 ，因此當時，為無窮小量.根據(jù)有界函數(shù)與無窮小乘積仍為無窮小定理，即得 .（10） 解：分子先用和差化積公式變形，然后再用重要極限公式求極限原式=（也可用洛必達法則） （11）.解一 原式=，解二 原式=（12）解 ：= （） （等價替換）5.求下列極限（1） （2） （3）（4） （5） 解 ：（1）由于時，故原極限為型，用洛必達法則 所以 （分母等價無窮小代換）.（2） 此極限為，可直接應(yīng)用洛必達法則 所以 = .（3） 所求極限為型 ，不能直接用洛必達法則，通分后可變成或型. .（4）所求極限為型

4、，得 （型） =（5）此極限為 型，用洛必達法則，得不存在，因此洛必達法則失效！但 .6.求下列函數(shù)的極限：（1）， （2） 當為何值時，在的極限存在.解： (1),因為左極限不等于右極限，所以極限不存在（2）由于函數(shù)在分段點處，兩邊的表達式不同，因此一般要考慮在分段點處的左極限與右極限于是，有， ，為使存在，必須有=，因此 ，當=1 時， 存在且 =17.討論函數(shù) ， 在點處的連續(xù)性解：由于函數(shù)在分段點處兩邊的表達式不同，因此，一般要考慮在分段點處的左極限與右極限因而有，而即，由函數(shù)在一點連續(xù)的充要條件知在處連續(xù)8. 求函數(shù)的間斷點，并判斷其類型：解：由初等函數(shù)在其定義區(qū)間上連續(xù)知的間斷點為

5、.而在處無定義，故為其可去間斷點.又 為的無窮間斷點.綜上得為的可去間斷點, 為的無窮間斷點.二、一元函數(shù)微分學(xué)1.判斷：（1）若曲線=處處有切線，則=必處處可導(dǎo).答：命題錯誤. 如：處處有切線，但在處不可導(dǎo).（2）若（為常數(shù)），試判斷下列命題是否正確.在點 處可導(dǎo), 在點 處連續(xù), = .答：命題、全正確.(3)若，在點處都不可導(dǎo)，則點處也一定不可導(dǎo).答：命題不成立.如：= =，在 = 0 處均不可導(dǎo)，但其和函數(shù)+= 在= 0 處可導(dǎo).（4）若在點處可導(dǎo)，在點處不可導(dǎo)，則+在點處一定不可導(dǎo).答：命題成立.原因：若+在處可導(dǎo)，由在處點可導(dǎo)知=+在點處也可導(dǎo)，矛盾.（5）與有區(qū)別.答：命題成立.

6、因為表示處的導(dǎo)數(shù); 表示對處的函數(shù)值求導(dǎo)，且結(jié)果為.（6）設(shè)在點的某鄰域有定義，且=，其中為常數(shù)，下列命題哪個正確？在點處可導(dǎo)，且,在點處可微，且, （ 很小時）.答：、三個命題全正確.2.已知，利用導(dǎo)數(shù)定義求極限.解：= =0.3.求 ，的導(dǎo)數(shù).解： 當時， ， 當時，當時，所以 ，因此 ，于是 4.設(shè)，求解：,.5.已知 求.解：兩端對求導(dǎo)，得 ，整理得 ，故 ，上式兩端再對求導(dǎo)，得=，將 代入上式，得.6.求= 的導(dǎo)數(shù)解：兩邊取對數(shù)：= ,兩邊關(guān)于求導(dǎo)：,.7.設(shè)，求.解：令, 兩邊取對數(shù)得：,兩邊關(guān)于求導(dǎo)數(shù)得： 即 .8.設(shè)求和.解：=,=.9., 求.解：, , .10.設(shè) 求 .解

7、： ，.11.求曲線在點（1，1）處切線的斜率.解：由題意知：,曲線在點（1，1）處切線的斜率為312. 求函數(shù)的微分.解一 用微分的定義求微分， 有. 解二 利用一階微分形式不變性和微分運算法則求微分，得 .13.試證當時，.證明：令，易見在內(nèi)連續(xù)，且.當時，可知為上的嚴格單調(diào)減少函數(shù)，即當時，可知為上的嚴格單調(diào)增加函數(shù)，即.故對任意 有即 .14.求函數(shù)的單調(diào)性與極值.解：函數(shù)的定義域為. ，令 駐點 列表 -0-0+極小由上表知，單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為，極小值 求函數(shù)的極值也可以用二階導(dǎo)數(shù)來判別，此例中 不能確定處是否取極值，得是極小值.15.求+在閉區(qū)間上的極大值與極小值，最大值與

8、最小值.解：, 令, 得, , , 的極大值為4，極小值為. , . 比較的大小可知：最大值為200， 最小值為.16.求曲線的凹凸區(qū)間與拐點.解：函數(shù)的定義域為, , ,令, 得,用把分成，兩部分.當時，, 當時，, 曲線的凹區(qū)間為 凸區(qū)間為 拐點為.17.求函數(shù)的凹向及拐點.解：函數(shù)的定義域 ， ， 令 得，列表 1(1,1) 10+0拐點拐點 由此可知，上凹區(qū)間,下凹區(qū)間，曲線的拐點是.的漸近線.18.求下列曲線的漸近線（1） ，（2） ，（3）.解 （1）所給函數(shù)的定義域為.由于 ，可知 為 所給曲線的水平漸近線.由于 ，可知 為曲線的鉛直漸近線.（2） 所給函數(shù)的定義域,.由于 ，

9、，可知 為所給曲線的鉛直漸近線（在的兩側(cè)的趨向不同）.又 ，所以 是曲線的一條斜漸近線.（3）, 故為曲線的鉛直漸近線, , 故為曲線的鉛直漸近線, 故為曲線的水平漸近線,曲線的漸近線為：.19.求解下列各題：（1）設(shè)某產(chǎn)品的總成本函數(shù)和總收入函數(shù)分別為， ,其中為該產(chǎn)品的銷售量，求該產(chǎn)品的邊際成本、邊際收入和邊際利潤.解：邊際成本=邊際收入=邊際利潤.（2）設(shè)為某產(chǎn)品的價格，為產(chǎn)品的需求量，且有, 問為何值時，需求彈性大或需求彈性小.解：由得,所以需求價格彈性,故當< , 即40<<80時, 需求彈性大; 當<<0, 即0<<40時，需求彈性小.三、

10、一元函數(shù)積分學(xué)1. 在不定積分的性質(zhì)中，為何要求？答：因為時，（任意常數(shù)），而不是0.2. 思考下列問題：(1) 若，則為何？答：.(2) 若的一個原函數(shù)為，問為何？答：(3)若的一個原函數(shù)的，則為何？答：.3. 計算下列積分：（1）, （2）, （3）,（4）, （5）, （6）,（7）, （8）, （9）,（10）, （11）, （12）.解：（1）.（2） = = =.（3） =.（4）.（5）.（6）.（7）.（8）.（9）.（10）.（11）.（12）=.4. 計算下列不定積分：（1），（2）,（3），（4）.解：（1） 令, 則 , ,于是原式=.（2）令，則， 4 216x-于是

11、 =.由右圖所示的直角三角形，得,故 . （2）令，則,于是.由右圖所示的直角三角形，得 24x+2 故 .（4） 設(shè) , , 于是1原式= = = =5.計算下列積分：(1), (2) , (3) , (4) , (5) , (6) .解：（1） = =.（2）= = = = =.（3）=.（4） = = = =,移項合并，得.（5） =.（6）= = = = =.6.計算 （1） ， （2） 解：（1） 選 ， ， , 于是 原式 , 對于 再使用分部積分法,選， , 則 ，,從而 =原式=（）,為了簡便起見，所設(shè) , 等過程不必寫出來，其解題步驟如下:=.（2） = = = =+ =+,

12、式中出現(xiàn)了“循環(huán)”，即再出現(xiàn)了移至左端，整理得=+7. 利用定積分的估值公式，估計定積分的值.解：先求在上的最值，由 , 得或.比較 的大小，知，由定積分的估值公式，得,即 .8. 求函數(shù)在閉區(qū)間-1，1上的平均值.解：平均值.9. 若，則=？解：=.10.已知 ， 求 解：=+=11. 求極限.解：此極限是“”型未定型，由洛必達法則，得 =12.計算下列定積分（1）, （2）, （3）.解：（1）=+ =1.（2）=+ =4+.（3）=+ =2+2=4.13.計算下列定積分（1），（2）.解：(1)=.(2) =2.14.計算 （1） ， （2） 解:（1）利用換元積分法，注意在換元時必須同

13、時換限令 ， ， ，當時，當時，于是= （2）=15. 計算下列定積分：（1）, （2）,（3）, （4）.解：（1）=.(2) = .(3) = =0=移項合并得.（4）=16.計算（1）， （2）解:（1） = = （2） 由于在上；在上，所以 =+ =+ =+ =（+）+（+） =+17.判別下列廣義積分的斂散性，如果收斂計算其值 .(1) , (2) , (3), (4)解:(1) 因為積分區(qū)間為無窮區(qū)間，所以原式=，故所給廣義積分收斂，且其值為(2)=,發(fā)散.(3) =. 2 (4)=.18.求曲線與軸圍成的平面圖形的面積.解：如圖，由得兩曲線交點（1，1）.解一 取為積分變量，,所

14、求面積.解二 取為積分變量,的變化區(qū)間為0，1，.顯然，解法二優(yōu)于解法一.因此作題時，要先畫圖，然后根據(jù)圖形選擇適當?shù)姆e分變量，盡量使計算方便.19. 求下列曲線所圍成的圖形的面積:拋物線 與直線.解:先畫圖，如圖所示，并由方程， 求出交點為（2，），（8，2）.解一 取為積分變量,的變化區(qū)間為，2，在區(qū)間，2上任取一子區(qū)間，+ ，則面積微元 =, 則所求面積為 = = （）=9.解二 取為積分變量，的變化區(qū)間為0，8，由圖知，若在此區(qū)間上任取子區(qū)間，需分成0，2，2，8兩部分完成.在區(qū)間0，2上任取一子區(qū)間， +，則面積微元 1=,在區(qū)間2，8上任取一子區(qū)間， +， 則面積微元 2= , 于

15、是得=1+2=+=+=9 . 顯然，解法一優(yōu)于解法二.因此作題時，要先畫圖，然后根據(jù)圖形選擇適當?shù)姆e分變量，盡量使計算方便.20.用定積分求由所圍平面圖形繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積.11解：如右圖，所求體積 =.四、微分方程1. 驗證為微分方程的解，并說明是該方程的通解.證明： ,于是，故是的解.與線性無關(guān)，中的與相互獨立，即中含有與方程階數(shù)相同（個數(shù)均為2）的獨立任意常數(shù)，故是該方程的通解.2. 用分離變量法求解下列微分方程:（1）, （2）, （3），且.解：（1）分離變量得,（）兩邊積分得 ,求積分得 ,從而通解為 及驗證也是方程的解.（特別注意，此解不能并入通解）（2）分離變量得 ,

16、（）兩邊積分得 ,求積分得 ,即 ,從而通解為 ，驗證也是方程的解.（3）分離變量得 ,（）兩邊積分得 求積分得 ,即 ,從而通解為，驗證也是方程的解.由，得， 故特解為.3.求解下列一階線性微分方程（1）（其中為常數(shù)）, (2).解：(1)因， ， 故通解為.(2)方程變形為,這是關(guān)于的一階線性微分方程，其中,通解為：.以上是用一階線性微分方程的通解公式求解，要熟練掌握常數(shù)變易法！4.求微分方程 滿足條件的特解.解：這是可以分離變量的微分方程，將方程分離變量，有 ，兩邊積分，得 ，求積分得 ，記 ，得方程的解 .可以驗證 時，它們也是原方程的解，因此，式中的可以為任意常數(shù)，所以原方程的通解為

17、 （為任意常數(shù)）.代入初始條件 得 ，所以特解為 .5.求微分方程（1），（2） 的通解.（1）解一 原方程可化為 ，令 ，則 ，即 ，兩邊取積分 ，積分得 ，將代入原方程，整理得原方程的通解為 （為任意常數(shù)）.解二 原方程可化為 為一階線性微分方程，用常數(shù)變易法.解原方程所對應(yīng)的齊次方程 ，得其通解為 .設(shè)為原方程的解，代入原方程，化簡得 ，所以原方程的通解為 ，即 （為任意常數(shù)）.（2）解一 原方程對應(yīng)的齊次方程 分離變量，得，兩邊積分，得，用常數(shù)變易法.設(shè)代入原方程，得 ，故原方程的通解為 （為任意常數(shù)）.解二 這里，代入通解的公式得 =（為任意常數(shù)）.6.求微分方程 的通解.解：方程中

18、不顯含未知函數(shù)，令，代入原方程，得 ，這是關(guān)于未知函數(shù)的一階線性微分方程，代入常數(shù)變易法的通解公式，所以） =）=）=）=，由此 =，=，因此，原方程的通解為 = （為任意常數(shù)）.7.求微分方程 滿足初始條件，的特解.解：方程不顯含，令 ，則方程可化為 ，當 時 ，于是 .根據(jù) ，知 代入上式，得 ，從而得到 ，積分得 ，再由，求得 ，于是當時，原方程滿足所給初始條件的特解為 ，當時，得(常數(shù))，顯然這個解也滿足方程，這個解可包含在解中.故原方程滿足所給初始條件的特解為，即 .8.求方程的通解.解：方程不顯含自變量, 令原方程可變?yōu)?即或,由得.由分離變量，得,兩邊積分得,求積分得 , 即,解

19、 得,因包含于中, 故原方程通解為 .9.寫出下列微分方程的通解：（1）, （2）.解：（1）特征方程, 特征根,通解為.（2）特征方程, 特征根,通解為.10.求下列微分方程滿足所給初始條件的特解:（1）, ,（2） ，. 解：（1）先解,其特征方程為, 特征根為, ,故通解 .因中不是特征方程的根，且, 故設(shè)原方程特解，代入原方程化簡，得，從而原方程通解為.由，得, 由，得,解得 , ,故所求特解.（2）先解，其特征方程為，特征根為，故通解.設(shè)原方程特解，代入原方程，化簡得，故原方程通解,由，由，得，故所求特解為.11. 求微分方程 滿足初始條件，的特解.解：對應(yīng)齊次方程的特征方程為 ，特

20、征根 故對應(yīng)齊次微分方程的通解為 .因為是特征方程的單根，所以設(shè)特解為 ，代入原方程得 ，比較同類項系數(shù)得 ，從而原方程的特解為 ，故原方程的通解為 ，由初始條件 時，得 從而，.因此滿足初始條件的特解為 .12.求微分方程 的通解.解：對應(yīng)的齊次微分方程的特征方程 ，特征根 .于是所對應(yīng)的齊次微分方程通解為為了求原方程的一個特解,先求（）的特解.由于是特征方程的單根，且是零次多項式。所以設(shè)特解為 ，代入原方程，化簡得,比較同類項系數(shù)，得 ，.所以，方程（）的特解為=,其虛部即為所求原方程的特解 .因此原方程通解為.13.已知某曲線經(jīng)過點，它的切線在縱軸上的截距等于切點的橫坐標，求它的方程.解

21、：設(shè)所求曲線方程為 ，為其上任一點，則過點的曲線的切線方程為 ，由假設(shè)，當時 ，從而上式成為 .因此求曲線的問題，轉(zhuǎn)化為求解微分方程的定解問題 ，的特解.由公式 ，得=，代入得 ，故所求曲線方程為 .五、多元函數(shù)的微積分（一）多元函數(shù)微分1.表達式成立嗎？答：不一定. 例如：不存在，而.2. 已知，求.解：=.3. 求.解：=.4. 求函數(shù)的定義域, 并畫出定義域的圖形.解：由得，故定義域為.如下圖：5.，求，.解：, ,故 , .6., 求.解：因,.7.，求，.解：=, =.8.，求，.解：=,=.9.，求，.解：=8, =, =.10.= ，求，.解：=,=,=,=,=.11.若，求，.

22、解：取對數(shù)得,兩邊對求導(dǎo)，得,.12.若，求.解：= = =1. 13.，求.解: ,.14. ，求.解：, , . 15.設(shè)，試用兩種方法求.解法一： ,.解法二：.16.設(shè)當, 求及.解：.,.17.，求.解：.18.設(shè)，求 ，.解一 令 ，原式可寫成，由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則，得，即 =，=.解二 利用一元函數(shù)求導(dǎo)法則求偏導(dǎo)，可直接求出兩個偏導(dǎo)數(shù) ，.即= ，=.19.設(shè)，求 ，.解：此題為抽象函數(shù)，所以只能用多元函數(shù)求導(dǎo)法則.令 , , 則 ，于是=+=+ =+ =+（），= =（）.20.已知，求 .解：如果先求出偏導(dǎo)函數(shù)，再將，代入求比較麻煩，但是若先把函數(shù)中的固定在，則有=3.于是=，

23、=3.21.求的全微分.解: = =.22.利用全微分求的近似值.（了解?。┙猓毫?，則取, 則 =1.003.23.若，求.解：設(shè),則 , , , .24.設(shè) ，求 ，.解一 用公式法，設(shè)=， 則 ，=；=.解二 方程兩端求導(dǎo)，由于方程有三個變量，故只有兩個變量是獨立的，所以求 ，時，將看作，的函數(shù).方程兩端對求偏導(dǎo)數(shù)，得 即 =；方程兩端對求偏導(dǎo)數(shù)，得 即 =.解三 利用全微分求 ，.方程兩邊求全微分，利用微分形式不變性，則 ， =，因此 =，=.25.求曲面 的平行于平面的切平面方程.（幾何應(yīng)用了解！）解：設(shè), 則,設(shè)切點坐標為, 則切平面法向量,依題意平行于,從而, 解得, 則,所以切平

24、面方程為,即.26.求空間曲線在點處的切線方程與法平面方程.解：切點對應(yīng)的參變量,又 ,所以切向量, 于是切線方程為,法平面方程為 ,即 .27.設(shè)，（1）求的極值, （2）求在條件下的極值.解：（1）由 得駐點（0，0）,又 , 且,故為函數(shù)的極大值點，函數(shù)的極大值為.（2）在條件下的極值, 即為的極值，顯然在處取得極大值，故在條件 下，在處取得極大值.28.求的極值.解：在處取得極大值1，在處取得極小值，故當（為非負整數(shù)）時，取得極小值，當時，取得極大值.29.求函數(shù)的極值.解：（1）求駐點由 得兩個駐點 ，（2）求的二階偏導(dǎo)數(shù)，（3）討論駐點是否為極值點在處，有，由極值的充分條件知 不是

25、極值點，不是函數(shù)的極值；在處，有，而，由極值的充分條件知 為極大值點，是函數(shù)的極大值.30. 某工廠要用鋼板制作一個容積為100的有蓋長方體容器，若不計鋼板的原度，怎樣制作材料最?。拷猓涸O(shè)容器的長、寬、高分別為，則.此題即要求函數(shù)在條件下的最小值，其中,令,則 解得，故惟一駐點也是最小值點，即當容器的長、寬、 高均為時所用材料最省.（二）二重積分 1.計算, 其中. 1 -1 1 解：如圖，先對后對積分，則 = = =.2. 計算，其中由面上的直線及所圍成.解：如圖, ： 先對后對積分，得-Oxy2211= = =.3.計算，其中.解：令，則可表為：從而 =2=.4.計算 其中由直線，和曲線所

26、圍成.解：畫出區(qū)域的圖形如圖所示，求出邊界曲線的交點坐標（，2）, （1，1）, （2，2），選擇先對積分，這時的表達式為 于是= . 分析 本題也可先對積分后對積分，但是這時就必須用直線將分和兩部分.其中 1D2D 由此得 =+=+ =+=+= . 顯然，先對積分后對積分要麻煩得多，所以恰當?shù)剡x擇積分次序是化二重積分為二次積分的關(guān)鍵步驟.5. 計算，其中：.1D2D 解：畫出積分區(qū)域的圖形， 觀察被積函數(shù)，無論先對積分后對積分還是先對積分后對積分都需要將積分區(qū)域分成兩部分，計算都較繁，這里選擇先對積分后對積分，其中 因此 =+ =+ =4+4=.6.已知 =+ 改變積分次序.解：積分區(qū)域，其

27、中1D2D 22xy-= 畫出積分區(qū)域的圖形，改變?yōu)橄葘Ψe分后對積分， 此時 因此=+ = . 7.計算，其中是由圓周與所圍成的平面區(qū)域.解：令，則可表為：從而 = = = =4.8.計算 ，其中由 , , , 所圍成的第一象限內(nèi)的區(qū)域.解：畫出積分區(qū)域的圖形， 1 2 由于積分區(qū)域的邊界曲線有圓周，所以選極坐標系積分.此時 ，于是 = =. 9.求半球體在圓柱()內(nèi)那部分的體積.解：把所求立體投影到面，即圓柱(）內(nèi)部,容易看出所求立體的體積以為底，以上半球面為頂?shù)那斨w的體積. cosraq =由于積分區(qū)域的邊界曲線為圓周，所以采用極坐標系較好.此時 故 = = =（）. 10.畫出二次積

28、分的積分區(qū)域并交換積分次序.Oxy24解：的圖形如右圖，由圖可知，也可表為所以交換積分次序后，得.Oxyz11.利用二重積分求下列幾何體的體積：（了解！）（1）平面所圍成的幾何體.解： 如圖，該幾何體可看成是以面的區(qū)域：為底，以平面為頂?shù)闹w，故體積 =.（2）平面= 0及拋物面所圍成的幾何體.解：如圖，幾何體可看成是以面內(nèi)的區(qū)域 ：為底，以曲面為頂?shù)那斨w.故體積V=令, 則：從而=.六、無窮級數(shù)1. 判別下列數(shù)項級數(shù)是否收斂：（1）, （2）,（3）, （4）.解：（1） ,而級數(shù)發(fā)散, 級數(shù)發(fā)散.（2）是公比的等比級數(shù)，而， 收斂.（3） = =,原級數(shù)收斂.（4） =,而級數(shù)收斂，故

29、原級數(shù)絕對收斂.2. 證明級數(shù) 對任何都收斂.證明： ,而級數(shù) =收斂,故因比較判別法知, 原級數(shù)對任何都絕對收斂.3. 判斷下列級數(shù)的斂散性，若收斂，指出是絕對收斂還是條件收斂(1) ， (2) 解：(1)先判斷級數(shù) =的斂散性，顯然級數(shù)是正項級數(shù)，因為> ，而級數(shù)發(fā)散，由比較判別法知級數(shù)發(fā)散又因為級數(shù)是一交錯級數(shù)，=0且 >，由萊布尼茨判別法知，級數(shù)收斂，故此級數(shù)條件收斂(2) 當0<時，0，由級數(shù)收斂的必要條件知級數(shù) 發(fā)散當時,先判斷級數(shù) =的斂散性，因為 =<1 ，由比值判別法知，級數(shù)絕對收斂4. 將循環(huán)小數(shù)化為分數(shù).（了解！）解： = = =.5. 判定級數(shù)的

30、斂散性.解：因為級數(shù),而級數(shù)收斂，故級數(shù)絕對收斂. 6.求下列冪級數(shù)的收斂域： （1）, （2）.解：（1）=0,級數(shù)的收斂域為.（2）= = =,級數(shù)的收斂域為.7.求下列冪級數(shù)的收斂域(1) ， (2) ， (3) 解 (1) 因為=，所以收斂半徑=3，收斂區(qū)間為 （3，3）當=3時，級數(shù)為 ，收斂，當=3時，級數(shù)為 ，顯然發(fā)散故收斂域為 3，3 (2) 因為 =，所以收斂半徑=2， 由 <2得，收斂區(qū)間為（3，1），當時，級數(shù)為，發(fā)散，當=1時，級數(shù)為，發(fā)散，故級數(shù)的收斂域為（3，1）(3)冪級數(shù) 缺少奇次項，直接用比值判別法有 =0，收斂半徑=，收斂域為（）8. 求冪級數(shù)的和函數(shù)

31、.（了解！）解：設(shè),兩端關(guān)于求積分得： = 兩端求導(dǎo)得： ,即 .9. 將展開成的冪級數(shù)，并求收斂域. （了解?。┙猓?,因為 ,所以 =,其中 ， 即.當時，級數(shù)為發(fā)散；當時，級數(shù)為發(fā)散,故 = .10. 以函數(shù)的冪級數(shù)展開式為基礎(chǔ)，分別求出下列函數(shù)的冪級數(shù)展開式，并寫出收斂域. （了解?。?）, （2）, （3）,（4）, （5）.解：（1）=.（2） =,.（3）=, .(4) =,于是 =, .(5) =,于是 =, .七、向量與空間解析幾何1. 求點與軸，平面及原點的對稱點坐標.解：關(guān)于軸的對稱點為，關(guān)于平面的對稱點為，關(guān)于原點的對稱點為.2. 下列向量哪個是單位向量？ （1），（

32、2），（3）.解：（1）, 不是單位向量.（2）, 是單位向量.（3）, 不是單位向量.3. 求起點為，終點為的向量的坐標表達式及.解：=,.4. 設(shè)向量=4-4+7的終點的坐標為(2,1,7).求 (1)始點的坐標；(2)向量的模；(3)向量的方向余弦；(4)與向量方向一致的單位向量.解：（1）設(shè)始點的坐標為 ，則有 ， ,，得 =2 , =3 , =0 ;(2) =9;(3) cos= , cos , cos ;(4) o=(44+7).5. 已知向量與向量=及軸垂直，且，求出向量.解：因為，（垂直于軸），故與向量平行.由兩向量平行的充要條件，可寫成，即=.由題設(shè)，得=2 ， ，,從而得

33、=，或 =.6.求平行于軸，且過點與的平面方程.解一 利用向量運算的方法。關(guān)鍵是求出平面的法向量.因為平面平行于軸，所以.又因為平面過點與，所以必有.于是，取=, 而=2，7，-4 ，所以 =，因此，由平面的點法式方程，得，即 .解二 利用平面的一般式方程。設(shè)所求的平面方程為 ,由于平面平行于軸，所以 ，原方程變?yōu)椋炙笃矫孢^點(1, -5, 1)與(3 , 2, -3)，將的坐標代入上述方程，得 解之得 , ,代入所設(shè)方程，故所求平面方程為 .7. 求點到點之間的距離.解：距離.8. 求使向量與向量平行.解：由得得.9. 求與軸反向，模為10的向量的坐標表達式.解： =.10. 求與向量=1，5，6平行，模為10的向量的坐標表達式.解：,故 .11. 求點的向徑與坐標軸之間的夾角.解：設(shè)與, , 軸之間的夾角分別為，則, ., , .12. 求同時垂直于向量和軸的單位向量.解：記,故同時垂直于向量與軸的單位向量為.13. 求與平行且滿足的向量.解：因, 故可設(shè)，再由得，即，從而.14. ，求，及，.解：依題意，故，.，.15. ，求及.解：,.16. 證明向量與向量垂直.證明：, ， 即與垂直.1