1、線性離散系統(tǒng)的分析與校正線性離散系統(tǒng)的分析與校正離散系統(tǒng)與連續(xù)系統(tǒng)：既有本質(zhì)的不同，又有分析研究方面離散系統(tǒng)與連續(xù)系統(tǒng)：既有本質(zhì)的不同，又有分析研究方面的相識(shí)性。的相識(shí)性。 本課程本課程主要討論主要討論：離散系統(tǒng)的分析和校正方法：離散系統(tǒng)的分析和校正方法.建立信號(hào)采樣和保持的數(shù)學(xué)描述建立信號(hào)采樣和保持的數(shù)學(xué)描述 z 變換理論和脈沖傳遞函數(shù)變換理論和脈沖傳遞函數(shù)線性離散系統(tǒng)穩(wěn)定性和性能的分析與校正方法線性離散系統(tǒng)穩(wěn)定性和性能的分析與校正方法.在系統(tǒng)校正在系統(tǒng)校正部分部分,我們將主要討論數(shù)字控制系統(tǒng)的校正方法我們將主要討論數(shù)字控制系統(tǒng)的校正方法. 1 1 采樣系統(tǒng)的基本概念采樣系統(tǒng)的基本概念 2

2、2 信號(hào)的采樣和復(fù)現(xiàn)的數(shù)學(xué)描述信號(hào)的采樣和復(fù)現(xiàn)的數(shù)學(xué)描述 3 z 3 z變換理論變換理論 4 4 脈沖傳遞函數(shù)脈沖傳遞函數(shù) 5 5 采樣系統(tǒng)的穩(wěn)定性與穩(wěn)態(tài)誤差采樣系統(tǒng)的穩(wěn)定性與穩(wěn)態(tài)誤差 6 6 采樣系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能分析采樣系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能分析 7 7 采樣系統(tǒng)的數(shù)字校正采樣系統(tǒng)的數(shù)字校正 Outline 1 1 采樣系統(tǒng)的基本概念采樣系統(tǒng)的基本概念 如果控制系統(tǒng)中的所有信號(hào)都是時(shí)間變量的連續(xù)函數(shù)如果控制系統(tǒng)中的所有信號(hào)都是時(shí)間變量的連續(xù)函數(shù),則則這樣的系統(tǒng)稱為這樣的系統(tǒng)稱為連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)（連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)（continuous time system),簡(jiǎn)稱簡(jiǎn)稱連續(xù)系統(tǒng)連續(xù)系統(tǒng);如果控制系統(tǒng)中有如果控制

3、系統(tǒng)中有一處或幾處一處或幾處信號(hào)是信號(hào)是脈沖序列或數(shù)碼脈沖序列或數(shù)碼, ,則這樣的系統(tǒng)稱為則這樣的系統(tǒng)稱為離散系統(tǒng)離散系統(tǒng)( (discrete time system) ). . 通常通常,把系統(tǒng)中的離散信號(hào)是脈沖序列形式的離散系統(tǒng)把系統(tǒng)中的離散信號(hào)是脈沖序列形式的離散系統(tǒng),稱為采樣控制系統(tǒng)稱為采樣控制系統(tǒng);而把數(shù)字序列而把數(shù)字序列(數(shù)碼數(shù)碼)形式的離散系統(tǒng)形式的離散系統(tǒng),稱為稱為數(shù)字控制系統(tǒng)數(shù)字控制系統(tǒng)(digital control system)或或計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)(computer control system). 1.1 1.1 采樣控制系統(tǒng)（采樣控制系統(tǒng)（Sample

4、d-Data Control System)Sampled-Data Control System)圖 1 爐溫采樣控制系統(tǒng)原理圖te(t)0圖圖 1 1 信號(hào)的采樣信號(hào)的采樣 采樣系統(tǒng)是對(duì)連續(xù)系統(tǒng)的信號(hào)在某些規(guī)定的時(shí)間上取值采樣系統(tǒng)是對(duì)連續(xù)系統(tǒng)的信號(hào)在某些規(guī)定的時(shí)間上取值,成成為斷續(xù)形式的脈沖信號(hào)為斷續(xù)形式的脈沖信號(hào),而相鄰兩個(gè)脈沖之間是沒有信號(hào)值的而相鄰兩個(gè)脈沖之間是沒有信號(hào)值的,如如圖圖 1所示所示.te*(t)0TT2 采樣又可分為周期采樣和非周期采樣采樣又可分為周期采樣和非周期采樣(隨機(jī)采樣隨機(jī)采樣).本課程本課程僅討論周期采樣僅討論周期采樣,且如果系統(tǒng)中有幾個(gè)采樣器且如果系統(tǒng)中有幾

5、個(gè)采樣器,則它們應(yīng)該是同則它們應(yīng)該是同步等周期的步等周期的. 為了實(shí)現(xiàn)兩種信號(hào)的轉(zhuǎn)換為了實(shí)現(xiàn)兩種信號(hào)的轉(zhuǎn)換,在連續(xù)信號(hào)和脈沖序列之間要在連續(xù)信號(hào)和脈沖序列之間要用用采樣器采樣器(sampler),而在脈沖序列和連續(xù)信號(hào)之間要用而在脈沖序列和連續(xù)信號(hào)之間要用保持器保持器(hold).采樣器和保持器采樣器和保持器,是采樣控制系統(tǒng)中兩個(gè)特殊環(huán)節(jié)是采樣控制系統(tǒng)中兩個(gè)特殊環(huán)節(jié). 信號(hào)采樣和復(fù)現(xiàn)信號(hào)采樣和復(fù)現(xiàn) 在采樣控制系統(tǒng)中在采樣控制系統(tǒng)中,把連續(xù)信號(hào)轉(zhuǎn)變?yōu)槊}沖序列的過程把連續(xù)信號(hào)轉(zhuǎn)變?yōu)槊}沖序列的過程,稱為采樣過程稱為采樣過程,簡(jiǎn)稱簡(jiǎn)稱采樣采樣.實(shí)現(xiàn)采樣的裝置稱為實(shí)現(xiàn)采樣的裝置稱為采樣器采樣器,或稱或稱

6、采采樣開關(guān)樣開關(guān),如圖如圖 2所示所示.te(t)0圖圖 2 2 采樣過程采樣過程tT0T2T3Te*(t)秒弧度或秒次采樣頻率傳輸時(shí)間采樣時(shí)間采樣周期TTfTss21:)(-period) sampling(-( 1)( 1)e(t)Te*(t)S 開關(guān)閉合開關(guān)閉合 開關(guān)打開開關(guān)打開nTt nTt 在采樣控制系統(tǒng)中在采樣控制系統(tǒng)中,把脈沖序列轉(zhuǎn)變?yōu)檫B續(xù)信號(hào)的過程把脈沖序列轉(zhuǎn)變?yōu)檫B續(xù)信號(hào)的過程,稱為稱為信號(hào)復(fù)現(xiàn)過程信號(hào)復(fù)現(xiàn)過程.實(shí)現(xiàn)復(fù)現(xiàn)過程的裝置稱為實(shí)現(xiàn)復(fù)現(xiàn)過程的裝置稱為保持器保持器,如圖如圖 3所示所示.保持器的作用有保持器的作用有: 實(shí)現(xiàn)兩種信號(hào)之間的轉(zhuǎn)換實(shí)現(xiàn)兩種信號(hào)之間的轉(zhuǎn)換; 對(duì)脈沖信

7、號(hào)進(jìn)行復(fù)現(xiàn)濾波對(duì)脈沖信號(hào)進(jìn)行復(fù)現(xiàn)濾波,避免高頻噪聲加入到系統(tǒng)的連避免高頻噪聲加入到系統(tǒng)的連續(xù)部分中去續(xù)部分中去.e*(t)t0TT2eh(t)t0TT2保持器保持器圖圖 3 3 復(fù)現(xiàn)過程復(fù)現(xiàn)過程 采樣系統(tǒng)的典型結(jié)構(gòu)圖采樣系統(tǒng)的典型結(jié)構(gòu)圖 根據(jù)采樣器在系統(tǒng)中所處的位置不同根據(jù)采樣器在系統(tǒng)中所處的位置不同,可以構(gòu)成各種采樣系統(tǒng)可以構(gòu)成各種采樣系統(tǒng).如果采樣器位于系統(tǒng)閉合回路之外如果采樣器位于系統(tǒng)閉合回路之外,或者系統(tǒng)本身不存在閉合回路或者系統(tǒng)本身不存在閉合回路,則稱為則稱為開環(huán)采樣系統(tǒng)開環(huán)采樣系統(tǒng);如果采樣器位于系統(tǒng)閉合回路之內(nèi)如果采樣器位于系統(tǒng)閉合回路之內(nèi),則稱為則稱為閉閉環(huán)采樣系統(tǒng)環(huán)采樣系統(tǒng).

8、在各種采樣控制系統(tǒng)中在各種采樣控制系統(tǒng)中,用得最多的是用得最多的是誤差采樣控制的誤差采樣控制的閉環(huán)采樣系統(tǒng)閉環(huán)采樣系統(tǒng),如圖如圖 4所示所示.Gp(s)H(s)r(t)+-c(t)(*teSTGh(s)(te)(tehb(t)圖圖 4 4 采樣系統(tǒng)典型結(jié)構(gòu)圖采樣系統(tǒng)典型結(jié)構(gòu)圖0)(tet)(*te0t0)(teht 由圖由圖 4可見可見,采樣開關(guān)采樣開關(guān) S 的輸出的輸出 的幅值的幅值,與其輸入與其輸入 的幅值的幅值之間存在線性關(guān)系之間存在線性關(guān)系.當(dāng)采樣開關(guān)和系統(tǒng)其余部分的傳遞函數(shù)都具有線當(dāng)采樣開關(guān)和系統(tǒng)其余部分的傳遞函數(shù)都具有線性特性時(shí)性特性時(shí),這樣的系統(tǒng)就稱為這樣的系統(tǒng)就稱為線性采樣系統(tǒng)

9、線性采樣系統(tǒng).)(te)(te 1.2 1.2 數(shù)字控制系統(tǒng)數(shù)字控制系統(tǒng)(digital control system)(digital control system)圖圖 5 5 小口徑高炮高精度數(shù)字伺服系統(tǒng)小口徑高炮高精度數(shù)字伺服系統(tǒng) 數(shù)字控制系統(tǒng)數(shù)字控制系統(tǒng)是一種以數(shù)字計(jì)算機(jī)為控制器去控制具有連續(xù)是一種以數(shù)字計(jì)算機(jī)為控制器去控制具有連續(xù)工作狀態(tài)的被控對(duì)象的閉環(huán)系統(tǒng)工作狀態(tài)的被控對(duì)象的閉環(huán)系統(tǒng).包括：包括：數(shù)字計(jì)算機(jī)（離散）；數(shù)字計(jì)算機(jī)（離散）；被控對(duì)象（被控對(duì)象（controlled plant）（連續(xù)）（連續(xù)） 采樣系統(tǒng)采樣系統(tǒng) 時(shí)間離散，數(shù)值連續(xù)時(shí)間離散，數(shù)值連續(xù) 數(shù)字系統(tǒng)數(shù)字系統(tǒng)

10、時(shí)間離散，數(shù)值離散時(shí)間離散，數(shù)值離散 計(jì)算機(jī)作為系統(tǒng)的控制器（計(jì)算機(jī)作為系統(tǒng)的控制器（controller）,其輸入輸出只能是二其輸入輸出只能是二進(jìn)制編碼的數(shù)字信號(hào)進(jìn)制編碼的數(shù)字信號(hào),即在時(shí)間上和幅值上都離散的信號(hào)即在時(shí)間上和幅值上都離散的信號(hào),而系統(tǒng)中被而系統(tǒng)中被控對(duì)象和測(cè)量元件的輸入輸出是連續(xù)信號(hào)控對(duì)象和測(cè)量元件的輸入輸出是連續(xù)信號(hào),所以在計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)中所以在計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)中,需要需要A/D和和D/A轉(zhuǎn)換器轉(zhuǎn)換器,以實(shí)現(xiàn)兩種信號(hào)的轉(zhuǎn)換以實(shí)現(xiàn)兩種信號(hào)的轉(zhuǎn)換.計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)的典計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)的典型原理圖如圖型原理圖如圖 6所示所示.系統(tǒng)類型系統(tǒng)類型：數(shù)字控制器數(shù)字控制器被控對(duì)象被控對(duì)象數(shù)字計(jì)

11、算機(jī)數(shù)字計(jì)算機(jī)測(cè)量元件測(cè)量元件A/DD/A-)(*te)(*tu)(tuh)(te)(tr)(tc圖圖 6 6 計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)典型原理圖計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)典型原理圖 A/DA/D：模數(shù)轉(zhuǎn)換器，將連續(xù)的模擬信號(hào)轉(zhuǎn)換為離散的數(shù)字信號(hào)。模數(shù)轉(zhuǎn)換器，將連續(xù)的模擬信號(hào)轉(zhuǎn)換為離散的數(shù)字信號(hào)。包括包括采樣采樣與與量化量化兩過程。兩過程。 D/AD/A：數(shù)模轉(zhuǎn)換器，將離散的數(shù)字信號(hào)轉(zhuǎn)換為連續(xù)的模擬信號(hào)。數(shù)模轉(zhuǎn)換器，將離散的數(shù)字信號(hào)轉(zhuǎn)換為連續(xù)的模擬信號(hào)。包括包括解碼解碼與與復(fù)現(xiàn)復(fù)現(xiàn)兩過程。兩過程。 1.3 數(shù)字控制系統(tǒng)的典型結(jié)構(gòu)圖數(shù)字控制系統(tǒng)的典型結(jié)構(gòu)圖 通常通常,假定所選擇的假定所選擇的 A/D 轉(zhuǎn)換器有足夠的字

12、長(zhǎng)來表示數(shù)碼轉(zhuǎn)換器有足夠的字長(zhǎng)來表示數(shù)碼,量量化單位化單位 q 足夠小足夠小,所以由量化引起的幅值斷續(xù)性可以忽略所以由量化引起的幅值斷續(xù)性可以忽略.此外還假此外還假定定,采樣編碼過程是瞬間完成的采樣編碼過程是瞬間完成的,可用理想脈沖的幅值等效代替數(shù)字可用理想脈沖的幅值等效代替數(shù)字信號(hào)的大小信號(hào)的大小,則則 A/D 轉(zhuǎn)換器可以用周期為轉(zhuǎn)換器可以用周期為 T 的理想開關(guān)來代替的理想開關(guān)來代替.同同理理, D/A轉(zhuǎn)換器可以用保持器來替代轉(zhuǎn)換器可以用保持器來替代,其傳遞函數(shù)為其傳遞函數(shù)為 Gh(s).圖圖 6中的中的數(shù)字控制數(shù)字控制器實(shí)質(zhì)上是一個(gè)數(shù)字校正裝置器實(shí)質(zhì)上是一個(gè)數(shù)字校正裝置, ,在結(jié)構(gòu)圖中可

13、以等效為一在結(jié)構(gòu)圖中可以等效為一個(gè)傳遞函數(shù)為個(gè)傳遞函數(shù)為 G Gc(c(s s) ) 的脈沖控制器和一個(gè)周期為的脈沖控制器和一個(gè)周期為 T T 的理想采樣的理想采樣開關(guān)開關(guān) S S 相串聯(lián)相串聯(lián). .則圖則圖 6 6的等效采樣系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖的等效采樣系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖 9 9所示所示. .實(shí)際上實(shí)際上, ,圖圖 9 9也是數(shù)字控制系統(tǒng)的常見典型結(jié)構(gòu)圖也是數(shù)字控制系統(tǒng)的常見典型結(jié)構(gòu)圖. .圖圖 9 9 數(shù)字控制系統(tǒng)典型結(jié)構(gòu)圖數(shù)字控制系統(tǒng)典型結(jié)構(gòu)圖Gc(s)Gp(s)H(s)Gh(s)-)(*te)(*tu)(tuh)(te)(tr)(tc)(tub(t)SS 1.4 離散控制系統(tǒng)的特點(diǎn)離散控制系統(tǒng)的

14、特點(diǎn) 由數(shù)字計(jì)算機(jī)構(gòu)成的數(shù)字校正裝置由數(shù)字計(jì)算機(jī)構(gòu)成的數(shù)字校正裝置,效果比連續(xù)式校正裝置好效果比連續(xù)式校正裝置好,且由軟件實(shí)現(xiàn)的控制規(guī)律易于改變且由軟件實(shí)現(xiàn)的控制規(guī)律易于改變,控制靈活控制靈活. 采樣信號(hào)采樣信號(hào),特別是數(shù)字信號(hào)的傳遞可以有效地抑制噪聲特別是數(shù)字信號(hào)的傳遞可以有效地抑制噪聲,從而從而提高了系統(tǒng)的抗干擾能力提高了系統(tǒng)的抗干擾能力. 允許采用高靈敏度的控制元件允許采用高靈敏度的控制元件,以提高系統(tǒng)的控制精度以提高系統(tǒng)的控制精度. 可用一臺(tái)計(jì)算機(jī)分時(shí)控制若干個(gè)系統(tǒng)可用一臺(tái)計(jì)算機(jī)分時(shí)控制若干個(gè)系統(tǒng),經(jīng)濟(jì)性好經(jīng)濟(jì)性好. 對(duì)于具有傳輸延遲對(duì)于具有傳輸延遲,特別是大滯后的控制系統(tǒng)特別是大滯后

15、的控制系統(tǒng),可以引入采樣可以引入采樣的方式使其趨于穩(wěn)定的方式使其趨于穩(wěn)定. 1.5 離散系統(tǒng)的研究方法離散系統(tǒng)的研究方法1 1）差分方程；）差分方程；2 2）狀態(tài)空間法；）狀態(tài)空間法；3 3）z-z-變換法變換法可引入連續(xù)系統(tǒng)的研究方法可引入連續(xù)系統(tǒng)的研究方法 2.1 采樣過程采樣過程圖圖 17 17 實(shí)際采樣過程實(shí)際采樣過程ttT0T2T3Te*(t)e(t)0e(t)Te*(t)S 把連續(xù)信號(hào)變換為脈沖序列的裝置稱為把連續(xù)信號(hào)變換為脈沖序列的裝置稱為采樣器采樣器,又叫又叫采樣開關(guān)采樣開關(guān).采樣器的采樣過程可以用一個(gè)周期性閉合的采樣開關(guān)采樣器的采樣過程可以用一個(gè)周期性閉合的采樣開關(guān) S (S

16、witch) 來來表示表示,如圖如圖 17所示所示. 2 2 信號(hào)的采樣和保持的數(shù)學(xué)描述信號(hào)的采樣和保持的數(shù)學(xué)描述 當(dāng)采樣開關(guān)的閉合時(shí)間當(dāng)采樣開關(guān)的閉合時(shí)間 時(shí)時(shí),采樣器就可以用一個(gè)理想采樣采樣器就可以用一個(gè)理想采樣開關(guān)來代替開關(guān)來代替,采樣過程可以看成是一個(gè)幅值調(diào)制過程采樣過程可以看成是一個(gè)幅值調(diào)制過程.理想采樣開關(guān)理想采樣開關(guān)好像是一個(gè)載波為好像是一個(gè)載波為 的的幅值調(diào)制器幅值調(diào)制器,如圖如圖 18所示所示,其中其中 為理為理想單位脈沖序列想單位脈沖序列.0)(tT)(tT圖圖 18 18 理想采樣過程理想采樣過程)(tet)(*te)(tTt 脈沖脈沖調(diào)制器調(diào)制器)(sGr(t)e(t)

17、e*(t)c(t)t 單位脈沖信號(hào)的表達(dá)式為：?jiǎn)挝幻}沖信號(hào)的表達(dá)式為： 脈沖函數(shù)，是一寬度為脈沖函數(shù)，是一寬度為 ，高度為，高度為 的矩形脈沖，矩形的的矩形脈沖，矩形的面積為面積為A A。當(dāng)。當(dāng) 趨于零時(shí)，是一寬度為趨于零時(shí)，是一寬度為0 0，面積為，面積為A A，幅值為無(wú)，幅值為無(wú)窮的窮的理想脈沖理想脈沖。當(dāng)。當(dāng)A=1A=1時(shí)，稱為時(shí)，稱為理想單位脈沖函數(shù)理想單位脈沖函數(shù)，亦稱，亦稱 函函數(shù)。數(shù)。 單位脈沖函數(shù)可看作是單位階躍函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。理想的單位脈沖單位脈沖函數(shù)可看作是單位階躍函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。理想的單位脈沖信號(hào)實(shí)際上是信號(hào)實(shí)際上是不存在的不存在的，只具有，只具有數(shù)學(xué)意義數(shù)學(xué)意義，但在自動(dòng)控制系

18、統(tǒng)，但在自動(dòng)控制系統(tǒng)的研究中具有重要的作用。例如，通過系統(tǒng)對(duì)脈沖函數(shù)的響應(yīng)，的研究中具有重要的作用。例如，通過系統(tǒng)對(duì)脈沖函數(shù)的響應(yīng)，可以研究系統(tǒng)對(duì)任意形式外作用的響應(yīng)，這是因?yàn)槿我庑问降目梢匝芯肯到y(tǒng)對(duì)任意形式外作用的響應(yīng)，這是因?yàn)槿我庑问降耐庾饔每梢钥醋魇窃诓煌瑫r(shí)刻存在的，強(qiáng)度不同的無(wú)限多個(gè)脈外作用可以看作是在不同時(shí)刻存在的，強(qiáng)度不同的無(wú)限多個(gè)脈沖函數(shù)的疊加。沖函數(shù)的疊加。)t ( 1) t ( 1 A) t ( rlim0A00d)t (u)(gd)(u)t (g) t (y定義脈沖函數(shù)定義脈沖函數(shù)特性特性：、面積為：、面積為1 1； 、當(dāng)、當(dāng) ，脈沖函數(shù)為，脈沖函數(shù)為 函數(shù)。函數(shù)。 函數(shù)，

19、或脈沖函數(shù)，函數(shù)，或脈沖函數(shù)，性質(zhì)性質(zhì)：、對(duì)、對(duì) 連續(xù)的任何函數(shù)連續(xù)的任何函數(shù)f,f,有有nTt 0,nTtnT ,1nT t , 0)nTt (01dt)nTt (t1)(fdt)t () t (ftt11)(tT)(nTe) t ( e) t (e*) t (T調(diào)制器調(diào)制器采樣器采樣器 ，采樣器的輸出近似看成一串強(qiáng)度為矩形脈沖面積的采樣器的輸出近似看成一串強(qiáng)度為矩形脈沖面積的理想脈沖。理想脈沖。 采樣信號(hào)的物理意義采樣信號(hào)的物理意義連續(xù)時(shí)間信號(hào)被單位脈沖序列作了離散時(shí)間調(diào)制連續(xù)時(shí)間信號(hào)被單位脈沖序列作了離散時(shí)間調(diào)制。 單位脈沖序列被連續(xù)時(shí)間信號(hào)作了幅值加權(quán)。單位脈沖序列被連續(xù)時(shí)間信號(hào)作了幅

20、值加權(quán)。 0 e(t) t 0 T(t) t 0 e(nT) t 0 + = e(t) t 0 e(nT) t 0 + = T(t) t 0 采樣器輸出看做是一串脈沖，脈沖的強(qiáng)度，分別等于各采樣瞬時(shí)上采樣器輸出看做是一串脈沖，脈沖的強(qiáng)度，分別等于各采樣瞬時(shí)上的采樣數(shù)值。的采樣數(shù)值。如果用數(shù)學(xué)形式描述上述調(diào)制過程如果用數(shù)學(xué)形式描述上述調(diào)制過程,則有則有( 2)( 2)()()(*tteteT( 3)( 3)0)()(nTnTtt因?yàn)閱挝幻}沖序列因?yàn)閱挝幻}沖序列 可以表示為可以表示為)(tT0*)()()(nnTttete其中其中 是出現(xiàn)在時(shí)刻是出現(xiàn)在時(shí)刻 時(shí)、強(qiáng)度為時(shí)、強(qiáng)度為1的單位脈沖的單位脈

21、沖,故式故式( 2)可以寫為可以寫為)(nTt nTt 0*)()()(nnTtnTete由于由于 e(t) 的數(shù)值僅在采樣瞬時(shí)才有意義的數(shù)值僅在采樣瞬時(shí)才有意義,所以上式又可表示為所以上式又可表示為( 4)因此因此, 脈沖序列脈沖序列是是從零開始的從零開始的. 上述討論過程中上述討論過程中,假設(shè)了假設(shè)了0,0)(tte 2.2 采樣過程的數(shù)學(xué)描述采樣過程的數(shù)學(xué)描述 采樣信號(hào)的拉氏變換采樣信號(hào)的拉氏變換采樣信號(hào)采樣信號(hào) 的數(shù)學(xué)描述的數(shù)學(xué)描述,可分以下兩方面來討論可分以下兩方面來討論.)(*te對(duì)采樣信號(hào)對(duì)采樣信號(hào) 進(jìn)行拉氏變換進(jìn)行拉氏變換,可得可得)(*te0*)()()()(nnTtnTeL

22、teLsE( 5)( 5)根據(jù)拉氏變換的位移定理根據(jù)拉氏變換的位移定理,有有nTsstnTsedtetenTtL0)()( 6)注意注意: 由于由于 只描述了只描述了 e(t) 在采樣瞬時(shí)的數(shù)值在采樣瞬時(shí)的數(shù)值,所以所以 不能給出不能給出連續(xù)函數(shù)連續(xù)函數(shù) e(t) 在采樣間隔之間的的信息在采樣間隔之間的的信息.)(*te)(*sE 式式( 7)將將 與采樣函數(shù)與采樣函數(shù) e(nT) 聯(lián)系了起來聯(lián)系了起來,可以直接看出可以直接看出 的時(shí)間響應(yīng)的時(shí)間響應(yīng).)(*sE)(*te 式式( 7)描述的采樣拉氏變換描述的采樣拉氏變換,與連續(xù)信號(hào)與連續(xù)信號(hào) e(t) 的拉氏變換非常的拉氏變換非常類似類似.因

23、此因此,如果如果 e(t) 是一個(gè)是一個(gè)有理函數(shù)有理函數(shù),則無(wú)窮級(jí)數(shù)則無(wú)窮級(jí)數(shù) 也總是可以表也總是可以表示成示成 的的有理函數(shù)有理函數(shù)形式形式.)(*sETse 在求在求 的過程中的過程中,初始值通常規(guī)定采用初始值通常規(guī)定采用)(*sE. )0(e所以所以,采樣拉氏變換采樣拉氏變換0*)()(nnTsenTesE( 7)( 7)例例 1 設(shè)設(shè) e(t)=1(t) , 試求試求 的拉氏變換的拉氏變換.)(*te解解: 由式由式( 7),有有02*1)()(nTsTsnTseeenTesE這是一個(gè)無(wú)窮等比級(jí)數(shù)這是一個(gè)無(wú)窮等比級(jí)數(shù),公比為公比為 ,求和后得閉合形式求和后得閉合形式Tse) 1(111

24、)(*TsTsTsTseeeesE顯然顯然, 是是 的有理函數(shù)的有理函數(shù))(*sETse例例 2 設(shè)設(shè) 為常數(shù)為常數(shù),試求試求 的拉氏變換的拉氏變換.)(*teateteat,0,)(式中式中, 為為 s 的實(shí)部的實(shí)部,上式也是上式也是 的有理函數(shù)的有理函數(shù).Tse解解: 由式由式( 7),有有) 1(11)()()(0)(0*TaaTTsTsTasnTasnnnTsanTeeeeeeeesE例例 3 設(shè)設(shè) 試求試求 的拉氏變換的拉氏變換.)(*te,0,)(2teetett解解: 對(duì)于給定的對(duì)于給定的 e(t) , 顯然有顯然有)2)(1(1)(sssE則由式則由式( 12),可得可得)()

25、(1111)()(22)2()1(02*TTsTTsTsTTnTnTnnTsnTnTeeeeeeeeeeeesE以上分析表明以上分析表明,盡管盡管 是是 的的有理函數(shù)有理函數(shù),但卻是復(fù)變量但卻是復(fù)變量 s 的的超越超越函數(shù)函數(shù),不便于進(jìn)行分析和設(shè)計(jì)不便于進(jìn)行分析和設(shè)計(jì).為此為此,通常采用通常采用 z 變換法研究離散系變換法研究離散系統(tǒng)統(tǒng). z 變換可以把離散系統(tǒng)的變換可以把離散系統(tǒng)的 s 超越方程變換為變量超越方程變換為變量 z 的代數(shù)方程的代數(shù)方程.)(*sETse 采樣信號(hào)的頻譜采樣信號(hào)的頻譜 由于采樣信號(hào)的信息并不等于連續(xù)信號(hào)的全部信息由于采樣信號(hào)的信息并不等于連續(xù)信號(hào)的全部信息,所以采

26、樣信所以采樣信號(hào)的頻譜與連續(xù)信號(hào)的頻譜相比號(hào)的頻譜與連續(xù)信號(hào)的頻譜相比,要發(fā)生變化要發(fā)生變化.研究采樣信號(hào)的頻譜研究采樣信號(hào)的頻譜,目的是找出目的是找出 與與 之間的相互聯(lián)系之間的相互聯(lián)系.)(*sE)(sE( 8)( 8)ntjnnTseCt)( 式式( 3)( 3)表明表明, ,理想單位脈沖序列理想單位脈沖序列 是一個(gè)周期函數(shù)是一個(gè)周期函數(shù),可將其可將其展展開為如下形式的富氏級(jí)數(shù)開為如下形式的富氏級(jí)數(shù)：)(tTdtetTCTTtjnTns22)(1式中式中, ,為采樣角頻率為采樣角頻率, 是富氏系數(shù)是富氏系數(shù),其值為其值為Ts2nC由于在由于在 區(qū)間中區(qū)間中, 僅在僅在 t=0 時(shí)有值時(shí)有

27、值,且且所以所以2,2 TT)(tT10ttjnse001)(1TdttTCn( 9)( 9)將式將式( 9)代入式代入式( 8),得得ntjnTseTt1)( 10)( 10)再把式再把式( 10)代入式代入式( 2),有有ntjnseteTte)(1)(*( 11)( 11)對(duì)上式兩邊取拉氏變換對(duì)上式兩邊取拉氏變換,由拉氏變換的復(fù)數(shù)位移定理由拉氏變換的復(fù)數(shù)位移定理,得到：得到：nsjnsETsE)(1)(*( 12)( 12)上式說明：上式說明：1采樣開關(guān)前后信號(hào)的拉氏變換采樣開關(guān)前后信號(hào)的拉氏變換 之間之間的關(guān)系；的關(guān)系；)()(*sEsE與2 是是S S的周期函數(shù)。的周期函數(shù)。)(*s

28、E式中：式中： -原函數(shù)原函數(shù)e( (t) )的頻譜，最高頻率為的頻譜，最高頻率為)( jEh)(* jE-調(diào)幅脈沖序列調(diào)幅脈沖序列 的頻譜，以的頻譜，以 為周期。為周期。)(*teS 以以 代入（在頻域內(nèi)）代入（在頻域內(nèi)）, ,上式變?yōu)椋荷鲜阶優(yōu)椋?js ( 13)( 13)nsnjETjE)(1)(*即離散信號(hào)與連續(xù)信號(hào)頻譜關(guān)系。即離散信號(hào)與連續(xù)信號(hào)頻譜關(guān)系。 )( jE0h2hh圖圖 5 5 連續(xù)連續(xù)信號(hào)信號(hào)的頻譜的頻譜信號(hào)復(fù)現(xiàn)的條件：信號(hào)復(fù)現(xiàn)的條件：加一個(gè)如圖加一個(gè)如圖 7所示的理想所示的理想濾波器。濾波器。12脈沖序列互不搭接，即：脈沖序列互不搭接，即：hS20h2S )(* jEn

29、=-1n=0n=1)(1 jET圖圖 6 6 采樣采樣信號(hào)信號(hào)的頻譜的頻譜( )( )hs202S 2S 1.0)( jG 圖圖 7 7 理想理想濾波器的頻率特性濾波器的頻率特性 2 , 02 , 1)j (Gss 如果滿足條件如果滿足條件 s s 2 2 h h ，頻譜的主分量與補(bǔ)分量相互分離，頻譜的主分量與補(bǔ)分量相互分離，可以采用一個(gè)可以采用一個(gè)低通濾波器低通濾波器，將采樣信號(hào)頻譜中的鏡像頻譜濾除，將采樣信號(hào)頻譜中的鏡像頻譜濾除，來恢復(fù)原連續(xù)時(shí)間信號(hào)來恢復(fù)原連續(xù)時(shí)間信號(hào)。 當(dāng)當(dāng) s s 2 2 h h 時(shí)，采樣頻譜中的補(bǔ)分量相互交疊，致使采樣時(shí)，采樣頻譜中的補(bǔ)分量相互交疊，致使采樣器的輸出

30、信號(hào)發(fā)生畸變。器的輸出信號(hào)發(fā)生畸變。h-h0 )(*jE 1Ts-s T|E*()| 0 h -h s -s 理想 低通濾波器 2s -2s 實(shí)際使用時(shí)實(shí)際使用時(shí)，hS)105( 2.3 香農(nóng)香農(nóng)（shannon）采樣定理采樣定理 為使采樣后的脈沖序列頻譜互不搭接，采為使采樣后的脈沖序列頻譜互不搭接，采樣頻率必須大于或等于原信號(hào)所含的最高頻率樣頻率必須大于或等于原信號(hào)所含的最高頻率的兩倍的兩倍 )22(2hThS這樣才有可能通過理想濾波器這樣才有可能通過理想濾波器, ,把原信號(hào)毫無(wú)畸變把原信號(hào)毫無(wú)畸變地恢復(fù)出來地恢復(fù)出來( 14)( 14) 2.4 采樣周期的選?。ú蛔鲆螅┎蓸又芷诘倪x取（不

31、做要求） 采樣定理只是給出了采樣周期選擇的基本原則采樣定理只是給出了采樣周期選擇的基本原則,并未給出選擇采并未給出選擇采樣周期的具體計(jì)算公式樣周期的具體計(jì)算公式.一般一般: T: 對(duì)控制過程的信息獲得越多對(duì)控制過程的信息獲得越多,控制效果也會(huì)越好控制效果也會(huì)越好;但計(jì)算量但計(jì)算量加大加大,實(shí)現(xiàn)較復(fù)雜控制規(guī)律的難度加大實(shí)現(xiàn)較復(fù)雜控制規(guī)律的難度加大. T: 給控制過程帶來較大的誤差給控制過程帶來較大的誤差,降低系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能降低系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能,甚至有可甚至有可能使控制系統(tǒng)不穩(wěn)定能使控制系統(tǒng)不穩(wěn)定. 因此因此,采樣周期的選取是數(shù)字控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)中的一個(gè)關(guān)鍵因素采樣周期的選取是數(shù)字控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)中的一個(gè)關(guān)

32、鍵因素,必須加以充分注意必須加以充分注意,要依據(jù)實(shí)際情況綜合考慮要依據(jù)實(shí)際情況綜合考慮,合理選擇合理選擇. 在一般工業(yè)在一般工業(yè)過程控制過程控制中中,實(shí)踐表明實(shí)踐表明,根據(jù)表根據(jù)表 1 給出的參考數(shù)給出的參考數(shù)據(jù)選擇采樣周期據(jù)選擇采樣周期 T ,可以取得滿意的控制效果可以取得滿意的控制效果.表表 1 工業(yè)過程工業(yè)過程T的選擇的選擇控制過程控制過程采樣周期采樣周期T(s)流流 量量 1壓壓 力力 5液液 面面 5溫溫 度度 20成成 分分 20 對(duì)于快速對(duì)于快速隨動(dòng)系統(tǒng)隨動(dòng)系統(tǒng),采樣周期采樣周期 T 的選擇將是系統(tǒng)設(shè)計(jì)中必須予以的選擇將是系統(tǒng)設(shè)計(jì)中必須予以認(rèn)真考慮的問題認(rèn)真考慮的問題.采樣周期的

33、選取采樣周期的選取,在很大程度上取決于系統(tǒng)的性能指在很大程度上取決于系統(tǒng)的性能指標(biāo)標(biāo).由于由于 , 所以采樣周期可按下式選取所以采樣周期可按下式選取sT2sT15( 16)( 16) 從時(shí)域性能指標(biāo)來看從時(shí)域性能指標(biāo)來看,采樣周期采樣周期 T 通過單位階躍響應(yīng)的上升時(shí)間通過單位階躍響應(yīng)的上升時(shí)間tr 或調(diào)節(jié)時(shí)間或調(diào)節(jié)時(shí)間 ts 按下列經(jīng)驗(yàn)公式選取按下列經(jīng)驗(yàn)公式選取:或或rtT101stT401( 17)( 17) 從頻域性能指標(biāo)來看從頻域性能指標(biāo)來看,工程實(shí)踐表明工程實(shí)踐表明,隨動(dòng)系統(tǒng)的采樣角頻率可隨動(dòng)系統(tǒng)的采樣角頻率可以取為以取為 10cs( 15)( 15)（ 為開環(huán)系統(tǒng)的截止頻率）為開環(huán)

34、系統(tǒng)的截止頻率）c 理想濾波器是不易實(shí)現(xiàn)的，而通常用的濾波器就是保持電路。即把理想濾波器是不易實(shí)現(xiàn)的，而通常用的濾波器就是保持電路。即把數(shù)字信號(hào)數(shù)字信號(hào) e( (nT) ) 轉(zhuǎn)換成模擬信號(hào)轉(zhuǎn)換成模擬信號(hào) e( (t) ) 的裝置，稱為的裝置，稱為保持器保持器或或復(fù)復(fù)現(xiàn)濾波器現(xiàn)濾波器. .保持器的任務(wù)就是解決保持器的任務(wù)就是解決各采樣點(diǎn)各采樣點(diǎn)之間的之間的插值問題插值問題。一階保持器（一階保持器（線性外推線性外推） 2.5 信號(hào)保持信號(hào)保持把采樣信號(hào)恢復(fù)為原來的連續(xù)信號(hào)稱為信號(hào)的復(fù)現(xiàn)。把采樣信號(hào)恢復(fù)為原來的連續(xù)信號(hào)稱為信號(hào)的復(fù)現(xiàn)。理想濾波器；理想濾波器；實(shí)際使用的方法：保持器實(shí)際使用的方法：保持

35、器零階保持器（零階保持器（恒值外推恒值外推）信號(hào)的復(fù)現(xiàn)：信號(hào)的復(fù)現(xiàn)：實(shí)現(xiàn)方法：實(shí)現(xiàn)方法：采樣開關(guān)采樣開關(guān)理想濾波器理想濾波器 保持器的數(shù)學(xué)描述保持器的數(shù)學(xué)描述 保持器是具有外推功能的元件保持器是具有外推功能的元件.保持器的外推作用保持器的外推作用,表現(xiàn)為現(xiàn)在時(shí)表現(xiàn)為現(xiàn)在時(shí)刻的輸出信號(hào)取決于過去時(shí)刻離散信號(hào)的外推刻的輸出信號(hào)取決于過去時(shí)刻離散信號(hào)的外推.通常通常,采用如下多項(xiàng)采用如下多項(xiàng)式外推公式描述保持器：式外推公式描述保持器：mmtatataatnTe)(.)()(2210( 18)( 18)式中式中, 是以是以 nT 時(shí)刻為原點(diǎn)的坐標(biāo)時(shí)刻為原點(diǎn)的坐標(biāo).式式( 18)表示現(xiàn)在時(shí)刻的輸出表示現(xiàn)

36、在時(shí)刻的輸出 值值,取決于取決于 各過去時(shí)刻的離散各過去時(shí)刻的離散信號(hào)信號(hào) 的的 個(gè)值個(gè)值.t)(tnTemTTTt,2,0TmneTneTnenTe)(,)2(,) 1(, )(*) 1(m外推公式中外推公式中(m+1)個(gè)待定系數(shù)個(gè)待定系數(shù) , 唯一地由過去各采唯一地由過去各采樣時(shí)刻樣時(shí)刻(m+1)個(gè)離散信號(hào)值個(gè)離散信號(hào)值 來確定來確定,故系數(shù)故系數(shù) ai 有唯一解有唯一解.這樣的保持器稱為這樣的保持器稱為 m 階保持器階保持器.若取若取m=0 , 則稱零階保持則稱零階保持器器; m=1 稱一階保持器稱一階保持器.在工程實(shí)踐中在工程實(shí)踐中,普遍采用零階保持器普遍采用零階保持器.),1,0(m

37、iai),1,0()(*miTine 零階保持器（零階保持器（Zero-order hold)零階保持器（零階保持器（）的外推公式為：）的外推公式為：0)(atnTe當(dāng)當(dāng) 時(shí)，可求得：時(shí)，可求得： , ,從而零階保持器的數(shù)學(xué)表達(dá)式從而零階保持器的數(shù)學(xué)表達(dá)式為為0t)(0nTea ( 19)( 19)TtnTetnTe0, )()(上式說明上式說明,零階保持器是一種按常值外推的保持器零階保持器是一種按常值外推的保持器,它把前一采樣時(shí)刻它把前一采樣時(shí)刻 nT 的采樣值的采樣值 e(nT) 一直保持到下一采樣時(shí)刻一直保持到下一采樣時(shí)刻(n+1)T到來之前（到來之前（ ）,從而使采樣信號(hào)從而使采樣信號(hào)

38、 變成階梯信號(hào)變成階梯信號(hào) , )(*te)(teh0*)()()(nnTtnTete0) 1(1)( 1)()(nhTntnTtnTetet0)(*tet0)(teh)(*te零階零階保持器保持器)(teh圖圖 8 8 零階保持器零階保持器由于零階保持器前后的信號(hào)可分別表示為：由于零階保持器前后的信號(hào)可分別表示為：如圖如圖 8 8所示所示. . 零階保持器的數(shù)學(xué)模型零階保持器的數(shù)學(xué)模型 采樣點(diǎn)值的常值外推，其輸入輸出關(guān)系如圖采樣點(diǎn)值的常值外推，其輸入輸出關(guān)系如圖 t 0 e ( t ) T 2 T e ( t - T / 2 ) )t(eh tgh(t)01Tt1(t)01T-1(t-T)-

39、1)(*te)(teh和和 的拉氏變換分別為：的拉氏變換分別為：零階保持器的傳遞函數(shù)為：零階保持器的傳遞函數(shù)為：seeEeEsesEsEsGTsnnTsnnnTsnTshh11)()()(00*( 20)( 20)0)1(0*)()(nTsnnTsnhnnTsnseeEsEeEsE其頻率特性為（以其頻率特性為（以 代入）：代入）： js 2222)2()2sin(2)(21)(TjTjTjTjTjheTTTjeeejejG( 21)( 21)若以采樣角頻率若以采樣角頻率 來表示來表示,則上式可寫為則上式可寫為:Ts2)()()(sin2)(sjssshejG( 22)( 22)根據(jù)上式根據(jù)上式

40、,可畫出零階保持器的幅頻特性可畫出零階保持器的幅頻特性 和相頻特性和相頻特性如圖如圖 9所示所示.)(jGh)(jGh2jsineejj 由圖可見由圖可見,零階保持器具有如零階保持器具有如下特性下特性: 低通特性低通特性.零階保持器基零階保持器基本上是一個(gè)低通濾波器本上是一個(gè)低通濾波器,但與理但與理想濾波器相比想濾波器相比,在在 時(shí)時(shí),其幅其幅值只有初值的值只有初值的0.63 2s 相角滯后特性相角滯后特性.相角滯后隨相角滯后隨 的增大而增加的增大而增加,從而使閉環(huán)系統(tǒng)從而使閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性變差的穩(wěn)定性變差. 時(shí)間滯后特性時(shí)間滯后特性.零階保持器的輸出為階梯信號(hào)零階保持器的輸出為階梯信號(hào)eh(

41、t),其平均響應(yīng)其平均響應(yīng)為為 ,表明其輸出比輸入在時(shí)間上要滯后表明其輸出比輸入在時(shí)間上要滯后T/2,對(duì)系統(tǒng)的穩(wěn)定對(duì)系統(tǒng)的穩(wěn)定性不利性不利.此外此外,階梯輸出也同時(shí)增加了系統(tǒng)輸出的波紋階梯輸出也同時(shí)增加了系統(tǒng)輸出的波紋.)2(Tte 圖圖 9 9 零階保持器的零階保持器的頻率特性頻率特性0 3 2hG2T S S 2S 32S )( jGh0.637T21111)11 (11)(22sTTssessesGTsTshTsTTsssGh11111)(212121111)(2222sTTsTsTsTTsssGh取前三項(xiàng)取前三項(xiàng)取前兩項(xiàng)取前兩項(xiàng) ui R1 C uo R2 R3 L 2 階實(shí)現(xiàn) R C

42、 ui uo 1階實(shí)現(xiàn) 零階保持器零階保持器T=0.4T=0.8T=0.2T=3（3 3）、一階保持器（）、一階保持器（First order holdFirst order hold）( (自學(xué)自學(xué)） 3 z 3 z 變換理論變換理論z z 變換變換：變換域關(guān)系：變換域關(guān)系連續(xù)時(shí)間信號(hào)：連續(xù)時(shí)間信號(hào)：e e( (t t) ) 拉氏變換：拉氏變換：E E( (s s) )離散時(shí)間信號(hào)：離散時(shí)間信號(hào)：e e( (nTnT) ) Z Z 變換：變換： E E( (z z) )引入一個(gè)新的變量引入一個(gè)新的變量z z，令：，令：Tsez ( 25)( 25) 3.1 z 3.1 z 變換變換定義定義對(duì)

43、于采樣函數(shù)對(duì)于采樣函數(shù):0*)()()(nnTtnTete取拉氏變換取拉氏變換:0*)()()(nnTsenTesEteL說明說明:z:z變換僅僅是一種取變換僅僅是一種取 的變量置換，通過它將的變量置換，通過它將s s的超越的超越 函數(shù)變?yōu)楹瘮?shù)變?yōu)閦 z的冪級(jí)數(shù)或的冪級(jí)數(shù)或z z的有理分式。的有理分式。)()()()(0*teZznTezEsEnn( 26)( 26)則則:Tsez i i、z z變換的離散特性變換的離散特性z z變換所處理的對(duì)象是離散時(shí)間序列，而不帶有原信號(hào)采樣點(diǎn)之間變換所處理的對(duì)象是離散時(shí)間序列，而不帶有原信號(hào)采樣點(diǎn)之間的任何信息。的任何信息。 T e1(t) t 0 1

44、T e2(t) t 0 1 T e3(t) t 0 1 )()()(321zEzEzE)()()(321teteteiiii、z z變換的時(shí)間特性變換的時(shí)間特性采樣信號(hào)展開式采樣信號(hào)展開式作作z z變換變換 調(diào)制脈沖調(diào)制脈沖 ( (t t- -nTnT) )對(duì)應(yīng)于變換算子對(duì)應(yīng)于變換算子 z z-1-1 ， z z-1-1又稱為一步延遲又稱為一步延遲因子，因子， z z變換算子變換算子 z z 帶有明確的時(shí)間信息。帶有明確的時(shí)間信息。 )2()2()()()()0()()()(0TtTeTtTete nTtnTeten210)2()()0()()(zTezTeeznTezEnniiiiii、z

45、z變換的收斂和特性變換的收斂和特性z z變換定義為變換定義為以以z z為自變量的為自變量的羅朗級(jí)數(shù)羅朗級(jí)數(shù)。 收斂條件收斂條件 0)()(nnznTezE1z例例 4 4 求單位階躍函數(shù)的求單位階躍函數(shù)的z z變換變換.1111)( 1)( 1)()( 1)(:320zzzznTtZzEttenn所以所以因?yàn)橐驗(yàn)榻饨?.1-11)(1 -zzzzzE: :其其和和為為, ,的的幾幾何何級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)1 1首首項(xiàng)項(xiàng)為為, ,z z1 1上上式式是是一一個(gè)個(gè)公公比比為為 3.2 z 3.2 z 變換變換方法方法 級(jí)數(shù)求和法級(jí)數(shù)求和法（從定義出發(fā)）（從定義出發(fā)）例例 5 5 求理想脈沖序列求理想脈沖序列

46、的的z z變換變換)(tT0)()()(nTnTttte解解: 因?yàn)橐驗(yàn)?T 為采樣周期為采樣周期,故故0*)()()(nTnTttte由拉氏變換知由拉氏變換知0*)(nnsTesE因此因此2101)(zzzzEnn把上式寫成閉合形式把上式寫成閉合形式.得得 的的z變換為變換為)(tT) 1(111)(11zzzzzE 從例從例 4和例和例 5可見可見,相同的相同的z變換變換 E(z) 對(duì)應(yīng)于相同的采樣函數(shù)對(duì)應(yīng)于相同的采樣函數(shù) ,但是不一定對(duì)應(yīng)于相同的連續(xù)函數(shù)但是不一定對(duì)應(yīng)于相同的連續(xù)函數(shù) e(t).)(*te例例 6 6 求指數(shù)函數(shù)求指數(shù)函數(shù) 的的 z變換變換atete-)(aTaTaTez

47、ezzzezE11)(00)()(nnaTnnanTzezezE解解:zeaT這是一個(gè)首項(xiàng)為這是一個(gè)首項(xiàng)為1、公比為、公比為 的幾何級(jí)數(shù)的幾何級(jí)數(shù), 其和為其和為:例例 7 7 求求 e( (t)=)=t 的的z變換變換CzzzdzdzzEzzzzTzzEzzzTnTzzEnTnTenn32432320111)(:321)(:,321)(:)(:積積分分兩兩邊邊對(duì)對(duì)重重寫寫上上式式級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)形形式式為為了了得得到到大大家家所所熟熟悉悉的的則則因因?yàn)闉榻饨?.) 1-()(1.) 1-(1)(:1111)(:.,22111-1-zzTzzEzzTzzEzzzCzzCdzTzzEzz微分得微分得此方

48、程兩邊對(duì)此方程兩邊對(duì)則則幾何級(jí)數(shù)幾何級(jí)數(shù)的的公比為公比為個(gè)首項(xiàng)為個(gè)首項(xiàng)為上式右邊中括號(hào)內(nèi)是一上式右邊中括號(hào)內(nèi)是一例例 8 8 求求 的的z z變換變換)()(assasE)-)(1-()-1 (-1-)(.-1;1-1:1-1)(:)(:-aTaTaTaTezzezezzzzzEezzaszzsZasssEsE變變換換表表查查分分解解將將解解 部分分式法部分分式法 先求出已知連續(xù)函數(shù)先求出已知連續(xù)函數(shù) e(t) 的拉氏變換的拉氏變換 E(s), 然后將其分解然后將其分解為部分分式之和為部分分式之和,再利用再利用z變換表求出每一部分分式對(duì)應(yīng)的變換表求出每一部分分式對(duì)應(yīng)的z變變換換,最后相加即可最

49、后相加即可.表表 2 2 Z Z 變變 換換 表表E(s)e(t)E(z)1)(t 1nTse)(nTt nzs11(t)1zz21st2) 1( zTzas1ateaTezz)(assaate1)(1()1 (aTaTezzze22 st sin1cos2sin2TzzTz 22 sst cos1cos2)cos(2TzzTzz 2)(1asatte2)(aTaTezTze22)( asteat sinaTaTaTeTzezTze22cos2sin 22)( asasteat cosaTaTaTeTzezTzez222cos2cos 32s2t32) 1() 1(zzzTKaazz由表看出：

50、由表看出：注意注意：z 反變換給出的不是時(shí)間連續(xù)函數(shù)，而是一組離散采樣點(diǎn)上反變換給出的不是時(shí)間連續(xù)函數(shù)，而是一組離散采樣點(diǎn)上 的函數(shù)值，因而的函數(shù)值，因而 z 反變換不是唯一的。反變換不是唯一的。 3 3）E( (z) )的分母多項(xiàng)式中的分母多項(xiàng)式中 z 的階次與相應(yīng)的階次與相應(yīng)E( (s) )的分母多項(xiàng)式的分母多項(xiàng)式中中 s 的階次相同。的階次相同。 2 2）E( (z) )中，分母多項(xiàng)式中，分母多項(xiàng)式 z 的階次大于等于分子多項(xiàng)式的階次大于等于分子多項(xiàng)式 z 的的階次。階次。1 1）常用函數(shù)的）常用函數(shù)的 z 變換都是變換都是 z 的有理分式。的有理分式。（3） 留數(shù)計(jì)算法（僅供參考）留數(shù)

51、計(jì)算法（僅供參考）niiniTpiRezzpEresteZzEi11*)()()( 設(shè)連續(xù)函數(shù)設(shè)連續(xù)函數(shù)e(t)e(t)的拉普拉斯變換的拉普拉斯變換E(S)E(S)及全部極點(diǎn)已知及全部極點(diǎn)已知, ,則可用則可用留數(shù)計(jì)算法求留數(shù)計(jì)算法求Z Z變換變換當(dāng)當(dāng)E(S)E(S)具有一階極點(diǎn)具有一階極點(diǎn)s=ps=p1 1時(shí)時(shí), ,其留數(shù)為其留數(shù)為TppsiezzsEpsR)()(lim111當(dāng)當(dāng)E(S)E(S)具有具有q q階重復(fù)極點(diǎn)時(shí)階重復(fù)極點(diǎn)時(shí), ,其留數(shù)為其留數(shù)為TpqqqpsiezzsEpsdsdqR)()(lim)!1(11111例：例： 求求tcos的的Z Z變換變換)()(22jsjssss

52、sE解解: :TjsTjsezzezzjsjssjsR21)()(lim1TjsTjsezzezzjsjssjsR21)()(lim2例：例： 求求tte)(的的Z Z變換變換解解: :21)(ssE具有兩階重極點(diǎn)具有兩階重極點(diǎn)20220) 1(lim1)0(limzTzezzdsdezzssdsdRsTssTs2) 1()(zTzzE322) 1() 1()()(zzzTzEtte設(shè)設(shè) Z e( (t)=)=E( (z),),則則: : 線性定理線性定理)()()()(2121zEbzEatebteaZ( 27)( 27)式中式中, , 為常數(shù)或與為常數(shù)或與t, ,z無(wú)關(guān)的量。無(wú)關(guān)的量。,b

53、a 3.3 z 3.3 z 變換變換性質(zhì)性質(zhì)z 變換的基本定理變換的基本定理,與拉氏變換的基本定理有相似之處與拉氏變換的基本定理有相似之處. 實(shí)數(shù)位移定理（平移定理）實(shí)數(shù)位移定理（平移定理） 設(shè)連續(xù)函數(shù)設(shè)連續(xù)函數(shù) e( (t),),當(dāng)當(dāng) t 0 時(shí)，時(shí)，e( (t)=)=0 則則: :( 28)( 28)()(zEzkTteZk以及以及10)()()(knnkznTezEzkTteZ( 29)( 29)式中式中 k 為正整數(shù)為正整數(shù).證明：由證明：由z變換定義變換定義0nknkn0nzTknezzkTnTekTteZ)()()()(令令m=n-k, m=n-k, 則有則有kmmkzmTezkT

54、teZ)()(由于由于z z變換的單邊性，當(dāng)變換的單邊性，當(dāng)m0m0時(shí)，有時(shí)，有e(mT)=0, e(mT)=0, 所以所以0mmkzmTezkTteZ)()(令令m=n, m=n, 立即得證式立即得證式( 28)( 28)。取取k=1, k=1, 得得0n1n0nnzT1nezzTnTeTteZ)()()()(令令m=n+1, m=n+1, 上式可寫為上式可寫為)()()()()()(0ezZz0ezmTezzmTezTteZ0mm1mm取取k=2, k=2, 同理，得同理，得)()()()()()()(n10n20m1m22mm2znTezZz Tez0ezmTezzmTez2TteZ取取

55、k=kk=k時(shí)，必有時(shí)，必有1k0nnkznTezEzkTteZ)()()( 復(fù)數(shù)位移定理復(fù)數(shù)位移定理 )()(aTatzEteZee( 30)( 30) 例例 9 9 試用實(shí)數(shù)位移定理計(jì)算延遲一個(gè)采樣周期的指數(shù)函數(shù)試用實(shí)數(shù)位移定理計(jì)算延遲一個(gè)采樣周期的指數(shù)函數(shù) 的的 z z 變換變換. .其中其中 a a 為常數(shù)為常數(shù). .)(Ttae解解: 由式由式( 28)aTaTatTtaezezzzeZzeZ111)( 代表時(shí)域中得代表時(shí)域中得滯后環(huán)節(jié)滯后環(huán)節(jié)，它將采樣信號(hào)滯后，它將采樣信號(hào)滯后k k個(gè)采樣周期；個(gè)采樣周期；同理，同理， 代表時(shí)域中得代表時(shí)域中得超前環(huán)節(jié)超前環(huán)節(jié)，它將采樣信號(hào)超前，它

56、將采樣信號(hào)超前k k個(gè)采樣周個(gè)采樣周期。期。zkzk證明：由證明：由z變換的定義變換的定義0nnaT0nnanTatznTeznTeteZ)e)()(e)(e 令令aT1zz e則有則有0naTn1atzEznTeteZ)e()()(e 初值定理：如果初值定理：如果e(t)e(t)的的z z變換為變換為E(z),E(z),并且并且 是存在是存在的，則的，則e(t)e(t)或或e(nT)e(nT)的初始值的初始值e(0)e(0)為為)(lim)0(zEez( 31)( 31)(limzEz證明：由證明：由z變換定義變換定義210nnz2TezTe0eznTezE)()()()()(可見可見z時(shí)，

57、即可證得結(jié)論。時(shí)，即可證得結(jié)論。)() 1-(lim)(1zEzez( 32)( 32) 終值定理：如果終值定理：如果e(t)e(t)的的z z變換為變換為E(z),E(z),序列序列e(nT)e(nT)為有限為有限值，且值，且 存在，則存在，則)(limnTen證明：由證明：由z變換線性定理變換線性定理0nnznTeT1neteZTteZ)()()()(由平移定理由平移定理)()()(0zezzETteZ于是于是0nnznTeT1ne0zezE1z)()()()()(0n0nn1z1znTeT1neznTeT1nelim0ezE1zlim )()()()()()()(當(dāng)取當(dāng)取n=Nn=N為有

58、限項(xiàng)時(shí)，上式右端可寫為為有限項(xiàng)時(shí)，上式右端可寫為0n0eT1NenTeT1ne)()()()(N)()()()()()(0enTelim 0eT1NelimnTeT1nen0nN所以所以)()()(zE1zlimnTelim1zn終值定理亦可表示為終值定理亦可表示為)()()()(zEz1limnTelime11zn)(-)(zEdzdTztetZ( 33)( 33)證明：由證明：由z變換定義變換定義)()()()()(zEdzdTz znTedzd-Tz zdzde(nT)z-T znTnTetteZ0nnn0n0nn卷積和定理卷積和定理G(s)G(z)r(t)(*trR(z)c(t)C(z

59、)(*tc一個(gè)離散系統(tǒng)一個(gè)離散系統(tǒng)00dtrgdrtgtc)()()()()(線性定常系統(tǒng)，輸入輸出關(guān)系可用線性定常系統(tǒng)，輸入輸出關(guān)系可用卷積分卷積分表示表示0nnznTczCtcZ)()()()(g為系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)函數(shù)。對(duì)于離散系統(tǒng)，存在為系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)函數(shù)。對(duì)于離散系統(tǒng)，存在卷積和卷積和關(guān)系。關(guān)系。因?yàn)橐驗(yàn)?為一串脈沖，所以對(duì)象對(duì)輸入量為一串脈沖，所以對(duì)象對(duì)輸入量 的響應(yīng)，是各個(gè)的響應(yīng)，是各個(gè)脈沖響應(yīng)之和。當(dāng)脈沖響應(yīng)之和。當(dāng) 時(shí)時(shí))(*tr)(*trnTt0n0hhTrhTtg nTrnTtg2Tr2TtgTrTtg0rtgtc)()()()()()()()()()()(輸出量輸出量c(t

60、)c(t)在采樣瞬時(shí)在采樣瞬時(shí)t=nT, n=0,1,2,t=nT, n=0,1,2, ,n0hn0hhTghTnTrhTrhTnTgnTc)()()()()(卷積和卷積和簡(jiǎn)記為簡(jiǎn)記為)()()(nTgnTrnTc當(dāng)當(dāng) 時(shí)，時(shí)，nh 0hTnTg)(),(, )()()( 2, 1, 0n hTrhTnTgnTc 0h)()()()()()()()()()()()()(zRzG zRzmTg zhTrzmTg zhTrmTg zhTrhTnTg znTczC0mm0m0hhm0m0hhm0n0hn0nn則有則有)()()(zRzGzC( 34)( 34) 3.4 z 3.4 z 反反變換變換Z