1、 第七章 應力和應變分析 強度理論7.1 7.1 應力狀態(tài)概述應力狀態(tài)概述1 1、問題提出、問題提出M低碳鋼鑄鐵PP鑄鐵拉伸 P鑄鐵壓縮1) 1)由軸向拉壓和圓軸扭轉(zhuǎn)試驗，可測得由軸向拉壓和圓軸扭轉(zhuǎn)試驗，可測得 和和 并建立強度條件；并建立強度條件； 2 2）構(gòu)件內(nèi)同一點處不同方位的截面上應力不同；）構(gòu)件內(nèi)同一點處不同方位的截面上應力不同；1 1）2 2、應力的三個概念、應力的三個概念FFA2 2） 過一點有無數(shù)的截面，這一點的各個截面上應力情況過一點有無數(shù)的截面，這一點的各個截面上應力情況的集合，稱為這點的應力狀態(tài)。的集合，稱為這點的應力狀態(tài)。3 3、一點應力狀態(tài)的描述、一點應力狀態(tài)的描述1

2、) 1)每個面上的應力均布，應力正負用箭頭方向表示；每個面上的應力均布，應力正負用箭頭方向表示；2)2)平行面上的應力大小相同、方向相反；平行面上的應力大小相同、方向相反；單元體：單元體：圍繞構(gòu)件內(nèi)一點截取的微小正六面體。圍繞構(gòu)件內(nèi)一點截取的微小正六面體。單元體的性質(zhì)與特點：單元體的性質(zhì)與特點：yxz xys sz s ss syx4 4、主應力及相關(guān)概念、主應力及相關(guān)概念1) 1)主平面：主平面：單元體上切應力為零的平面單元體上切應力為零的平面2)2)主單元體：主單元體：各面均為主平面的單元體，主單元體上有三對各面均為主平面的單元體，主單元體上有三對主平面；主平面；旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn)yxzs s2s

3、s3s s1s sxs sz xy xz zx zy yz yxs sy3)3)主應力：主應力：主平面上的正應力，用主平面上的正應力，用1 1、2 2、3 3表示，且表示，且1 1 2 2 3 3（按代數(shù)值排列）（按代數(shù)值排列）xyz3 3）主方向：）主方向： 主平面的法線方向。主平面的法線方向。1 1）三向（空間）應力狀態(tài)：）三向（空間）應力狀態(tài)：5 5、三種應力狀態(tài)、三種應力狀態(tài)三個主應力都不為零的應力狀態(tài)。三個主應力都不為零的應力狀態(tài)。一個主應力為零的應力狀態(tài)。一個主應力為零的應力狀態(tài)。一個主應力不為零的應力狀態(tài)。一個主應力不為零的應力狀態(tài)。FPl/2l/2I平面平面1231xs222x

4、s335432154321I平面平面2PF4PlFMz7.2 7.2 二向和三向應力狀態(tài)實例二向和三向應力狀態(tài)實例1 1、薄壁圓筒的應力狀態(tài)、薄壁圓筒的應力狀態(tài)lts sms s42DpsDmpsmsm42mDpDss4mpD0 xFplpDls2ts2tpD0yFststst (2 l )ppDllts sms ss4mpDs2tpDtt2 2、三向應力狀態(tài)實例、三向應力狀態(tài)實例滾珠與外環(huán)接觸點；火車輪與鋼軌的接觸點等；滾珠與外環(huán)接觸點；火車輪與鋼軌的接觸點等；MPatpD754ss 1 =75MPa,s 2 =150MPa, s 3 0 例例7.17.1由A3鋼制成的蒸汽鍋爐,t=10mm

5、, D=1m。p=3MPa。求三個主應力MPatpD1502s解：解：7.3 7.3 二向應力狀態(tài)分析二向應力狀態(tài)分析解析法解析法1 1、單元體各面上的應力規(guī)、單元體各面上的應力規(guī)定定1 1） x x 面即外法線沿面即外法線沿x x方向的單元面；方向的單元面； 面表示外法線沿與面表示外法線沿與x x軸成軸成角角 的單元面；的單元面；2 2） 從從x x正向正向逆時針為正。逆時針為正。3 3）正應力）正應力s s 與截面外法線同向為正；與截面外法線同向為正；4 4）切應力）切應力 使單元體順時針轉(zhuǎn)為正；使單元體順時針轉(zhuǎn)為正； yxsysxs yx等等價價s sx xys syxyzxys sx

6、xys syOs sy xys sxs s xyOn2 2、任一斜截面上的應力計算公式、任一斜截面上的應力計算公式設：斜截面積為設：斜截面積為dAdA，由分離體平衡得：由分離體平衡得： Fn00cossinsinsincoscos22sssdAdAdAdAdAyxyxyxsssss2sin2cos22xyyxyxss2cos2sin2xyyx考慮剪應力互等和三角變換，得：考慮剪應力互等和三角變換，得：同理：同理：s sy xys sxs s xyOn)sin(coscossin)(cossin2sincos2222ssssssxyyxxyyxsin2cossin2 引入22cos1cos222

7、cos1sin23 3、 應力極值應力極值02cos22sin:000sssxyyxdd令yxxyss22tg0和兩各極值：）、（由此的兩個駐點：20101極值正應力就是主應力 00）2222xyyxyxm inm ax s ss ss ss ss ss s （xys sx xys syO主主單元體單元體s s 在切應力相對的象限內(nèi)，在切應力相對的象限內(nèi)，且偏向于且偏向于s sx x 及及s sy y大的一側(cè)。大的一側(cè)。0dd:1令xyyxss22tg1222x yyxminmax s ss s ）（01045 , 4成即極值切應力面與主面min32max1; 0 ;sssss2s1s例例:

8、:圖示單元體，試求：圖示單元體，試求：=30=30o o斜截面上的應力；主應力并畫斜截面上的應力；主應力并畫出主單元體；極值切應力。出主單元體；極值切應力。403020單位：單位：MPa s s 402030 MPa3 .2060cos)20(60sin24030MPa8 .2960sin)20(60cos2403024030oooo s s MPa3 .45MPa3 .35202403024030 22s ss sMPa3 .402 s ss s 解：解：1) 1) =30=30o o斜截面上的應力斜截面上的應力2)2)主應力與主單元體主應力與主單元體3)3)極值切應力極值切應力14.9os

9、 s s s s s s s MPa3 .45 0MPa3 .35321 s ss ss ss ss s，主主單單元元體體如如上上o009 .144030202tan 204030 xyyxssq單元體上各點：單元體上各點：zxIMyszzxyIbSSF223122xyxxssss）（4 4、主應力跡線、主應力跡線主應力方向線的包絡線主應力方向線的包絡線 曲線上每一點的切線曲線上每一點的切線 都指示著該點的主拉應力（或主壓應力）方位都指示著該點的主拉應力（或主壓應力）方位實線表示主拉應力跡線實線表示主拉應力跡線虛線表示主壓應力跡線虛線表示主壓應力跡線s s 5 5s s3 31 12 2s s

10、 s s3 30s s3 34 4s s 0s s3 3s s 3 34512345sssssss2cos2sin22sin2cos22xyyxxyyxyx由由Otto （1835-1918）德國工程師提出）德國工程師提出2222)2cos2sin2()2sin2cos2()2(sssssssxyyxxyyxyxOs s 2 2應力圓的繪制應力圓的繪制s sxs sx xy yx xy yxs sys syxyC2 2 0 B1 s s A1s s 2 2 s s , , E EG1 G2 D(s sy, yx)BAD(s sx, xy)n s s 1) )選定坐標及比例尺；選定坐標及比例尺；

11、2) )取取x面的兩個應力值，定出面的兩個應力值，定出D(s sx , xy)點，點，取取y面的兩個應力值，定出面的兩個應力值，定出D(s sy , yx)點；點；3) )連連DD交交s s 軸于軸于C點，以點，以C為圓心，為圓心，DD為直徑作圓。為直徑作圓。圓上點，體上面；兩倍角，同向轉(zhuǎn)；圓上點，體上面；兩倍角，同向轉(zhuǎn)；s sx xys syxyOns s Os s CA(s sx , xy)B(s sy , yx)x2 nD( s s , 例：單元體與應力圓的例：單元體與應力圓的 對應關(guān)系對應關(guān)系1 1） 面上的面上的應力應力( (s s ， ) ) 應力圓上一點應力圓上一點( (s s

12、， ) )2 2） 面的法線面的法線 應力圓的應力圓的半徑半徑3 3）兩面夾角兩面夾角 兩半徑夾角兩半徑夾角2 2 ；且轉(zhuǎn)向一致。；且轉(zhuǎn)向一致。四、應力極值四、應力極值A(chǔ)(s sx , xy)minmaxCOs s B(s sy , yx)x2 2 0 0s s1s s2s s3223122 xyyxyxROCssssss）（半徑22minmax2xyyxRss）（半徑例例: 圖示單元體，試求：圖示單元體，試求： =30o斜截面上斜截面上 的應力；主應力并畫出主單元體；的應力；主應力并畫出主單元體； 極值切應力。極值切應力。403020單位：單位：MPa s s 解：解：1) ) =30o斜截

13、面上的應力斜截面上的應力2) )主應力并畫出主單元體主應力并畫出主單元體s sO Dx(30,-20)Dy(-40,20)C60o(29.8,20.3)MPa3 .20MPa8 .29oo3030 s s，35.3-45.3MPa3 .450MPa3 .35321 s ss ss s，29.8ooo*019 .142/8 .29 s s軸夾角：軸夾角：與與x40203014.9os s s s s s s s MPa3 .40 3) )極值切應力：極值切應力：40.3-40.34020305 5、幾種應力狀態(tài)的應力圓、幾種應力狀態(tài)的應力圓1) 1)單向拉伸和壓縮應力狀態(tài)單向拉伸和壓縮應力狀態(tài)1

14、) )單向拉伸單向拉伸s ss s2) )單向壓縮單向壓縮s ss sOs s Cs sDD C s sEE 圓心圓心C：(s s/2,0)D(s s/2, s s/2)D(s s/2, -s s/2)極值切應力點：極值切應力點：主應力：主應力：0321 s ss ss ss s，圓心圓心C：(-s s/2,0)E(-s s/2, s s/2)E(-s s/2, -s s/2)極值切應力點：極值切應力點：主應力：主應力：s ss ss ss s 3210，2 2純剪切應力狀態(tài)純剪切應力狀態(tài)Os s C圓心圓心C：(0,0)D(0, )D(0, - )極值切應力點：極值切應力點：主應力：主應力：

15、 s ss s s s 3210，DDOs s pppp3 3兩向均勻壓兩向均勻壓( (拉拉) )應力狀態(tài)應力狀態(tài)s ss ss ss s主應力：主應力：s ss ss ss s 3210，Cs spppppppppp兩向均勻壓兩向均勻壓( (拉拉) )應力狀態(tài)應力狀態(tài)的應力圓為的應力圓為s s軸上的一點。軸上的一點。因此其任意方向均為主應因此其任意方向均為主應力方向，任意平面均為主力方向，任意平面均為主平面平面pp1 1、三向應力狀態(tài)下的應力圓、三向應力狀態(tài)下的應力圓s s3s s2s s1s s2s s3s s1s s2s s1s s3O s sC2C3s s1s s21) )平行平行s

16、s3斜截面上應力由斜截面上應力由s s1、 s s2作出應力圓上的點確定；作出應力圓上的點確定；2) )平行平行s s1斜截面上應力由斜截面上應力由s s2、 s s3作出應力圓上的點確定；作出應力圓上的點確定；3) )平行平行s s2斜截面上應力由斜截面上應力由s s1、 s s3作出應力圓上的點確定；作出應力圓上的點確定；s s3C1s sy=140 xy=150s sx=300A視視解解：1) )已知一個主應力：已知一個主應力：s sz=90MPa。2) )將單元體沿將單元體沿z方向投影，得到平面應力狀態(tài)：方向投影，得到平面應力狀態(tài)：例例: 試確定圖示應力狀態(tài)的主應力和最大切應力，試確定

17、圖示應力狀態(tài)的主應力和最大切應力， 并確定主平面和最大切應力作用面位置。并確定主平面和最大切應力作用面位置。xzy90300150140單位：單位：MPa1 1與與x x逆時針夾角為逆時針夾角為3131o o， 3 3與與x x軸夾角軸夾角121121o o，均在，均在xoyxoy平面內(nèi)平面內(nèi)最大切應力所在平面法線與主平面夾角最大切應力所在平面法線與主平面夾角4545o o即與即與x x軸夾角軸夾角7676o o或或-14-14o o。xzys s2y31o31os s1xs s3AMPa150MPa140MPa300 xyyxss，MPa170231maxsso0o012131，81522t

18、an0yxxyssMPa50MPa90MPa390321sss，MPa503902222xyyxyxssssss1 1、廣義胡克定律、廣義胡克定律1) 1)主應變：主應變：2)2)正應力只引起線應變，切應力只引起切應變；正應力只引起線應變，切應力只引起切應變；沿主應力方向的應變，分別用沿主應力方向的應變，分別用e e 1e e 2e e 3表表示；示；4)4)推導方法：推導方法：利用利用疊加原理疊加原理和第一章里討論的和第一章里討論的拉壓和拉壓和剪切胡克定律剪切胡克定律。3)3)廣義胡克定律：廣義胡克定律：應力與應變的關(guān)系，又稱本構(gòu)關(guān)系；應力與應變的關(guān)系，又稱本構(gòu)關(guān)系；s s1s s2s s3

19、s s1s s1Is s2s s2IIs s3IIIs s1 1方向上的應變：方向上的應變：s s2 2方向上的應變：方向上的應變：s s3 3方向上的應變：方向上的應變：EEE/2322212seseses)(1 )(1 )(1 213333313222223211111ssseeeessseeeessseeeeEEEs s1Is s1s s2IIs s2IIIs s3結(jié)論：結(jié)論：主應力與主應力與 主應變的系：主應變的系：EEE/ / / 3332313sesesesEEE/1312111seseses5) )一般情況：一般情況：GGGEEEzxzxyzyzxyxyyxzzxzyyzyxx/

20、)(1)(1)(1sssesssessse，6) )用應變表用應變表 示應力：示應力：zxzxyzyzxyxyzzyxzyzyxyxzyxxGGGEEEEEEeeeeseeeeseeees，1)()21)(1 (1)()21)(1 (1)()21)(1 (在平面應力狀態(tài)下：在平面應力狀態(tài)下：GEEExyxyyxzxyyyxx/)()(1)(1ssessessexyxyxyyyxxGEEeesees)()1 ()()1 (222 2、體積應變與應力分量之間的關(guān)系、體積應變與應力分量之間的關(guān)系1) )長長a、寬、寬b、高、高c的單元體變的單元體變 形前體積：形前體積：1 1）體積應變）體積應變2) )在主應力在主應力s s1、 s s2、 s s3作作 用下，單元體體積變?yōu)椋河孟?，單元體體積變?yōu)椋?) )體積改變率體積改變率( (體積應變體積應變) )VVVVV 1 abcs s3a(1+e e1)s s1s s2b(1+e e2)c(1+e e3)321e ee ee e )1 ()1 ()1 (3211eeecbaVabcV )1 (321eee abc4) )體積應變的應力表達式：體積應變的應力表達式：KEEzyxm321)(21)(21sssssss代入胡克定律代入胡克定律33321mzyxs ss ss ss ss ss ss s 平均應力平均應力)