1、Copyright 數(shù)學(xué)與計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)院ZHOUJINHUA 2022-6-81第八節(jié)第八節(jié)方向?qū)?shù)與梯度方向?qū)?shù)與梯度結(jié)束結(jié)束方向?qū)?shù)方向?qū)?shù) 學(xué)習(xí)要求學(xué)習(xí)要求 例例12 梯度梯度例例3 exe3 exe12 方向?qū)?shù)的計(jì)算方向?qū)?shù)的計(jì)算Copyright 數(shù)學(xué)與計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)院ZHOUJINHUA 2022-6-82 在一元函數(shù)中在一元函數(shù)中,我們知道函數(shù)的導(dǎo)數(shù)就是函數(shù)我們知道函數(shù)的導(dǎo)數(shù)就是函數(shù)的變化率！的變化率！比如, y = f (x),xyxxfxxfxfxx00000lim)()(lim)(如圖. ., 平均變化率即就是平均改變量是函數(shù)改變量其中xyyxoyx0 x0+xx0+xyx0y

2、 = f (x)Copyright 數(shù)學(xué)與計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)院ZHOUJINHUA 2022-6-83xxfxxfxfx)()(lim)(0000表示在 x0處沿 x 軸正方向的變化率.xxfxxfxfx)()(lim)(0000表示在 x0處沿 x 軸負(fù)方向的變化率.xoyx0 x0+xx0+xyx0y = f (x)Copyright 數(shù)學(xué)與計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)院ZHOUJINHUA 2022-6-84又比如, z = f (x, y), 偏導(dǎo)數(shù)分別表示函數(shù)在點(diǎn) (x0, y0)沿 x 軸方向,沿 y 軸方向的變化率.0000000(,)(,)(,)limyyf xyyf xyfxyy 0000000(,)

3、(,)(,)limxxf xx yf xyfxyx Copyright 數(shù)學(xué)與計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)院ZHOUJINHUA 2022-6-850000(,)( ,)xzf xx yf x y),(0yxfz 00(,)xx y xoyzx0(x0, y0)0 xxy0如圖:只在x方向有增量Copyright 數(shù)學(xué)與計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)院ZHOUJINHUA 2022-6-86xoyzx0(x0, y0)y00yy如圖:只在y方向有增量),(00yyx),(0yxfz ),(),(0000yxfyyxfzyCopyright 數(shù)學(xué)與計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)院ZHOUJINHUA 2022-6-87yyxfyyxfyzyyy),()

4、,(limlim,000000特別表示在 (x0, y0)處沿 y 軸正方向正方向的變化率.表示在 (x0, y0)處沿 y 軸負(fù)方向負(fù)方向的變化率.yyxfyyxfyzyyy),(),(limlim,000000而Copyright 數(shù)學(xué)與計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)院ZHOUJINHUA 2022-6-88但在許多實(shí)際問題中, 常需知道 f (X)在 X0 沿任何沿任何方向方向的變化率.沿某一給定方向的變化率問題再如, 2008年5月12大地震(8級(jí))的汶川大地震,地震波先到達(dá)的地方先感應(yīng)到地震來了！離震源很遠(yuǎn)的地方隨著波傳播的削弱,都感應(yīng)不到了.2011年3月11大地震(9級(jí))中引發(fā)的日本福島核電站的泄露

5、,核輻射的擴(kuò)散速度,與風(fēng)向和洋流都有關(guān)系,在某些方向上會(huì)很快！函數(shù)f(X)在X0沿某一給定方向的變化率.變化的快慢我們常用變化率來描述.因此有必要引進(jìn)比如熱的傳播,金屬材質(zhì)比朔料傳播快.Copyright 數(shù)學(xué)與計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)院ZHOUJINHUA 2022-6-89當(dāng)限制t0,(1)成為射線l(過定點(diǎn),指向e)并且可以將射線寫X=X0+te的形式,稱函數(shù)沿射線的變化為函數(shù)沿方向l的改變量.3R)cos,cos,(coscos) 1 (coscos000tzztyytxx空間中過點(diǎn)X0以方向e=X0e為 方向的直線l方程的參數(shù)形式：lCopyright 數(shù)學(xué)與計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)院ZHOUJINHUA 20

6、22-6-810 定義定義1:若函數(shù)u = f (X) = f (x, y,z)沿著方向l: X=X0+te(t0)的改變量 f(X0+te)-f(X0) 與t的比值的極限tXfteXft)()(lim000記作:）和（或和)()()()(0000XfDeXfXfDlXfel一、方向?qū)?shù)一、方向?qū)?shù)存在,則稱該極限為函數(shù)f(x,y,z)在X0 處沿方向l(e)的方向?qū)?shù).Copyright 數(shù)學(xué)與計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)院ZHOUJINHUA 2022-6-8111. 定義中要求點(diǎn) X 只取在 l 的正向上,且X沿|)()(00XXXfXf的分母大于0.如圖另外比值xoyX0=(x0, y0)lX = (x

7、0+x, y0+y)yx特別地,取e=i(或者j,k)時(shí),我們就得到函數(shù)沿坐標(biāo)軸正向的方向?qū)?shù).當(dāng)取e=-i(或者-j,-k)時(shí),我們就得到函數(shù)沿坐標(biāo)軸負(fù)向的方向?qū)?shù).l 趨向于X0 . Copyright 數(shù)學(xué)與計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)院ZHOUJINHUA 2022-6-8122. 若 z = f (X) = f (x, y)在 X0 = (x0, y0)處偏導(dǎo)存在.則在 X0 處沿 x 軸正向的方向?qū)?shù),),0, 0(xy此時(shí)lyxf),(0022000000),(),(limxyxfyxxf|),(),(lim00000|xyxfyxxfxxyxfyxxfx),(),(lim00000),(00yx

8、fxCopyright 數(shù)學(xué)與計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)院ZHOUJINHUA 2022-6-813在 X0 處沿 x 軸負(fù)方向的方向?qū)?shù),),0, 0(xy此時(shí)lyxf),(00200000),(),(limxyxfyxxf|),(),(lim00000|xyxfyxxfxxyxfyxxfx),(),(lim00000),(00yxfx同樣可得沿 y 軸正向的方向?qū)?shù)為 f y (x0, y0), 完完而沿 y 軸負(fù)方向的方向?qū)?shù)為 f y (x0, y0).Copyright 數(shù)學(xué)與計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)院ZHOUJINHUA 2022-6-814定理定理1:若 z = f (X) = f (x, y,z) 在點(diǎn) X

9、0(x0, y0 ,z0,) 可微, 則 z = f (X) 在 X0沿任一方向l的方向?qū)?shù)存在. 且cos)(cos)(cos)()(0000zXfyXfxXflXf)cos,cos,(cos)(,)(,)(000zXfyXfxXf= Jf (X0) e. (最后兩式為數(shù)量積)二、方向?qū)?shù)的計(jì)算二、方向?qū)?shù)的計(jì)算其中e是與l同向的單位向量.完完Copyright 數(shù)學(xué)與計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)院ZHOUJINHUA 2022-6-815 定理定理1:若z = f (X) = f (x, y) 在點(diǎn) X0 (x0, y0) 可微, 則 z = f (X) 在 X0沿任一方向e = (cos, cos)的方向

10、導(dǎo)數(shù)為cos),(cos),(),(000000yyxfxyxfeyxfsin),(cos),(0000yyxfxyxf其中ei,2完完Copyright 數(shù)學(xué)與計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)院ZHOUJINHUA 2022-6-816 求 u = xyz 在點(diǎn) X0 (1, 1, 1)處沿從該點(diǎn)到點(diǎn) X1 (1, 2, 2)方向的方向?qū)?shù).例例1 1lr| 設(shè)由坐標(biāo)原點(diǎn)到點(diǎn)(x, y)的向徑為r, x軸到r 的轉(zhuǎn)角為, x軸到一射線l的轉(zhuǎn)角為,求例例2 2完完xoylrCopyright 數(shù)學(xué)與計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)院ZHOUJINHUA 2022-6-817 求 u = xyz 在點(diǎn) X0 (1, 1, 1)處沿從該點(diǎn)到

11、點(diǎn) X1 (1, 2, 2)方向的方向?qū)?shù).解解: 先求出這個(gè)方向上的單位向量 e .向量 X0X1 = (0, 1, 1)從而與 X0X1 同向單位向量|e1010XXXX22 ,22 , 0例例1 1Copyright 數(shù)學(xué)與計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)院ZHOUJINHUA 2022-6-818再求 u 在 X0 (1, 1, 1) 處的偏導(dǎo)數(shù).,yzxu,xzyu.xyzu由公式得方向?qū)?shù)1)1 , 1 , 1()1 , 1 , 1()1 , 1 , 1(zuyuxu從而22 ,22 , 0) 1 , 1 , 1 () 1 , 1 , 1 (ef22 222.完完Copyright 數(shù)學(xué)與計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)院Z

12、HOUJINHUA 2022-6-819lr| 設(shè)由坐標(biāo)原點(diǎn)到點(diǎn)(x, y)的向徑為r, x軸到r 的轉(zhuǎn)角為, x軸到一射線l的轉(zhuǎn)角為,求解解: cos|22rxyxxxrsin)2cos(|22ryyxyyr|cossinrrrlxy所以coscossinsincos().例例2 2Copyright 數(shù)學(xué)與計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)院ZHOUJINHUA 2022-6-820 當(dāng) 時(shí), ,即|r|沿向徑自身方向的1|lr2|0,rl完完方向?qū)?shù)為1;即|r|沿與向徑垂直方向的方向?qū)?shù)為0. 當(dāng) 時(shí)，Copyright 數(shù)學(xué)與計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)院ZHOUJINHUA 2022-6-821求函數(shù) 在點(diǎn)(5, 1,2)

13、沿該點(diǎn)至點(diǎn)(5, 4,6)方向的方向?qū)?shù).zxyu2exe1exe1完完求函數(shù) 在點(diǎn)P(2, 3)沿曲線(如圖)223yyxzexe2exe2xoy12112yx上 點(diǎn)處的切線方向的方向?qū)?shù).11,2Copyright 數(shù)學(xué)與計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)院ZHOUJINHUA 2022-6-822 求函數(shù) 在點(diǎn)(5, 1,2)沿該點(diǎn)至點(diǎn) (5, 4,6)方向的方向?qū)?shù).zxyu2exe1exe1完完解: 由于 22, 2, xyzuy z uxyz uxy(5,4,6)(5,1,2)(0,3,4)(0,3,4)(5,4,6)(5,1,2)(0,3,4)5e另外，(5,1,2)2, 20, 5,xyzuuuue=

14、(0,3,4)(2,20,5)516.Copyright 數(shù)學(xué)與計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)院ZHOUJINHUA 2022-6-823求函數(shù) 在點(diǎn)P(2, 3)沿曲線(如圖)223yyxz2112yx上 點(diǎn)處的切線方向的方向?qū)?shù).exe2exe2xoy1解解: 21yx設(shè) 在 處的切線的方向向量為S則S=211(1,)(1,)22112kyxtan11,211,2=1422,22函數(shù)z在P處的方向?qū)?shù)為(2,3)22,22zzzsxy9 2完完Copyright 數(shù)學(xué)與計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)院ZHOUJINHUA 2022-6-8241. 設(shè) z = f (X) = f (x, y) , 考察 z 在點(diǎn) X0 (x0,

15、y0)處連續(xù); 存在兩偏導(dǎo); 沿任何方向的方向?qū)?shù)存在以及可微這些概念的聯(lián)系和區(qū)別.可微 連續(xù), 可微 存在兩偏導(dǎo), (反之不對(duì)).可微 沿任何方向的方向?qū)?shù)存在. (1)Copyright 數(shù)學(xué)與計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)院ZHOUJINHUA 2022-6-825(2) 若 z = f (X) = f (x, y) 在區(qū)域 D 內(nèi)的兩偏導(dǎo)不僅存在, 而且連續(xù), 則 z 在 D內(nèi)可微, 在 D內(nèi)每點(diǎn)處沿任何方向 的方向?qū)?shù)存在,且.000()()(),(cos,cos,cos )f Xf Xf Xxyz0000()()()()coscoscosf Xf Xf Xf XxyzeCopyright 數(shù)學(xué)與計(jì)量經(jīng)

16、濟(jì)學(xué)院ZHOUJINHUA 2022-6-8262.雖偏導(dǎo)不存在偏導(dǎo)不存在,但但方向?qū)?shù)可以存在方向?qū)?shù)可以存在。當(dāng)偏導(dǎo)數(shù)存在的時(shí)候,可以很便捷地計(jì)算出方向?qū)?shù) 0000()()()()(,) (cos ,cos ,cos )f Xf Xf Xf Xexyz(2)方向?qū)?shù)計(jì)算式(偏導(dǎo)存在時(shí))(1)方向?qū)?shù)定義式tXfteXflXft)()(lim)(00000()Jf XeCopyright 數(shù)學(xué)與計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)院ZHOUJINHUA 2022-6-8273.偏導(dǎo)存在偏導(dǎo)存在,但但方向?qū)?shù)不存在方向?qū)?shù)不存在在(0,0)處偏導(dǎo)數(shù)存在,但是其他方向的方向?qū)?shù)不存在.如:函數(shù)222222,0( , )

17、0,0 xyxyxyf x yxy完完(0,0)fl220(,)(0,0)limfxyfxy 2201cos sinlim0cos sinlimCopyright 數(shù)學(xué)與計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)院ZHOUJINHUA 2022-6-828在等壓線、等高線、等溫線等量線圖中線與線的疏密都客觀地反映出一定的變化關(guān)系如在天氣預(yù)報(bào)中用到的地面上的等壓線如圖從圖看到,顯然P1P2P| PP1 | PP2 |要是按照距離計(jì)算,氣壓沿 PP1 方向的平均增長率大于沿PP2 方向的平均增長率.事實(shí)上在等壓線密集的方向,氣壓的變化率比稀疏的方向大.等壓線圖選講一個(gè)例子Copyright 數(shù)學(xué)與計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)院ZHOUJINHUA

18、 2022-6-829二、梯度二、梯度(向量函數(shù))(,)(,)()(0000zXfyXfxXfXJf記0000()()()() (,) (cos ,cos ,cos )f Xf Xf Xf Xexyz則eXJfeXJf),(cos| |)(| 000 Prj()eJf X0()Jf XegradientCopyright 數(shù)學(xué)與計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)院ZHOUJINHUA 2022-6-830故00()(1) cos(),1,.f XJf Xee當(dāng)時(shí)最大0()eJf X即當(dāng) 取與0(),f Xe同向時(shí)最大最大值為 |Jf(X0)|.也就是函數(shù)沿Jf(X0) 的方向增長最快.Copyright 數(shù)學(xué)與計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)院ZHOUJINHUA 2022-6-831(2),cos| jPruaaau由00()()f XJf Xee00 |()|cos(),Jf XJf Xe00()().f XJf Xee知是在 上的投影00()Pr j()ef XJf Xe即Copyright 數(shù)學(xué)與計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)院ZHOUJINHUA 2022-6-832 設(shè) 求函數(shù)在點(diǎn)X=(0,1,-1)處的方向?qū)?shù) 的最大值和最小值., 52zxyzulu完完例例3 3 設(shè) ,求grad f(1,-1,2)222),(zyxzyxfexe3exe3Copyright 數(shù)學(xué)與計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)院ZHOUJINHUA 2022-6