1、1振動(dòng)理論及應(yīng)用第第3章章 多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)第第3 3章章 多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)主講：沈火明主講：沈火明2振動(dòng)理論及應(yīng)用第第3章章 多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)多自由度系統(tǒng)的振動(dòng) 單自由度系統(tǒng)振動(dòng)問(wèn)題，在我們所討論的范圍內(nèi)單自由度系統(tǒng)振動(dòng)問(wèn)題，在我們所討論的范圍內(nèi)是線(xiàn)性定常方程。而多自由度系統(tǒng)則是二階多元聯(lián)是線(xiàn)性定常方程。而多自由度系統(tǒng)則是二階多元聯(lián)立微分方程組，各廣義坐標(biāo)間存在相互立微分方程組，各廣義坐標(biāo)間存在相互“耦合耦合”現(xiàn)現(xiàn)象。象。 所謂耦合，就是變量之間互相聯(lián)系。由于這種耦所謂耦合，就是變量之間互相聯(lián)系。由于這種耦合，使微分方程的求解變得非常困難。因此，分析

2、合，使微分方程的求解變得非常困難。因此，分析多自由度系統(tǒng)振動(dòng)問(wèn)題的重要內(nèi)容之一就是如何將多自由度系統(tǒng)振動(dòng)問(wèn)題的重要內(nèi)容之一就是如何將方程方程“解耦解耦”，然后按單自由度的分析方法求解。，然后按單自由度的分析方法求解。 兩自由度是多自由度系統(tǒng)最簡(jiǎn)單的情況。兩自由度是多自由度系統(tǒng)最簡(jiǎn)單的情況。3振動(dòng)理論及應(yīng)用第第3章章 多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)多自由度系統(tǒng)的振動(dòng) 建立運(yùn)動(dòng)微分方程的方法和單自由度系統(tǒng)基本建立運(yùn)動(dòng)微分方程的方法和單自由度系統(tǒng)基本一樣一樣, 但難度更大。但難度更大。3.1.1 運(yùn)動(dòng)微分方程運(yùn)動(dòng)微分方程3.1 兩自由度系統(tǒng)的振動(dòng)方程兩自由度系統(tǒng)的振動(dòng)方程剛度矩陣和質(zhì)量矩陣剛度矩陣和質(zhì)量矩陣 標(biāo)

3、準(zhǔn)的標(biāo)準(zhǔn)的m-k-c系統(tǒng)，對(duì)每一質(zhì)量利用牛頓定律得：系統(tǒng)，對(duì)每一質(zhì)量利用牛頓定律得：4振動(dòng)理論及應(yīng)用第第3章章 多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)坐標(biāo)原點(diǎn)仍取在靜平衡位置坐標(biāo)原點(diǎn)仍取在靜平衡位置寫(xiě)成矩陣形式寫(xiě)成矩陣形式1111111)(xcxktFxm 212212()()kxxc xx2323222)(xcxktFxm 212212()()kxxc xx)()tFxKxCxM 5振動(dòng)理論及應(yīng)用第第3章章 多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)式中：式中：22211211mmmmM2100mm22211211ccccC322221cccccc22211211kkkkK322221kkkkkk2

4、1xxx)()()(21tFtFtF6振動(dòng)理論及應(yīng)用第第3章章 多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)M稱(chēng)為系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣，稱(chēng)為系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣，K稱(chēng)為剛度矩陣，稱(chēng)為剛度矩陣，C稱(chēng)稱(chēng)為阻尼矩陣，為阻尼矩陣，x為系統(tǒng)的位移列陣，為系統(tǒng)的位移列陣，F(xiàn)(t)為外激為外激勵(lì)列陣。勵(lì)列陣。 對(duì)于其它形式的兩自由度振動(dòng)系統(tǒng)同樣可得到對(duì)于其它形式的兩自由度振動(dòng)系統(tǒng)同樣可得到相應(yīng)的質(zhì)量矩陣、剛度矩陣和阻尼矩陣。相應(yīng)的質(zhì)量矩陣、剛度矩陣和阻尼矩陣。 由于矩陣由于矩陣M、 K、 C的非對(duì)角線(xiàn)元素不為的非對(duì)角線(xiàn)元素不為0，所以振動(dòng)微分方程是互相耦合的非獨(dú)立方程。所以振動(dòng)微分方程是互相耦合的非獨(dú)立方程。)()tFxKxC

5、xM 7振動(dòng)理論及應(yīng)用第第3章章 多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)3.1.2 剛度影響系數(shù)與剛度矩陣剛度影響系數(shù)與剛度矩陣 剛度矩陣剛度矩陣K中的元素稱(chēng)為剛度影響系數(shù)，其中的元素稱(chēng)為剛度影響系數(shù)，其kij的力學(xué)意義是：僅在的力學(xué)意義是：僅在j坐標(biāo)處產(chǎn)生單位廣義位移，坐標(biāo)處產(chǎn)生單位廣義位移，系統(tǒng)平衡時(shí)需在系統(tǒng)平衡時(shí)需在i坐標(biāo)處施加的廣義力。坐標(biāo)處施加的廣義力。 具體求解時(shí)，只假設(shè)具體求解時(shí)，只假設(shè)j坐標(biāo)處的位移為坐標(biāo)處的位移為1，其它，其它各坐標(biāo)的位移均為各坐標(biāo)的位移均為0。8振動(dòng)理論及應(yīng)用第第3章章 多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)5.2.3 慣性影響系數(shù)與質(zhì)量矩陣慣性影響系數(shù)與質(zhì)量矩

6、陣 質(zhì)量矩陣質(zhì)量矩陣M中的元素稱(chēng)為慣性（質(zhì)量）影響中的元素稱(chēng)為慣性（質(zhì)量）影響系數(shù)，其系數(shù)，其mij的力學(xué)意義是：僅在的力學(xué)意義是：僅在j坐標(biāo)處產(chǎn)生單位坐標(biāo)處產(chǎn)生單位廣義加速度，需在廣義加速度，需在i坐標(biāo)處施加的廣義力。坐標(biāo)處施加的廣義力。 具體求解時(shí)，只假設(shè)具體求解時(shí)，只假設(shè)j坐標(biāo)處的加速度為坐標(biāo)處的加速度為1，其，其它各坐標(biāo)的加速度均為它各坐標(biāo)的加速度均為0。9振動(dòng)理論及應(yīng)用第第3章章 多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)例：用剛度影響系數(shù)和慣性影例：用剛度影響系數(shù)和慣性影響系數(shù)求標(biāo)準(zhǔn)響系數(shù)求標(biāo)準(zhǔn)m-k-c系統(tǒng)的剛系統(tǒng)的剛度矩陣和質(zhì)量矩陣。度矩陣和質(zhì)量矩陣。10振動(dòng)理論及應(yīng)用第第3章章 多

7、自由度系統(tǒng)的振動(dòng)多自由度系統(tǒng)的振動(dòng) 柔度影響系數(shù)柔度影響系數(shù)Rij的力學(xué)意義是：在的力學(xué)意義是：在j j坐標(biāo)處坐標(biāo)處作用單位廣義力，引起作用單位廣義力，引起i坐標(biāo)處的廣義位移。由柔坐標(biāo)處的廣義位移。由柔度影響系數(shù)就可以形成系統(tǒng)的柔度矩陣度影響系數(shù)就可以形成系統(tǒng)的柔度矩陣 R。 由材料力學(xué)的位移互等定理可知由材料力學(xué)的位移互等定理可知RijRji，即即柔度矩陣是對(duì)稱(chēng)的。柔度矩陣是對(duì)稱(chēng)的。 3.2 兩自由度系統(tǒng)的位移方程兩自由度系統(tǒng)的位移方程 柔度矩陣柔度矩陣3.2.1 柔度影響系數(shù)與柔度矩陣柔度影響系數(shù)與柔度矩陣11振動(dòng)理論及應(yīng)用第第3章章 多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)例：用柔度影響系數(shù)

8、求標(biāo)準(zhǔn)例：用柔度影響系數(shù)求標(biāo)準(zhǔn)m-k-c系統(tǒng)的柔度矩陣。系統(tǒng)的柔度矩陣。12振動(dòng)理論及應(yīng)用第第3章章 多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)多自由度系統(tǒng)的振動(dòng) 以柔度矩陣表示的方程為位移方程。以柔度矩陣表示的方程為位移方程。 對(duì)標(biāo)準(zhǔn)對(duì)標(biāo)準(zhǔn)m-k-c振動(dòng)系統(tǒng)，質(zhì)量振動(dòng)系統(tǒng)，質(zhì)量m1和和m2上的靜上的靜位移可以表示為位移可以表示為xst=RF，而系統(tǒng)的動(dòng)位移為，而系統(tǒng)的動(dòng)位移為11 11 121222232212() ()Fm xc xc xxxRFm xc xc xx)(xCxMFR 這就是系統(tǒng)振動(dòng)方程的位移形式。這就是系統(tǒng)振動(dòng)方程的位移形式。3.2.2 位移方程位移方程13振動(dòng)理論及應(yīng)用第第3章章 多自由度系統(tǒng)的

9、振動(dòng)多自由度系統(tǒng)的振動(dòng) 因?yàn)橐驗(yàn)镽為正定矩陣，于是位移方程又可寫(xiě)為為正定矩陣，于是位移方程又可寫(xiě)為1xCxMFxR 與力形式的方程比較知與力形式的方程比較知 K=R1，R=K1 即對(duì)于正定系統(tǒng)即對(duì)于正定系統(tǒng)R和和K互為逆矩陣?；槟婢仃?。14振動(dòng)理論及應(yīng)用第第3章章 多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)【例【例3-13-1】求系統(tǒng)的振動(dòng)微求系統(tǒng)的振動(dòng)微分方程。已知梁的抗彎剛分方程。已知梁的抗彎剛度為度為EIEI。33aFawEI 解：用影響系數(shù)法。解：用影響系數(shù)法。由材料力學(xué)撓度公式由材料力學(xué)撓度公式 2(3)6lFawlaEI15振動(dòng)理論及應(yīng)用第第3章章 多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)

10、3311( /2)324llREIEI則則 231221( /2)5(3)6248lllRRlEIEI3223lREI325 51648lREI而而 則方程為則方程為 1200mMm311122202500516048xxmlmxxEI 16振動(dòng)理論及應(yīng)用第第3章章 多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)若寫(xiě)為力方程形式若寫(xiě)為力方程形式 1316548 527EIKRl則方程為則方程為 1113222016504805207xxmEImxxl 下面用影響系數(shù)法直接求下面用影響系數(shù)法直接求K:17振動(dòng)理論及應(yīng)用第第3章章 多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)多自由度系統(tǒng)的振動(dòng) 設(shè)設(shè)x1=1,x2=0，則由，則由材料

11、力學(xué)公式有：材料力學(xué)公式有：33112133112151244850483llkkEIEIllkkEIEI同理有同理有33122233122250244851483llkkEIEIllkkEIEI 求出各個(gè)剛度系數(shù)求出各個(gè)剛度系數(shù)即組成剛度矩陣即組成剛度矩陣K。 18振動(dòng)理論及應(yīng)用第第3章章 多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)多自由度系統(tǒng)的振動(dòng) 對(duì)于非標(biāo)準(zhǔn)的對(duì)于非標(biāo)準(zhǔn)的m-k-c多自由度振動(dòng)系統(tǒng)，用傳多自由度振動(dòng)系統(tǒng)，用傳統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方法建立運(yùn)動(dòng)微分方程比較困難，更適統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方法建立運(yùn)動(dòng)微分方程比較困難，更適合使用拉格郎日方程和能量的方法。拉格郎日方程合使用拉格郎日方程和能量的方法。拉格郎日方程為：為：用拉格

12、朗日方程用拉格朗日方程建立振動(dòng)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程建立振動(dòng)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程拉格朗日方程拉格朗日方程iiiidTTVQdtxxx19振動(dòng)理論及應(yīng)用第第3章章 多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)1kikkkkkiirQFFrxx 其中：其中：T為系統(tǒng)的動(dòng)能，為系統(tǒng)的動(dòng)能，V為勢(shì)能，為勢(shì)能，Qi為非有勢(shì)力為非有勢(shì)力的廣義力，的廣義力，drk為與非有勢(shì)廣義力為與非有勢(shì)廣義力Fk對(duì)應(yīng)的廣義虛對(duì)應(yīng)的廣義虛位移。位移。 實(shí)際計(jì)算廣義力實(shí)際計(jì)算廣義力Qi時(shí)，通常假設(shè)與時(shí)，通常假設(shè)與xi對(duì)應(yīng)的廣義對(duì)應(yīng)的廣義虛位移不等于零，其它虛位移都等于零。虛位移不等于零，其它虛位移都等于零。（i1，2）20振動(dòng)理論及應(yīng)用第

13、第3章章 多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)【例【例3-2】用拉格郎日方程推導(dǎo)兩自由度用拉格郎日方程推導(dǎo)兩自由度m-k-c系系統(tǒng)微振動(dòng)微分方程。統(tǒng)微振動(dòng)微分方程。 解：取靜平衡位置為坐解：取靜平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn)和零勢(shì)能位置。標(biāo)原點(diǎn)和零勢(shì)能位置。 221 1221()2Tm xm x21振動(dòng)理論及應(yīng)用第第3章章 多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)靜平衡位置：靜平衡位置：2222111121222223233112211()()221()2Vkxkxxkxm gxm gx2221 121232111()222Vk xkxxk x1 1122,km gk22233km gk則：則：22振動(dòng)理論及

14、應(yīng)用第第3章章 多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)1 11 11()dTdm xm xdtxdt22222()dTdm xm xdtxdt10Tx20Tx1 1212121221()()Vk xkxxkkxk xx21232213222()()Vkxxk xk xkkxx 23振動(dòng)理論及應(yīng)用第第3章章 多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)計(jì)算廣義力，設(shè)計(jì)算廣義力，設(shè)m1產(chǎn)生虛位移產(chǎn)生虛位移dx1，而，而dx20，則，則 111 11212111112122()()F xc xxcxxxQxFccxc x同樣設(shè)同樣設(shè)m2產(chǎn)生虛位移產(chǎn)生虛位移dx2，而，而dx10，則，則 22322221222

15、232221()()Fxc xxc xxxQxFcc xc x24振動(dòng)理論及應(yīng)用第第3章章 多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)代入拉格朗日方程代入拉格朗日方程 1 1121221121220()()m xkkxk xFccxc x得得iiiidTTVQdtxxx22213222322210()()m xk xkkxFccxc x整理寫(xiě)成矩陣形式即可。整理寫(xiě)成矩陣形式即可。 25振動(dòng)理論及應(yīng)用第第3章章 多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)【例【例3-3】用拉格郎日方程建用拉格郎日方程建立系統(tǒng)微振動(dòng)微分方程。立系統(tǒng)微振動(dòng)微分方程。 解：取靜平衡位置為坐解：取靜平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn)和零勢(shì)能位置標(biāo)原

16、點(diǎn)和零勢(shì)能位置 22121()2Tmxmxx1x2D D1D D2222112111222VkxkkDD而而 12221122()klklxx D D D D則則 121221(24)/5(2)/5xxxxD D 26振動(dòng)理論及應(yīng)用第第3章章 多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)所以所以 22112292110510Vkxkx xkx1 11 11()dTdm xm xdtxdt10Tx22222()dTdm xm xdtxdt20Tx1219255Vkxkxx1222155Vkxkxx 27振動(dòng)理論及應(yīng)用第第3章章 多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)計(jì)算廣義力，設(shè)只有計(jì)算廣義力，設(shè)只有x1

17、處處產(chǎn)生虛位移產(chǎn)生虛位移 x1，則則 11111cxxQcxx 同樣設(shè)同樣設(shè)x2處處產(chǎn)生虛位移產(chǎn)生虛位移 x2，則，則 2200cQx 代入拉格朗日方程即可。代入拉格朗日方程即可。 28振動(dòng)理論及應(yīng)用第第3章章 多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)多自由度系統(tǒng)的振動(dòng) 只給出公式，不作嚴(yán)格推導(dǎo)。只給出公式，不作嚴(yán)格推導(dǎo)。1. 質(zhì)量矩陣的形成質(zhì)量矩陣的形成 系統(tǒng)的動(dòng)能可以表示為系統(tǒng)的動(dòng)能可以表示為12i i iiTmrr12iiikjikjkjrrmxxxx12iiikjkjikjrrmx xxx 用能量法確定振動(dòng)系統(tǒng)的用能量法確定振動(dòng)系統(tǒng)的M、K、C29振動(dòng)理論及應(yīng)用第第3章章 多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)多自由度系統(tǒng)的振

18、動(dòng)記記iikjjkiikjrrmmmxx則則11 22TkjkjkjTm x xxMx M即為所求的質(zhì)量矩陣，顯然為對(duì)稱(chēng)陣。即為所求的質(zhì)量矩陣，顯然為對(duì)稱(chēng)陣。2. 剛度矩陣的形成剛度矩陣的形成 勢(shì)能可寫(xiě)為勢(shì)能可寫(xiě)為12kjkjkjVk x x1 2TxKx K即為所求的剛度矩陣，也是對(duì)稱(chēng)陣。即為所求的剛度矩陣，也是對(duì)稱(chēng)陣。30振動(dòng)理論及應(yīng)用第第3章章 多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)3. 阻尼矩陣的形成阻尼矩陣的形成 線(xiàn)性阻尼（黏滯阻尼）的耗能函數(shù)可寫(xiě)為線(xiàn)性阻尼（黏滯阻尼）的耗能函數(shù)可寫(xiě)為C即為所求的阻尼矩陣，也是對(duì)稱(chēng)陣。即為所求的阻尼矩陣，也是對(duì)稱(chēng)陣。12dkjkjkjEc x x 1

19、2TxCx31振動(dòng)理論及應(yīng)用第第3章章 多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)【例【例3-4】求求M和和K。 解：取靜平衡位置為坐解：取靜平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn)和零勢(shì)能位置標(biāo)原點(diǎn)和零勢(shì)能位置 2 22 2121122Tmlmlll2200mlMml則則 2212121()(1cos)(1cos)2Vkamglmgl能量法能量法32振動(dòng)理論及應(yīng)用第第3章章 多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)2222212121211(2)()22Vkamgl將余弦函數(shù)用級(jí)數(shù)展開(kāi)，表示為將余弦函數(shù)用級(jí)數(shù)展開(kāi)，表示為22cos12sin122iii 則則 所以所以 2222kamglkaKkakamgl33振動(dòng)理論及應(yīng)

20、用第第3章章 多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)無(wú)阻尼自由振動(dòng)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程為無(wú)阻尼自由振動(dòng)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程為3.3.1固有頻率與固有振型固有頻率與固有振型3.3 兩個(gè)自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)兩個(gè)自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng) 0MxKx假設(shè)方程解的形式為假設(shè)方程解的形式為1122 sin()xXxtxX34振動(dòng)理論及應(yīng)用第第3章章 多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)多自由度系統(tǒng)的振動(dòng) 這里：這里：X1、X2為振動(dòng)幅值，為振動(dòng)幅值， 為固有頻率，為固有頻率， 為初相位。代入振動(dòng)方程可得：為初相位。代入振動(dòng)方程可得： 這是廣義的特征值問(wèn)題，這是廣義的特征值問(wèn)題，K- 2M稱(chēng)為特征稱(chēng)為特征矩陣。要使上式有解，必須使其系數(shù)行列式

21、為矩陣。要使上式有解，必須使其系數(shù)行列式為零。若零。若M為對(duì)角陣，為對(duì)角陣，K為對(duì)稱(chēng)陣，則有為對(duì)稱(chēng)陣，則有0)(2XMK02222211212112mkkkmkMK35振動(dòng)理論及應(yīng)用第第3章章 多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)多自由度系統(tǒng)的振動(dòng) 上式稱(chēng)為頻率方程或特征方程。由此可求上式稱(chēng)為頻率方程或特征方程。由此可求出出 2的兩個(gè)正實(shí)根。且規(guī)定的兩個(gè)正實(shí)根。且規(guī)定 1 = 2 。 將這兩個(gè)根代入廣義特征值問(wèn)題將這兩個(gè)根代入廣義特征值問(wèn)題(K 2M) X=0可得到相應(yīng)的振幅比值可得到相應(yīng)的振幅比值 式中式中X(i)表示對(duì)應(yīng)于第表示對(duì)應(yīng)于第i個(gè)固有頻率的振幅個(gè)固有頻率的振幅(i=1, 2)。由數(shù)學(xué)概念知道，只能

22、求出振幅的。由數(shù)學(xué)概念知道，只能求出振幅的比值，而不能確定各振幅大小。比值，而不能確定各振幅大小。2( )111212( )2112222iiiiikmXkuXkkm 36振動(dòng)理論及應(yīng)用第第3章章 多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)多自由度系統(tǒng)的振動(dòng) 和單自由度一樣，由于固有頻率和振幅比和單自由度一樣，由于固有頻率和振幅比ui只決定于系統(tǒng)本身的物理特性，而與外部激勵(lì)只決定于系統(tǒng)本身的物理特性，而與外部激勵(lì)和初始條件無(wú)關(guān)，這表明它們都是系統(tǒng)的固有和初始條件無(wú)關(guān)，這表明它們都是系統(tǒng)的固有屬性。因此把屬性。因此把 i稱(chēng)為系統(tǒng)的固有頻率或主頻率，稱(chēng)為系統(tǒng)的固有頻率或主頻率，ui稱(chēng)為系統(tǒng)的固有振型或主振型。稱(chēng)為系統(tǒng)的固

23、有振型或主振型。 將振幅寫(xiě)成矩陣形式將振幅寫(xiě)成矩陣形式( )1( )( )1( )21iiiiiXXXuX 稱(chēng)為振型向量或模態(tài)向量，組成的矩陣稱(chēng)為振型向量或模態(tài)向量，組成的矩陣稱(chēng)為振型矩陣。稱(chēng)為振型矩陣。37振動(dòng)理論及應(yīng)用第第3章章 多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)多自由度系統(tǒng)的振動(dòng) 式中的式中的X1可以取任意值。顯然兩個(gè)主振可以取任意值。顯然兩個(gè)主振動(dòng)的疊加也是方程的解，即動(dòng)的疊加也是方程的解，即3.4 系統(tǒng)對(duì)初始激勵(lì)的響應(yīng)系統(tǒng)對(duì)初始激勵(lì)的響應(yīng)112( )( )( )( )1sin()iiiiiiixxXtux11211112212211 sin()sin()xxXtXtuux（ ）（ ）5.4 兩個(gè)自由

24、度系統(tǒng)的自由振動(dòng)兩個(gè)自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)38振動(dòng)理論及應(yīng)用第第3章章 多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)多自由度系統(tǒng)的振動(dòng) 由解的形式可看出，系統(tǒng)兩質(zhì)量按相同的頻率由解的形式可看出，系統(tǒng)兩質(zhì)量按相同的頻率和相位角作簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，這種運(yùn)動(dòng)稱(chēng)為固有振動(dòng)或主和相位角作簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，這種運(yùn)動(dòng)稱(chēng)為固有振動(dòng)或主振動(dòng)。振動(dòng)。 每一個(gè)主振動(dòng)稱(chēng)為一個(gè)模態(tài)，每一個(gè)主振動(dòng)稱(chēng)為一個(gè)模態(tài)， i和對(duì)應(yīng)的和對(duì)應(yīng)的ui組成組成第第i 階模態(tài)參數(shù)。階模態(tài)參數(shù)。 系統(tǒng)在主振動(dòng)中，各質(zhì)點(diǎn)同時(shí)達(dá)到平衡位置或系統(tǒng)在主振動(dòng)中，各質(zhì)點(diǎn)同時(shí)達(dá)到平衡位置或最大位移，而在整個(gè)振動(dòng)過(guò)程中，各質(zhì)點(diǎn)位移的比最大位移，而在整個(gè)振動(dòng)過(guò)程中，各質(zhì)點(diǎn)位移的比值將始終保持不變，也就是

25、說(shuō)，在主振動(dòng)中，系統(tǒng)值將始終保持不變，也就是說(shuō)，在主振動(dòng)中，系統(tǒng)振動(dòng)的形式保持不變，這就是振型的物理意義。振動(dòng)的形式保持不變，這就是振型的物理意義。 39振動(dòng)理論及應(yīng)用第第3章章 多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)多自由度系統(tǒng)的振動(dòng) 式中的各個(gè)式中的各個(gè)X、 和和C均為任意常數(shù)，由初始條均為任意常數(shù)，由初始條件確定。件確定?；?qū)憺橄旅娴男问交驅(qū)憺橄旅娴男问?(1)(1)112111211 cossinxxCtCtuux(2)(2)12222211cossinCtCtuu40振動(dòng)理論及應(yīng)用第第3章章 多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)將初始條件代入可得將初始條件代入可得設(shè)初始條件為設(shè)初始條件為t0時(shí)時(shí)00,(

26、1,2)iiiixxxxi2(1)22010212010222112(2)2021011021012212120102210102122010210102()1()()1()()()arctan,arctanu xxXu xxuuxu xXxu xuuu xxu xxu xxu xx41振動(dòng)理論及應(yīng)用第第3章章 多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)多自由度系統(tǒng)的振動(dòng) 綜上所述，系統(tǒng)對(duì)初始激勵(lì)的響應(yīng)求綜上所述，系統(tǒng)對(duì)初始激勵(lì)的響應(yīng)求解步驟為：解步驟為：（1）建立運(yùn)動(dòng)微分方程，求出質(zhì)量矩陣）建立運(yùn)動(dòng)微分方程，求出質(zhì)量矩陣M和剛度矩陣和剛度矩陣K;（2）確定固有頻率）確定固有頻率 i 和振幅比和振幅比ui ;（3）利

27、用初始條件求響應(yīng)。）利用初始條件求響應(yīng)。(1)(2)0201201 102111212(1)(2)0201201 10222112212,()()xx ux uxCCuuuuxx ux uxCCuuuu42振動(dòng)理論及應(yīng)用第第3章章 多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)【3-5】求系統(tǒng)的頻率方程。求系統(tǒng)的頻率方程。 解：取靜平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn)解：取靜平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn)和零勢(shì)能位置和零勢(shì)能位置 22221211222LTmmL221040mLMmL則則 2212121()(1cos)(1cos)242LLVkmgmgL43振動(dòng)理論及應(yīng)用第第3章章 多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)2222211

28、212211(2)()2 1622kLVmgL將余弦函數(shù)表示為將余弦函數(shù)表示為22cos12sin122iii 則則 所以所以 22221162161616kLkLmgLKkLkLmgL44振動(dòng)理論及應(yīng)用第第3章章 多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)【T5-26】求系統(tǒng)的固有頻率?！壳笙到y(tǒng)的固有頻率。 解：用牛頓定律解：用牛頓定律 112200mxkmxk131232213,xx kLkLkL而而 x1x2 1 2 3解得解得 1211222323xxxx則方程為則方程為 121122203203xxmxkxxmxk45振動(dòng)理論及應(yīng)用第第3章章 多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)頻率方程為

29、頻率方程為即即 222222221116241601616kLkLmgLmLkLkLmgLmL2211111222122220kmkKMkkm展開(kāi)得展開(kāi)得 242335230168gkggkLmLmL-+46振動(dòng)理論及應(yīng)用第第3章章 多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)頻率方程為頻率方程為00mMm21331233kkKkk 222330233kkmkkm解得解得12,3kkmm47振動(dòng)理論及應(yīng)用第第3章章 多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)【3-5】質(zhì)量為質(zhì)量為m2的物塊從高的物塊從高h(yuǎn)處自由處自由落下，然后與彈簧質(zhì)量系統(tǒng)一起做自由落下，然后與彈簧質(zhì)量系統(tǒng)一起做自由振動(dòng)，已知振動(dòng)，已知m1

30、m2m，k1k2k，h100 mg/k，求系統(tǒng)的振動(dòng)響應(yīng)。，求系統(tǒng)的振動(dòng)響應(yīng)。 解解:（1）用牛頓定律建立方程用牛頓定律建立方程1 11 121222212()()m xk xkxxm xkxx 1200mMm12222kkkKkk48振動(dòng)理論及應(yīng)用第第3章章 多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)（2）頻率方程為）頻率方程為2220kmkkkm解得解得120.618,1.618kkmm（3）求振型。利用）求振型。利用0)(2XMK則則(1)2112(1)1220XkmkkkmX(1)21(1)11.618XuX同理同理(2)22(2)10.618XuX 49振動(dòng)理論及應(yīng)用第第3章章 多自由度系

31、統(tǒng)的振動(dòng)多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)（4）求響應(yīng)）求響應(yīng)初始條件初始條件01010,xx代入得代入得1(1)(1)112111211 cossinxxCtCtuux(2)(2)12222211cossinCtCtuu020,x022xgh(1)(2)11(1)(2)112100CCu Cu C(1)(2)1222(1)(2)1 1222202CCu Cu Cgh50振動(dòng)理論及應(yīng)用第第3章章 多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)解得解得響應(yīng)為響應(yīng)為(1)(2)110,CC(1)(2)2210.233,3.908mgmgCCkk 11121 10.233sinxmgxtukx2213.908sinmgtuk

32、51振動(dòng)理論及應(yīng)用第第3章章 多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)多自由度系統(tǒng)的振動(dòng) 在二階振動(dòng)微分方程中，如果質(zhì)量矩陣在二階振動(dòng)微分方程中，如果質(zhì)量矩陣M和和剛度矩陣剛度矩陣K的各個(gè)元素都不為零，則在兩個(gè)方程的各個(gè)元素都不為零，則在兩個(gè)方程中都同時(shí)包含坐標(biāo)中都同時(shí)包含坐標(biāo)x1和和x2和它們的導(dǎo)數(shù)項(xiàng)，這種情和它們的導(dǎo)數(shù)項(xiàng)，這種情形稱(chēng)為坐標(biāo)耦合。形稱(chēng)為坐標(biāo)耦合。 把把M為對(duì)角陣，為對(duì)角陣，K不是對(duì)角陣的情形稱(chēng)為靜不是對(duì)角陣的情形稱(chēng)為靜力耦合或彈性耦合（剛性耦合），把力耦合或彈性耦合（剛性耦合），把K為對(duì)角陣，為對(duì)角陣，M不是對(duì)角陣的情形稱(chēng)為動(dòng)力耦合或慣性耦合。不是對(duì)角陣的情形稱(chēng)為動(dòng)力耦合或慣性耦合。3.5 廣義坐

33、標(biāo)與坐標(biāo)耦合廣義坐標(biāo)與坐標(biāo)耦合52振動(dòng)理論及應(yīng)用第第3章章 多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)多自由度系統(tǒng)的振動(dòng) 方程是否耦合與廣義坐標(biāo)的選取有關(guān)。前方程是否耦合與廣義坐標(biāo)的選取有關(guān)。前面分析的標(biāo)準(zhǔn)面分析的標(biāo)準(zhǔn)m-k-c系統(tǒng)就是靜力耦合。系統(tǒng)就是靜力耦合。 對(duì)于下面的振動(dòng)系統(tǒng)，設(shè)桿的質(zhì)量為對(duì)于下面的振動(dòng)系統(tǒng)，設(shè)桿的質(zhì)量為m，繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為JC。53振動(dòng)理論及應(yīng)用第第3章章 多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)多自由度系統(tǒng)的振動(dòng) 若取質(zhì)心位移若取質(zhì)心位移x和轉(zhuǎn)角和轉(zhuǎn)角 為廣義坐標(biāo)，為廣義坐標(biāo)，則自由振動(dòng)方程是則自由振動(dòng)方程是靜力耦合的靜力耦合的12122212120()00()0Cxmkkk ak bxJk

34、 ak bk ak b 54振動(dòng)理論及應(yīng)用第第3章章 多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)多自由度系統(tǒng)的振動(dòng) 若坐標(biāo)若坐標(biāo)x不取在質(zhì)心不取在質(zhì)心,而是選在滿(mǎn)足而是選在滿(mǎn)足k1a1k2b2的的O點(diǎn)位置，利用平面點(diǎn)位置，利用平面運(yùn)動(dòng)微分方程可得到運(yùn)動(dòng)微分方程可得到12221 12 10000OxmmekkxmeJk ak b 其中其中e為為O點(diǎn)距質(zhì)心的距離，這時(shí)運(yùn)動(dòng)方點(diǎn)距質(zhì)心的距離，這時(shí)運(yùn)動(dòng)方程是動(dòng)力耦合的。程是動(dòng)力耦合的。O OCea1b121()kxb)(11axk55振動(dòng)理論及應(yīng)用第第3章章 多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)2() k xa b 同樣，若將坐標(biāo)同樣，若將坐標(biāo)x取在最左端取在最左端A，利用，

35、利用平面運(yùn)動(dòng)微分方程得平面運(yùn)動(dòng)微分方程得到運(yùn)動(dòng)方程為到運(yùn)動(dòng)方程為 這里的這里的a和和b如原圖所標(biāo)的位置。方程既如原圖所標(biāo)的位置。方程既是靜力耦合又是動(dòng)力耦合。是靜力耦合又是動(dòng)力耦合。122222()0()()0Axmmakkk abxmaJk abk ab 1kx56振動(dòng)理論及應(yīng)用第第3章章 多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)多自由度系統(tǒng)的振動(dòng) 從前面的分析可知，只要廣義坐標(biāo)形式選擇從前面的分析可知，只要廣義坐標(biāo)形式選擇合適，就可以得到?jīng)]有坐標(biāo)耦合的運(yùn)動(dòng)微分方程，合適，就可以得到?jīng)]有坐標(biāo)耦合的運(yùn)動(dòng)微分方程，這時(shí)的廣義坐標(biāo)稱(chēng)為主坐標(biāo)。這時(shí)的廣義坐標(biāo)稱(chēng)為主坐標(biāo)。 主坐標(biāo)下的質(zhì)量矩陣和剛度矩陣除主對(duì)角線(xiàn)主坐標(biāo)下的質(zhì)

36、量矩陣和剛度矩陣除主對(duì)角線(xiàn)元素外，其余元素均為零，各個(gè)運(yùn)動(dòng)方程的坐標(biāo)元素外，其余元素均為零，各個(gè)運(yùn)動(dòng)方程的坐標(biāo)之間不存在耦合。之間不存在耦合。3.6 主坐標(biāo)主坐標(biāo)57振動(dòng)理論及應(yīng)用第第3章章 多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)其中其中u是前面得到的振型矩陣是前面得到的振型矩陣 1211uuu令令 xuP 將將x代入原振動(dòng)方程，化簡(jiǎn)后就可得到代入原振動(dòng)方程，化簡(jiǎn)后就可得到解耦的運(yùn)動(dòng)方程（下章證明）解耦的運(yùn)動(dòng)方程（下章證明）2 0iiPP58振動(dòng)理論及應(yīng)用第第3章章 多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)多自由度系統(tǒng)的振動(dòng) 顯然上述解耦的方程的解可以用單顯然上述解耦的方程的解可以用單自由度振動(dòng)的方法獨(dú)立求得自由度振

37、動(dòng)的方法獨(dú)立求得 將其代入將其代入x=uP即可得到用原始即可得到用原始坐標(biāo)坐標(biāo)x表示的一般解。表示的一般解。 主坐標(biāo)的概念在強(qiáng)迫振動(dòng)中具有重主坐標(biāo)的概念在強(qiáng)迫振動(dòng)中具有重要意義。要意義。sin()iiiiPCt59振動(dòng)理論及應(yīng)用第第3章章 多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)多自由度系統(tǒng)的振動(dòng) 利用主坐標(biāo)解耦的方法求解系統(tǒng)響應(yīng)利用主坐標(biāo)解耦的方法求解系統(tǒng)響應(yīng)的基本步驟為：的基本步驟為：（1）求出原振動(dòng)方程的固有頻率和振幅）求出原振動(dòng)方程的固有頻率和振幅比，得到振型矩陣比，得到振型矩陣u；（2）求出主坐標(biāo)下的響應(yīng)；）求出主坐標(biāo)下的響應(yīng)；sin()iiiiPCt（3）利用式）利用式x=uP得出原廣義坐標(biāo)得出原廣義坐

38、標(biāo)下的響應(yīng)；下的響應(yīng)；（4）利用初始條件確定常系數(shù)。）利用初始條件確定常系數(shù)。60振動(dòng)理論及應(yīng)用第第3章章 多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)【例例3-7】標(biāo)準(zhǔn)標(biāo)準(zhǔn)m-k-c系統(tǒng)中，系統(tǒng)中，設(shè)設(shè)m1m, m22m, k1k2k, k32k, c=0, 求系統(tǒng)的固有頻率求系統(tǒng)的固有頻率和固有振型。利用坐標(biāo)變換方和固有振型。利用坐標(biāo)變換方法求系統(tǒng)對(duì)初始激勵(lì)的響應(yīng)。法求系統(tǒng)對(duì)初始激勵(lì)的響應(yīng)。設(shè)初始條件為設(shè)初始條件為010201021,0 xxxx61振動(dòng)理論及應(yīng)用第第3章章 多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)多自由度系統(tǒng)的振動(dòng) 解解:（1）求固有頻率和振幅比）求固有頻率和振幅比,得到振型矩陣得到振型矩陣u21,k

39、m225,2km1211,2uu 11 112u002mMm23kkKkk62振動(dòng)理論及應(yīng)用第第3章章 多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)sin()iiiiPCt（3）利用式）利用式x=uP得出得出（2）主坐標(biāo)下的響應(yīng)）主坐標(biāo)下的響應(yīng)（4）確定常系數(shù)。將初始條件代入得）確定常系數(shù)。將初始條件代入得1111222sin()sin()xCtCt21112221sin()sin()2xCtCt11221sinsinCC112211sinsin2CC63振動(dòng)理論及應(yīng)用第第3章章 多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)聯(lián)立解得聯(lián)立解得1112220coscosCC11122210coscos2CC121

40、1,0,/2CC所以所以121sin()cos2kxxttm64振動(dòng)理論及應(yīng)用第第3章章 多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)兩自由度振動(dòng)微分方程為兩自由度振動(dòng)微分方程為復(fù)數(shù)解法復(fù)數(shù)解法3.7 兩自由度系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動(dòng)兩自由度系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動(dòng) ( )MxCxKxF t設(shè)干擾力為諧和函數(shù)，并表示為復(fù)數(shù)形式設(shè)干擾力為諧和函數(shù)，并表示為復(fù)數(shù)形式 1122( )( )( )ititF tFF teF eFtF令方程的解為令方程的解為1122( ) ( )( )ititx tXx teX extX65振動(dòng)理論及應(yīng)用第第3章章 多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)其中其中X1和和X2為復(fù)振幅。將上式代入方程得

41、為復(fù)振幅。將上式代入方程得 ( ) ZXF其中其中11122122( )( ) ( )( )( )zzZzz2( )ijijijijzmi ck (i, j=1, 2) 2 ( )ZKM2( )ijijijzkm若為無(wú)阻尼系統(tǒng)，則若為無(wú)阻尼系統(tǒng)，則66振動(dòng)理論及應(yīng)用第第3章章 多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)振幅為振幅為22112212112212( )( )( )( )( )zFzFXzzz12111222112212( )( )( )( )( )zFzFXzzz 若干擾力為正弦函數(shù)或余弦函數(shù)，則前面若干擾力為正弦函數(shù)或余弦函數(shù)，則前面分析中相關(guān)的分析中相關(guān)的ei t 變?yōu)樽優(yōu)閟in t

42、 或或cos t 即可。即可。1 ( ) XZF即即67振動(dòng)理論及應(yīng)用第第3章章 多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)多自由度系統(tǒng)的振動(dòng) 由此可看出由此可看出:（1）當(dāng)激勵(lì)頻率與系統(tǒng)的固有頻率接近時(shí)，系）當(dāng)激勵(lì)頻率與系統(tǒng)的固有頻率接近時(shí)，系統(tǒng)出現(xiàn)共振現(xiàn)象，即無(wú)阻尼振幅將達(dá)到無(wú)窮大，統(tǒng)出現(xiàn)共振現(xiàn)象，即無(wú)阻尼振幅將達(dá)到無(wú)窮大，所不同的是，兩自由度系統(tǒng)有兩個(gè)共振峰；所不同的是，兩自由度系統(tǒng)有兩個(gè)共振峰；（2）阻尼的存在使共振振幅減小，在相同的阻）阻尼的存在使共振振幅減小，在相同的阻尼下，頻率高的共振峰降低的程度比頻率低的大。尼下，頻率高的共振峰降低的程度比頻率低的大。因此實(shí)際結(jié)構(gòu)的動(dòng)力響應(yīng)只需要考慮最低幾階模因此實(shí)際

43、結(jié)構(gòu)的動(dòng)力響應(yīng)只需要考慮最低幾階模態(tài)的影響。態(tài)的影響。68振動(dòng)理論及應(yīng)用第第3章章 多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)多自由度系統(tǒng)的振動(dòng) 和單自由度的概念類(lèi)似，可以繪出頻率比與振幅和單自由度的概念類(lèi)似，可以繪出頻率比與振幅之間隨阻尼比的變化曲線(xiàn)之間隨阻尼比的變化曲線(xiàn)幅頻響應(yīng)曲線(xiàn)幅頻響應(yīng)曲線(xiàn)頻率響應(yīng)曲線(xiàn)頻率響應(yīng)曲線(xiàn) 共振現(xiàn)象共振現(xiàn)象69振動(dòng)理論及應(yīng)用第第3章章 多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)【例【例3-8】在兩自由度標(biāo)準(zhǔn)在兩自由度標(biāo)準(zhǔn)m-k系統(tǒng)中，設(shè)系統(tǒng)中，設(shè)m1m2m，k1k2k3k，在第一個(gè)質(zhì)量上作用，在第一個(gè)質(zhì)量上作用有干擾力有干擾力F1(t)=F0cos t，求系統(tǒng)的響應(yīng)。，求系統(tǒng)的響應(yīng)。 解：解

44、：00mMm22kkKkk設(shè)解為設(shè)解為 cosxXt代入振動(dòng)方程得代入振動(dòng)方程得2 (cos) cos MXtKXtF70振動(dòng)理論及應(yīng)用第第3章章 多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)即即110222102101120XXFmkXX解得解得2001224222422(2),4343kmFkFXXmmkkmmkk因此系統(tǒng)的響應(yīng)為因此系統(tǒng)的響應(yīng)為201124220222422(2)cos( )( )cos43cos( )( )cos43kmFtx tXtmmkkkFtx tXtmmkk71振動(dòng)理論及應(yīng)用第第3章章 多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)多自由度系統(tǒng)的振動(dòng) 【3-9】圖示系統(tǒng)，圖示系統(tǒng)，xsa sin

45、t，當(dāng)，當(dāng) 為基頻的為基頻的0.707倍時(shí)，車(chē)體倍時(shí)，車(chē)體W2的振幅為的振幅為a的多少倍。已知的多少倍。已知W144100 N，W2441000 N，k11.683107 N/m，k23.136108 N/m。1111122222220sin00 xxk amkkktmkkxx解解: 振動(dòng)方程為振動(dòng)方程為1 11121222212()()()sm xk xxkxxm xkxx 即即72振動(dòng)理論及應(yīng)用第第3章章 多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)多自由度系統(tǒng)的振動(dòng) 代入數(shù)據(jù)，求得固有頻率為代入數(shù)據(jù)，求得固有頻率為 118.04， 2282.97 機(jī)車(chē)振動(dòng)頻率為機(jī)車(chē)振動(dòng)頻率為 0.707 1 0.707 18.0

46、4 12.76利用前面的方法求得振幅為利用前面的方法求得振幅為222112221212222 12222121222()1.957()()2.004()()kmk aXakkmkmkk k aXakkmkmk73振動(dòng)理論及應(yīng)用第第3章章 多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)多自由度系統(tǒng)的振動(dòng) 當(dāng)機(jī)器轉(zhuǎn)速在共振區(qū)域附近時(shí)會(huì)引起劇烈的振動(dòng)，當(dāng)機(jī)器轉(zhuǎn)速在共振區(qū)域附近時(shí)會(huì)引起劇烈的振動(dòng)，由單自由度系統(tǒng)振動(dòng)理論知道，可以通過(guò)調(diào)整質(zhì)量由單自由度系統(tǒng)振動(dòng)理論知道，可以通過(guò)調(diào)整質(zhì)量或彈簧剛度或增加阻尼來(lái)使振動(dòng)情況得到緩解?；驈椈蓜偠然蛟黾幼枘醽?lái)使振動(dòng)情況得到緩解。 動(dòng)力吸振器的原理是在原系統(tǒng)上附加一個(gè)新的動(dòng)力吸振器的原理是在原

47、系統(tǒng)上附加一個(gè)新的m-k或或m-c系統(tǒng)，使其變成兩自由度的振動(dòng)系統(tǒng)，利用系統(tǒng)，使其變成兩自由度的振動(dòng)系統(tǒng)，利用前面研究的理論，使原振動(dòng)系統(tǒng)的振幅趨于零。前面研究的理論，使原振動(dòng)系統(tǒng)的振幅趨于零。動(dòng)力吸振器動(dòng)力吸振器74振動(dòng)理論及應(yīng)用第第3章章 多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)多自由度系統(tǒng)的振動(dòng) m1-k1為原來(lái)的基本振動(dòng)為原來(lái)的基本振動(dòng)系統(tǒng)，系統(tǒng)，m2-k2為附加的吸振為附加的吸振系統(tǒng)，這兩個(gè)系統(tǒng)組成了兩系統(tǒng)，這兩個(gè)系統(tǒng)組成了兩自由度振動(dòng)系統(tǒng)。運(yùn)動(dòng)微分自由度振動(dòng)系統(tǒng)。運(yùn)動(dòng)微分方程為方程為無(wú)阻尼動(dòng)力吸振器無(wú)阻尼動(dòng)力吸振器111122122222sin0 xxmkkkFtmkkxx75振動(dòng)理論及應(yīng)用第第3章章

48、多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)利用前面的方法求得振幅為利用前面的方法求得振幅為22211222121222212222121222()()()()()kmFXkkmkmkk FXkkmkmk引入記號(hào)引入記號(hào)11nkm基本系統(tǒng)的固有頻率基本系統(tǒng)的固有頻率;76振動(dòng)理論及應(yīng)用第第3章章 多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)22akm吸振系統(tǒng)的固有頻率吸振系統(tǒng)的固有頻率;11/stxF k基本系統(tǒng)的靜位移基本系統(tǒng)的靜位移;21/mm吸振質(zhì)量與基本質(zhì)量之比吸振質(zhì)量與基本質(zhì)量之比. 一般動(dòng)力吸振器設(shè)計(jì)成一般動(dòng)力吸振器設(shè)計(jì)成 n a，引入頻率比，引入頻率比r，則振幅可寫(xiě)為則振幅可寫(xiě)為21421,(2

49、)1stXrxrr2421(2)1stXxrr77振動(dòng)理論及應(yīng)用第第3章章 多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)多自由度系統(tǒng)的振動(dòng) 由此可看出：由此可看出： （1）r1即激振頻率即激振頻率 等于吸振系統(tǒng)固有頻率等于吸振系統(tǒng)固有頻率 a時(shí)，時(shí)，X10，即達(dá)到最佳吸振效果；，即達(dá)到最佳吸振效果； （2）吸振器設(shè)計(jì)時(shí)一般只要求）吸振器設(shè)計(jì)時(shí)一般只要求 a n，因此吸，因此吸振系統(tǒng)的參數(shù)有廣泛的選擇余地。振系統(tǒng)的參數(shù)有廣泛的選擇余地。 通常，實(shí)際的設(shè)計(jì)選擇是要求適當(dāng)限制吸振系通常，實(shí)際的設(shè)計(jì)選擇是要求適當(dāng)限制吸振系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的振幅統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的振幅X2。由。由X2/xst的式子可知，質(zhì)量比的式子可知，質(zhì)量比 越越大，在大，在r1

50、時(shí)時(shí)X2越小，因此我們?nèi)≡叫。虼宋覀內(nèi)?值不能太小。值不能太小。78振動(dòng)理論及應(yīng)用第第3章章 多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)【3-9】機(jī)器質(zhì)量機(jī)器質(zhì)量m190 kg，減振器質(zhì)量，減振器質(zhì)量m22.25 kg，機(jī)器上偏心塊質(zhì)量為，機(jī)器上偏心塊質(zhì)量為m0.5 kg，偏心距，偏心距e1 cm，機(jī)器轉(zhuǎn)速，機(jī)器轉(zhuǎn)速n1800 r/min。求。求（1）減振器剛度）減振器剛度k2多多大才能使機(jī)器振幅為大才能使機(jī)器振幅為0；（2）此時(shí)減振器的振）此時(shí)減振器的振幅為多大；（幅為多大；（3）若使）若使減振器的振幅不超過(guò)減振器的振幅不超過(guò)2 mm，應(yīng)如何改變減振，應(yīng)如何改變減振器的參數(shù)。器的參數(shù)。79振動(dòng)理

51、論及應(yīng)用第第3章章 多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)2( )sin177.65sin 603030nnF tmett解解: 振動(dòng)方程為振動(dòng)方程為其中其中11112222222( )0 xxmmkkkF tmkkxx（1）利用前面求得的振幅公式）利用前面求得的振幅公式22211222121222()()()kmFXkkmkmk80振動(dòng)理論及應(yīng)用第第3章章 多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)多自由度系統(tǒng)的振動(dòng) 代入數(shù)據(jù)代入數(shù)據(jù),令令X10求得求得: k279943.8 N/m代入公式求得減震器振幅為代入公式求得減震器振幅為2122221212220.00222 m()()k FXkkmkmk（3）設(shè)減震器振幅

52、）設(shè)減震器振幅X2=0.002，同時(shí)設(shè)，同時(shí)設(shè) 1 2 求得求得k22211mkmmk（2）設(shè)）設(shè) 求得求得: k13215517.1 N/m81振動(dòng)理論及應(yīng)用振動(dòng)理論及應(yīng)用第第3 3章章 多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)多自由度系統(tǒng)的振動(dòng) 多自由度系統(tǒng)指的是可以用有限個(gè)自由度描多自由度系統(tǒng)指的是可以用有限個(gè)自由度描述的振動(dòng)系統(tǒng)。一般來(lái)說(shuō)，一個(gè)述的振動(dòng)系統(tǒng)。一般來(lái)說(shuō)，一個(gè)n自由度的振動(dòng)系自由度的振動(dòng)系統(tǒng)，其廣義位移可以用統(tǒng)，其廣義位移可以用n個(gè)獨(dú)立坐標(biāo)來(lái)描述，其運(yùn)個(gè)獨(dú)立坐標(biāo)來(lái)描述，其運(yùn)動(dòng)規(guī)律通常可用動(dòng)規(guī)律通?？捎胣個(gè)二階常微分方程來(lái)確定。個(gè)二階常微分方程來(lái)確定。 多自由度振動(dòng)系統(tǒng)的很多概念和研究方法在兩多自

53、由度振動(dòng)系統(tǒng)的很多概念和研究方法在兩自由度系統(tǒng)中已經(jīng)討論。自由度系統(tǒng)中已經(jīng)討論。3.8 多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)82振動(dòng)理論及應(yīng)用振動(dòng)理論及應(yīng)用第第3 3章章 多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)多自由度系統(tǒng)的振動(dòng) 建立振動(dòng)系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)微分方程的方法和兩自由建立振動(dòng)系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)微分方程的方法和兩自由度系統(tǒng)一樣，包括一般的動(dòng)力學(xué)方法、影響系數(shù)度系統(tǒng)一樣，包括一般的動(dòng)力學(xué)方法、影響系數(shù)法（剛度影響系數(shù)和柔度影響系數(shù)）、拉格朗日法（剛度影響系數(shù)和柔度影響系數(shù)）、拉格朗日方程和能量方法等。方程和能量方法等。3.8.1 運(yùn)動(dòng)微分方程式運(yùn)動(dòng)微分方程式83振動(dòng)理論及應(yīng)用振動(dòng)理論及應(yīng)用第第3 3章章 多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)多自

54、由度系統(tǒng)的振動(dòng)【3-10】求系統(tǒng)的微振動(dòng)微分方程。求系統(tǒng)的微振動(dòng)微分方程。84振動(dòng)理論及應(yīng)用振動(dòng)理論及應(yīng)用第第3 3章章 多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)122300100200mMm rm12222233330()0kkk rKk rkk rk rk rk85振動(dòng)理論及應(yīng)用振動(dòng)理論及應(yīng)用第第3 3章章 多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)無(wú)阻尼自由振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)方程為無(wú)阻尼自由振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)方程為3.8.2.1 主主振型振型方程式方程式 特征值和特征向量特征值和特征向量3.8.2無(wú)阻尼自由振動(dòng)的特征值問(wèn)題無(wú)阻尼自由振動(dòng)的特征值問(wèn)題 0MxKx 利用兩自由度系統(tǒng)的分析結(jié)果，假設(shè)方程解利用兩自由度系

55、統(tǒng)的分析結(jié)果，假設(shè)方程解的形式為的形式為 sin()xXt86振動(dòng)理論及應(yīng)用振動(dòng)理論及應(yīng)用第第3 3章章 多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)式中式中X為振幅向量，為振幅向量， 為固有頻率，為固有頻率， 為初相位。為初相位。代入振動(dòng)方程可得：代入振動(dòng)方程可得：K- 2M稱(chēng)為特征矩陣。要使上式有解，必須使稱(chēng)為特征矩陣。要使上式有解，必須使其系數(shù)行列式為零：其系數(shù)行列式為零：2() 0KMX20KM上式稱(chēng)為頻率方程或特征方程。由此可求出上式稱(chēng)為頻率方程或特征方程。由此可求出n個(gè)特個(gè)特征根征根 2。 sin()xXt87振動(dòng)理論及應(yīng)用振動(dòng)理論及應(yīng)用第第3 3章章 多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)

56、 將每個(gè)特征根將每個(gè)特征根 i（固有頻率）代入廣義特征值問(wèn)（固有頻率）代入廣義特征值問(wèn)題題(K 2M)X=0, 可得到相應(yīng)的非零向量可得到相應(yīng)的非零向量X(i), 稱(chēng)為特征矢量稱(chēng)為特征矢量,或稱(chēng)特征向量、固有振型、固有向量、或稱(chēng)特征向量、固有振型、固有向量、模態(tài)向量等。顯然模態(tài)向量等。顯然: 和兩自由度一樣，由上式只能求出振幅的比值，和兩自由度一樣，由上式只能求出振幅的比值，而不能確定各振幅大小。而不能確定各振幅大小。 固有頻率和特征向量只決定于系統(tǒng)本身的物理固有頻率和特征向量只決定于系統(tǒng)本身的物理特性，而與外部激勵(lì)和初始條件無(wú)關(guān)，它們都是系特性，而與外部激勵(lì)和初始條件無(wú)關(guān)，它們都是系統(tǒng)的固有

57、屬性。統(tǒng)的固有屬性。2( )()0, (1,2)iiKMXin88振動(dòng)理論及應(yīng)用振動(dòng)理論及應(yīng)用第第3 3章章 多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)多自由度系統(tǒng)的振動(dòng) 例例3-10中：設(shè)中：設(shè)m1m31，m22，r1， k1k2k31。求固有頻率和振型。求固有頻率和振型。89振動(dòng)理論及應(yīng)用振動(dòng)理論及應(yīng)用第第3 3章章 多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)解：代入數(shù)值得解：代入數(shù)值得代入代入|K- 2M|=0得：得：100010001M210121011K 6425610 理論求解很困難，一般通過(guò)試算或利用工具理論求解很困難，一般通過(guò)試算或利用工具軟件，如軟件，如Excel、MATLAB、Mathematica等。

58、等。90振動(dòng)理論及應(yīng)用振動(dòng)理論及應(yīng)用第第3 3章章 多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)多自由度系統(tǒng)的振動(dòng) 利用利用Excel計(jì)算固有頻率步驟：計(jì)算固有頻率步驟：(1)定義變量。如在定義變量。如在A1格格“插入插入”-“名稱(chēng)名稱(chēng)”-“定定義義”w(2)輸入公式。如在輸入公式。如在A2格輸入格輸入 =w3-5*w2+6*w-1(3)“工具工具”-“單變量求解單變量求解”(只能求第一固有頻只能求第一固有頻率率)(4)高階特征值的求解要用高階特征值的求解要用 “工具工具”-“規(guī)劃求規(guī)劃求解解” 固有頻率為：固有頻率為：2221230.198,1.555,3.24791振動(dòng)理論及應(yīng)用振動(dòng)理論及應(yīng)用第第3 3章章 多自由

59、度系統(tǒng)的振動(dòng)多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)3.8.2.2 振型的基準(zhǔn)化和標(biāo)準(zhǔn)化振型的基準(zhǔn)化和標(biāo)準(zhǔn)化1.振型的基準(zhǔn)化振型的基準(zhǔn)化 由于固有振型由于固有振型X(i) 只是振幅的比例關(guān)系，各階振型均只是振幅的比例關(guān)系，各階振型均有一個(gè)未確定的常數(shù)比例因子。通常假設(shè)振型的某個(gè)元素有一個(gè)未確定的常數(shù)比例因子。通常假設(shè)振型的某個(gè)元素為為1，則其它元素就可以表示為此元素的倍數(shù)，這種方法或，則其它元素就可以表示為此元素的倍數(shù)，這種方法或過(guò)程就是振型的基準(zhǔn)化。過(guò)程就是振型的基準(zhǔn)化。 一般假設(shè)振型的第一個(gè)元素為一般假設(shè)振型的第一個(gè)元素為1。92振動(dòng)理論及應(yīng)用振動(dòng)理論及應(yīng)用第第3 3章章 多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)分

60、別代入分別代入(K- 2M)X=0得：得：(1)11.8022.247X(2)10.4450.802X(3)11.2470.555X 93振動(dòng)理論及應(yīng)用振動(dòng)理論及應(yīng)用第第3 3章章 多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)2. 振型的標(biāo)準(zhǔn)化振型的標(biāo)準(zhǔn)化 另外一種確定振型各元素?cái)?shù)值的方法是以某另外一種確定振型各元素?cái)?shù)值的方法是以某個(gè)限制條件來(lái)確定振型中的常數(shù)因子。通常規(guī)定個(gè)限制條件來(lái)確定振型中的常數(shù)因子。通常規(guī)定 XN(i)滿(mǎn)足條件滿(mǎn)足條件( )( ) 1iTiNNXMX 滿(mǎn)足這個(gè)限制條件的振型滿(mǎn)足這個(gè)限制條件的振型XN(i)稱(chēng)為標(biāo)準(zhǔn)化稱(chēng)為標(biāo)準(zhǔn)化（或正規(guī)化、歸一化）的振型。（或正規(guī)化、歸一化）的振型