1、基礎(chǔ)知識復(fù)習(xí)1、正弦定理2、余弦定理2222222222cos2cos2cosabcbcAbacacBcababC2sinsinsin()abcRABCR其中 為外接圓的半徑:多應(yīng)用實際測量中有許正弦定理和余弦定理在(1)測量距離.(2)測量高度.)3(測量角度例例1.設(shè)設(shè)A、B兩點在河的兩岸，要測量兩點之間的距離。兩點在河的兩岸，要測量兩點之間的距離。測量者在測量者在A的同測，在所在的河岸邊選定一點的同測，在所在的河岸邊選定一點C，測出測出AC的距離是的距離是55cm，BAC51o， ACB75o，求，求A、B兩點間的距離（精確到兩點間的距離（精確到0.1m）分析：已知兩角一邊，可以用正弦定

2、理解三角形分析：已知兩角一邊，可以用正弦定理解三角形sinsinABACCB解：根據(jù)正弦定理，得解：根據(jù)正弦定理，得答：答：A,B兩點間的距離為兩點間的距離為65.7米。米。sinsinsin55sinsinsin55sin7555sin7565.7( )sin(1805175 )sin54ABACACBABCACACBACBABABCABCm變式練習(xí)變式練習(xí) 1 1：兩燈塔：兩燈塔 A A、B B 與海洋觀察站與海洋觀察站C C 的距離都等于的距離都等于 a km,a km,燈塔燈塔 A A 在觀察站在觀察站 C C的北偏東的北偏東 3030，燈塔，燈塔 B B 在觀察站在觀察站 C C 南

3、偏南偏東東 6060，則，則 A A、B B 之間的距離為多少？之間的距離為多少？ 2a km 練習(xí)練習(xí)2.一艘船以一艘船以32.2n mile / hr的速度向正的速度向正北航行。在北航行。在A處看燈塔處看燈塔S在船的北偏東在船的北偏東20o的的方向，方向，30min后航行到后航行到B處，在處，在B處看燈塔處看燈塔在船的北偏東在船的北偏東65o的方向，已知距離此燈塔的方向，已知距離此燈塔6.5n mile 以外的海區(qū)為航行安全區(qū)域，這以外的海區(qū)為航行安全區(qū)域，這艘船可以繼續(xù)沿正北方向航行嗎？艘船可以繼續(xù)沿正北方向航行嗎？11545sin2016.1sin207.787()sin45sin45

4、,sin657.06()6.5ASBSBASABSBn mileSABhhSBn milehn mile 解：在中，由正弦定理得設(shè)點 到直線的距離為則此船可以繼續(xù)沿正北方向航行答：此船可以繼續(xù)沿正北方向航行練習(xí)練習(xí)2自動卸貨汽車的車廂采用液壓機構(gòu)。設(shè)計時需要計算自動卸貨汽車的車廂采用液壓機構(gòu)。設(shè)計時需要計算油泵頂桿油泵頂桿BC的長度已知車廂的最大仰角是的長度已知車廂的最大仰角是60，油泵頂點，油泵頂點B與車廂支點與車廂支點A之間的距離為之間的距離為1.95m，AB與水平線之間的夾角為與水平線之間的夾角為62020，AC長為長為1.40m，計算，計算BC的長（精確到的長（精確到0.01m0.01

5、m） （1 1）什么是最大仰角？）什么是最大仰角？ 最大角度最大角度最大角度最大角度最大角度最大角度最大角度最大角度 （2 2）例題中涉及一個怎樣的三角）例題中涉及一個怎樣的三角形？形？ 在在ABC中已知什么，要求什么？中已知什么，要求什么？CAB練習(xí)練習(xí)2自動卸貨汽車的車廂采用液壓機構(gòu)。設(shè)計時需要計算自動卸貨汽車的車廂采用液壓機構(gòu)。設(shè)計時需要計算油泵頂桿油泵頂桿BC的長度已知車廂的最大仰角是的長度已知車廂的最大仰角是60，油泵頂點，油泵頂點B與車廂支點與車廂支點A之間的距離為之間的距離為1.95m，AB與水平線之間的夾角為與水平線之間的夾角為62020，AC長為長為1.40m，計算，計算BC

6、的長（精確到的長（精確到0.01m0.01m） 最大角度最大角度最大角度最大角度最大角度最大角度最大角度最大角度 已知已知ABC中中AB1.95m，AC1.40m， 夾角夾角CAB6620，求，求BC解：由余弦定理，得解：由余弦定理，得答：頂桿答：頂桿BCBC約長約長1.89m。 CAB22222 2cos 1.951.402 1.95 1.40 cos66 20 3.571 1.89(m)BCABACAB ACABC 實際問題實際問題抽象概括抽象概括示意圖示意圖數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型推理推理演算演算數(shù)學(xué)模型的解數(shù)學(xué)模型的解實際問題的解實際問題的解還原說明還原說明解應(yīng)用題的基本思路解應(yīng)用題的基本思路

7、.,. 3的方法物高度設(shè)計一種測量建筑為建筑物的最高點不可到達(dá)的一個建筑物是底部例ABABAB圖中給出了怎樣的一個圖中給出了怎樣的一個幾何圖形？已知什么，幾何圖形？已知什么，求什么？求什么？想一想想一想BEAGHDC例例3 AB是底部是底部B不可到達(dá)的一個建筑物，不可到達(dá)的一個建筑物，A為建筑為建筑物的最高點，設(shè)計一種測量建筑物高度物的最高點，設(shè)計一種測量建筑物高度AB的方法的方法分析：由于建筑物的底部分析：由于建筑物的底部B是不可到達(dá)的，所以不能直是不可到達(dá)的，所以不能直接測量出建筑物的高。由解接測量出建筑物的高。由解直角三角形的知識，只要能直角三角形的知識，只要能測出一點測出一點C到建筑物

8、的頂部到建筑物的頂部A的距離的距離CA,并測出由點并測出由點C觀察觀察A的仰角，就可以計算的仰角，就可以計算出建筑物的高。所以應(yīng)該設(shè)出建筑物的高。所以應(yīng)該設(shè)法借助解三角形的知識測出法借助解三角形的知識測出CA的長的長。BEAGHDC幾個概念： 仰角：目標(biāo)視線在水平線上方的叫仰角; 俯角：目標(biāo)視線在水平線下方的叫俯角； 方位角：正北方向線順時針方向到目標(biāo)方向線的夾角。N方位角60度水平線目標(biāo)方向線視線視線仰角仰角俯角俯角方向角是指從指定方向線到目標(biāo)方向線的水平角方向角是指從指定方向線到目標(biāo)方向線的水平角,如北偏東如北偏東30度度,南偏西南偏西45度度.)sin(sinaAChahAChAEAB)

9、sin(sinsinsin解：選擇一條水平基線解：選擇一條水平基線HG,使使H,G,B三點在同一條直線上。由三點在同一條直線上。由在在H,G兩點用測角儀器測得兩點用測角儀器測得A的的仰角分別是仰角分別是，CD=a,測角儀測角儀器的高是器的高是h.那么，在那么，在 ACD中，中，根據(jù)正弦定理可得根據(jù)正弦定理可得例例3. AB是底部是底部B不可到達(dá)的一個建筑物，不可到達(dá)的一個建筑物，A為建筑為建筑物的最高點，設(shè)計一種測量建筑物高度物的最高點，設(shè)計一種測量建筑物高度AB的方法的方法BEAGHDC例例4 在山頂鐵塔上在山頂鐵塔上B處測得地面上處測得地面上一點一點A的俯角的俯角5440，在塔底，在塔底C

10、處測得處測得A處的俯角處的俯角501。已知鐵塔已知鐵塔BC部分的高為部分的高為27.3m，求出山高求出山高CD(精確到精確到1m)分析：根據(jù)已知條件，應(yīng)該設(shè)分析：根據(jù)已知條件，應(yīng)該設(shè)法計算出法計算出AB或或AC的長的長解：在解：在ABC中，中，BCA=90+, ABC=90-, BAC=-, BAD=.根據(jù)正弦定理，根據(jù)正弦定理，)90sin()sin(ABBC)(177)1504054sin(4054sin150cos3 .27)sin(sincossin,mBCBADABBDABDRt得解CD=BD-BC177-27.3=150(m)答：山的高度約為答：山的高度約為150米。米。)sin(

11、cos)sin()90sin(BCBCAB所以，例例5 一輛汽車在一條水平的公路上向正東行駛，到一輛汽車在一條水平的公路上向正東行駛，到A處時測得公路南側(cè)遠(yuǎn)處一山頂處時測得公路南側(cè)遠(yuǎn)處一山頂D在東偏南在東偏南15的方向的方向上，行駛上，行駛5km后到達(dá)后到達(dá)B處，測得此山頂在東偏南處，測得此山頂在東偏南25的方向上，仰角的方向上，仰角8，求此山的高度，求此山的高度CD.分析：要測出高分析：要測出高CD,只只要測出高所在的直角要測出高所在的直角三角形的另一條直角三角形的另一條直角邊或斜邊的長。根據(jù)邊或斜邊的長。根據(jù)已知條件，可以計算已知條件，可以計算出出BC的長。的長。例例5 一輛汽車在一條水平

12、的公路上向正東行駛，到一輛汽車在一條水平的公路上向正東行駛，到A處時測得公路南側(cè)遠(yuǎn)處一山頂處時測得公路南側(cè)遠(yuǎn)處一山頂D在東偏南在東偏南15的方向的方向上，行駛上，行駛5km后到達(dá)后到達(dá)B處，測得此山頂在東偏南處，測得此山頂在東偏南25的方向上，仰角的方向上，仰角8，求此山的高度，求此山的高度CD.解：在解：在ABC中，中，A=15, C=25-15=10.根據(jù)正弦定理，根據(jù)正弦定理，CABABCsinsin).(4524. 710sin15sin5sinsinkmCAABBCCD=BCtanDBCBCtan81047(m)答：山的高度約為答：山的高度約為1047米。米。例例6 一艘海輪從一艘海

13、輪從A出發(fā)，沿北偏東出發(fā)，沿北偏東75的方向航行的方向航行67.5n mile后到達(dá)海島后到達(dá)海島B,然后從然后從B出發(fā)，沿北偏東出發(fā)，沿北偏東32的方向航行的方向航行54.0n mile后到達(dá)海島后到達(dá)海島C.如果下次航如果下次航行直接從行直接從A出發(fā)到達(dá)出發(fā)到達(dá)C,此船應(yīng)該沿怎樣的方向航行，此船應(yīng)該沿怎樣的方向航行，需要航行多少距離（角度精確到需要航行多少距離（角度精確到0.1,距離精確到距離精確到0.01n mile）?解：在解：在ABC中，中，ABC1807532137，根據(jù)余弦定理，根據(jù)余弦定理，15.113137cos0 .545 .6720 .545 .67cos22222ABC

14、BCABBCABAC,3255. 015.113137sin0 .54sinsinsinsinACABCBCCABABCACCABBC根據(jù)正弦定理，所以，所以，CAB=19.0,75CAB=56.0.答：此船應(yīng)該沿北偏東答：此船應(yīng)該沿北偏東56.0的方向航行，需要航行的方向航行，需要航行113.15n mile.例例7 在在ABC中，根據(jù)下列條件，求三角形的面積中，根據(jù)下列條件，求三角形的面積S(精確到精確到0.1cm)(1)已知已知a=14.8cm,c=23.5cm,B=148.5;)(9 .905 .148sin8 .145 .2321,sin21) 1 (2cmSBcaS得應(yīng)用解：(2)

15、已知已知B=62.7,C=65.8,b=3.16cm;).(0 . 47 .62sin5 .51sin8 .65sin16. 321,5 .51)8 .657 .62(180)(180,sinsinsin21sin21,sinsin,sinsin)2(222cmSCBABACbAbcSBCbcCcBb根據(jù)正弦定理，（3）已知三邊的長分別為）已知三邊的長分別為a=41.4cm,b=27.3cm,c=38.7cm.).(4 .5116384. 04 .417 .3821,sin216384. 07697. 01cos1sin7679. 04 .417 .3823 .274 .417 .382cos

16、3222222222cmSBcaSBBcabacB得應(yīng)用，得）根據(jù)余弦定理的推論（例例8 在某市進行城市環(huán)境建設(shè)中，要把一個三角形的區(qū)在某市進行城市環(huán)境建設(shè)中，要把一個三角形的區(qū)域改造成市內(nèi)公園，經(jīng)過測量得到這個三角形區(qū)域的三域改造成市內(nèi)公園，經(jīng)過測量得到這個三角形區(qū)域的三條邊長分別為條邊長分別為68m,88m,127m，這個區(qū)域的面積是多少，這個區(qū)域的面積是多少（精確到（精確到0.1cm）?解：設(shè)解：設(shè)a=68m,b=88m,c=127m,根據(jù)余弦定理的推論，根據(jù)余弦定理的推論，.38.2840).(38.28406578. 06812721,sin21.6578. 07532. 01sin

17、,7532. 068127288681272cos222222222mmSBcaSBcabacB答：這個區(qū)域的面積是得應(yīng)用).coscoscos(22sinsinsin19222222222CabBcaAbccbaCBAcbaABC）（；）（中，求證：在例sinsinsincoscoscosABCABCABC例 10 在 銳 角中 ， 求 證 ： 解：如圖，在解：如圖，在ABC中由余弦定理得：中由余弦定理得：784)21(201221220cos222222 BACACABABACBCA 2.我艦在敵島我艦在敵島A南偏西南偏西50相距相距12海里的海里的B處，發(fā)現(xiàn)敵艦正處，發(fā)現(xiàn)敵艦正由島沿北偏西由島沿北偏西10的方向以的方向以10海里海里/小時的速度航行問我艦